奥数培优第3讲 竖式数字谜初步（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

小学三年级上册奥数培优讲义★ ★ ★ ★ ★ 第3讲 竖式数字谜（初步） 适用年级 小学三年级（奥数培优） 课时安排 1课时 / 60分钟 难度等级 ★★★☆☆（入门进阶） 前置知识 万以内竖式计算、横式数字谜 核心能力 逻辑推理、逆向思维、进位退位分析 编排特色 知识点导航 + 典例精讲 + 分层训练 + 详细解析 🎯 学习目标 目标1：理解竖式数字谜的基本概念，知道□、汉字、字母在竖式中代表隐藏的数字。 目标2：掌握三大解题突破口：个位分析、首位分析、进位/退位传递分析。 目标3：能熟练运用"从个位入手、逐位推理"的方法解决加法竖式数字谜。 目标4：能正确处理减法中的连续退位问题，掌握被减数中间有0的退位技巧。 目标5：初步接触文字竖式（汉字/字母代替数字），理解"相同符号代表相同数字、不同符号代表不同数字、首位不为0"三大规则。 目标6：养成"算出结果后代回验算"的良好习惯，培养严谨的逻辑推理能力。 📖 课前导入 同学们，我们已经学会了万以内的加减法竖式计算。在竖式中，每一个数位上的数字都按照"个位对个位、十位对十位"的规则整齐排列，计算时要注意满十进一、不够借一。 今天，我们要挑战一种更有趣的数学游戏——竖式数字谜！在这些竖式中，一部分数字被小方框□、可爱的汉字或者神秘的字母遮住了，就像给竖式戴上了面具。我们的任务就是当一名数学小侦探，根据加减法的运算规则，把藏在面具后面的数字一个个找出来！ 解竖式数字谜的关键是找到"突破口"——那个信息最完整、最容易确定的数位。找到突破口后，我们就可以顺藤摸瓜，从低位到高位（或从高位到低位）一步步推理，把所有隐藏的数字都揪出来！准备好了吗？让我们开始今天的侦探之旅吧！ 🧭 知识导航 🔹 核心概念 竖式数字谜：在加减法竖式中，部分数字用□、○、汉字或字母代替，要求根据加减法的运算规则还原出完整竖式。被代替的数字通常是0~9中的一个，特殊情况下需要根据题意确定取值范围。 🔹 三大解题突破口 突破口一：个位分析 从个位开始看，个位只有两个数字相加或相减，信息最直接，是最常用的突破口。 加法：看和的个位数字，判断两个加数的个位之和是否满十进位； 减法：看差的个位数字，判断被减数个位是否需要向十位借位。 突破口二：首位分析 看竖式的最高位（首位），利用位数变化判断是否进位或退位。 加法：两个n位数相加，和如果是n+1位数，和的首位一定是1，且最高位相加一定进位了； 减法：被减数是n位数、减数和差都是n-1位数时，被减数的首位一定是1且发生了退位。 突破口三：进位/退位传递分析 进位和退位会从低位向高位逐位传递，推理时必须跟踪每一位的进位/退位状态。 加法：两个一位数相加最大为9+9=18，所以每一位向高位的进位只能是0或1，不可能是2； 减法：某一位不够减时，向高位借1当10，高位数字要先减1再参与运算；每一位最多退1。 🔹 重要规律速记 加法进位规律 两个一位数相加，和最大为18，所以每一位向高位的进位只能是0或1。 减法退位规律 某一位不够减时，向高位借1当10，高位数字必须先减1再运算。 首位判断规律 两个两位数相加得三位数，和的百位一定是1；三位数减两位数得两位数，被减数的百位一定是1且退位。 文字谜规则 相同汉字/字母代表相同数字，不同汉字/字母代表不同数字，首位不能为0。 🔔 易错辨析 易错点1 ❌ 错误：只看当前位，忘记低位传来的进位或退位 ✅ 正确：每一位计算时，都要先确认低位是否有进位/退位传递过来，再进行当前位的运算。 易错点2 ❌ 错误：加法中误认为进位可能是2 ✅ 正确：两个一位数相加最大9+9=18，进位只能是0或1，绝对不可能是2。 易错点3 ❌ 错误：减法中忘记被借位后高位数字要减1 ✅ 正确：某一位被低位借了1，计算该位时必须先减1，再减去减数对应位的数字。 易错点4 ❌ 错误：算出结果后不验算 ✅ 正确：把所有数字代回竖式，逐位重新计算一遍，确认等式成立。验算是发现错误的最后一道防线！ 易错点5 ❌ 错误：文字谜中忽略"首位不能为0" ✅ 正确：汉字或字母如果在一个数的最高位（首位），它代表的数字不能是0。 📚 典例精讲 【例1】加法竖式——个位突破法 题目：在下面竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。 5 □ 8 + □ 7 □ ─────── 9 2 5 ▶ 分析：从个位开始，个位信息最完整（已知第一个加数个位8和和的个位5），先确定第二个加数的个位和是否进位，再依次推十位、百位。 ▶ 详解 第一步：个位（确定第二个加数的个位） 第一个加数个位是8，和的个位是5。因为8 > 5，说明个位相加一定进位了（如果不进位，8加任何数的个位都不可能比8小）。 8 + □ = 15，所以 □ = 7，向十位进1。 第二步：十位（确定第一个加数的十位） 第一个加数十位是□，第二个加数十位是7，加上个位进来的进位1，和的十位是2。 □ + 7 + 1 的个位是2，即 □ + 8 的个位是2。因为8 > 2，说明十位也进位了：□ + 8 = 12，所以 □ = 4，向百位进1。 第三步：百位（确定第二个加数的百位） 第一个加数百位是5，第二个加数百位是□，加上十位进来的进位1，等于和的百位9。 5 + □ + 1 = 9，所以 □ + 6 = 9，□ = 3。 ✅ 验证：548 + 377 = 925 ✓ ✅ 答案：第一个加数十位填4，第二个加数百位填3、个位填7。完整竖式：548 + 377 = 925。 💡 【方法点睛】 个位是最常见的突破口——已知信息最多。先看个位：如果已知加数的个位数字大于和的个位数字，说明一定进位了；反之则可能不进位。确定个位数字和进位后，再从低到高逐位推理。 【例2】求数字和——两种突破口对比 题目：下面两个竖式中，□里的数字都被盖住了。分别求每个竖式中被盖住的四个数字之和。 （1） □ □ + □ □ ────── 1 5 9 （2） □ □ + □ □ ────── 1 9 4 ▶ 分析：两题题型相同（都是两位数加两位数求数字和），但突破口不同。第(1)题从和的个位入手；第(2)题从和的最高两位入手。 ▶ 详解 第(1)题：从个位突破 和的个位是9。两个一位数相加最大是9+9=18，如果个位相加进位了，和的个位最大是8（18的个位是8）。现在和的个位是9，说明个位相加一定没有进位。 所以两个加数的个位数字之和 = 9。 个位没有进位，十位数字之和直接等于和的前两位15（十位相加向百位进1，十位留5）。 所以两个加数的十位数字之和 = 15。 四个数字之和 = 9 + 15 = 24。 第(2)题：从首位突破 和的最高两位是19（百位是1，十位是9）。两个一位数相加最大是9+9=18，而和的十位是9、百位是1，说明十位相加后向百位进了1，且"十位数字之和 + 个位进位 = 19"。 因为十位两个数字最大和为18，所以 18 + 个位进位 = 19，个位进位 = 1。 个位相加进位1，且和的个位是4，所以两个加数的个位数字之和 = 14（14的个位是4，向十位进1）。 十位数字之和 + 个位进位1 = 19，所以十位数字之和 = 18。 四个数字之和 = 14 + 18 = 32。 ✅ 验证：(1) 例如69 + 90 = 159，四个数字6+9+9+0=24 ✓；(2) 例如95 + 99 = 194，四个数字9+5+9+9=32 ✓ ✅ 答案：(1) 24；(2) 32。 💡 方法点睛 同样是求数字和，突破口可能不同：和的个位是9（不进位特征）→从个位入手；和的前两位是19（必进位特征）→从首位入手。要学会观察数字特征，灵活选择最便捷的突破口。 【例3】减法竖式——退位分析 题目：在下面竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。 8 □ 0 □ - □ 3 7 6 ───────── 3 8 □ 9 ▶ 分析：减法竖式从个位开始，注意退位的传递。个位已知差的个位9和减数个位6，先确定被减数的个位和是否退位；被减数十位是0，退位会连续传递，需要特别小心。 ▶ 详解 第一步：个位（确定被减数的个位） 差的个位是9，减数的个位是6。被减数个位是□。 如果不退位：□ - 6 = 9 → □ = 15，不可能（一位数）。 所以一定退位了。 退位后：10 + □ - 6 = 9 → □ + 4 = 9 → □ = 5。（被减数个位是5） 验证：15 - 6 = 9 ✓，向十位借了1。 第二步：十位（确定差的十位） 被减数十位是0，被个位借了1。0不够借，必须向百位借1变成10，再被个位借1剩9。 9 - 7（减数十位）= 2，所以差的十位是2。 验证：十位向百位借了1 ✓ 第三步：百位（确定被减数的百位） 被减数百位是□，被十位借了1，再减去减数百位3，等于差的百位8。 □ - 1 - 3 = 8 → □ - 4 = 8 → □ = 12，不可能。 说明百位也向千位借位了。 借位后：10 + □ - 1 - 3 = 8 → □ + 6 = 8 → □ = 2。（被减数百位是2） 验证：2被借1剩1，1-3不够，向千位借1变11，11-3=8 ✓ 第四步：千位（确定减数的千位） 被减数千位是8，被百位借了1，再减去减数千位□，等于差的千位3。 8 - 1 - □ = 3 → 7 - □ = 3 → □ = 4。（减数千位是4） ✅ 验证：8205 - 4376 = 3829 ✓ ✅ 答案：被减数百位填2、个位填5，减数千位填4，差的十位填2。 完整竖式：8205 - 4376 = 3829。 💡 【方法点睛】 减法竖式要特别注意退位的传递：某一位被低位借了1，计算时要先减1；如果不够减，要继续向高位借1。被减数中间有0时，退位会连续传递（0变成9），这是减法数字谜中最容易出错的地方，一定要逐位跟踪！ 【例4】文字竖式——"数学乐园" 题目：在下面的加法竖式中，"数""学""乐""园"分别代表不同的数字，它们各等于多少？ 园 乐 园 学 乐 园 + 数 学 乐 园 ───────────── 1 8 8 8 ▶ 分析：这是一个四行累加的文字竖式。从个位开始，个位有4个"园"相加，和的个位是8。先确定"园"的值，再依次向高位推理。注意：相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，首位"数"不能为0。 ▶ 详解 第一步：个位（确定"园"） 个位有4个"园"相加，和的个位是8。 园 × 4 的个位是8。可能：园 = 2（2×4=8）或 园 = 7（7×4=28）。 如果园 = 2：个位相加 2+2+2+2 = 8，不进位。 十位：3个"乐"相加，个位是8。乐×3个位8 → 乐=6（6×3=18），向百位进1。 百位：2个"学"相加 + 进位1，个位是8。学×2+1个位8 → 学×2个位7，不可能（偶数乘2个位不可能是奇数）。 所以园 = 2 矛盾，排除。 因此园 = 7。个位：7+7+7+7 = 28，个位是8，向十位进2。 第二步：十位（确定"乐"） 十位有3个"乐"相加，加上个位进来的进位2，和的个位是8。 乐 × 3 + 2 的个位是8，即 乐 × 3 的个位是6。 只有 2 × 3 = 6，所以乐 = 2。 十位：2+2+2+2 = 8，个位是8，不向百位进位。 第三步：百位（确定"学"） 百位有2个"学"相加，加上十位进来的进位0，和的个位是8。 学 × 2 的个位是8。学 = 4（4×2=8）或 学 = 9（9×2=18）。 如果学 = 9：9+9 = 18，向千位进2。千位：数 + 2 = 1 → 数 = -1，不可能。排除。 所以学 = 4。百位：4+4 = 8，个位是8，不向千位进位。 第四步：千位（确定"数"） 千位只有"数"，加上百位进来的进位0，等于和的千位1。 数 = 1。 ✅ 验证：7 + 27 + 427 + 1427 = 1888 ✓；四个数字互不相同：数=1，学=4，乐=2，园=7 ✓ ✅ 答案：数 = 1，学 = 4，乐 = 2，园 = 7。 💡 【方法点睛】 文字竖式要牢记三大规则：①相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字；②首位不能为0；③遇到多种可能时，要用"不同数字"和"首位不为0"等条件逐一排除矛盾。推理时要把每一种可能都验证一遍，不能想当然！ 【例5】连续进位加法——首位突破 题目：在下面竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。 8 □ 7 + □ 9 □ ───────── 1 0 5 6 ▶ 分析：和是四位数1056，而两个加数都是三位数，说明百位相加后向千位进了1，且和的千位一定是1（首位分析）。从个位开始逐位推理，注意每一位都有进位。 ▶ 详解 第一步：个位（确定第二个加数的个位） 第一个加数个位是7，和的个位是6。因为7 > 6，说明个位相加进位了。 7 + □ = 16，所以 □ = 9，向十位进1。 第二步：十位（确定第一个加数的十位） 第一个加数十位是□，第二个加数十位是9，加上个位进来的进位1，和的十位是5。 □ + 9 + 1 的个位是5，即 □ + 10 的个位是5。 □ + 10 = 15（因为一定进位了），所以 □ = 5，向百位进1。 第三步：百位（确定第二个加数的百位） 第一个加数百位是8，第二个加数百位是□，加上十位进来的进位1，等于和的前两位10（向千位进1，百位留0）。 8 + □ + 1 = 10，所以 □ = 1。 第四步：千位（首位验证） 两个三位数相加得四位数，和的千位一定是1，与题目一致 ✓。 ✅ 验证：857 + 199 = 1056 ✓ ✅ 答案：第一个加数十位填5，第二个加数百位填1、个位填9。 完整竖式：857 + 199 = 1056。 💡 方法点睛 两个三位数相加得四位数，和的千位一定是1，且百位相加一定进位了。这是首位分析的重要结论。当竖式中每一位都有进位时（连续进位），要特别注意从个位开始逐位跟踪进位状态，不能漏掉任何一位的进位！ 📋 方法总结表 突破口 适用场景 操作要点 个位分析 个位已知信息较多时 看和/差的个位，判断是否进位/退位；确定个位数字后向高位推进 首位分析 位数发生变化时 两数相加位数增加→和的首位是1；被减数比减数/差多一位→被减数首位是1且退位 进位/退位传递 所有竖式通用 加法进位只能是0或1；减法退位要逐位跟踪；被借位后高位先减1 文字谜约束 汉字/字母代替数字时 相同符号同数字，不同符号不同数字，首位不为0；多可能性逐一排除 验算验证 所有题目完成后 把所有数字代回竖式，逐位重新计算，确认等式成立 📢 解题口诀 竖式谜，找突破，个位首位先琢磨； 加法进位只可能1，减法退位要追踪； 文字谜，看约束，不同数字不重复； 首位绝对不为0，多种可能要排除； 算出结果代回验，步步为营不出错！ ✏️ 习题分层训练 🟦 A组｜基础练习（巩固个位突破，简单加减竖式填空） 在□中填上适当的数字，使竖式成立（每题建议3分钟）。 第1题 4 □ 7 + 3 5 □ ─────── 8 2 1 第2题 □ 6 3 + 2 □ 5 ─────── 9 4 8 第3题 7 □ 4 - 3 8 □ ─────── 3 2 8 第4题 □ 0 5 - 2 □ 7 ─────── 4 5 8 🟧 B组｜提高练习（求数字和、文字竖式、连续退位） 第5题 下面竖式中□里的数字都被盖住了，求被盖住的四个数字之和。 □ □ + □ □ ────── 1 7 9 第6题 下面竖式中□里的数字都被盖住了，求被盖住的四个数字之和。 □ □ + □ □ ────── 1 9 4 第7题 在下面的加法竖式中，A、B各代表什么数字？（已知A - B = 1） A B + B A ────── 1 4 3 第8题 在□中填上适当的数字，使竖式成立（注意连续退位）。 □ 0 □ □ - □ 6 6 ───────── 6 0 4 5 🟥 C组｜挑战练习（复杂文字竖式、多解分析） 第9题 在下面的加法竖式中，A、B、C各代表什么数字？（已知A = 1，且A、B、C互不相同） A B C + C B A ─────── 8 8 8 第10题（★★★★★） 在下面的乘法竖式中，A、B、C、D各代表什么数字？（A、B、C、D互不相同且均不为0） A 8 B × C ─────── 7 0 D 5 第11题 在□中填上适当的数字，使竖式成立。已知两个加数的十位数字相同，个位数字也相同（即两个加数完全相同），且和的十位数字与个位数字相同。此题有多个解，请全部写出。 □ □ + □ □ ────── 1 □ □ 📝 参考答案与详细解析 🟦 A组参考答案 第1题：467 + 354 = 821 解析：个位7+□个位1→7+4=11，进1，个位1 ✓；十位□+5+1个位2→6+6=12，进1，十位2 ✓；百位4+3+1=8 ✓。 第2题：663 + 285 = 948 解析：个位3+5=8，不进位 ✓；十位6+□个位4→6+8=14，进1，十位4 ✓；百位□+2+1=9→□=6 ✓。 第3题：714 - 386 = 328 解析：个位4-□=8→不够减，借1，14-6=8 ✓；十位□被借1剩0，0-8不够，借1变10，10-8=2 ✓（被减数十位=1）；百位7被借1剩6，6-3=3 ✓。 第4题：705 - 247 = 458 解析：个位5-7不够，借1，15-7=8 ✓；十位0被借1，向百位借1变10，再被借1剩9，9-□=5→□=4 ✓；百位□被借1剩6，6-2=4→□=7 ✓。 🟧 B组参考答案 第5题：26 解析：和的个位是9，两个一位数相加个位是9说明不进位（进位则个位最大8），个位和=9；十位和=17（向百位进1，十位留7）；四个数字和=9+17=26。验证：89+90=179，8+9+9+0=26 ✓。 第6题：32 解析：和的前两位是19，十位和+个位进位=19，两个一位数最大和18，所以个位进位=1，十位和=18；个位和=14（进位1，个位4）；四个数字和=14+18=32。验证：95+99=194，9+5+9+9=32 ✓。 第7题：A = 7，B = 6 解析：个位A+B的个位是3，且和是三位数143，说明A+B=13（进位1，个位3）；十位A+B+1=13+1=14 ✓。又因为 A-B=1，联立A+B=13和A-B=1，解得A=7，B=6。 验证：76+67=143 ✓。 第8题：7011 - 966 = 6045 解析：个位□-6=5→不够减，借1，15-6=5→□=1（被减数个位=1）；十位□被借1剩0，0-6不够，借1变10，10-6=4→被减数十位=1；百位0被借1，向千位借1变10，再被借1剩9，9-□=0→□=9（减数百位=9）；千位□被借1剩6→□=7。验证：7011-966=6045 ✓。 🟥 C组参考答案 第9题：A = 1，B = 4，C = 7 解析：个位C+A的个位是8，A=1，所以C+1=8（不进位）或C+1=18（不可能），C=7；十位B+B=8→B=4（不进位）或B=9（进位，但百位A+C+1=1+7+1=9≠8，排除）；百位A+C=1+7=8 ✓。验证：147+741=888 ✓。 第10题：A = 7，B = 5，C = 9, D = 6 解析：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。 　　因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。 至此，求出被乘数是785，乘数是9。唯一解：A=7,B=5,C=9,D=6。 第11题：共有5个解——50、61、72、83、94 解析一：（枚举思路） 两个相同两位数相加，和一定是偶数。 从50开始试：50+50=100✓，61+61=122✓，72+72=144✓，83+83=166✓，94+94=188✓， 共5个解。 解析二：设两个相同的加数为10a+b，则和=2(10a+b)=20a+2b。 和是三位数1□□，且和的十位=个位（设为c），即和=100+11c。所以20a+2b=100+11c。 a=5：100+2b=100+11c→2b=11c→c=0,b=0→50+50=100 ✓ a=6：120+2b=100+11c→20+2b=11c→c=2,b=1→61+61=122 ✓ a=7：140+2b=100+11c→40+2b=11c→c=4,b=2→72+72=144 ✓ a=8：160+2b=100+11c→60+2b=11c→c=6,b=3→83+83=166 ✓ a=9：180+2b=100+11c→80+2b=11c→c=8,b=4→94+94=188 ✓ a≤4时和为两位数，不符合。所以全部解为：50、61、72、83、94。 📌 本讲小结 ◆ 竖式数字谜的本质：根据加减法运算规则，通过逻辑推理还原被隐藏的数字。 ◆ 三大突破口：①个位分析（最常用）；②首位分析（位数变化时）；③进位/退位传递分析（通用）。 ◆ 加法核心规律：两个一位数相加最大18，每一位进位只能是0或1；两数相加位数增加时，和的首位必为1。 ◆ 减法核心规律：不够减时借1当10，高位先减1再运算；被减数中间有0时，退位连续传递（0变9）。 ◆ 文字谜三大规则：相同符号同数字、不同符号不同数字、首位不为0；多种可能性要逐一排除。 ◆ 必做步骤：算出结果后一定要代回竖式逐位验算，确认等式成立。 ⚠️ 易错警示 ⚠️ 易错警示 警示1：推理时跳过进位/退位：这是最常见的错误！每算一位都要问自己"低位有没有进位/退位传过来？" 警示2：加法进位写成2：两个一位数相加最大9+9=18，进位只能是0或1，永远不可能是2。 警示3：减法忘记高位减1：某一位被借了1，计算该位时必须先减1，否则结果一定错。 警示4：被减数中间有0时处理错误：0被借1后要变成9，不是变成10（10是向高位借了之后还没被低位借的状态）。 警示5：文字谜忽略首位不为0：汉字/字母在首位时不能是0，排除矛盾时这个条件经常用到。 警示6：不验算就交卷：代回验算是发现错误的最后机会，哪怕觉得自己肯定对了，也要花30秒验算一遍！ 🧠 学习建议 🧠 学习建议 建议1：先练熟基础题：A组题目是基本功，务必做到每题都能在3分钟内正确完成，再挑战B组和C组。 建议2：养成标注习惯：在竖式旁边用小字标注每一位的进位（小1）或退位（小点），这样不容易遗漏。 建议3：多问"为什么"：不要满足于算出答案，要思考"为什么从这个数位突破？""还有没有其他突破口？"，培养灵活的思维。 建议4：错题本积累：把做错的题目抄在错题本上，标注错误原因（如"忘记进位""退位处理错"），每周复习一次。 建议5：循序渐进：本讲是"初步"，掌握后可以继续学习更复杂的乘除法竖式数字谜、多解分析、极值问题等进阶内容。 建议6：亲子互动：家长可以和孩子一起玩"出谜猜谜"游戏，一人写竖式遮数字，另一人推理，在游戏中巩固技能。 — 祝贺你完成了本讲的学习，你是最棒的！ — 学科网（北京）股份有限公司 $