6.3 平面向量线性运算的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

6.3　平面向量线性运算的应用 [课时跟踪检测] 1.炮弹的初速度为v0，发射角为θ(v0与水平面的夹角)，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为 (　　) A.y=|v0|t B.y=|v0|sin θ·t-|g|t2 C.y=|v0|sin θ·t D.y=|v0|cos θ·t 解析：选B　因为炮弹上升的初速度的大小为|v0|sin θ，所以上升的高度y与v0的关系是y=|v0|sin θ·t-|g|t2. 2.已知点A(-1，1)，B(0，-2)，C(3，0)，D(2，3)，则四边形ABCD为 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：选A　∵=(1，-3)，=(1，-3)， ∴=，即AB􀰿CD. ∴四边形ABCD为平行四边形. 又AB≠AD，且AB，AC，BC不满足勾股定理，故选A. 3.已知作用在点A的三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，且A(1，1)，则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为 (　　) A.(9，1) B.(1，9) C.(9，0) D.(0，9) 解析：选A　由题意，得F=F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0).设合力F的终点为P(x，y)，则=+F=(1，1)+(8，0)=(9，1). 4.(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是 (　　) A.|b|=1 B.|a|=1 C.a∥b D.|b|=2 解析：选BD　如图，由题意得，=-=(2a+b)-2a=b，则|b|=2，故A错误，D正确；|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，故B正确；因为=2a，=b，所以a，b不平行，故C错误. 5.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|-|-|+-2|=0，则△ABC的形状不可能是 (　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：选AD　∵P是△ABC所在平面内一点，且|-|-|+-2|=0， ∴||-|(-)+(-)|=0， 即||=|+|. ∴|-|=|+|. 以AB，AC为邻边作▱ABDC，由向量加、减法的几何意义知四边形ABDC为矩形， ∴⊥. ∴∠A=90°，则△ABC一定是直角三角形.故选AD. 6.已知a=(-1，)，=a-b，=a+b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是 (　　) A. B.2 C.2 D.4 解析：选D　因为a=(-1，)，所以|a|==2.设AB的中点为C，则=(+)=a，则||=|a|=2.所以在Rt△AOB中，||=2||=4.所以S△AOB=×4×2=4. 7.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足++=0，若实数λ满足+=λ，则λ的值为 (　　) A.2 B. C.3 D.6 解析：选C　如图，取BC的中点D， 则+=2. 又++=0， ∴2=-. ∴A，P，D三点共线，且||=2||. ∴=. 又+=2，∴+=3，即λ=3. 8.(5分)飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是　　　　　km/h.  解析：如图所示，|v1|=|v|cos 30°=300×=150 (km/h). 答案：150 9.(5分)已知A(7，5)，B(2，3)，C(6，-7)，则△ABC的形状是　　　　　.  解析：AB==， BC==， AC==. ∵AB2+BC2=AC2， ∴AB⊥BC.又AB≠BC， ∴△ABC是直角三角形. 答案：直角三角形 10.(5分)设O是△ABC内部一点，且+=-2，则△AOB与△AOC的面积之比为　　　　.  解析：设D为AC的中点，如图所示，连接OD， 则+=2.又+=-2， 所以=-，即O为BD的中点， 从而易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2. 答案：1∶2 11.(10分)已知平面直角坐标系内四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形. 证明：由已知得，=(4，3)-(1，0)=(3，3)，=(0，2)-(2，4)=(-2，-2). ∵3×(-2)-3×(-2)=0， ∴与共线. 又=(0，2)-(1，0)=(-1，2)，=(2，4)-(4，3)=(-2，1)，且(-1)×1-2×(-2)≠0， ∴与不共线. ∴四边形ABCD是梯形. ∵||=||=，即BC=AD， ∴四边形ABCD是等腰梯形. 12.(10分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|=20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|=20 km/h.设帆船行驶的速度为v，则v=v1+v2.由题意，可得向量v1=(20cos 60°，20sin 60°)=(10，10)，向量v2=(20，0)，则v=v1+v2=(10，10)+(20，0)=(30，10).所以|v|==20. 因为tan α==(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α=30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h. 13.(10分)如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，AE交CD于点P，求△APC的面积. 解：设=a，=b，则=+=a+b，=+=a+b. ∵点A，P，E三点共线， ∴存在实数λ使得=λ=λa+λb. ∵点D，P，C三点共线， ∴存在实数μ使得=μ=μ a+μ b. 又∵=+=a+μ b， ∴⇒ ∴S△PAB=S△ABC=14×=8(cm2)， S△PBC=S△ABC=×14=2(cm2)， 故S△APC=14-8-2=4(cm2). 学科网（北京）股份有限公司 $