奥数培优第4讲 竖式数字谜进阶（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

小学三年级上册奥数培优讲义★★★★★ 第4讲 竖式数字谜进阶 年级 三年级 课时 1课时（60分钟） 专题 竖式数字谜进阶 难度 ★★★☆☆ 核心方法 个位突破·首位分析·进退位传递 适用 奥数培优 / 思维训练 🎯 学习目标 维度 具体目标 知识与技能 掌握加减法竖式的进位、退位规律；能从个位、首位、特殊数位找到突破口；学会分析进位/退位的传递关系；掌握文字竖式（汉字/字母代表数字）的求解方法。 过程与方法 经历"观察竖式特征→选择突破口→逐位推理→验算"完整解题流程；综合运用个位分析、首位分析、进退位分析三种手段。 思维品质 锻炼逆向推理、逻辑分析能力；养成有序思考、不遗漏进退位的习惯；做完主动代回验算，减少推理失误。 情感与应用 感受竖式数字谜的解谜乐趣；体会数学推理的严谨性，提升逻辑思维能力。 📖 课前导入 同学们，我们之前学习过横式数字谜——把藏在横式里的数字一个个找出来。今天，我们要挑战更有趣的「竖式数字谜」：竖式里一部分数字被方框、汉字或字母遮住了，需要根据加减法的运算规则，把遮住的数字推理出来。 解竖式数字谜就像当侦探，关键是找到「突破口」，然后顺藤摸瓜，把所有数字都揪出来！ 请看这个竖式，你能找出被遮住的数字吗？ 5 □ 7 + □ 3 □ ———————————————————————————————— 9 2 4 （答案将在典例精讲中揭晓） 📚 知识导航 一、核心概念 🔹 竖式数字谜：在加减法竖式中，部分数字用 □、○、汉字或字母代替，要求根据运算规则还原出完整竖式。 二、三大解题突破口 突破口一：个位分析 从个位开始看——个位只有两个数字相加/相减，信息最直接。 · 加法：看和的个位，判断两个加数个位之和是否进位； · 减法：看差的个位，判断是否需要退位。 突破口二：首位分析 看竖式的最高位（首位），判断是否进位/退位。 · 加法：两个n位数相加，如果和是n位数，首位就是两个首位数字之和；如果和是n+1位数，首位一定是1（说明最高位相加后进位了）； · 减法：被减数首位如果比减数首位大，差的首位直接可得；如果被减数是n位数、减数和差都是n-1位数，说明被减数首位一定是1且发生了退位。 突破口三：进位/退位传递分析 加法中每一位最多进1（两个一位数相加最大9+9=18，进1）；减法中每一位最多退1（借1当10）。进位和退位会从低位向高位传递，要逐位跟踪。 ▲ 图1：加法进位传递示意图 ▲ 图2：减法退位传递示意图（中间有0的连续退位） 三、重要规律 规律名称 具体内容 加法进位规律 两个一位数相加，和最大为18，所以每一位向高位的进位只能是 0 或 1。 减法退位规律 某一位不够减时，向高位借1当10，高位数字减1。 首位判断① 两个两位数相加得三位数，和的百位一定是 1。 首位判断② 三位数减两位数得两位数，被减数的百位一定是 1 且发生了退位。 🔔 易错辨析 ❌ 错误1：只看当前位，忘记低位进来的进位或退位。 ✅ 正确：每一位计算时，都要先确认低位是否有进位/退位传递过来。 ❌ 错误2：加法中认为进位可能是2。 ✅ 正确：两个一位数相加最大9+9=18，进位只能是0或1。 ❌ 错误3：减法中忘记被借位后高位数字要减1。 ✅ 正确：某一位被低位借了1，计算时要先减1再运算。 ❌ 错误4：算出结果不验算。 ✅ 正确：把所有数字代回竖式，逐位重新计算一遍，确认等式成立。 ✏️ 典例精讲 【例1】加法竖式——个位突破法 题目：在下面竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。 5 □ 7 + □ 3 □ ———————————————————————————————— 9 2 4 ▶ 分析：从个位开始，个位信息最完整（已知一个加数个位7和和的个位4），先确定另一个加数的个位和是否进位，再依次推十位、百位。 ▶ 详解 第一步：个位 7 + □ 的个位是4。因为 7 > 4，说明个位相加一定进位了。 7 + □ = 11，所以 □ = 7，向十位进1。 第二步：十位 □ + 3 + 1（个位进位）的个位是2。 □ + 4 的个位是2，说明 □ + 4 = 12，所以 □ = 8，向百位进1。 第三步：百位 5 + □ + 1（十位进位）= 9 □ + 6 = 9，所以 □ = 3。 ✅ 验证：587 + 337 = 924 ✓ 完整竖式： 5 8 7 + 3 3 7 ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ 9 2 4 💡 【方法点睛】 个位是最常见的突破口——已知信息最多，先确定个位数字和是否进位，再从低到高逐位推理。 【例2】求数字和——两种突破口对比 题目：下面两个竖式中，□里的数字都被盖住了。分别求每个竖式中被盖住的四个数字之和。 (1) □ □ + □ □ ————————————————————————— 1 3 9 (2) □ □ + □ □ —————————————————————————— 1 9 6 ▶ 分析：两题题型相同，但突破口不同。第(1)题从和的个位入手；第(2)题从和的最高两位入手。 ▶ 详解 第(1)题：从个位突破 和的个位是9。两个一位数相加最大9+9=18，个位是9说明个位相加没有进位（如果进位，个位最大是8）。 所以两个加数的个位数字之和 = 9。 个位没有进位，十位数字之和直接等于和的前两位13。 所以两个加数的十位数字之和 = 13。 四个数字之和 = 9 + 13 = 22。 第(2)题：从首位突破 和的最高两位是19。两个一位数相加最大9+9=18，而和的十位是9、百位是1，说明十位相加后向百位进了1，且十位数字之和加上个位进位 = 19。 因为十位两个数字最大和为18，所以 18 + 个位进位 = 19，个位进位 = 1。 个位相加进位1，且和的个位是6，所以两个加数的个位数字之和 = 16。 十位数字之和 + 个位进位1 = 19，所以十位数字之和 = 18。 四个数字之和 = 16 + 18 = 34。 ✅ 答案：(1) 22；(2) 34。 💡 【方法点睛】 同样是求数字和，突破口可能不同：和的个位是9（不进位）→从个位入手；和的前两位是19（必进位）→从首位入手。要学会观察数字特征选择突破口。 【例3】减法竖式——连续退位分析 题目：在下面竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。 □ 0 □ 4 - 2 □ 5 □ —————————————————————————————————— 3 6 8 7 ▶ 分析：减法竖式从个位开始，注意退位的传递。个位已知被减数个位4和差的个位7，4 < 7，一定退位，先确定减数的个位。被减数中间有0，退位会连续传递。 ▶ 详解 第一步：个位 被减数个位是4，差的个位是7。4 < 7，说明必须向十位借1。 14 - □ = 7，所以 □ = 7。（减数个位是7） 第二步：十位 被减数十位是□，被个位借了1，再减去减数十位5，等于差的十位8。 被借位后 □ - 1 可能不够减5，需要继续向百位借位。 借位后：10 + □ - 1 - 5 = 8，即 □ + 4 = 8，所以 □ = 4。（被减数十位是4） 验证：4被借1剩3，3-5不够，向百位借1变13，13-5=8 ✓ 第三步：百位 被减数百位是0，被十位借了1，0不够借，必须向千位借1变成10，再被十位借1剩9。 9 - □（减数百位）= 6，所以 □ = 3。（减数百位是3） 第四步：千位 被减数千位是□，被百位借了1，再减去减数千位2，等于差的千位3。 □ - 1 - 2 = 3，所以 □ = 6。（被减数千位是6） ✅ 验证：6044 - 2357 = 3687 ✓ 完整竖式： 6 0 4 4 - 2 3 5 7 ———————————————————————————————————— 3 6 8 7 💡 【方法点睛】 减法竖式要特别注意退位的传递：某一位被低位借了1，计算时要先减1；如果不够减，要继续向高位借1。被减数中间有0时，退位会连续传递。 【例4】文字竖式——"数学好玩" 题目：在下面的加法竖式中，"数""学""好""玩"分别代表不同的数字，它们各等于多少？ 玩 好 玩 学 好 玩 + 数 学 好 玩 ——————————————————————————— 2 0 0 8 ▶ 分析：从个位开始，四个"玩"相加，和的个位是8。先确定"玩"的值，再依次向高位推理。注意相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字、首位不能为0。 ▶ 详解 第一步：个位（玩） 4个"玩"相加，和的个位是8。 玩 × 4 的个位是8，所以"玩" = 2 或 7。 如果"玩" = 2：个位相加 2+2+2+2 = 8，不进位。十位：3个"好"相加，个位是0，"好" = 0。百位：2个"学"相加，个位是0，"学" = 0或5，与"好"=0重复（若学=0）或继续推。千位：数+进位=2。经检验"玩"=2时会出现数字重复或首位为0的矛盾。 所以"玩" = 7。 个位：7+7+7+7 = 28，个位是8，向十位进2。 第二步：十位（好） 3个"好"相加 + 个位进位2，和的个位是0。 好 × 3 + 2 的个位是0，即 好 × 3 的个位是8。 只有 6 × 3 = 18，所以"好" = 6。 十位：6+6+6+2 = 20，个位是0，向百位进2。 第三步：百位（学） 2个"学"相加 + 十位进位2，和的个位是0。 学 × 2 + 2 的个位是0，即 学 × 2 的个位是8。 "学" = 4 或 9。 如果"学" = 9：9+9+2 = 20，向千位进2。千位：数 + 2 = 2，数 = 0，但"数"是四位数的首位不能为0，矛盾。 所以"学" = 4。 百位：4+4+2 = 10，个位是0，向千位进1。 第四步：千位（数） 数 + 百位进位1 = 2，所以"数" = 1。 ✅ 验证：7 + 67 + 467 + 1467 = 2008 ✓ 四个数字互不相同：数=1，学=4，好=6，玩=7 ✓ ✅ 答案：数 = 1，学 = 4，好 = 6，玩 = 7。 💡 【方法点睛】 文字竖式要注意：①相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字；②首位不能为0；③遇到多种可能时，要用"不同数字"和"首位不为0"等条件排除矛盾。 【例5】连续进位加法——首位突破 题目：在下面竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立。 □ 6 □ + 5 □ 8 ———————————————————————————————— 1 0 4 5 ▶ 分析：和是四位数1045，而两个加数都是三位数，说明百位相加后向千位进了1。可以从个位或百位突破，这里从个位开始逐位推理。 ▶ 详解 第一步：个位 □ + 8 的个位是5。8 > 5，说明个位相加进位了。 □ + 8 = 15，所以 □ = 7，向十位进1。 第二步：十位 6 + □ + 1（个位进位）的个位是4。 □ + 7 的个位是4，说明 □ + 7 = 14，所以 □ = 7，向百位进1。 第三步：百位 □ + 5 + 1（十位进位）= 10（和的前两位是10，向千位进1）。 □ + 6 = 10，所以 □ = 4。 ✅ 验证：467 + 578 = 1045 ✓ 完整竖式： 4 6 7 + 5 7 8 ———————————————————————————————— 1 0 4 5 💡 【方法点睛】 两个三位数相加得四位数，和的千位一定是1，且百位相加一定进位了。这是首位分析的重要结论。 📋 方法总结 题型 突破口 核心技巧 基础加法填空 个位 从个位开始，先判断是否进位，逐位向高位推理 基础减法填空 个位 从个位开始，先判断是否退位，注意退位连续传递 求数字和 个位或首位 和的个位是9→不进位，从个位入手；和的前两位是19→必进位，从首位入手 文字竖式（汉字/字母） 个位+约束条件 相同汉字同数字、不同汉字不同数字、首位不为0，用排除法确定 连续进位/退位 首位 两个n位数相加得n+1位数，首位必为1且最高位进位；n位数减n-1位数得n-1位数，被减数首位必为1且退位 📢 解题口诀 🎵 竖式谜，找突破，个位首位先琢磨； 加法进位只可能1，减法退位要追踪； 文字谜，看约束，不同数字不重复； 算出结果代回验，步步为营不出错！ 📝 习题分层训练 🟦 A组｜基础练习（巩固个位突破，简单加减竖式填空） A1. 在□中填上适当的数字，使竖式成立： 4 □ 5 + □ 2 □ ———————————————————————————————— 7 8 1 A2. 在□中填上适当的数字，使竖式成立： □ 7 □ + 2 □ 4 ———————————————————————————————— 6 0 3 A3. 在□中填上适当的数字，使竖式成立： 7 □ 3 - □ 4 □ ———————————————————————————————— 3 8 6 A4. 在□中填上适当的数字，使竖式成立： □ 5 □ - 2 □ 8 ———————————————————————————————— 4 7 5 🟧 B组｜提高练习（求数字和、字母竖式、连续退位） B1. 下面竖式中□里的数字都被盖住了，求被盖住的四个数字之和： □ □ + □ □ ———————————————————————————— 1 8 9 B2. 下面竖式中□里的数字都被盖住了，求被盖住的四个数字之和： □ □ + □ □ ———————————————————————————— 1 9 4 B3. 在下面的加法竖式中，A、B代表不同的非零数字，求 A × B 的最大值： A B + B A ———————————————————————————— 1 5 4 B4. 在□中填上适当的数字，使竖式成立（注意连续退位）： □ 0 0 □ - 3 □ 4 □ ———————————————————————————————— 4 8 5 6 🟥 C组｜挑战练习（复杂字母竖式、多解分析） C1. 在下面的加法竖式中，A、B、C代表不同的非零数字，且 A - C = 5，求A、B、C： A B C + C B A ———————————————————————————————— 1 0 0 9 C2. 在下面的减法竖式中，A、B代表不同的数字，且 A + B = 9，求A、B： A B - B A ——————————————————————————————— 2 7 C3. 在下面的加法竖式中，A、B代表不同的非零数字，有多少种不同的填法？请分别写出： A B + B A ———————————————————————————————— 8 8 ✅ 参考答案与详细解析 A组 A1. 完整竖式： 4 5 5 + 3 2 6 ———————————————————————————————— 7 8 1 解析：个位5+6=11，进1，个位1 ✓；十位5+2+1=8 ✓；百位4+3=7 ✓。 A2. 完整竖式： 3 7 9 + 2 2 4 ———————————————————————————————— 6 0 3 解析：个位9+4=13，进1，个位3 ✓；十位7+2+1=10，进1，十位0 ✓；百位3+2+1=6 ✓。 A3. 完整竖式： 7 3 3 - 3 4 7 ———————————————————————————————— 3 8 6 解析：个位3-7不够，借1，13-7=6 ✓；十位3被借1剩2，2-4不够，借1变12，12-4=8 ✓；百位7被借1剩6，6-3=3 ✓。 A4. 完整竖式： 7 5 3 - 2 7 8 ———————————————————————————————— 4 7 5 解析：个位3-8不够，借1，13-8=5 ✓；十位5被借1剩4，4-7不够，借1变14，14-7=7 ✓；百位7被借1剩6，6-2=4 ✓。 B组 B1. 答案：27 解析：和的个位是9，两个一位数相加个位是9且最大为18，说明个位相加不进位（若进位则个位最大为8）。个位数字之和 = 9。个位不进位，十位数字之和 = 18（向百位进1，十位留8）。四个数字之和 = 9 + 18 = 27。验证示例：99 + 90 = 189，四个数字9+9+9+0=27 ✓。 B2. 答案：32 解析：和的前两位是19，两个一位数相加最大18，说明十位相加必向百位进1，且十位数字之和 + 个位进位 = 19。因为十位最大和为18，所以18 + 个位进位 = 19，个位进位 = 1。个位相加进位1且和的个位是4，个位数字之和 = 14。十位数字之和 + 1 = 19，十位数字之和 = 18。四个数字之和 = 14 + 18 = 32。验证示例：95 + 99 = 194，四个数字9+5+9+9=32 ✓。 B3. 答案：A × B 的最大值为 48 解析：个位 A + B 的个位是4，十位 A + B + 个位进位 = 15。如果个位不进位：A+B=4，十位A+B=4≠15，矛盾。所以个位进位1：A + B = 14（个位4，进位1）。十位：A + B + 1 = 14 + 1 = 15 ✓。A + B = 14，且A、B不同。可能组合：(5,9),(6,8),(8,6),(9,5)。乘积分别为45、48、48、45。最大值为48（A=6,B=8 或 A=8,B=6）。验证：68+86=154 ✓。 B4. 完整竖式： 8 0 0 3 - 3 1 4 7 ———————————————————————————————— 4 8 5 6 解析：个位3-7不够，借1，13-7=6 ✓；十位0被借1，向百位借1变10，再被借1剩9，9-4=5 ✓；百位0被十位借1，向千位借1变10，再被借1剩9，9-1=8 ✓；千位8被借1剩7，7-3=4 ✓。 C组 C1. 答案：A = 7，B = 5，C = 2 解析：已知 A - C = 5，即 A = C + 5。个位：C + A = C + C + 5 = 2C + 5，和的个位是9。2C+5的个位是9，2C的个位是4，C=2或7。若C=7，则A=12（不是一位数），矛盾。所以C=2，A=7。个位：2+7=9，不进位。十位：B+B=2B，和的十位是0，2B个位0，B=0或5。B=0时十位不进位，百位A+C=7+2=9≠10，矛盾。B=5时2B=10，十位0进1 ✓。百位：A+C+1=7+2+1=10 ✓。验证：752+257=1009 ✓，三个数字互不相同且非零 ✓。 C2. 答案：A = 6，B = 3 解析：两位数减两位数等于两位数，A > B。个位：B - A 不够减（B<A），向十位借1，10+B-A=7，即 A-B=3。十位：A被借1剩A-1，A-1-B=2，即 A-B=3，一致。又 A+B=9，联立 A-B=3 和 A+B=9，解得 A=6，B=3。验证：63-36=27 ✓，A+B=9 ✓。 C3. 答案：共有 6 种不同填法 解析：个位 A+B 的个位是8。如果个位进位：A+B=18，只有A=B=9，但A、B不同，矛盾。所以个位不进位：A+B=8。十位：A+B=8，和的十位是8 ✓（不进位，和是两位数）。A+B=8，且A、B是不同的非零数字。可能组合：(1,7),(2,6),(3,5),(5,3),(6,2),(7,1)。共6种。验证：17+71=88，26+62=88，35+53=88，53+35=88，62+26=88，71+17=88 ✓。 📌 本讲小结 ✦ 加减法竖式数字谜的核心是找突破口，三大突破口：个位分析、首位分析、进位/退位传递分析。 ✦ 加法进位规律：两个一位数相加最大18，每一位进位只能是0或1。 ✦ 减法退位规律：不够减就借1当10，被借位的高位数字要减1；中间有0时退位会连续传递。 ✦ 文字竖式三大约束：相同汉字同数字、不同汉字不同数字、首位不能为0。 ✦ 解完一定要代回原式验算，确保每一位都成立。 ⚠️ 易错警示 ⚠️ 计算每一位时，一定要先确认低位是否有进位/退位传递过来，这是最高频错误点。 ⚠️ 加法进位只能是0或1，不要误以为可能进2。 ⚠️ 减法中被借位后，高位数字要先减1再计算；连续退位时要逐位跟踪。 ⚠️ 文字竖式中，遇到多种可能时，要用"不同数字""首位不为0"等条件排除，不要急于下结论。 ⚠️ 算出结果后必须代回竖式逐位验算，避免推理过程中遗漏进位/退位。 ✅ 学习建议 🧠 做题第一步：先观察整个竖式，看看个位、首位有没有明显的突破口，不要盲目从某一位开始猜。 🧠 推理时要有序：从突破口开始，一位一位向高位推进，每一步都写清楚进位/退位情况。 🧠 遇到多种可能时，把所有可能列出来，逐一用约束条件排除。 🧠 养成验算习惯：把解出的数字填回竖式，重新算一遍，确认和或差完全匹配。 🧠 多练习不同类型的题目，积累突破口选择的经验，熟能生巧。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 竖式数字谜是逻辑推理的体操，找对突破口，步步为营，答案自然浮现！ 学科网（北京）股份有限公司 $