3.6 直线和圆的位置关系(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 器-子Ec-2BE设BNa,则cD-2a,Bn 品胎即品解得DF号 3a,EF=2a.在Rt△BEF中，BE=VBFP-EF=V5a EC=2V5a.在Rt△CEF中，FC=VEF+EC=2V6a. 在Rt△FAC中，sinLACF-AE=2n=V6 FC 2V6a 6 11.(1)证明：FA=FE,∠FAE=∠AEF B ∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角，∴.∠FAE= ∠BCE.∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE.CE平分 第11题答图 第12题答图 ∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE.AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°，∴.∠CEB+∠DCE=LBCE+∠ACE=∠ACB= 12.(1)证明：如图，连接0C,CF是⊙0的切 90°..∠CDE=90°..CD⊥AB.(2)解：由(1)知， 线，L0CF=90°..∠0CA+∠ACF=90°.0E=0C, ∠BEC=∠BCE,BE=BC.AF=EF,FM⊥AB,MA= ∠E=∠OCE.AE是⊙0的直径，∠ACE=90°. ME=2,AE=4..0A=0B=AE-OE=3..BC=BE=0B-0E= ∠OCA+∠0CE=90°，.∠ACF=∠OCE=∠E.:∠B= 2.在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°，.AC= ∠E,∴∠ACF=∠B.(2)解：∠ACF=∠B,∠F= VAB-BC=V62-2-4V2. 6直线和圆的位置关系（第1课时） ∠R,△ACn△CBRg#-瓷F2.Cn L16cm2.号3Ycm4105或15 4年-子BF-80=4B8-26,AC-3.aD1 2 5.D6.B7.D BC,∴.∠ADB=∠ACE=90°.∠B=∠E,∴.△ABD 8.解：连接OA, A △1EC.一是-AC,印AEAD=ABAC-6=18 OB.PA,PB分别切 13.(1)证明：如图1，作DF⊥BC于点F,连接 ⊙0于点A,B, 0心 DB,AP是⊙0的切线，∴.∠PAC=90°，即∠P+ ∠PA0=∠PB0=90°.又 ∠ACP=90°.AC是⊙0的直径，.∠ADC=90°，即 ,∠A0B=2∠ACB=130°， B LPCA+LDAC=90°.∴.∠P=∠DAC=∠DBC.∠APC= ∴.∠P=360°-180°-130°= 第8题答图 ∠BCP,∴.∠DBC=∠DCB.∴.DB=DC.DF⊥BC,∴.DF 50°. 是BC的垂直平分线.DF经过点O.OD=OC,· 9.解：(1)相等.理由：CD是⊙0的切线， ∠ODC=LOCD.∠BDC=2∠ODC,∴.∠BAC=∠BDC= ∠0CD=90°.：∠ACD=120°，∴.∠AC0=30°.0A= 2∠ODC=2∠ACD,即∠BAC=2∠ACD.(2)解：如 0C,.∠C40=30°，.∠CD0=180°-120°-30°=30°. 图2，：由(1)知，DF经过点O,DF是BC的垂直平 ∠CA0=∠CD0.∴.CA=CD.(2)设C0为x,∠CD0 -30°，∠0C0-90.BD=10.x=7x+10,=l0. 分线，C=BC-=3.在△DBC和△CFD中，∠ECD= ∠FDC,∠CED=∠DFC,DC=DC,∴.△DEC≌△CFD 半径为10. (AAS).∴DE=FC=3.∠ADC=90°，DE⊥AC, 10.解：(1)0A=0C,∴∠A=∠AC0.∴∠C0D= ∠ADC=∠AED=∠DEC=90°.∴.∠DAE=∠EDC. ∠A+∠AC0=2∠A.∠D=2∠A,∴.∠D=∠C0D.PD 切⊙0于点C,∴.∠0CD=90°.∴.∠D=∠C0D=45°.(2) △MDEn△CE.:DE-4E-EcEc-2e号4C- .·∠D=∠COD.CD=2,∴.OC=OB=CD=2.在Rt△OCD中， AE+EC=2+9=3.⊙0的半径为3 由勾股定理得22422-(2+BD)2,解得BD=2V2-2. 221 1L.(1)证明：如图，取BF的中点M,连接OM, OF,BF-2BE,BM=MTF-BE.COB =BOE. D :∠A=∠B0r,∠C0B=∠A,(2)解：如图，连 接BF,CD为⊙0的切线，AB⊥CD..∠OBC= ∠ABD=90°.LCOB=LA,∴△OBC△ABD.OB AB 品.博名斋解得BD-8在R△1D巾，AD 图1 图2 VAB+BD=V6+8=10.AB是⊙0的直径，.： 第13题答图 ∠AFB=90°.∠BDF=∠ADB,.Rt△DBF∽Rt△DAB. 数学 九年级下册（北师大版） 14.(1)证明：如图， OC,∴.LB=∠OCB.∠OCB+∠FCG=90°，∠B+∠BGE= 连接OP,延长B0与⊙0交 90°，.∠FCG=∠BGE.·.·∠BGE=∠FGC,.∴.∠FCG= 于点C,则OP=0B=0C. ∠FGC.∴.FG=FC=7. AP与⊙0相切于点P, 21.(1)证明：·GF是⊙0的切线，.DFLGF. ∠APO=90°..∠PAO+∠AOP DF⊥AB,AB∥GF.∠G=∠BAC=45°..∠FDG=90° =90°.M01CV,∴.∠A0C= -∠G=45°.∴.∠FDG=∠G.FD=FG.(2)解：如图， 90°.∠A0P+∠P0C=90°. 第14题答图 ∠PAO=∠POC..OP-OB,∴ 连接0A,DF1AB,AE=BE=AB=-6由()）知 ∠OPB=∠PB0.∴.∠POC=∠OPB+∠PB0=2∠PBO.. FD=FG=10,∴.LADE=∠BAC=45°.ED=AE=6..EF= ∠PA0=2∠PB0.(2)解：如图，延长B0与⊙0交 DF-DE=10-6=4.设0E=x,则OA=0F=0E+EF=x+4. 于点C,连接PC,过点P作PD⊥OC于点D,在 在Rt△A0E中，0A2=AE+0E,(x+4)2=6+x2.解得 RAA0p中，0n5,An9,a0-V,0- Γ3 多01=4名+4号00的半径为 2 2 ∠POC=∠PAO,∠PD0=∠APO=90°，∴Rt△PODM △0MR用册9.即罗者8m3. B D 525-20 33 0D=4..CD=0C-OD=1.在Rt△PDC中，PC= VPD+CD=V10.CB为⊙0的直径，∴.∠BPC=90° .BP=VBC2-PC2=V100-10=3V10. 15.20°16.43°17.C18.C 第21题答图 第22题答图 19.解：(1)如图，连接0C,AB与⊙0相切于 点C,.0C⊥AB..0A=0B,∠A0B=80°，∴.∠COB= 22.(1)证明：.AP,BP分别切⊙O于点A,B ∠c0A=7∠A0B=40.∠CED=7∠C0B=20.(2) .OA⊥AP,OB⊥BP,即∠PAO=∠PBO=90°.OA=OB, 2 如图，DG是⊙0的直径，⊙0的半径为3，.∠DEG= 0P0P,△PH0≌△PB0LA0P-ZBOr∠A0B, 90°，DG=6..EC∥OA,∴.∠EFG=∠A0B=80°.由(1) 又：AB=AB,LADB=3 LAOBADB=-LA0P 得∠CED=20°，∴.∠EDG=∠EFG-∠CED=60°.∴.∠G= (2)解：如图，延长A0交⊙0于点F,连接DF,则 9-LEDG-30.ED-DG-3.G-VDP-DE ∠ADF=90°.由(1)知∠PA0=90°，：C为0P的中点， V6-3=3V3..ED的长是3，EG的长是3V3. :.PC=0C.:PC=OC=AC=1OP.AP=10,tan LAOP= 方，A0-=m2折0p-200nVa0a-V2eI0 =10V5.AC=0C=20P=5V5,AF=2A0=40.AC= 0C,∠CA0=∠A0C.又∠PA0=∠ADF=90°， △4P0∽△DFM.P0=40.AD=,20_X40-=16V5. AF AD 10V5 .CD=AD-AC=11V5.∠AOP=∠ADB,∠AC0= 第19题答图 第20题答图 ∠B0,A400△80-8品E-Y 5V5 ×20=44. 20.(1)证明：如图，连接0C,:过点D的直线 6直线和圆的位置关系（第2课时） 与⊙0相切于点C,.∠OCF=90°.FE1AB, ∠OEF=90°.∴.∠F+∠C0E=180°.：∠A0C+∠COE= 1.相离2.1153.16cm4.30°或90° 5.C6.D7.B 180°，.∠AOC=∠F:∠AOC=2∠B,.∠F=2∠B. 8.解：是.理由：如图，连接 (2)解：在Rt△OCD中，OC=OA=4,OD=OA+AD= OD.AD∥OC,.∠COD=∠AD0 4+1=5,∴.CD=V0D-0C=V5-4=3.∠0DC= ∠DA0=∠COB.A0=OD, ∠FDE,∠OCD=LFED,∴△DFE△DOC,.DE=DE ∠ADO=∠DAO,∴.∠COD=∠COB. DO DC' .OD=OB,C0=C0,.∴.△COD≌ 即DE=5.解得DF=10.:FC=DF-CD=10-3=7.0B= 5 3 △COB,∠CDO=∠CBO.,BC 第8题答图口数学 九年级下册（北师大版） 直线和圆的位置关系（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题1如图，∠0=30°，C为0B上一点，且0C=6,以点C 为圆心，半径为3的圆与OA有怎样的位置关系？请说明理由. 【分析】可根据圆心C到直线OA的距离与半径3的数量关系进 C 0 一B 行判断. 例题1图 【解答】直线OA与⊙C相切.理由如下：如图，过点C作CDL D. A0于点D.∠0=30°，0C=6,DC=3..以点C为圆心、半径为3 的圆与OA相切. 【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系.如果设圆的半径 例题1答图 为r,圆心到直线l的距离为d,那么直线l和圆的位置关系有三种：当d<r时，直线l和圆 相交；当d=r时，直线l和圆相切；当dr时，直线1和圆相离， 例题2如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C,与AB 的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC=DE. 0 (2)若am∠CAB=,AB=3,求BD的长. 例题2图 【分析】(1)利用切线的性质，结合余角的性质得出∠DCE=∠E,进而得出DC=DE. (2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,利用正切值和勾股定理建立方 程，求出BD的长 【解答】(1)证明：如图，连接OCCD是⊙0的切线，.∠OCD= 90°.∠ACO+∠DCE=90°.又.EDLAD,∠EDA=90°..∠EAD+∠E= 90°..OC=OA,.∠AC0=∠EAD..∠DCE=∠E..DC=DE. (2)解：设BD=x,则AD=AB+BD=3+,0D=0B+BD=子+.在 例题2答图 Rt△EAD中，，tan∠CAB= 号，DC=ED=2AD=?(3+x).在Rt△0CD中，0C+CD=D03,则 3户+}(3+)-(3+尺解得=3（含去）.1，即BD-1. 【点拨】此题主要考查切线的性质与三角函数值等相关知识的综合运用，连接过切点 的半径并应用切线的性质，得到直角三角形是解题的关键.解题策略是构造直角三角形 或相似三角形，利用勾股定理、直角三角形边角关系或线段的比例关系，建立方程模型 转化为代数问题解决. 78 圆 第三章 基础巩固飞达标闯关 卡B多参 1.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，若大圆的半径为 10cm,小圆的半径为6cm,则弦AB的长为 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B,PA=8,OB=6,则sin∠APO= 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1cm,若以点C为圆心作圆弧与AB 相切，则这条弧的半径等于一· 4.在△ABC中，AB=4cm,AC=2V2cm,若以A为圆心、2cm为半径的圆与直线BC 相切于点D,则∠BAC的度数为 5.如果直线m与⊙0最多有一个公共点，那么圆心到m的距离d与半径r的关系为() A.d<r B.d=r C.d≤r D.d≥r 6.如图，PA与⊙0相切于点A,P0交⊙0于点B,若PA=6,PB=4, 则⊙0的半径为() A B.了 C.2 D.5 第6题图 7.已知平面内有⊙0和点A,B,若⊙O的半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则 直线AB与⊙O的位置关系为() A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 8.如图，PA,PB切⊙O于点A,B,点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P等于多 少度？ y 0● 第8题图 口数学 九年级下册（北师大版） 9.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D, ∠ACD=120°，BD=10. (1)CA与CD相等吗？为什么？ (2)求⊙0的半径. 第9题图 能力提升螂综合拓展 10.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且∠D=2∠CAD, 连接OC (1)求∠D的度数. (2)若CD=2,求BD的长. 第10题图 11.如图，AB是⊙O的直径，点E,F在⊙O上，且BF=2BE,连接OE,AF,过点B作 ⊙O的切线，分别与OE,AF的延长线交于点C,D. (1)求证：∠COB=∠A. (2)若AB=6,CB=4,求线段FD的长. 第11题图 80 圆第三章 12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F, AE是⊙O的直径，连接EC. (1)求证：∠ACF=∠B. (2)若AB=BC,AD⊥BC于点D,FC=4,FA=2,求AD·AE的值. 第12题图 13.如图1，四边形ABCD内接于⊙0O,AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长 线相交于点P,且∠APC=∠BCP. (1)求证：∠BAC=2∠ACD. (2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2)，当BC=6,AE=2时，求⊙O的半径 图1 图2 第13题图 14.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定 长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具 为“曲柄连杆机构”. 小李受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP, BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A,B分别在射线OM,ON上滑 动，OMLON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙0上，如图2.请仅就图2的情形解答下 列问题， D (1)求证：∠PAO=2∠PBO. 10 (2)若⊙0的半径为5，An=9,求BD的长. B 图1 图2 第14题图 的 数学 九年级下册（北师大版） 中考链接©真题演练 多多 15.(2025·安徽)如图，AB是⊙0的弦，PB与⊙0相切于点B,圆心O在线段PA上 已知∠P-50°，则∠PAB的大小为 16.(2025·北京)如图，⊙0是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分别表示北 回归线和南回归线，∠D0OB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心 O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角) 的大小为 北回归线 赤道0 南回归线 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 17.(2025·青岛)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC,直 线EA与⊙0相切于点A.若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为() A.52° B.54° C.64° D.749 18.(2025·福建)如图，PA与⊙0相切于点A,PO的延长线交⊙0于点C,AB∥PC, 且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为() A.30° B.45 C.60° D.75° 19.(2025·天津)已知AB与⊙0相切于点C,OA=0B,∠AOB=80°，OB与⊙0相交于 点D,E为⊙0上一点. (1)如图1，求∠CED的大小 (2)如图2，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F,延长B0与⊙O相交于点G,若⊙O 的半径为3，求ED和EG的长. 图1 图2 第19题图 圆第三章 20.(2025·广元)如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直 线与⊙O相切于点C,过线段OB上一点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC于点G. (1)求证：∠F=2∠B. (2)若AO=4,AD=0E=1,求FG的长， DA 第20题图 21.(2025·湖北)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足 为E,交AC于点D,交⊙O于点F过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G (I)求证：FD=FG. D (2)若AB=12,FG=10,求⊙0的半径. +0 第21题图 22.(2025·北京)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB, OP,取OP的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD. (1)求证：∠ADB=∠AOP. (2)延长0P交DB的延长线于点E.若AP=10,anLA0rP子，求DE的长. 第22题图 83