湖南省株洲市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷数学试题（人教版A)

**基本信息** 立足初高中衔接，以函数、不等式等核心知识为载体，通过数学史情境（如李善兰翻译“函数”）、新定义问题（“倒函数”“等量值”）及实际应用（电器购买），考查抽象能力、模型观念与创新意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、不等式解法、函数定义|第5题结合数学史辨析函数定义，体现数学文化；第9题以命题逻辑考查推理意识| |填空题|3/15|三角形面积集合、含参不等式|第12题通过正三角形面积子集个数，考查空间观念与抽象能力| |解答题|5/77|函数新定义、二次函数应用、抛物线综合|16题电器购买问题渗透模型观念；18题“等量值”新定义考查创新思维；19题抛物线平移与几何最值，发展几何直观|

湖南省株洲市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不等式组的解集是（　　） A． B． C．2 D．无解 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．关于的不等式的解为（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（    ） A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④ 6．二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④.其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为（   ）    A．2 B． C． D．3 8．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上.当与的积为负数时，t的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（    ） A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 10．下列说法不正确的是（    ） A．命题“，都有”的否定是“，使得” B．集合，若，则实数的取值集合为 C．集合，，若，则的值为0或4 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 11．十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知点是正三角形内部一点，，，的面积值构成一个集合，若的子集有且只有个，则点需满足的条件为________. 13．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________. 14．已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为__________. 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（1）计算: ； （2）先化简，再求值:其中. 16．某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元. (1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？ (2)若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？ (3)为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？ 17．已知关于x的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 18．对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等量距离”为0． (1)请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”； (2)已知函数． ①若其“等量距离”为0，求的值； ②若，求其“等量距离”的取值范围； ③若“等量距离”，直接写出的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线. (1)求拋物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A A C D BCD AB 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取交集即可得解. 【详解】由， 故选：C 2．D 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 3．B 【分析】根据绝对值的性质即可求解. 【详解】由得，解得. 故选：B 4．C 【分析】将式子作因式分解，然后可得结果.. 【详解】由题可知：， 所以 故选:C. 5．A 【分析】根据函数定义判断选项即可. 【详解】解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数. 故选:A 6．A 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】由图象与轴有2个交点可知，判别式，即，故①正确； 由二次函数图象知，，即，所以， ，故②③错误； 由图象对称性知，大于函数与正半轴交点横坐标，所以当时，，故④正确. 故选：A 7．C 【分析】根据图象得到圆O的半径，当的长时，设，利用弧长公式得到方程，求出，作出辅助线，求出各边长，由勾股定理得到答案. 【详解】结合题图可知，当点N与点A重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点M是的中点， ∴，即圆O的半径， 当的长时，设， 将，代入可得：， 解得：，即此时， 过点N作，交的延长线于点G，    ∵， ∴， ∴， 在中，， ，， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， ∴， 故选：C. 8．D 【分析】先求出，令，则，，将点的坐标代入，表达出，，根据得到，分，，，，五种情况，分类讨论，得到答案. 【详解】∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴. 令，则，. 将点和点代入，得； 将点和点代入，得. ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去. 综上，t的取值范围是或. 故选：D. 9．BCD 【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意； B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意； C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意， 故选：BCD 10．AB 【分析】对于A，写出命题的否定即可；对于B，当时即可排除；对于C，根据,则，再分类讨论即可；对于D，根据,则,然后根据子集公式计算即可. 【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，都有”，故A错误； 对于B，因为, 所以， 因为， 所以当时，， 当时，或，解得或， 综上，实数的取值集合为，故B错误； 对于C，因为,所以， 因为， 当时，即或， 若时，成立， 若时，不成立， 当时，成立， 综上，的值为或，故C正确； 对于D，因为,所以, 因为,即集合的子集个数为。 所以集合的个数为，故D正确. 故选：AB. 11．AC 【分析】根据所给定义一一计算可得. 【详解】对于A：，则，所以，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，所以，故C正确； 对于D：定义域为，则当时，此时无意义，故D错误； 故选：AC 12．在的三条高上且不为重心 【分析】由题意知，若集合的子集只有个，则集合有个元素，可得出，，三个三角形的面积有两个相等，分析点的位置，即可得出结论. 【详解】若集合的子集只有个，则集合有个元素，是等边内部一点， ，，三个三角形的面积值构成集合， 故，，三个三角形的面积有且只有两个相等. 若，的面积相等，则点在边的高上且不为的重心； 若，的面积相等，则点在边的高上且不为的重心； 若，的面积相等，则点在边的高上且不为的重心. 综上所述，点在等边的三条高上且不为的重心. 故答案为：在的三条高上且不为重心 【点睛】本题考查子集的个数与元素个数之间的关系，根据已知条件得出集合元素的个数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 13．或 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 故答案为：或 14． 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（1）；（2）， 【分析】（1）根据绝对值含义以及幂的运算，化简求值，即得答案； （2）结合分式运算先化简，再代入求值，即得答案. 【详解】（1） ； （2） ， 当时，，即. 16．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解； （2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解； （3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可. 【详解】（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元. 由题意可知,解得， 故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元. （2）设购买B种电器件. ,解得, 故可购买B种电器至少有件. （3）设购买A种电器件，则购买B种电器件. ,解得， 因为取整数， 所以可取，共种方案. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据解集建立方程组可得； （2）由（1）可得，然后直接使用基本不等式可得的最小值，然后可解. 【详解】（1）由题知，1和b是方程的两根， 由韦达定理可得，解得 （2）由（1）知，所以， 因为，所以 记，则，解得， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为8， 所以要使恒成立，则，得 所以k的取值范围为. 18．(1)没有“等量值”； ，有，2；，有，1 (2)；；或 【分析】（1）根据“等量值”函数的定义即可求解； （2）①令，即有两个相等的实数根，根据判别式即可求解； ②令，解得或，由即可求； ③由②有，解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意有：令矛盾，所以没有“等量值”， 令，所以和是的“等量值”，所以“等量距离”为， 令或，所以的“等量值”为和，其“等量距离”为； （2）①因为函数“等量距离”为0， 所以，即有两个相等的实数根， 所以； ②令，解得或， 又因为，所以， 所以函数的“等量距离”为； ③由②有或. 所以的取值范围为或. 19．(1) (2)最大值为；此时 (3)， 【分析】（1）由抛物线过点A及对称轴可建立方程组解方程即可求解析式； （2）过作轴交于，利用锐角三角函数将问题转化为求的最大值，设点P坐标，由坐标建立二次函数求最值即可； （3）先得出平移后抛物线的解析式，利用特殊角确定直线，求得M坐标，分类讨论N的位置结合锐角三角函数得出线段比计算即可. 【详解】（1）∵与轴交于两点，交轴于点， 抛物线的对称轴是直线，解得； （2）如图，延长交轴于，过作轴交于， 当时，解得：， 当时，， ， 轴，， ， ，设为， 解得：直线为：， 设， ∵的对称轴为直线， ， 当时，取得最大值，最大值为；此时； （3）抛物线沿射线方向平移个单位， 即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 新的抛物线为：， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， 同理可得：直线为，当时，， ， ， ， ，设， ，解得：或（舍去）， ； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过 作过的垂线于，同理可得：， 设，则，同理可得：， 或（舍去），， 综上可知或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $