湖南岳阳市岳阳县第一中学2026-2027学年高一上学期入学考试数学试题

**基本信息** 2026级高一新生入学数学试卷，通过基础衔接与能力梯度设计，融合代数几何知识，考察数学抽象、推理及模型应用能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|集合运算、方程根、函数图像、几何折叠|基础概念辨析，如直线过定点问题（第5题）| |填空题|8/24|不等式解集、创新解题方法、二次函数与线段交点|结合小明解题方法迁移应用（第16题），考察数学语言转化| |解答题|8/66|复数运算、函数性质探究、几何最值、含参不等式|函数图像与性质探究（第23题）、几何最值构图（第24题），体现数学思维与建模能力|

2026级高一新生入学考试数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 第I卷（选择题） 1、 单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）。 1．已知.则（   ） A． B． C． D．不能确定 2．若集合，集合，则等于 A． B． C． D． 3．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 5．对任意实数a，直线y=(a−1)x+3−2a一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．若，则使最接近的正整数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 9．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（    ） A．6 B． C．3 D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）。 11．若集合，集合，用列举法表示________。 12．已知，则的取值范围是_________。 13．不等式的解集为________． 14．若（x﹣1）x+1＝1，则x＝　 　． 15．设集合 . 且 ，则实数的取值范围为 . 16．小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 17．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）． （1）n=______； （2）已知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的取值范围是______． 18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是　 ． 三、解答题：（本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）已知：，，．求代数式a＋b＋c的值． 21．（8分）因式分解： (1) (2) (3) 22．（8分）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 23．（8分）研究函数y＝＋3的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下： (1)求函数y＝＋+3的自变量x的取值范围是 　 ． (2)y与x的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 2.5 3 4 5 6 7 … y … 2.8 m 8∕3 2.5 2 1 5 4 3.5 10∕3 n 3.2 … 根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线， 请求出m＋n﹣4＝ 　 ． (3)观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是 　 ，它的对称轴的解析式是 　 ． (4)当x满足 　 时，y随x的增大而减小． (5)结合函数图象填空：当关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是 　 ；关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3无实数根时，实数k的取值范围是 　 ． 24．（8分）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 25．（10分）解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）： (1)； (2)； (3)； (4). 26．（10分）（1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高中数学8月月考卷 一、单选题 1．已知.则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先利用作差法比较与，再由于大于零，从而可比较出的大小. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 因为大于零， 所以， 故选：A. 2．若集合，集合，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求得，然后求两个集合的交集. 【详解】由解得，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B【详解】解：当方程为一元二次方程时，，即，∵方程有实数根， ∴，化简得，解得， 即此时且；当方程是一元一次方程时，，即，方程为， 解得，方程有实数根，符合题意；综上，的取值范围是． 5．对任意实数a，直线y=(a−1)x+3−2a一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：∵y=ax-x+3-2a= a（x-2）-x+3，∴当x=2时，y=1， ∴直线y=(a−1)x+3−2a都经过平面内一个定点（2，1）；故选：C． 6．若，则使最接近的正整数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D【详解】解：∵，，，， ∴ ，∴当n=3时，， 当n=4时，，当n=5时，，当n=6时，， 显然，，故选：D． 7．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】解：作于点，连接交于点，设，则， ∴，∵矩形，∴，，∴四边形是矩形，∴， ∵点是边的中点，∴，∴， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴，在中， 由勾股定理得，即，解得， ∵，∴， ∴，∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B【详解】解：，顶点为， 设直线的解析式为，把、代入可得， ，解得，所以直线的解析式为， 二次函数的顶点P在线段上，，且， ，在时，取最小值为，故选：B． 9．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大， 如图所示， ∵A'D⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中， sinθ= ，cosθ=，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ， A'D=A'O+OD=1+cosθ，∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）． 故选：D． 10.如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（    ） A．6 B． C．3 D． 10.【分析】过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质与判定，二次函数的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 11．若集合，集合，用列举法表示________. 【答案】 【分析】应先分析元素所具有的公共特征，通过解方程组即可获得问题的解答． 【详解】解方程组： ，可得：， 集合. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合的表示法，考查交集及其运算，解题时应注意元素形式为有序实数对． 12．已知，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据不等式性质求解. 【详解】因为，所以， 因此 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．不等式的解集为________． 【答案】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． 14．若（x﹣1）x+1＝1，则x＝　 　． 【思路点拨】由于任何非0数的0次幂等于1，1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1，故应分三种情况讨论． 【答案】解：当x+1＝0，即x＝﹣1时，原式＝（﹣2）0＝1； 当x﹣1＝1，x＝2时，原式＝13＝1； 当x﹣1＝﹣1时，x＝0，（﹣1）1＝﹣1，舍去． 故答案为：x＝﹣1或2． 【点睛】主要考查了零指数幂的意义，既任何非0数的0次幂等于1．注意此题有两种情况． 15．设集合 . 且 ，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是：. 故答案为： 16．小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 【答案】或 【详解】解：又由，可得，将这两式相加可得，将两边平方得: 整理得：，解得：或，经检验或是原方程的解, 故答案为：或． 17．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）． （1）n=______； （2）已知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的取值范围是______． 【答案】 -1 【详解】解：（1）把点A（-1，n）代入二次函数y=-mx2+x+m，得：n=-m-1+m，解得：n=-1； 故答案为：-1. （2）二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0），当y=1时，得：-mx2+x+m=1， 因式分解的：，解得：， ∵m＜0，∴，∵，P（-3，1），Q（0，1）， ∴当二次函数图象与线段PQ有交点时， 得：，即：，解得：. ∴m的取值范围是.故答案为：. 18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是　 ． 【思路点拨】过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x＝0、y＝0代入y＝x﹣3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO＝∠CBD、∠AOB＝∠CDB＝90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值． 【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，连接P′A、P′B，此时△P′AB的面积最大，如图所示． 当x＝0时，y＝﹣3， ∴点B（0，﹣3）； 当y＝x﹣3＝0时，x＝4， ∴点A（4，0）． ∵点C（0，1）， ∴BC＝1﹣（﹣3）＝4，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5． ∵∠ABO＝∠CBD，∠AOB＝∠CDB＝90°， ∴△AOB∽△CDB， ∴， ∴CD＝＝， ∴DP′＝CD+CP′＝+1＝． ∴S△P′AB＝AB•P′D＝×5×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，找出△PAB面积取最大值时点P的位置是解题的关键．本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质或者面积法求出CD的长度是解决此题的突破点． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．已知：，，．求代数式a＋b＋c的值． 【答案】6 【分析】先将每个等式求倒数，然后组成方程组，用(①+②+③)÷2得 ，然后用④分别减①②③求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，，∴， (①+②+③)÷2得：，④-①得，解得c=3， ④-②，解得b=2，④-③，解得a=1， ∴a＋b＋c=1+2+3=6． 【点睛】本题考查解分式方程，求代数式的值，掌握倒数法解方程组是解题关键． 21．因式分解（8分）： (1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． 22．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 22．【详解】（1）解：；；；； 故答案为：，1，，1； （2）解：∵，∴，∴，∴，； （3）解：，，，∴，解得：，． 23．（10分）研究函数y＝＋3的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下： (1)求函数y＝＋+3的自变量x的取值范围是 　 ． (2)y与x的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 2.5 3 4 5 6 7 … y … 2.8 m 8∕3 2.5 2 1 5 4 3.5 10∕3 n 3.2 … 根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m＋n﹣4＝ 　 ． (3)观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是 　 ，它的对称轴的解析式是 　 ． (4)当x满足 　 时，y随x的增大而减小． (5)结合函数图象填空：当关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是 　 ；关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3无实数根时，实数k的取值范围是 　 ． 23．【详解】（1）答案为：x≥1且x≠2． （2）答案为：2； （3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是（2，3），它的对称轴的解析式是y＝x+1或y＝-x+5 故答案为：（2，3），y＝x+1或y＝-x+5； （4）当x＞2或x＜2时，y随x的增大而减小； 故答案为：x＞2或x＜2． （5）令y＝k（x﹣2）+3， 由图象可知：当k＝0时，直线y＝k（x﹣2）+3与y＝+3没有交点，即关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3无实数根， 当k＜0时，直线y＝k（x﹣2）+3经过点（2，3）， 若x＞2，其图象在直线x＝2的右侧和直线y＝3的下方，而y＝+3的图象在直线x＝2的右侧和直线y＝3的上方，没有交点， 若x＜2，其图象在直线x＝2的左侧和直线y＝3的上方，而y＝+3的图象在直线x＝2的左侧和直线y＝3的下方，也没有交点， ∴当k＜0时，于x的方程+3＝k（x﹣2）+3无实数根； 当k＞0时，直线y＝k（x﹣2）+3经过点（2，3），其图象与y＝+3的图象总有两个交点，即关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根； 故答案为：k＞0；k≤0． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围，函数图象，求函数值，分类讨论等，解题关键是分类讨论思想的正确运用． 24．（8分）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 24．(1)(2)点A、C、E在一条直线上；(3)25 【详解】（1）解：已知，，∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由，则，， ∴四边形是矩形， ∴，∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，延长至G，使，连接，同理可证四边形是矩形， ∴，∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25，∴代数式的最小值是25． 25．解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）： (1)；(2)； (3)；(4). 【答案】(1) (2)或. (3) (4)或 【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简得到，转化为，结合分式不等式的解法，即可求解； （3）不等式转化为且，进而得到不等式的解集； （4）根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得， 即，解得或，所以不等式的解集为或. （3）解：由不等式，可得且，解得， 所以不等式的解集为. （4）解：由不等式， 当时，即时，不等式即为，显然成立； 当时，即时，不等式可化为， 即，解得或，所以或且， 综上可得，不等式的解集为或. 26．（1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（i），； （ii）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2） 【分析】（1）（i）根据不等式的解集得出对应方程的解，由根与系数的关系求出a、b的值；（ii）不等式可化为，讨论c与2的大小，即可求出不等式的解集； (2讨论和，即可求出不等式恒成立时a的取值范围． 【详解】（1）（i）不等式的解集为， 所以1和b是方程的解，且, 即得，解得，； （ii）不等式可化为，即， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2）当时，不等式化为，对任意实数x恒成立； 当时，应满足，解得， 综上，a的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $