专题14 认识二元一次方组（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦二元一次方程组的认识，系统梳理二元一次方程的定义（含二元、一次、整式三条件），二元一次方程组的概念，方程与方程组解的区别（方程无数解、方程组一般唯一解），检验解的方法及实际问题列方程（组）的步骤，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过“常见陷阱”和“高频易错点”帮助学生精准理解概念，培养数学思维中的推理意识，设计判断、求参数、实际应用等分层题型，渗透模型意识，典例与变式结合，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题14 认识二元一次方程组 1. 掌握二元一次方程的定义，能准确判断是否为二元一次方程； 2. 掌握二元一次方程组的概念，理解“二元、一次、整式方程”三大条件； 3. 理解二元一次方程的解、二元一次方程组的解的区别； 4. 会检验一组未知数的值是否为方程（组）的解； 5. 能根据实际问题列出简单二元一次方程（组） 一、二元一次方程定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 必须同时满足三个条件： 1. 二元：一共只有两个未知数（通常为 x、y） 2. 一次：含未知数的项次数都是1（不含 x^2、y^2、xy、\dfrac{1}{x}） 3. 整式：分母不含未知数、根号不含未知数 标准形式： ax+by=c 二、不属于二元一次方程的常见陷阱 1. xy=6（次数2，不是一次） 2. x²+y=5（含二次项） 3. +y=2（分式方程，不是整式） 4. x=5（只有一个未知数，是一元一次方程） 三、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的解。 核心结论： 一个二元一次方程有无数组解,只要满足等式，都是它的解。 写法固定： 四、二元一次方程组定义 由两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 要求： 1. 整个方程组一共两个未知数 2. 每个方程都是一次整式方程 五、二元一次方程组的解 同时满足两个方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 核心区别（必考）： 1. 二元一次方程：无数组解 2. 二元一次方程组：一般只有唯一一组解 六、检验解的方法 把 x、y 值分别代入两个方程 1. 两个等式都成立 → 是方程组的解 2. 只要有一个不成立 → 不是解 七、高频易错点 1. “一次”指未知数项次数为1，不是方程只有一步； 2. x、y 系数不能为0； 3. 方程组的解必须同时满足两个方程； 4. 二元一次方程解无穷多，方程组解通常唯一。 题型01 判断是否为二元一次方程 【典例】下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据定义求字母参数（月考必考） 【典例】若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（    ） A． B． C． D． 【变式】已知是关于x、y的二元一次方程，则（    ） A． B． C．或 D． 题型03 检验一组值是否为方程/方程组的解 【典例】下面4组数值中，哪些是二元一次方程的解？ （1）    （2）    （3）    （4） 【变式】已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 题型04 已知解，代入求参数 【典例】已知是关于x、y的二元一次方程，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式】已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 题型05 根据生活情境列二元一次方程 【典例】今年“五一”，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组_________． 【巩固训练】 1．下列不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．把二元一次方程写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．方程是关于x、y的二元一次方程，则（　　） A．； B．， C．， D．， 4．若是关于x，y的二元一次方程，则k为(　　) A． B．1 C．或1 D．0 5．已知，用含的式子表示下列正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（　　） A． B． C． D． 7．方程2x﹣＝0，3x+y＝0，2x+xy＝1，5x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在方程组、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．1个                          B．2个                                    C．3个                                      D．4个 9．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 10．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【强化训练】 1．把一张面值20元的纸币换成1元和5元的两种纸币，则共有________种换法. 2．两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.平均每节火车皮和每辆汽车各装货物多少吨？若设平均每节火车皮装货物x吨，平均每辆汽车装货物y吨，根据题意列方程组为_______. 3．某运算程序如图所示，则能使输出结果为3的x，y的值分别是_________.（写出一组值即可） 4．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k的值． 5．已知是关于，的二元一次方程组的解，求的值． 6．若为含x，y的二元一次方程，试求： (1)m和n的值； (2)求代数式的立方根． 7．已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程． (1)k为何值时，方程为一元一次方程？ (2)k为何值时，方程为二元一次方程？ 8．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算a2015+（﹣b）2016． 9．我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求y的值； (2)若是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b． 10．根据题意列方程组： 小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元．小明买了两种邮票各多少枚？ 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 认识二元一次方程组 1. 掌握二元一次方程的定义，能准确判断是否为二元一次方程； 2. 掌握二元一次方程组的概念，理解“二元、一次、整式方程”三大条件； 3. 理解二元一次方程的解、二元一次方程组的解的区别； 4. 会检验一组未知数的值是否为方程（组）的解； 5. 能根据实际问题列出简单二元一次方程（组） 一、二元一次方程定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 必须同时满足三个条件： 1. 二元：一共只有两个未知数（通常为 x、y） 2. 一次：含未知数的项次数都是1（不含 x^2、y^2、xy、\dfrac{1}{x}） 3. 整式：分母不含未知数、根号不含未知数 标准形式： ax+by=c 二、不属于二元一次方程的常见陷阱 1. xy=6（次数2，不是一次） 2. x²+y=5（含二次项） 3. +y=2（分式方程，不是整式） 4. x=5（只有一个未知数，是一元一次方程） 三、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的解。 核心结论： 一个二元一次方程有无数组解,只要满足等式，都是它的解。 写法固定： 四、二元一次方程组定义 由两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 要求： 1. 整个方程组一共两个未知数 2. 每个方程都是一次整式方程 五、二元一次方程组的解 同时满足两个方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 核心区别（必考）： 1. 二元一次方程：无数组解 2. 二元一次方程组：一般只有唯一一组解 六、检验解的方法 把 x、y 值分别代入两个方程 1. 两个等式都成立 → 是方程组的解 2. 只要有一个不成立 → 不是解 七、高频易错点 1. “一次”指未知数项次数为1，不是方程只有一步； 2. x、y 系数不能为0； 3. 方程组的解必须同时满足两个方程； 4. 二元一次方程解无穷多，方程组解通常唯一。 题型01 判断是否为二元一次方程 【典例】下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟记“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”是解题关键． 【详解】解：A、不是二元一次方程，不符合题意； B、中，所含未知数的项的次数最高为2，不是二元一次方程，不符合题意； C、，是二元一次方程，符合题意； D、中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是二元二次方程，故本选项不符合题意； C、分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 题型02 根据定义求字母参数（月考必考） 【典例】若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】∵是关于x、y的二元一次方程， ∴|k|=1，k-1≠0， 解得：k=-1． 故选：A． 【变式】已知是关于x、y的二元一次方程，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得a，b的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，得 且a-1≠0， 解得a=-1，b= ∴ 故选B． 题型03 检验一组值是否为方程/方程组的解 【典例】下面4组数值中，哪些是二元一次方程的解？ （1）    （2）    （3）    （4） 【答案】（2）；（4） 【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：（1）、把代入方程得：左边=4+6=2，右边=10， ∵左边≠右边，∴不是方程的解； （2）、把代入方程得：左边=6+4=10，右边=10， ∵左边=右边，∴是方程的解； （3）、把代入方程得：左边=8+3=11，右边=10， ∵左边≠右边，∴不是方程的解； （4）、把代入方程得：左边=12-2=10，右边=10， ∵左边=右边，∴是方程的解； 综合上述，（2）、（4）是二元一次方程的解． 【变式】已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】把代入方程，得， 解得. 故选C. 题型04 已知解，代入求参数 【典例】已知是关于x、y的二元一次方程，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得a，b的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，得 且a-1≠0， 解得a=-1，b= ∴ 故选B． 【变式】已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】把代入方程，得， 解得. 故选C. 题型05 根据生活情境列二元一次方程 【典例】今年“五一”，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组_________． 【答案】 【详解】试题分析：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组： ．故答案为． 【变式】青岛市某中学八（2）班40名同学为残疾儿童捐款，共捐了100元，团支书统计了捐款情况如下表： 捐款钱数/元 1 2 3 4 捐款人数/人 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清，林静说列方程组可以算出人数.设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，依题意，可列方程组________________. 【答案】 【分析】两个定量：捐2元和3元的总人数，捐2元和3元的总钱数．此题的等量关系为：①共有40名同学；②共捐款100元． 【详解】解：根据40名同学，得方程， 根据共捐款100元，得方程， 即. 【巩固训练】 1．下列不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，未知数的最高次数是一次的等式，解答即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，未知数的最高次数是一次的等式， ∴A、B、C正确， 根据二元一次方程组的定义可知，D选项是分式方程， 故选：D． 2．把二元一次方程写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意“用的代数式表示”，所以首先把二元一次方程中的移至等号右边，然后把的系数化为，即可得出正确选项． 【详解】解：， 移项得：， 把系数化为1得：， 故选：A． 3．方程是关于x、y的二元一次方程，则（　　） A．； B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，进行解答即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，，，， 解得：，，故D正确． 故选：D． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则k为(　　) A． B．1 C．或1 D．0 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为0，求出k的值． 【详解】解：由题意知：， 解得． 故选：A． 5．已知，用含的式子表示下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把x看做已知数求y即可； 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案选A． 6．如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义可得到关于m、n的方程，可求得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得， 故选：C． 7．方程2x﹣＝0，3x+y＝0，2x+xy＝1，5x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：2x﹣=0是分式方程，不是二元一次方程； 3x+y=0是二元一次方程； 2x+xy=1是二元二次方程； 5x+y-2x=0是二元一次方程； x2-x+1=0是一元二次方程． 所以二元一次方程有②④，共2个． 故选：B． 8．在方程组、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．1个                          B．2个                                    C．3个                                      D．4个 【答案】B 【分析】紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”,细心观察排除,得出正确答案. 【详解】含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 中第一个方程的分母含未知数，故不是二元一次方程组； 、是二元一次方程组. 故选B. 9．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组．利用代入法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：将代入中，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为， 故选：D． 10．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】把代入方程，得， 解得. 故选C. 【强化训练】 1．把一张面值20元的纸币换成1元和5元的两种纸币，则共有________种换法. 【答案】3 【分析】设1元和5元的纸币各x张、y张，根据题意列出方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】设1元和5元的纸币各x张、y张， 根据题意得：x+5y=20， 整理得：x=20-5y， 当y=1，x=15；y=2，x=10；y=3，x=5， 则共有3种换法， 故答案为3. 2．两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.平均每节火车皮和每辆汽车各装货物多少吨？若设平均每节火车皮装货物x吨，平均每辆汽车装货物y吨，根据题意列方程组为_______. 【答案】 【分析】设平均每节火车皮装货物x吨，平均每辆汽车装货物y吨，根据“用5节火车皮和12辆汽车正好装360吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装500吨”列出方程组即可. 【详解】根据题意可得等量关系：5节火车皮装的货物+12辆汽车装的货物=360，7节火车皮装的货物+16辆汽车装的货物=500.题中给出平均每节火车皮装货物x吨，平均每辆汽车装货物y吨，因此所列方程组为. 故答案为. 3．某运算程序如图所示，则能使输出结果为3的x，y的值分别是_________.（写出一组值即可） 【答案】2，1（答案不唯一） 【分析】根据运算程序列出方程，取方程的一组正整数解即可． 【详解】由题中运算程序，得， 当，时，满足. 故答案为2，1（答案不唯一） 4．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，根据的解x，y的值相等，求出x、y的值，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解x，y的值相等， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：． 5．已知是关于，的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】把代入到已知的方程组就可得到关于，的方程组，求出，的值，进而求出结果． 【详解】是方程组的解， ， ， ． 6．若为含x，y的二元一次方程，试求： (1)m和n的值； (2)求代数式的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二元一次方程的定义，即可求得，的值； （2）把，的值代入代数式即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 即，； （2）代数式的立方根为：． 7．已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程． (1)k为何值时，方程为一元一次方程？ (2)k为何值时，方程为二元一次方程？ 【答案】(1)k=-2或k=6； (2)k≠-2且k≠6时 【分析】（1）根据一元次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程可得或 ，解方程组得； （2）根据方程是二元一次方程方程的定义含有两个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程可得，解不等式组即可． 【小题1】解：∵方程是一元一次方程， ∴或 ∴解得k=-2或k=6． ∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程． 【小题2】解：∵方程是二元一次方程， ∴ ∴解得k≠-2且k≠6． ∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程． 8．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算a2015+（﹣b）2016． 【答案】0 【详解】试题分析：（1）根据题意把 代入②得-3×4+b=-2，可求得b=10，把 代入①得5a+5×4=15，可求得a=1，然后把a、b的值代入所给的代数式中，利用乘方的意义进行计算； （2）把a=1，b=10代入方程得到得 ，先化简②得到2x-5y=-1③，再利用①+③得到x，然后利用代入法可求出y． 解：甲看错了①式中x的系数a，解得方程组的解为，但满足②式的解，所以﹣12+b=﹣2，解得b=10; 同理乙看错了②式中y的系数b，得到方程组的解为，满足①式的解，所以5a+20=15，解得a=﹣1. 把a=﹣1，b=10代入a2015+（﹣b）2016=-1+1=0. 故a2015+（﹣b）2016的值为0. 点睛：本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把得到的解代入到没看错的方程即可求出正确的a、b的值，然后代入到代数式中求值. 9．我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求y的值； (2)若是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，涉及新定义，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义列出方程，即可得到答案； （2）根据定义列出方程，即可得到答案； 【详解】（1）解：是“相伴数对”， 解得； （2）解：是“相伴数对”， 解得：． 10．根据题意列方程组： 小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元．小明买了两种邮票各多少枚？ 【答案】 【分析】设小明买了面值50分的邮票x枚和面值80分的邮票y枚，然后根据小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元列出方程即可． 【详解】解：设小明买了面值50分的邮票x枚和面值80分的邮票y枚， 由题意得：． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $