专题17 二元一次方程与一次函数（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦二元一次方程与一次函数的核心关联，系统梳理方程与函数的转化方法，明确方程解与图像点的对应关系，建立方程组解与图像交点的联系，形成从代数表达至几何直观的完整知识支架。 资料通过典例变式结合、分层训练设计，以图像法解方程组培养几何直观（数学眼光），通过方程与函数转化训练推理能力（数学思维），融入行程、利润等实际问题提升模型意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱点。

专题17 二元一次方程与一次函数 1. 理解二元一次方程和一次函数之间的对应关系； 2. 明白二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标一一对应； 3. 掌握二元一次方程组的解与两个一次函数图像交点坐标的关系； 4. 会利用图像法解二元一次方程组； 5. 会根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交。 一、二元一次方程与一次函数的转化 二元一次方程：ax+by=c 变形为一次函数形式：y= 结论： 1. 任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数； 2. 以二元一次方程的**每一组解作为坐标(m,n)，这个点一定在对应的一次函数直线上； 3. 一次函数直线上任意一点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 二元一次方程有无数组解，对应直线上无数个点。 二、二元一次方程组与两个一次函数图像 方程组 把两个方程分别变形为两个一次函数： y=k1x+b1，y=k2x+b2 1. 两条直线相交 ①交点坐标就是方程组的解 ②图像法解方程组：画两条直线，读出交点坐标，就是方程组的解。 2. 两条直线平行： 无交点 二元一次方程组无解 3. 两条直线重合： 无数个公共点二元一次方程组有无数组解 三、图像法解方程组步骤 1. 把方程组中两个二元一次方程，分别化成 y=kx+b 形式； 2. 在同一个平面直角坐标系画出两条一次函数图像； 3. 读出两条直线交点坐标； 4. 交点坐标写成大括号形式，就是方程组的解。 注意：图像法得到的解一般是近似解；计算题优先用代入、加减消元法求精确解。 四、结合图像比较函数值大小 已知 y=k1x+b1，y=k2x+b2，交点横坐标 1. x>x0时，看哪条直线在上方，则对应函数值更大； 2. x<x0时，看哪条直线在上方，则对应函数值更大； 3. x=x0时，y1=y2就是方程组的解。 五、高频易错点 1. 二元一次方程变形函数时，移项注意符号； 2. 方程组无解等价于两直线平行，k 相等，b 不等； 3. 图像法只能得到近似解，大题不能只画图，要代数计算； 4. 直线上点的坐标就是方程的解 题型01 二元一次方程转化成一次函数 【典例】以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程与一次函数的关系求解即可． 【详解】由得：3y=－2x+5，∴，故以方程的解为坐标的点组成的图象． 故选D． 【变式】如果直线与交点坐标是，则是下面哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标． 【详解】解：直线与交点坐标为， 解为的方程组是， 故选：D． 题型02 判断点是否为方程的解、是否在对应直线上 【典例】下列各点中，在直线y=-2x上的点是（    ） A．（2，2） B．（－1，2） C．（2，－2） D．（－1，－1） 【答案】B 【分析】分别将各点横坐标代入求解． 【详解】解：把x=2代入y=-2x得y=-4， ∴直线经过点（2，-4），选项A，C错误． 把x=-1代入y=-2x得y=2， ∴直线经过点（-1，2）， ∴选项B正确，选项D错误， 故选：B． 【变式】如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，能表示这个一次函数图象的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知点P的坐标为（1,2），则一次函数图像过（0,3.5）（1,2），代入中，解得， 所以一次函数解析式为，整理得3x+2y－7＝0．故选D 题型03 图像法解二元一次方程组 【典例】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴，即：， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是； 故选A． 【变式】函数y=2x+1与y=－x+6的图象的交点坐标是（    ） A．(－1,－1) B．(2,5) C．(1,6) D．(－2,5) 【答案】B 【分析】联立两函数解析式，解方程组即可. 【详解】联立两个函数解析式可得：， 解得：， 所以交点坐标为. 故选：. 题型04 根据直线位置，判断方程组解的情况 【典例】在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【变式】若函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 先求得两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：函数与的图象交于点， ， ， 关于，的二元一次方程组的解是， 故选：D． 题型05 已知方程组解，直接写出函数图像交点坐标 【典例】已知直线y=﹣x+4与y=x+2的图象如图，则方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线的交点坐标． 解：根据题意知， 二元一次方程组的解就是直线y=﹣x+4与y=x+2的交点坐标， 又∵交点坐标为（1，3）， ∴原方程组的解是：． 故选B． 【变式】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组． 解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）； 分别求出图中两条直线的解析式为y=2x﹣1，y=﹣x+2， 因此所解的二元一次方程组是． 故选D． 题型06 图像比较函数值大小 【典例】如图所示，可以得出不等式组的解集是（ ） A．x＜4 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜4 D．﹣1＜x＜4 【答案】D 【详解】试题分析：根据图象找出两直线在x轴上方部分的x的取值范围． 解：由图可知，不等式组的解集是﹣1＜x＜4． 故选D． 【变式】已知两直线， （1）在同一坐标系中作出它们的图象； （2）求它们的交点A的坐标； （3）根据图象指出为何值时， ？ 为何值时， ？ 【答案】（1）图形见解析；（2）（3，3）；（3）当时，y1＞y2 ；当时，y1＜y2；【详解】试题分析： （2）,解得,所以交点是（3，3）. （3）由图象知，当时，y1＞y2 ；当时，y1＜y2. 【巩固训练】 1．若点在函数的图象上，则b的值是（   ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数的应用．将代入函数解析式中求解，即可解题． 【详解】解：点在函数的图象上， ， 解得， 故选：D． 2．若一次函数的图象与y轴的交点在直线上，则b的值为______. 【答案】 【分析】先求出函数y的图象与y轴的交点坐标，再把这个坐标代入可得出b的值． 【详解】解：在一次函数中，令，则， 所以一次函数的图象与y轴的交点是. 把，代入中， 得，解得. 故答案为 3．已知直线：和直线： （1）当__________时，与相交于一点； （2）当__________时，∥，此时方程组的解的情况是________； （3）当__________时，与重合，此时方程组的解的情况是________. 【答案】 且 无解 且 无数解 【详解】(1）当时，与相交于一点； （2）当且 时，∥，此时方程组的解的情况是无解； （3）当且   时，与重合，此时方程组的解的情况是无数解. 4．一次函数的图象过点A（5，3）且平行于直线，则这个函数的解析式为________. 【答案】 【详解】设函数解析式y=3x+b,过（5,3），所以3=15+b ,所以 b=-12.所以. 5．以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数________的图象相同. 【答案】y=5－2x 【详解】试题分析：根据二元一次方程的解的定义及一次函数图象上的点的坐标的特征即可得到结果. 以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－2x的图象相同. 考点：本题考查的是二元一次方程与一次函数 点评：解答本题的关键是熟记二元一次方程的解有无数个，它们对应的点的坐标均在这个二元一次方程所对应的一次函数的图象上. 6．已知一次函数的图象过点M（3，2 ），N（－1，－6 ）两点，求一次函数的表达式. 【答案】 【详解】试题分析: 设一次函数的解析式为y＝kx＋b，将点的坐标代入求出k和b的值，即可求出函数解析式. 试题解析: 设一次函数表达式为， 依题意得： 解得： 答：一次函数表达式为 7．如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车者沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米，请根据图象解决下列问题： ⑴是 车行驶过程的函数图象，是 车行驶过程的函数图象． ⑵哪一个人出发早？早多长时间？哪一个人早到达目的地？早多长时间？ ⑶求出两个人在途中行驶的速度是多少？ ⑷分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围. 【答案】（1）自行，摩托 （2）小王早出发，早3小时，小李早到目的地，早3小时（3）小王：10 km/h，小李40 km/h（4）自行车：（）摩托车：（） 【详解】试题分析: （1）根据图象可知是小王行驶过程的函数图象，是小李行驶过程的函数图象， （2）根据图象可知小王出发早，小李早到达目的地，早8−5小时， （3）根据图象分别求出小王和小李在途中行驶的时间，再根据速度公式计算即可． 试题解析: （1）自行，摩托 （2）小王早出发，早3小时，小李早到目的地，早3小时 （3）小王：10 km/h，小李40 km/h （4）自行车：（） 摩托车：（） 8．已知一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）试判断点是否在这个一次函数的图象上. 【答案】（1）；（2）点不在这个一次函数的图象上． 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式； （2）将x=-1代入一次函数表达式中求出y值，由该y值不等于1，即可得出点P不在这个一次函数的图象上． 【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为 由题意得 解得 ∴这个一次函数的表达式为 （2）当时， ∴点不在这个一次函数的图象上． 9．某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获得的利润分别为，（单位：元），，与销售数量x（单位：件）的函数关系如图所示，试根据图象解决下列问题： （1）分别求出，关于x的函数关系式； （2）现厂家分配该商品800件给甲商场，400件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品后，厂家可获得的总利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）1080元. 【分析】（1）设y甲=k1x（k1≠0），把x=600，y甲=480代入即可；当0≤x≤200时，设y乙=k2x（k2≠0），把x=200，y乙=400代入即可；当x＞200时，设y乙=k3x+b（k3≠0），把x=200，y乙=400和x=600，y乙=480代入即可； （2）当x=800时求出y甲，当x=400时求出y乙，即可求出答案． 【详解】解：（1）设.因为当时，， ∴，解得， ∴. 当时，设.因为当时，， ∴，解得， ∴. 当时，设. 因为当时，；当时，， ∴，解得， 所以. 综上，. （2）设厂家可获得的总利润为， ∵当x=800时，=0.8×800=640； 当x=400时，=0.2×400+360=440， 则（元）. 答：厂家可获得总利润是1080元． 10．鞋子的“鞋码”和鞋长有一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值. 鞋长x（cm） 16 19 21 24 27 30 鞋码y（号） 22 28 32 38 44 50 （1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求y与x之间的函数表达式； （3）如果某运动员穿42号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少厘米？ 【答案】（1）y与x之间是一次函数关系；（2）；（3）该运动员所穿的鞋长是26cm. 【分析】（1）可利用函数图象判断这些点在一条直线上，即在一次函数的图象上； （2）可设y=kx+b，把两个点的坐标代入，利用方程组即可求解； （3）令（2）中求出的解析式中的y等于42，求出x即可． 【详解】解：（1）如图所示，这些点近似在一条直线上，因此，可判定y与x之间是一次函数关系. （2）设y与x之间的函数表达式是.把，与，代入，得 ，解得，所以y与x之间的函数表达式是. （3）当时，，解得.即该运动员所穿的鞋长是26cm. 【强化训练】 1．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示． （1）正方体的棱长为　 　cm； （2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值． 【答案】（1）10；（2）y=x+（12≤x≤28）；（3）4 s. 【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长； （2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x的取值范围； （3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出t的值． 【详解】（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变， 所以正方体的棱长为10cm； 故答案为10cm； （2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b， ∵图象过A（12，0），B（28，20）， ∴， 解得：， ∴线段AB对应的解析式为：（12≤x≤28）； （3）∵28﹣12=16（cm）， ∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒， ∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒， ∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满． 2．某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现已知李明带了60千克的行李费，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式． （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 【答案】（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为；y=x-5；（2）旅客最多可免费携带30千克的行李． 【分析】（1）首先设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y=kx+b． 根据李明带了60千克的行李费，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元，代入联立成方程组，解得k、b的值． （2）根据（1）中的函数表达式，要想让旅客免费携带行李，即满足y≤0，求得x的最大值． 【详解】（1）设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y=kx+b 由题意得，解得k=，b=-5 ∴该一次函数关系式为y=x-5 （2）∵x-5≤0， 解得：x≤30 ∴旅客最多可免费携带30千克的行李． 3．当前，西安市疫情防控形势严峻复杂，为有效阻断疫情传播途径，迅速控制病毒传播，切实保障人民群众生命安全和身体健康，全市已经启动了全员核酸检测工作，某社区搭建了临时核酸检测点，如图所示的函数图象中，y（人）表示被检测的人数，x（分钟）表示所需要的时间． (1)当x≥30时，求y与x之间的函数关系式； (2)若该社区当日共有3150人需要做核酸检测，问不间断地做完共需要多长时间？ 【答案】(1)y＝9x－90 (2)6小时 【分析】（1）由图可得到y与x之间的关系是一次函数关系，可以利用待定系数法求解； （2）将y＝3150代入一次函数关系式，求得x＝360，再用360÷60即可． 【详解】（1）设x≥30时，y与x之间的函数关系式为． ∵图象过点，， ∴，解得； ∴y与x之间的函数关系式为：y＝9x－90． （2）当y＝3150时，9x－90＝3150， 解得x＝360 360÷60＝6（小时）， 答：不间断地做完共需要360分钟，即6小时． 4．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与一次函数交于点，求的长． 【答案】 【分析】联立两函数解析式，解方程组即可得到交点P的坐标，利用勾股定理即可求解． 【详解】联立， 解得：， ∴交点P的坐标为(，)， ∴． 5．问题：探究函数的图象及其性质． 小华根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究；下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在的中，自变量可以是任意实数；下表是与的几组对应值： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -1 0 1 2 3 2 1 0 m … 则= ；若为该函数图象上不同的两点，则= ． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； (3)根据函数图象可得该函数的最大值为 ，函数的图象与直线围成的图形面积是 ． 【答案】(1)－1；－12 (2)图象见解析 (3)3，4 【分析】（1）分别将x=4、y=－9代入中，即可求出m、n值； （2）根据表格数据画出该函数图象即可； （3）根据函数的图象可求得最大值，再在同一直角坐标系中画出直线，然后求出两函数图象的交点，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将x=4代入中，得：m=3－4=－1， 将y=－9代入中，得：x=12或x=－12， ∵为该函数图象上不同的两点， ∴n=－12， 故答案为：－1；－12； （2）解：该函数的图象如图所示； （3）解：由（2）中图象知，该函数的最大值为3； 在同一平面直角坐标系中画出直线，如下图， 当x＜0时，由得x=－4，则y=－1， 当x＞0时，由得x=1，则y=2， ∴两函数图象的交点为（－4，－1）和（1，2）， 当x=0时，，则直线与y轴的交点坐标为（0，）， ∴函数的图象与直线围成的图形面积是=4， 故答案为：3；4． 6．有一组数同时适合方程和吗？直线与之间有什么关系？ 【答案】没有，直线和平行 【分析】x＋y的值不可能同时为2和5，所以没有一组数同时适合方程x＋y＝2和x＋y＝5；由（1）得一次函数y＝2−x与y＝5−x的图象平行． 【详解】解：（1）没有一组数同时适合方程x＋y＝2和x＋y＝5； （2）一次函数y＝2−x与y＝5−x的图象平行， ． 7．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是. （1）判断的形状，并求其面积； （2）过点O作，交AB于点D，求点D的坐标.（提示；，，若，则） 【答案】（1）是等腰直角三角形，.（2）点D坐标为 【分析】（1）求出线段AO和OB的长度，即可判定△AOB的形状，运用三角形面积公式求解即可． （2）求出直线OD的解析式为yx，和y=x+4组成一个方程组解出点D的坐标． 【详解】（1）直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C（﹣2，0）， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∴AO=4，BO=4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴S△AOB=AO×OB÷2=4×4÷2=8． （2）设经过点B，C的直线为， 代入（0，4），（﹣2，0），得：， 解得：， 所以． ∵OD⊥BC， ∴直线OD的解析式为yx． 解得：， 所以点D的坐标为：（，）． 8．已知直线和直线. （1）当____时，与相交于一点，若交点坐标为，则方程组的解是___； （2）当_____时，，此时方程组的解的情况是______； （3）当______时，与重合，此时方程组的解的情况是______. 【答案】（1），；（2）且，无解；（3）且，有无数个解 【分析】（1）一次函数的k值决定直线的方向，当两直线的k值不相等时，直线相交于一点，交点坐标对应于两个直线的解析式组成的方程组的解； （2）当两直线的k值相等时，两直线平行或重合，如果b值不相等，则两直线的位置关系是平行．此时两直线没有交点，对应的方程组也无解； （3）当两直线的k值和b值都相等时，两直线重合，此时两直线有无数个交点，对应的方程组的解也有无数个． 【详解】解：（1）当时，与不平行，会相交，交点坐标对应的值就是两个一次函数解析式组成的方程组的解． 故方程组的解为； （2）当且时，，两直线没有交点，故此时两个一次函数解析式组成的方程组无解； （3）当且时，两个解析式对应的直线与重合，则两直线有无数个交点，故此时方程组的解有无数个． 9．如图，直线与直线交于点A，点A的横坐标为，且直线与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线与y轴交于点C． （1）求点A的坐标及直线的函数表达式； （2）连接，求的面积. 【答案】(1) ;(2)1. 【分析】（1）将x=-1代入得出纵坐标，从而得到点A的坐标；再用待定系数法求得直线的函数表达式； （2）连接，先根据解析式求得B,C，D的坐标，得出BO,CD的长，然后利用割补法求的面积，. 【详解】解：（1）因为点A在直线上，且横坐标为，所以点A的纵坐标为，所以点A的坐标为. 因为直线过点A，所以将代入，得，解得，所以直线的函数表达式为. （2）如图，连接BC， 由直线，的函数表达式，易得点B的坐标为，点D的坐标为，点C的坐标为，所以. 所以. 10．如图，已知直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，且直线与相交于点P，. （1）求b的值和点P的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）点P的坐标为；（2）6. 【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD=2可求得D点坐标，代入直线CD：y=x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标． （2）把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而． 【详解】解：（l）在中， 令，则， 令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∴. ∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得： 解得 ∴点P的坐标为. （2）由（1）知，点P的坐标为， 所以. 3 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 二元一次方程与一次函数 1. 理解二元一次方程和一次函数之间的对应关系； 2. 明白二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标一一对应； 3. 掌握二元一次方程组的解与两个一次函数图像交点坐标的关系； 4. 会利用图像法解二元一次方程组； 5. 会根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交。 一、二元一次方程与一次函数的转化 二元一次方程：ax+by=c 变形为一次函数形式：y= 结论： 1. 任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数； 2. 以二元一次方程的**每一组解作为坐标(m,n)，这个点一定在对应的一次函数直线上； 3. 一次函数直线上任意一点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 二元一次方程有无数组解，对应直线上无数个点。 二、二元一次方程组与两个一次函数图像 方程组 把两个方程分别变形为两个一次函数： y=k1x+b1，y=k2x+b2 1. 两条直线相交 ①交点坐标就是方程组的解 ②图像法解方程组：画两条直线，读出交点坐标，就是方程组的解。 2. 两条直线平行： 无交点 二元一次方程组无解 3. 两条直线重合： 无数个公共点二元一次方程组有无数组解 三、图像法解方程组步骤 1. 把方程组中两个二元一次方程，分别化成 y=kx+b 形式； 2. 在同一个平面直角坐标系画出两条一次函数图像； 3. 读出两条直线交点坐标； 4. 交点坐标写成大括号形式，就是方程组的解。 注意：图像法得到的解一般是近似解；计算题优先用代入、加减消元法求精确解。 四、结合图像比较函数值大小 已知 y=k1x+b1，y=k2x+b2，交点横坐标 1. x>x0时，看哪条直线在上方，则对应函数值更大； 2. x<x0时，看哪条直线在上方，则对应函数值更大； 3. x=x0时，y1=y2就是方程组的解。 五、高频易错点 1. 二元一次方程变形函数时，移项注意符号； 2. 方程组无解等价于两直线平行，k 相等，b 不等； 3. 图像法只能得到近似解，大题不能只画图，要代数计算； 4. 直线上点的坐标就是方程的解 题型01 二元一次方程转化成一次函数 【典例】以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 【变式】如果直线与交点坐标是，则是下面哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 题型02 判断点是否为方程的解、是否在对应直线上 【典例】下列各点中，在直线y=-2x上的点是（    ） A．（2，2） B．（－1，2） C．（2，－2） D．（－1，－1） 【变式】如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，能表示这个一次函数图象的方程是( ) A． B． C． D． 题型03 图像法解二元一次方程组 【典例】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式】函数y=2x+1与y=－x+6的图象的交点坐标是（    ） A．(－1,－1) B．(2,5) C．(1,6) D．(－2,5) 题型04 根据直线位置，判断方程组解的情况 【典例】在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式】若函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型05 已知方程组解，直接写出函数图像交点坐标 【典例】已知直线y=﹣x+4与y=x+2的图象如图，则方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【变式】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ） A． B． C． D． 题型06 图像比较函数值大小 【典例】如图所示，可以得出不等式组的解集是（ ） A．x＜4 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜4 D．﹣1＜x＜4 【变式】已知两直线， （1）在同一坐标系中作出它们的图象； （2）求它们的交点A的坐标； （3）根据图象指出为何值时， ？ 为何值时， ？ 【巩固训练】 1．若点在函数的图象上，则b的值是（   ） A． B．0 C．3 D．4 2．若一次函数的图象与y轴的交点在直线上，则b的值为______. 3．已知直线：和直线： （1）当__________时，与相交于一点； （2）当__________时，∥，此时方程组的解的情况是________； （3）当__________时，与重合，此时方程组的解的情况是________. 4．一次函数的图象过点A（5，3）且平行于直线，则这个函数的解析式为________. 5．以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数________的图象相同. 6．已知一次函数的图象过点M（3，2 ），N（－1，－6 ）两点，求一次函数的表达式. 7．如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车者沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米，请根据图象解决下列问题： ⑴是 车行驶过程的函数图象，是 车行驶过程的函数图象． ⑵哪一个人出发早？早多长时间？哪一个人早到达目的地？早多长时间？ ⑶求出两个人在途中行驶的速度是多少？ ⑷分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围. 8．已知一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）试判断点是否在这个一次函数的图象上. 9．某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获得的利润分别为，（单位：元），，与销售数量x（单位：件）的函数关系如图所示，试根据图象解决下列问题： （1）分别求出，关于x的函数关系式； （2）现厂家分配该商品800件给甲商场，400件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品后，厂家可获得的总利润是多少元？ 10．鞋子的“鞋码”和鞋长有一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值. 鞋长x（cm） 16 19 21 24 27 30 鞋码y（号） 22 28 32 38 44 50 （1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求y与x之间的函数表达式； （3）如果某运动员穿42号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少厘米？ 【强化训练】 1．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示． （1）正方体的棱长为　 　cm； （2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值． 2．某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现已知李明带了60千克的行李费，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式． （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 3．当前，西安市疫情防控形势严峻复杂，为有效阻断疫情传播途径，迅速控制病毒传播，切实保障人民群众生命安全和身体健康，全市已经启动了全员核酸检测工作，某社区搭建了临时核酸检测点，如图所示的函数图象中，y（人）表示被检测的人数，x（分钟）表示所需要的时间． (1)当x≥30时，求y与x之间的函数关系式； (2)若该社区当日共有3150人需要做核酸检测，问不间断地做完共需要多长时间？ 4．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与一次函数交于点，求的长． 5．问题：探究函数的图象及其性质． 小华根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究；下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在的中，自变量可以是任意实数；下表是与的几组对应值： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -1 0 1 2 3 2 1 0 m … 则= ；若为该函数图象上不同的两点，则= ． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； (3)根据函数图象可得该函数的最大值为 ，函数的图象与直线围成的图形面积是 ． 6．有一组数同时适合方程和吗？直线与之间有什么关系？ 7．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是. （1）判断的形状，并求其面积； （2）过点O作，交AB于点D，求点D的坐标.（提示；，，若，则） 8．已知直线和直线. （1）当____时，与相交于一点，若交点坐标为，则方程组的解是___； （2）当_____时，，此时方程组的解的情况是______； （3）当______时，与重合，此时方程组的解的情况是______. 9．如图，直线与直线交于点A，点A的横坐标为，且直线与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线与y轴交于点C． （1）求点A的坐标及直线的函数表达式； （2）连接，求的面积. 10．如图，已知直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，且直线与相交于点P，. （1）求b的值和点P的坐标； （2）求的面积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $