奥数培优讲义 第9讲 平均数（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

——小学三年级上册奥数培优讲义★★★★★—— 第9讲 平均数 【课程信息】 项目 内容 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 表内乘除法、多位数乘一位数、万以内加减法、总数与份数的概念 核心方法 总数÷份数=平均数；平均数×份数=总数；移多补少（补差）思想；不同数量组合先求总数量再除以总份数 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 理解平均数的含义；牢记核心公式"总数÷份数=平均数"；会正向求平均数、逆向由平均数反推总数；掌握移多补少补差法解决复杂题型；能用"总数量÷总份数"解决不同数量组合的平均数问题。 过程与方法 经历"读题→找总数、找份数→列式→检验"完整解题流程；体会移多补少的数学思想；能够识别"把几组平均数直接再平均"的易错陷阱。 思维品质 培养数据分析意识；提升逆向思维能力；养成验算习惯；区分"把几组平均数再平均"与"总数量÷总份数"的真实平均。 情感与应用 感受平均数在生活中的广泛应用（成绩、身高、重量、速度等）；学会用平均数分析和解决生活实际问题。 【前言】 同学们，生活中我们经常听到"平均分"这个词：班级考试的平均分、小组同学的平均身高、汽车行驶的平均速度、烘焙店把蛋糕平均分给几位小朋友……我们已经学会了表内乘除法、多位数乘一位数，今天就用这些本领来认识"平均数"。 平均数并不是某一个真实存在的数，它是把一组数据"匀一匀"之后得到的虚拟数值。就像把高矮不一的积木，通过"把高的搬一些给矮的"，最后让所有积木变得一样高，这个一样高的高度就是平均数。 求平均数最根本的公式： 总数 ÷ 份数 = 平均数 注意！求平均数一定要找准两件事：总数量是多少，一共分成多少份。千万不能简单把几个数加起来就随便除以 2。今天我们就一起来学习平均数的各类典型奥数题型。 图1 移多补少：把高低不匀的数据"匀"成一样高 解决平均数问题，可以按"四步法"进行：①读题审题，圈出关键词，明确问题；②找总数和份数，弄清"总数量是什么、一共分成几份"；③列式计算，用"总数÷份数"求平均数；④回代检验，用"平均数×份数"核对是否等于总数。请看下面的流程图： 图2 平均数问题标准解题四步法 一、知识导航 平均数表示一组数据的整体水平，它不一定等于数据中的某一个数。求平均数的关键是先找准两件事：总数量（把所有数据加起来）和总份数（数据一共有多少个），再用"总数量÷总份数"求出平均数。 1. 核心公式组 ① 总数 ÷ 份数 = 平均数（正向求平均） ② 平均数 × 份数 = 总数（逆向反推总数） ③ 总数 ÷ 平均数 = 份数（求份数） 2. 两大解题思想 ① 移多补少（补差思想）：多出来的部分补给少的部分，最终全部变成平均数。比平均数多出来的总和 = 比平均数少下去的总和。 ② 不同数量组合的平均数：当几组数据的个数不一样时，不能把几组的平均数直接相加再平均，必须先算出全部的总数量，再除以全部的总份数。 3. 本讲四类典型题型 题型 特征 核心方法 基础求平均数 给出一组数据，直接求平均 先求和，再÷份数 不同数量组合 每组数量不一样（不同人数、不同重量） 全部总数量÷全部总份数 逆向求总数 已知平均数，反求其中某一个量 平均数×总份数得到整体总数，再做减法 补差型难题 某一个数比整体平均数高/低若干 利用移多补少，多的用来补其他人的缺口 二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 直接把几组平均数相加再除以组数（忽略每组数量不一样） 正确算法：先算全部真实总数量，除以全部真实总份数 分不清"总数"和"份数"，份数数错 做题先圈出：总数量是什么，一共有多少份 看到"平均"就直接除以 2 只有恰好 2 份才除以 2，份数要看题目实际条件 补差题不会理解"多出来的用来补别人" 高出平均数的部分全部拿出来，分给其他人补齐差距 算完不回代检验 算出平均数后反向：平均数×份数，核对是否等于原始总数 三、典例精讲 【例1】基础平均数 —— 图书角捐书 题目：三年级一班图书角有 5 个小组，在"书香校园"活动中分别捐书 12 本、15 本、9 本、18 本、11 本。平均每个小组捐书多少本？ 分析：先求 5 个小组捐书的总本数（总数），一共 5 个小组（份数），用总数÷份数得到平均每个小组捐书的本数。 详解 捐书总本数：12 + 15 + 9 + 18 + 11 = 65（本） 小组数：5 个 平均每组捐书：65 ÷ 5 = 13（本） 答：平均每个小组捐书 13 本。 ✅ 验证：13 × 5 = 65，和捐书总本数相等。 💡 方法点睛：基础平均数两步走：①求全部总和；②总和÷份数=平均数。 【例2】混合物品求平均重量 —— 农场收蔬菜 题目：开心农场收了 3 筐西红柿共重 72 千克，5 筐黄瓜共重 120 千克。把这些蔬菜平均分装到 8 个保鲜箱里，每个保鲜箱应装多少千克？ 分析：总重量 = 西红柿 + 黄瓜；总份数是 8 个保鲜箱。不同蔬菜混装时，要把全部东西加起来得到总数量，再除以容器的份数。 详解 蔬菜总重量：72 + 120 = 192（千克） 保鲜箱数：8 个 每箱重量：192 ÷ 8 = 24（千克） 答：每个保鲜箱应装 24 千克。 ✅ 验证：24 × 8 = 192 千克，和蔬菜总重量相等。 💡 方法点睛：不同物品混装，把全部东西加起来得到总数量，再除以容器的份数。 【例3】不同数量组合的平均数（高频易错）—— 文具店进货 题目：文具店先后购进两批笔记本，第一批 4 包，每包 25 本；第二批 6 包，每包 30 本。文具店购进的笔记本平均每包多少本？ 分析：⚠ 易错坑：不能直接 (25+30)÷2=27.5，这只是"两个批次每包本数的平均数"，不是真实平均。两批包数不一样，属于"数量不同"的平均数问题。要算全部笔记本的总本数（总数量），再除以全部包数（总份数）。 详解 第一批总本数：4 × 25 = 100（本） 第二批总本数：6 × 30 = 180（本） 总本数：100 + 180 = 280（本） 总包数：4 + 6 = 10（包） 平均每包：280 ÷ 10 = 28（本） 答：平均每包 28 本。 ✅ 验证：28 × 10 = 280 本，和全部笔记本总本数相等。 💡 方法点睛：各组数量不一样，禁止直接对各组平均数取平均！必须算真实总数量、真实总份数。 【例4】逆向平均数 —— 跑步锻炼计划 题目：小军规定自己一周（7 天）平均每天跑 3 圈。星期一至星期三每天跑 2 圈，星期四休息不跑，星期五、六两天一共跑了 8 圈。星期日要跑几圈才能达到规定要求？ 分析：先用平均数×总天数，求出一周规定的总圈数；再算出前 6 天已经完成的圈数，相减得到星期日需要完成的圈数。 详解 一周规定总圈数：7 × 3 = 21（圈） 周一～周三已跑：3 × 2 = 6（圈） 周四休息：0 圈 周五、周六共跑：8 圈 前六天合计：6 + 0 + 8 = 14（圈） 星期日需要跑：21 − 14 = 7（圈） 答：星期日要跑 7 圈才能达到规定要求。 ✅ 验证：6+0+8+7=21 圈，21÷7=3 圈/天，符合每天平均 3 圈。 💡 方法点睛：已知平均数，优先反推总数量，再做减法求未知部分。 【例5】分组逆向求其中一组平均数 —— 手工课折纸鹤 题目：手工课上，三年级二班有 25 名同学折纸鹤，全班平均每人折 8 只。其中男生有 15 人，平均每人折 6 只。女生平均每人折多少只？ 分析：全班总折鹤数 − 男生总折鹤数 = 女生总折鹤数；女生人数 = 总人数 − 男生人数；女生总折鹤数 ÷ 女生人数 = 女生平均每人折的只数。 详解 全班总折鹤数：25 × 8 = 200（只） 男生总折鹤数：15 × 6 = 90（只） 女生人数：25 − 15 = 10（人） 女生总折鹤数：200 − 90 = 110（只） 女生平均每人折：110 ÷ 10 = 11（只） 综合算式：(25×8 − 15×6) ÷ (25−15) = 110 ÷ 10 = 11（只） 答：女生平均每人折 11 只。 ✅ 验证：男生 90 只 + 女生 110 只 = 200 只，200 ÷ 25 = 8 只，符合全班平均。 💡 方法点睛：整体平均数可以求出整体总和，减去其中一部分总和，就得到另一部分总和。 【例6】补差思想（移多补少）—— 小芳集邮 题目：小芳有三本集邮册：动物邮票 28 张，植物邮票 20 张，人物邮票的张数比这三种邮票的平均张数多 6 张。人物邮票有多少张？ 分析：用移多补少：人物邮票比平均张数多 6 张，就把这 6 张补给动物、植物两种邮票，使这两种邮票都提高到平均张数。动物+植物共 28+20=48 张，补上 6 张后为 54 张，正好等于"动物、植物两份都达到平均张数"，所以平均张数=54÷2=27 张，人物邮票=27+6=33 张。 详解 动物 + 植物：28 + 20 = 48（张） 加上人物拿出的 6 张：48 + 6 = 54（张） 这 54 张 = 2 份三种平均张数 三种平均张数：54 ÷ 2 = 27（张） 人物邮票：27 + 6 = 33（张） 答：人物邮票有 33 张。 ✅ 验证：三种总和 28+20+33=81 张，平均 81÷3=27 张；人物 33−27=6 张，确实比平均多 6 张。 💡 方法点睛：移多补少核心：高出平均数的那一部分，用来补齐其余对象，是平均数奥数的高频考点。 四、方法总结表 题型 突破口 核心公式 / 方法 检验方法 基础平均数 找总数、找份数 总数÷份数=平均数 平均数×份数还原总数核对 不同数量组合 注意每组数量不同 全部总数量÷全部总份数 分开求和再汇总核对总数量 逆向求部分量 平均数先求整体总数 平均数×份数=总数，再做减法 全部加回核对平均数 移多补少补差题 多出来的部分补给其他人 高出部分=其余人缺口总和 算出结果代回算整体平均数 五、解题口诀 平均数题不用慌，先找总数和份数； 各组数量不一样，别把平均再平均； 知平均，求总和，平均数乘份数算； 移多补少是妙法，多出拿来补缺口； 算完回代做检验，总数核对不出错！ 六、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关 【A1】超市零食货架有 4 层，分别放了 32 袋、28 袋、35 袋、25 袋薯片。平均每层放了多少袋？ 【A2】小明读一本故事书，前 3 天每天读 15 页，后 2 天一共读了 30 页。小明平均每天读多少页？ 【A3】学校体育组买了两批篮球，第一批 3 个，每个 80 元；第二批 5 个，每个 64 元。平均每个篮球多少元？ 🟧 B 组｜能力提升 【B1】小丽练习跳绳，第一次跳了 72 下，第二次跳了 85 下。她想让三次的平均成绩达到 85 下，第三次至少要跳多少下？ 【B2】食堂运来一批大米，前 4 天平均每天吃 25 千克，剩下的 120 千克计划 6 天吃完。这批大米平均每天吃多少千克？ 【B3】一个工程队修一条小路，前 2 天平均每天修 40 米，中间 3 天平均每天修 45 米，最后 2 天一共修了 100 米。平均每天修多少米？ 🟥 C 组｜挑战冲刺（移多补少补差难题） 【C1】六个同学数学测验的平均成绩是 88 分，其中有四个同学的平均成绩是 85 分。另外两个同学的平均成绩是多少分？ 【C2】小华练习踢毽子，第一次踢了 35 个，第二次踢的个数比两次踢的平均个数多 5 个。小华第二次踢了多少个？ 【C3】学校合唱队有 5 名队员，其中 4 名队员的平均身高是 140 厘米，第 5 名队员的身高比这 5 名队员的平均身高矮 8 厘米。第 5 名队员身高是多少厘米？ 七、参考答案与详细解析 🟦 A 组 A1 解析：总袋数：32 + 28 + 35 + 25 = 120（袋）； 层数：4 层。 平均每层：120 ÷ 4 = 30（袋） 答案：平均每层放 30 袋。 A2 解析：前3天共读：3 × 15 = 45（页）； 总共读：45 + 30 = 75（页）； 总天数：3 + 2 = 5（天）。 平均每天：75 ÷ 5 = 15（页） 答案：平均每天读 15 页。 A3 解析：第一批总价：3 × 80 = 240（元）； 第二批总价：5 × 64 = 320（元）； 总价：240 + 320 = 560（元）； 总个数：5 + 3 = 8（个）。 平均每个：560 ÷ 8 = 70（元） 答案：平均每个篮球 70 元。 🟧 B 组 B1 解析：三次目标总下数：3 × 85 = 255（下）； 前两次共跳：72 + 85 = 157（下）。 第三次至少：255 − 157 = 98（下） 答案：第三次至少跳 98 下。 B2 解析：前4天共吃：4 × 25 = 100（千克）； 大米总量：100 + 120 = 220（千克）； 总天数：4 + 6 = 10（天）。 平均每天：220 ÷ 10 = 22（千克） 答案：平均每天吃 22 千克。 B3 解析：前2天共修：2 × 40 = 80（米）； 中间3天共修：3 × 45 = 135（米）； 总长：80 + 135 + 100 = 315（米）； 总天数：2 + 3 + 2 = 7（天）。 平均每天：315 ÷ 7 = 45（米） 答案：平均每天修 45 米。 🟥 C 组 C1 解析：6人总分：6 × 88 = 528（分）； 4人总分：4 × 85 = 340（分）； 剩余两人总分：528 − 340 = 188（分）。 两人平均：188 ÷ 2 = 94（分） 答案：另外两个同学平均成绩是 94 分。 C2 解析：第二次比两次的平均多 5 个，多出来的 5 个补给第一次，让第一次到达平均值。 两次平均：35 + 5 = 40（个）； 第二次：40 + 5 = 45（个）。 验证：35+45=80，80÷2=40，45−40=5，符合题意。 答案：第二次踢了 45 个。 C3 解析：第5名队员矮下去的 8 厘米，由前面 4 名队员分摊补给，每人补 8÷4=2 厘米。 5人平均身高：140 − 2 = 138（厘米）； 第5名队员身高：138 − 8 = 130（厘米）。 验证：4×140+130=690，690÷5=138，138−130=8，符合题意。 答案：第 5 名队员身高是 130 厘米。 八、本讲小结 ✦ 核心公式：总数 ÷ 份数 = 平均数；变形：平均数 × 份数 = 总数。 ✦ 不同数量组合：每组数据个数不一样时，不能直接对各组平均数求平均，要先算全部总数量，再除以全部总份数。 ✦ 两大思想： 正向：已知各组数据，求平均数，先求和再除以份数。 逆向：已知平均数，先反推整体总数，再求某一部分。 移多补少补差难题：高出平均数的部分用来补给其余对象，是本讲奥数难点。 ✦ 解题流程：读题 → 圈总数、圈份数 → 列式 → 回代检验。 九、易错警示与学习建议 ⚠ 易错警示 ❌ 把几组平均数直接相加再除以组数，忽略每组人数/数量不同。 ✅ 必须计算全部真实总数量、全部真实总份数。 ❌ 看到"平均"就随便除以 2，份数要看题目实际有几份。 ✅ 先数清楚一共分成多少份。 ❌ 移多补少题中，把"多出来的部分"理解错，没有拿出来补给其他人。 ✅ 做完补差题，把结果代回，重新算一遍整体平均数验证。 ❌ 只记公式，不理解平均数是"匀出来的虚拟数"。 ✅ 可以借助移多补少的思想辅助理解。 ❌ 算完答案不检验，导致简单计算错误丢分。 ✅ 养成"平均数×份数=总数"的回代检验习惯。 🧠 学习建议 ✓ 做题第一步用笔圈出来：谁是总数量，谁是总份数。 ✓ 遇到"已知平均数求其中某一个数"，优先第一步算总数量。 ✓ 遇到"某一个数比平均高/低几"的奥数难题，优先思考移多补少补差法。 ✓ 做完务必验算：平均数 × 份数，看看是否等于原始全部总和。 ✓ 区分"简单平均"和"总数量÷总份数"的真实平均，这是本讲最高频的丢分点。 ✨ 平均数的本质就是"移多补少，匀成一样"，算完记得回代检验！✨ 祝贺你完成本讲学习！ 学科网（北京）股份有限公司 $