专题21 认识证明（定义、命题、公理、定理）（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

专题21 认识证明（定义、命题、公理、定理） 1.理解为什么需要证明，直观观察、猜想不能代替推理证明； 2.掌握定义、命题、真命题、假命题概念，能拆分命题的条件与结论； 3.分清命题、公理、定理三者的联系与区别； 4.会用举反例的方法说明一个命题是假命题； 5.了解几何证明的基本格式，推理每一步要有依据。 一、定义 对一个名词或者术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。 举例： ①有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。（直角三角形的定义） ②两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 特点：定义可以作为推理的依据。 二、命题 判断一件事情的语句，叫作命题。 ✅命题一定是陈述句，要有判断（对或者错）。 ❌疑问句、感叹句、画图指令，都不是命题。 命题标准结构：如果……（条件/题设），那么……（结论） - 如果后面：已知条件 - 那么后面：推出的结果 1. 真命题：条件成立，结论一定成立。 2. 假命题：条件成立，结论不一定成立。 证明一个命题是假命题：只举出1个反例即可。 反例：满足命题的条件，但是不满足命题的结论。 三、公理（基本事实） 公认正确，不需要推理证明，直接拿来作为推理的依据，叫公理。 举例：两点确定一条直线；两点之间，线段最短。 四、定理 经过演绎推理证明是正确的真命题，叫做定理。 定理可以用来证明其他新命题。 举例：勾股定理；两直线平行，同位角相等。 关系梳理 1. 公理、定理都属于真命题； 2. 公理：不用证明；定理：必须经过证明； 3. 定义、公理、定理，全部都可以做证明的依据。 五、证明 从已知条件出发，依据定义、公理、已经学过的定理，一步步推理，得到结论的完整过程，叫做证明。 几何证明标准三部分： 已知、求证、证明 重要提醒：眼睛看到的图形不能当证据，每一步都要写依据。 高频易错点 1. 没有做出判断的句子，不是命题； 2. 假命题也是命题，只是判断错误； 3. 举反例只需要1个例子，不需要大量举例； 4. 公理不用证明，定理一定要证明，不要记混。 题型01 判断是否为命题 【典例】下列语句中，属于命题的是（ ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：A、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； B、是问句，未做判断，故本选项不符合； C、符合命题的概念，故本选项符合； D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 故选：C． 【变式】下列语句是命题的是（     ） A．画两条相等的线段 B．你认真做作业了吗？ C．延长线段到，使 D．两条直线相交有且只有一个交点 【答案】D 【分析】本题考查命题定义，熟记命题定义是解决问题的关键．能够判断真假的陈述句称为命题，由此逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、画两条相等的线段，祈使句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； B、你认真做作业了吗？疑问句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； C、延长线段到，使，祈使句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； D、两条直线相交有且只有一个交点,是命题，符合题意； 故选：D． 题型02 改写命题，找出条件和结论 【典例】把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 【变式】把命题“三条直线两两相交，只有一个交点”写成“如果……，那么……”的形式为___________其条件是_____________，结论是____________，该命题是____________（填“真”或“假”）命题． 【答案】 如果有三条直线两两相交，那么只有一个交点 三条直线两两相交 只有一个交点 假 【分析】本题考查了真假命题的判断，命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：如果有三条直线两两相交，那么只有一个交点，其条件是三条直线两两相交，结论是只有一个交点，该命题是假， 故答案为：如果有三条直线两两相交，那么只有一个交点；三条直线两两相交；只有一个交点；假 题型03 判断真假命题，举反例 【典例】下列命题是真命题的是（    ） A．三角形的外角大于内角 B．两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．三角形中最多只有一个角不是锐角 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】根据三角形外角性质，三角形全等的判定，三角形内角和定理，解答即可． 本题考查了命题，三角形外角性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，本选项的命题是假命题，不符合题意； B. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项的命题是假命题，不符合题意； C. 三角形中最多只有一个角不是锐角，本选项的命题是真命题，符合题意； D. 面积相等的两个三角形不一定全等，本选项的命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 题型04 区分定义、公理、定理 【典例】下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据定理的含义可知只有④是定理. 【详解】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理. 故选A. 【变式】 下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据定理的含义可知只有④是定理. 【详解】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理. 故选A. 题型05 简单证明综合大题 【典例】命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等 (2)，平分交于， (3)真 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）结合图形，根据已知，结论，具体化写出来即可． （3）根据全等三角形的性质和判定证明即可得此命题是真命题． 本题考查了命题的结构：任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，以及判断命题的真假，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分清命题的题设和结论部分． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． （2）解：已知：如图，， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：，平分交于，． （3）解：此命题是真命题，理由如下： ∵， ，，， 平分，平分， ，， ， 又，， ， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 【变式】如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． (1)写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） (2)请选择一个真命题加以证明． 【答案】(1)， (2) 解：选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是选择合适的判定方法证明． （1）根据全等三角形的判定方法选择条件和结论即可； （2）根据选择的条件结合全等三角形的判定方法分别证明即可． 【详解】（1）解：，； （2）略 【巩固训练】 1．下列语句中，真命题的个数是（   ） 画直线垂直于直线； 若，则； 两直线平行，同旁内角相等； 直线，相交于点； 等角的余角相等； 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点， A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟记命题的概念、绝对值、实数的平方、平行线的性质、三角形的角平分线的定义是解决问题的关键．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据命题的概念、绝对值、实数的平方、平行线的性质、三角形的角平分线的定义判断即可得到答案． 【详解】解：画直线垂直于直线，不是命题； 若，则是真命题； 两直线平行，同旁内角互补，故本小题命题是假命题； 直线，相交于点，不是命题； 等角的余角相等，是真命题； 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点，是真命题； 则真命题的个数是个， 故选：B． 2．下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查命题真假的判断，解题的关键是熟知平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义．根据平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两个互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故B不符合题意； C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，原命题是假命题，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 3．能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，举反例；根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断． 【详解】解：A、6，是有理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 4．将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是(   ) A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 【答案】C 【分析】根据命题“互余的两个锐角之和为直角”，可以得到题设是有两个锐角互余，结论是这两个角的和为直角，由此可得结论． 【详解】解：将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式， 正确的是如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角． 故选：C． 5．下列命题中，是假命题的是（   ） A．周长相等的两个圆是全等图形 B．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等图形和全等三角形的判定，角平分线的性质，由全等图形的定义可判断A；由全等三角形的判定定理可判断B、D；由角平分线的性质可判断C． 【详解】解：A、周长相等的两个圆是全等图形，原命题是真命题，不符合题意； B、有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，原命题是真命题，不符合题意； C、角平分线上的点到角两边的距离相等，原命题是真命题，不符合题意； D、有一个角和两条边对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 6．能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角性质即可判断． 【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意； 、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 故选：． 7．观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2) 由题意，第个等式为：； 证明：∵左边， 右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 故答案为：． 【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究． （1）根据题干给定的等式，作答即可； （2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可． 【详解】（1）解：由题意，第五个等式为：； 故答案为：； （2）略 8．5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是__________． 【答案】9 【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可． 【详解】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12， 所以有x﹣12+x=2×3， 解得x=9， 故答案为：9． 9．根据题意可知，下列判断中所依据的命题或定理是________．如图，若∠1=∠4，则AB∥CD；若∠2=∠3，则AD∥BC． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据题意利用平行线的判定方法进而得出答案． 【详解】解：∵∠1=∠4，则AB∥CD，∠2=∠3，则AD∥BC， ∴判断所依据的定理是：内错角相等，两直线平行． 故答案为内错角相等，两直线平行． 10．下列命题：①若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是；②若m是无理数，则m是无限小数；③；④的立方根是2．其中是真命题的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】分别根据一次函数的性质，无理数的定义，二次根式的计算，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：①若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是，是真命题，符合题意； ②若m是无理数，则m是无限小数，是真命题，符合题意； ③，原命题计算错误，是假命题，不符合题意； ④的立方根是2，是真命题，符合题意． 其中是真命题的是①②④， 故答案为：①②④． 【强化训练】 1．把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 2．把命题“三条直线两两相交，只有一个交点”写成“如果……，那么……”的形式为___________其条件是_____________，结论是____________，该命题是____________（填“真”或“假”）命题． 【答案】 如果有三条直线两两相交，那么只有一个交点 三条直线两两相交 只有一个交点 假 【分析】本题考查了真假命题的判断，命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：如果有三条直线两两相交，那么只有一个交点，其条件是三条直线两两相交，结论是只有一个交点，该命题是假， 故答案为：如果有三条直线两两相交，那么只有一个交点；三条直线两两相交；只有一个交点；假 3．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 【答案】 都不对.理由如下： 当点C在AB之间时，如图1所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB-BC=6-2=4，即t=4． 当点C在AB外时，如图2所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB+BC=6+2=8，即t=8． 综上所述，t=4或t=8． 故他们的说法都不对. 【分析】根据点C在线段AB上与在线段AB外两种情况进行讨论． 【详解】解：略． 4．（1）图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上?请你先观察，再用直尺验证一下． （2）图中两条线段a与b的长度相等吗？ 【答案】（1）线段b与线段d在同一直线上；（2）两条线段一样长． 【分析】（1）先根据图形观察作出猜想，再利用直尺验证，得出真实答案； （2）先根据图形观察作出猜想，再利用圆规（或有刻度的尺子）验证，得出真实答案． 【详解】解：（1）猜想：线段a与线段d在同一直线上, 验证：线段b与线段d在同一直线上； （2）猜想：两条线段不一样长， 验证：两条线段一样长． 5．已知：如图直线a，b，c中，．求证：． (1)补全下列证明过程： 证明：作直线l截直线a，b，c，得到同位角． ∵ ∴ (2)请写出由上述证明得到的定理：_________． 【答案】(1) 证明：作直线l截直线a，b，c，得到同位角． ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． (2)平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，则，由此即可证明； （2）根据平行公理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由上述证明得到的定理：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 6．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 7．求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 【答案】；．证明见解析 【分析】本题主要考查命题的证明，根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明． 【详解】解：根据直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则． 根据这条直角边所对的角等于30度，则． 延长至D，使得，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵，且． ∴垂直平分 ∴， ∴， 则是等边三角形． ∴． ∴． 故答案为：，，（证明见上）． 8．将下面命题的证明过程补充完整． 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 已知：如图，直线． 求证：___________． 证明：因为（已知）， 所以（___________）， 所以___________（等量代换）， 所以（___________）． 【答案】；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是命题与定理、平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据垂直的定义、等量代换、平行线的判定定理解答． 【详解】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 已知：如图，直线． 求证：． 证明：因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行． 9．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知： 如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴ = （ ）． 同理可得，PB= ． ∴ = （等量代换）． ∴ （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ） ∴AB、BC、AC的垂直平分线 ． 【答案】PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P． 【详解】试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论． 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴PB="PA" （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． ∴PA=PC（等量代换）． ∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P． 故答案为PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P． 点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出点P是AC边垂直平线上的一点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键． 10．已知：如图，是等腰三角形，是顶角，点D在上，，垂足分别是E，F，且．求证：D是的中点． 证明：是等腰三角形（已知）， _____（_________）． （已知）， （____________） 又（已知）， ， （____________） ∴是的中点（线段的中点的定义）． 【答案】C；等腰三角形的两个底角相等；垂直的定义；全等三角形的对应边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据已有的题干过程，且结合等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等内容进行补充，即可作答． 【详解】证明：是等腰三角形（已知）， （等腰三角形的两个底角相等）． （已知）， （垂直的定义） 又（已知）， ， （全等三角形的对应边相等） ∴是的中点（线段的中点的定义）． 故答案为：C；等腰三角形的两个底角相等；垂直的定义；全等三角形的对应边相等． 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 认识证明（定义、命题、公理、定理） 1.理解为什么需要证明，直观观察、猜想不能代替推理证明； 2.掌握定义、命题、真命题、假命题概念，能拆分命题的条件与结论； 3.分清命题、公理、定理三者的联系与区别； 4.会用举反例的方法说明一个命题是假命题； 5.了解几何证明的基本格式，推理每一步要有依据。 一、定义 对一个名词或者术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。 举例： ①有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。（直角三角形的定义） ②两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 特点：定义可以作为推理的依据。 二、命题 判断一件事情的语句，叫作命题。 ✅命题一定是陈述句，要有判断（对或者错）。 ❌疑问句、感叹句、画图指令，都不是命题。 命题标准结构：如果……（条件/题设），那么……（结论） - 如果后面：已知条件 - 那么后面：推出的结果 1. 真命题：条件成立，结论一定成立。 2. 假命题：条件成立，结论不一定成立。 证明一个命题是假命题：只举出1个反例即可。 反例：满足命题的条件，但是不满足命题的结论。 三、公理（基本事实） 公认正确，不需要推理证明，直接拿来作为推理的依据，叫公理。 举例：两点确定一条直线；两点之间，线段最短。 四、定理 经过演绎推理证明是正确的真命题，叫做定理。 定理可以用来证明其他新命题。 举例：勾股定理；两直线平行，同位角相等。 关系梳理 1. 公理、定理都属于真命题； 2. 公理：不用证明；定理：必须经过证明； 3. 定义、公理、定理，全部都可以做证明的依据。 五、证明 从已知条件出发，依据定义、公理、已经学过的定理，一步步推理，得到结论的完整过程，叫做证明。 几何证明标准三部分： 已知、求证、证明 重要提醒：眼睛看到的图形不能当证据，每一步都要写依据。 高频易错点 1. 没有做出判断的句子，不是命题； 2. 假命题也是命题，只是判断错误； 3. 举反例只需要1个例子，不需要大量举例； 4. 公理不用证明，定理一定要证明，不要记混。 题型01 判断是否为命题 【典例】下列语句中，属于命题的是（ ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【变式】下列语句是命题的是（     ） A．画两条相等的线段 B．你认真做作业了吗？ C．延长线段到，使 D．两条直线相交有且只有一个交点 题型02 改写命题，找出条件和结论 【典例】把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 【变式】把命题“三条直线两两相交，只有一个交点”写成“如果……，那么……”的形式为___________其条件是_____________，结论是____________，该命题是____________（填“真”或“假”）命题． 题型03 判断真假命题，举反例 【典例】下列命题是真命题的是（    ） A．三角形的外角大于内角 B．两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．三角形中最多只有一个角不是锐角 D．面积相等的两个三角形全等 【变式】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 题型04 区分定义、公理、定理 【典例】下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】 下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05 简单证明综合大题 【典例】命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【变式】如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． (1)写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） (2)请选择一个真命题加以证明． 【巩固训练】 1．下列语句中，真命题的个数是（   ） 画直线垂直于直线； 若，则； 两直线平行，同旁内角相等； 直线，相交于点； 等角的余角相等； 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点， A． B． C． D． 2．下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 4．将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是(   ) A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 5．下列命题中，是假命题的是（   ） A．周长相等的两个圆是全等图形 B．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 6．能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 7．观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 8．5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是__________． 9．根据题意可知，下列判断中所依据的命题或定理是________．如图，若∠1=∠4，则AB∥CD；若∠2=∠3，则AD∥BC． 10．下列命题：①若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是；②若m是无理数，则m是无限小数；③；④的立方根是2．其中是真命题的是_______（填序号）． 【强化训练】 1．把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 2．把命题“三条直线两两相交，只有一个交点”写成“如果……，那么……”的形式为___________其条件是_____________，结论是____________，该命题是____________（填“真”或“假”）命题． 3．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 4．（1）图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上?请你先观察，再用直尺验证一下． （2）图中两条线段a与b的长度相等吗？ 5．已知：如图直线a，b，c中，．求证：． (1)补全下列证明过程： 证明：作直线l截直线a，b，c，得到同位角． ∵ ∴ (2)请写出由上述证明得到的定理：_________． 6．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 7．求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 8．将下面命题的证明过程补充完整． 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 已知：如图，直线． 求证：___________． 证明：因为（已知）， 所以（___________）， 所以___________（等量代换）， 所以（___________）． 9．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知： 如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴ = （ ）． 同理可得，PB= ． ∴ = （等量代换）． ∴ （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ） ∴AB、BC、AC的垂直平分线 ． 10．已知：如图，是等腰三角形，是顶角，点D在上，，垂足分别是E，F，且．求证：D是的中点． 证明：是等腰三角形（已知）， _____（_________）． （已知）， （____________） 又（已知）， ， （____________） ∴是的中点（线段的中点的定义）． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $