3.3.1 抛物线及其标准方程（5大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．3．1 抛物线及其标准方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：抛物线的定义问题 2 题型二：抛物线的标准方程 2 题型三：求轨迹方程 2 题型四：和与差的最值问题 3 题型五：实际应用问题 3 02 重难点拓展 5 题型一：抛物线的定义问题 1．（2025·高二·新疆喀什·月考）抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（   ） A．2 B．5 C．3 D．8 2．（2025·高二·陕西西安·期中）已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A． B． C．或 D．或 题型二：抛物线的标准方程 4．（2025·高二·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：求轨迹方程 7．（2025·高二·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 9．（2025·高二·湖南·期中）平面上的动点到定点的距离比到轴距离大1．则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．和 D．和 题型四：和与差的最值问题 10．（2025·高二·广东肇庆·期中）已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 ． 11．（2025·高二·甘肃庆阳·期末）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 12．（2025·高二·四川泸州·期末）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 题型五：实际应用问题 13．（2025·高二·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 14．（2025·高二·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 15．（2025·高二·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    1．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．（2025·高二·河北·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏徐州·期中）若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．（2025·高二·江苏南通·月考）已知圆心在y轴上移动的圆C经过定点，且圆C与x轴、y轴分别交于两个动点，则点的轨迹为（    ） A．对称轴为x轴的抛物线 B．对称轴为y轴的抛物线 C．圆心在y轴上的圆 D．圆心在直线上的圆 7．（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·高二·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 9．（2025·高二·广东深圳·期中）双曲线（，）一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．6 10．（2025·高二·安徽·期中）某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 11．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）已知点A是平面内一定点，点P是定圆M上的动点，点P与点A不重合，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（   ） A．圆 B．双曲线 C．点 D．抛物线 12．（多选题）（2025·高二·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 13．（2025·高二·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 14．（2025·高二·江西宜春·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 15．（2025·高二·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 16．（2025·高二·上海浦东新·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    17．（2025·高二·湖南衡阳·期中）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）.    (1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程; (2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．3．1 抛物线及其标准方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：抛物线的定义问题 2 题型二：抛物线的标准方程 3 题型三：求轨迹方程 3 题型四：和与差的最值问题 5 题型五：实际应用问题 6 02 重难点拓展 9 题型一：抛物线的定义问题 1．（2025·高二·新疆喀什·月考）抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（   ） A．2 B．5 C．3 D．8 【答案】B 【解析】由焦半径公式可得：，又， 所以， 故选：B 2．（2025·高二·陕西西安·期中）已知是抛物线上一点，若点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题可得点横坐标为4，点P到准线距离为， 所以点到该抛物线焦点的距离是. 故选：C 3．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题可知：，焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为，如图， 所以,即， 又或 则或， 则. 故选：C 题型二：抛物线的标准方程 4．（2025·高二·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 5．（2025·高二·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 6．（2025·高二·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设抛物线， 因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以， 解得，所以的标准方程为． 故选：B 题型三：求轨迹方程 7．（2025·高二·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 8．（2025·高二·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 9．（2025·高二·湖南·期中）平面上的动点到定点的距离比到轴距离大1．则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解析】由题意，设，由到定点的距离为到轴的距离为. 当时，的轨迹为； 当时，又动点到定点的距离比到轴的距离大1， 列出等式：，化简得， 为焦点为的抛物线． 则动点P的轨迹方程为和，故ABD错误，C正确. 故选： C． 题型四：和与差的最值问题 10．（2025·高二·广东肇庆·期中）已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，过点作垂直准线于点，如图所示： 根据抛物线的定义，抛物线上的点到抛物线的焦点的距离等于到它的准线的距离， 所以，当三点共线时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．（2025·高二·甘肃庆阳·期末）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【答案】12 【解析】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 12．（2025·高二·四川泸州·期末）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 题型五：实际应用问题 13．（2025·高二·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 【答案】 【解析】设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为①， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为②， 联立①②，消元得，解得或， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 14．（2025·高二·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为 cm. 【答案】/ 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：. 15．（2025·高二·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【解析】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 1．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 2．（2025·高二·河北·期中）已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在抛物线上，所以，得到，抛物线的标准方程为，所以该抛物线的准线方程为。 故选：C 3．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 因为，所以， 由题意知，则，整理得， 由抛物线的定义得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2025·高二·江苏徐州·期中）若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线方程为， 则其准线， 又在抛物线上，则，且到直线的距离， 由抛物线定义可知， 故选：C. 5．（2025·高二·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】作出示意图如图所示： 因为直线BF的倾斜角为，所以， 过作垂直准线于，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以. 故选：B. 6．（2025·高二·江苏南通·月考）已知圆心在y轴上移动的圆C经过定点，且圆C与x轴、y轴分别交于两个动点，则点的轨迹为（    ） A．对称轴为x轴的抛物线 B．对称轴为y轴的抛物线 C．圆心在y轴上的圆 D．圆心在直线上的圆 【答案】B 【解析】设圆心为， 因为圆C过定点，故半径， 则圆C的方程为： 由圆C与x轴交于，得，即①， 由圆C与y轴交于，得，即或， 当时，因为圆经过定点，故不符合题意， 所以②，联立①②，得点的轨迹方程为， 这是对称轴为y轴的抛物线. 故选：B. 7．（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 8．（2025·高二·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【解析】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为， 利用抛物线的定义得：. 故选：C 9．（2025·高二·广东深圳·期中）双曲线（，）一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解析】由题设且，可得， 所以双曲线一个顶点为，一条渐近线为， 则顶点到渐近线的距离为. 故选：A 10．（2025·高二·安徽·期中）某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】由题意可知，抛物线，焦点在抛物线上， 且是的重心，， ∴根据抛物线定义可知：. 故选:C 11．（多选题）（2025·高二·江苏连云港·期中）已知点A是平面内一定点，点P是定圆M上的动点，点P与点A不重合，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（   ） A．圆 B．双曲线 C．点 D．抛物线 【答案】ABC 【解析】假设定圆半径为； 因为线段的垂直平分线交直线于点，所以； 当点在圆外时，由，且，，三点共线，，可得，故，即，且，根据双曲线的定义可得，此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线； 当点在圆上时，因为,线段的垂直平分线交直线于点,即此时点与点重合，点的轨迹为一个点； 当点在圆内且不与圆心重合时，此时，线段的垂直平分线交直线于点,此时，根据椭圆的定义可得，此时点的轨迹是以，为焦点的椭圆； 当点与圆心重合时，此时点为半径的中点，即，此时点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆； 由于抛物线的定义是平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹，而无论点在圆的何种位置关系下，都无法满足抛物线的定义，所以点的轨迹不可能是抛物线. 故选：ABC 12．（多选题）（2025·高二·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 【答案】AD 【解析】对于A：抛物线：，则，准线方程为，由，解得，故A正确； 对于B：由，即，解得，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：设，则，设的中点为，过作准线的垂线段，垂足分别为， 则，， 由梯形中位线定理知， 所以以为直径的圆与准线相切，故D正确. 故选：AD 13．（2025·高二·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】1 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是． 故答案为：. 14．（2025·高二·江西宜春·期中）设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 【答案】 【解析】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 15．（2025·高二·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【解析】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 16．（2025·高二·上海浦东新·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    【答案】/ 【解析】 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 17．（2025·高二·湖南衡阳·期中）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）.    (1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程; (2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 【解析】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为. （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使，即， 因，故此车能安全通过隧道. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $