第二章 圆的方程 综合限时训练卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆的方程综合应用，通过分层题型系统覆盖轨迹方程、位置关系及最值问题，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-4|轨迹方程、对称问题|从圆的方程定义出发，推导投影点轨迹及对称圆性质| |位置关系综合|选择5-8、多选9-11|切线长、公共弦、公切线|结合直线与圆、圆与圆位置关系判定，构建距离公式应用逻辑| |最值与参数范围|填空12-14|动圆距离、切线最小值|通过几何转化将最值问题转化为圆心距计算，体现模型观念| |综合解答|解答15-19|方程求解、对称变换、切线方程|整合圆的方程求法、公共弦长计算等，形成“概念-判定-应用”完整推导链条|

第二章 圆的方程综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 6．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 8．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 10．（25-26高二下·广西河池·期末）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 13．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 14．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆的方程为，直线. (1)求圆关于直线对称的圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 17．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 18．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 19．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆的方程综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 2．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 6．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用点到直线的距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，圆，即， 所以其圆心和半径分别是； 圆的圆心和半径分别是. 则中点为. 点不在直线上，即直线不过的中点， 即不关于直线对称，故A错误； 对于B，圆与圆的公共点的坐标均满足两圆方程， 因此两圆相减可得其公共弦所在直线方程为， 即， 到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 8．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 10．（25-26高二下·广西河池·期末）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】设圆心关于直线的对称点为，得到，且，化简得到，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 13．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 14．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】先求圆关于直线对称圆：，则对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得，进而只需求的最大值，结合图形判断可得. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心关于直线对称点为，半径， 故圆：与圆：关于直线的对称. 对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得. 因此只需求的最大值. 因为，则圆和圆外切， ， 当且仅当三点共线时等号成立. 因为当，，时等号成立， 所以所求最大值为.    四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【答案】(1) (2)当时，圆的面积最大，此时圆的标准方程为： 【分析】（1）根据圆的一般式方程知,当时方程表示圆； （2）由半径,通过配方可以求出圆的最大半径以及半径最大时圆的方程. 【详解】（1）方程表示圆的条件是, 即,解得, 所以当时，方程表示圆. （2）由( 1 )知当时,方程表示圆,且其半径 . 所以当时，半径有最大值，且,此时圆心坐标为, 故圆的方程为. 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆的方程为，直线. (1)求圆关于直线对称的圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得圆心关于直线的对称点，可得圆的方程； （2）由，可得所求最小值． 【详解】（1）由圆的方程为知圆心，半径． 设圆心关于直线的对称点为，则， 解得， 所以圆的方程为； （2）因为，    所以当，，三点共线时，取得最小值． 因为，所以的最小值为． 17．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 18．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，利用待定系数法可得圆的标准方程； （2）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （3）设过两圆的交点的圆为，求出，从而可 得圆的方程. 【详解】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆的方程为. 19．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用圆的切线性质和勾股定理求的值； （2）根据圆的弦长的性质，当圆心到弦的距离最长时弦长最短，进而求出直线方程； （3）通过设线段长度，结合圆的性质和直线与圆的位置关系，分情况讨论求出满足条件的点的个数及坐标． 【详解】（1）当直线过圆心时，，解得， ，． （2）直线与圆相切，，设直线的斜率为，则，故， 直线的方程为，整理得，且， 圆心到直线的距离， 记，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，解得， 当时，，此时弦长最短， 由弦长公式得． （3），设，则，， 设点到直线的距离为，则①， （i）如图，当点在直线的同侧时，②， 联立①②解得或， 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，故满足条件的点有2个， ，即，联立，无解； 联立或， 满足条件的点即为； 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个， ，即，联立或； 联立（不合题意，舍去）； 满足条件的点即为； （ii）如图，当点，在直线异侧时，③ 联立①③解得（舍）或（舍），满足条件的点不存在， 综上，满足条件的点共有4个，即为，． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $