第四单元 小用字母表示（一）-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+八大考点讲练+难度分层练 共44题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“用字母表示”单元知识体系，知识梳理部分将7个知识点（用字母表示数、数量关系等）按逻辑分层，结合表格归纳数量关系模型、运算定律及公式，清晰呈现重难点及内在联系，培养学生抽象能力与符号意识。 讲义亮点在于“考点讲练+分层真题”设计，8个高频考点均配典例与变式训练，如用字母表示摆三角形小棒规律（数与形）、年龄问题数量关系，培养推理意识与模型意识。真题分基础通关与能力提升，适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第四单元 用字母表示（一）『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练展+真题难度分层演练 共44题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一 用字母表示数 2 知识点二 用字母表示数量关系 3 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 4 知识点五 利用等式的性质求未知数 4 知识点六 含有字母式子的化简与求值 5 知识点七 数与形（归纳递推） 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 6 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 8 高频考点三 用字母表示数量关系（2个未知数） 10 高频考点四 用字母表示规律 12 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 14 高频考点六 等式的认识及列等量关系式 16 高频考点七 等式的性质1 18 高频考点八 等式的性质2 20 优选真题 实战演练 22 【基础通关】 22 【能力提升】 26 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）是大于0的自然数，选项（    ）的结果一定是偶数。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数－奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数。 【规范解答】A．2是偶数，当是奇数时，是偶数；当是偶数时，是偶数；所以一定是偶数； B．是偶数，1是奇数，奇数＋偶数＝奇数，所以一定是奇数； C．1是奇数，当是奇数时，是偶数；当是偶数时，是奇数；所以不一定是偶数； D．2是偶数，当是奇数时，是奇数；当是偶数时，是偶数；所以不一定是偶数。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 【答案】 足球的个数 篮球的个数 4x 2x－10 【思路引导】已知排球有x个，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。根据已知信息逐项分析。 【规范解答】排球的个数比足球多10个，也就是足球比排球少10个，所以x－10就代表足球的数量。 篮球的个数是排球的3倍，排球总数是x，那么3乘x也就是3x，代表的就是篮球的数量。 排球是x个，篮球是3x个，两者相加x＋3x＝4x，就是篮球和排球的总个数。 排球是x个，足球是x－10个，两者相加x＋（x－10）＝x＋x－10＝2x－10，就是排球和足球的总个数。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，丽丽在月历上框出了三组数，下面四个选项分别是用不同的方式表示的每组4个数之间的关系，其中最合理的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】同一行里，右边的数比相邻左边的数大1；同一列里，下面的数比正上方的数大7；据此逐一分析。 【规范解答】A．只举了第一组数字的特例，没法代表所有框出的4个数的普遍规律，不合理； B．用4个不同字母表示数，完全没体现出月历里四个数的大小关系，没有总结规律； C．字母B和字母A没有体现出“下一行的数比上一行同列数大7”的特点，关系不明确； D．用a代表左上角的数，那么右上角相邻的数就是a＋1；左下角是a正下方的数，比a大7也就是a＋7；右下角的数比左下角大1，也就是a＋8，这个规律对图里所有三组框出的4个数都成立，是最合理的关系。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方米。 【答案】 2a＋2b ab b 【思路引导】根据长方形周长计算公式：2×（长＋宽），面积计算公式：长×宽，将长是a米、宽是b米分别代入公式列出式子即可； 从这个长方形上剪下最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是b米；再根据正方形的面积计算公式：边长乘边长列出式子即可。 【规范解答】长方形的周长：2×（长＋宽）＝2×（a＋b）＝2a＋2b（米） 长方形的面积：长×宽＝ab（平方米） 正方形的面积：边长×边长＝b×b＝b2（平方米） 【变式训练1】用表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系。 _______________    _______________    _______________ 先从下面选出合适的信息，再用上面的一个式子解决问题。 ①小锦每天要练150个字。 ②小锦每分钟练5个字。 ③小锦每天要练半小时的字。 我选的信息是_______________。（填序号） 我要解决的问题是_____________________________________________ 【答案】；； ①③；小锦每分钟练多少个字？；5个字 【思路引导】工作总量＝工作效率×工作时长，再根据乘、除法的意义和各部分之间的关系，用表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系即可。 可以根据a＝（工作总量÷工作时间＝工作效率），选择信息①②，计算出小锦每天练这些字需要多少分钟。 可以根据c＝（工作总量＝工作效率×工作时间），选择信息②③，计算出小锦每天练多少字。 可以根据t＝（工作总量÷单工作效率＝工作时间），选择信息②③，计算出小锦每分钟练多少字。 【规范解答】a＝；t＝；c＝ 我选择信息为：①②；我要解决的问题是：小锦练 150 个字，每分钟练 5 个字，小锦需要练多长时间？ 150÷5＝30（分钟） 答：需要练30分钟。 我选择信息为：②③；我要解决的问题是：小锦每分钟练 5 个字，练半小时，小锦一共可以练多少个字？ 半个小时就是30分钟。 5×30＝150（个） 答：一共可以练150个字。 我选择信息为：①③；我要解决的问题是：小锦每天练 150 个字，练半小时，小锦每分钟练多少个字？ 半个小时就是30分钟。 150÷30＝5（个） 答：每分钟练5个字。 【变式训练2】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 【答案】（1）最少：（2m＋4n）分米；最多：（4m＋2n）分米 （2）88分米 【思路引导】（1）当两个长方形拼在一起，减少的长度最多，则周长最少，把两个长方形的长重合在一起时周长最小；减少的长度最少，则周长最大，把两个长方形的宽重合在一起时周长最大；根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，据此求出大长方形的周长最少、最多，据此解答。 （2）把m＝16，n＝12代入（1）的算式，即可解答。 【规范解答】（1）周长最少，把两个长方形的长重合在一起。 长是m分米；宽是n×2＝2n（分米）。 周长： （m＋2n）×2 ＝（2m＋4n）分米 周长最多，把两个长方形的宽重合在一起。 长：m×2＝2m（分米），宽是n分米。 周长： （2m＋n）×2 ＝（4m＋2n）分米 答：大长方形的周长最少是（2m＋4n）分米，最多是（4m＋2n）分米。 （2）当m＝16，n＝12时： 周长最多是： 16×4＋12×2 ＝64＋24 ＝88（分米） 答：这个大长方形的周长最多是88分米。 高频考点三 用字母表示数量关系（2个未知数） 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）如果甲车速度是a千米/时，乙车速度是b千米/时。 (1)两地之间的距离是( )千米。 (2)两车相遇时，( )车比( )车多行驶了( )千米。 【答案】(1)3a＋3b (2) 甲 乙 3a－3b 【思路引导】（1）两车同时出发相向而行，3小时后相遇，说明两地总路程就是两车3小时走的路程之和。根据路程＝速度×时间，分别写出甲、乙的路程再相加即可。 （2）如图可知，相遇时候，甲车行驶的路程比乙车多，用甲车3小时行驶的路程减乙车3小时行驶的路程即可。 【规范解答】（1）甲车3小时走：（千米） 乙车3小时走：（千米） 总距离：（3a＋3b）千米 （2）两车相遇时，甲车比乙车多行驶了（3a－3b）千米。 【变式训练1】（2026五年级上·辽宁·专题练习）图书馆原有x本故事书，周五有4个班级来借书，平均每个班级借走a本故事书，还剩( )本，当x＝300，a＝12时，图书馆还剩( )本故事书。 【答案】 x－4a 252 【思路引导】先算总共借走的故事书数量，用原有的总本数减去借走的本数，求出剩下的本数。接着将x＝300，a＝12，代入计算即可。 【规范解答】4个班，每班借a本，一共借走4×a＝4a（本） 剩余本数：x－4a 将x＝300，a＝12，代入计算： x－4a＝300－4×12＝300－48＝252（本）。 【变式训练2】乐乐在元旦联欢会上表演了一个《读心术》的魔术。 第一步：任意想一个50以内的两位数，记录下来； 第二步：用这个两位数十位上的数乘5再加5； 第三步：用上面计算的结果乘2； 第四步：加个位上的数 同学们报出第四步的得数后，乐乐悄悄将这个得数减去10，恰好就是同学们想的那个两位数。 (1)请你按照以上四个步骤完成这个魔术。 我想的数是( )，我的计算过程：________________________________。 (2)请你尝试用含有字母的式子写出你的思考过程和发现的结论。 【答案】(1) 22（答案不唯一） 2×5＋5＝15，15×2＝30，30＋2＝32，32－10＝22（答案不唯一） (2) 假设这个两位数是十位上是a，个位上是b，即这个数是10a＋b。 与这个两位数相同。 发现的结论：用第四步的得数减去10，恰好就是开始设想的那个两位数。（结论合理即可，答案不唯一） 【思路引导】（1）任意选一个两位数，按题干中信息，按步计算即可。如：选 22，根据每步的运算，找出运算结果； （2）假设十位上是，个位上是，按题目中的步骤列出算式，再化简，结果与原数比较得到结论。 【规范解答】（1）我想的数是22，我的计算过程： 2×5＋5 ＝10＋5 ＝15 15×2＝30 30＋2＝32 32－10＝22（答案不唯一） （2）略 高频考点四 用字母表示规律 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）用小棒按如下规律摆三角形。 (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 【答案】(1)2n＋1 (2)150 【思路引导】（1）摆第一个三角形需要3根小棒，之后每摆一个三角形，增加两根小棒；摆2个三角形需要3＋2×1根小棒，摆3个三角形需要3＋2×2根小棒，摆4个三角形需要3＋2×3根小棒，那么摆n个三角形需要3＋2×（n－1）根小棒，据此解答即可； （2）已知小棒总数为301根，根据我们找到的规律，总数是若干个2相加之后再加1得到的；那么我们可以先用总数也就是301减去1再除以2即可求出三角形的总个数。 【规范解答】（1）摆n个三角形需要的小棒数量为：3＋2×（n－1） ＝3＋2n－2×1 ＝3＋2n－2 ＝2n＋3－2 ＝（2n＋1）根 （2）（301－1）÷2 ＝300÷2 ＝150（个） 【变式训练1】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图（    ）中有15个，图⑩中有（    ）个△。 【答案】； ⑦；100 【思路引导】先找前三个图的规律： 图①：共2＋1＝3个，△共1×1＝1个； 图②：共2×2＋1＝4＋1＝5个，△共2×2＝4个； 图③：共2×3＋1＝6＋1＝7个，△共3×3＝9个； 则，图④：共2×4＋1＝8＋1＝9个，△共4×4＝16个； 据此总结出通用规律：第n个图里，的总数量是（2n＋1）个，△的总数是（n×n）个。据此解决。 【规范解答】图略 解：设图n中有15个。 2n＋1＝15 2n＝15－1 2n＝14 n＝14÷2 n＝7，即，图⑦中有15个； 图⑩中△的个数有：10×10＝100（个）。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）“时代列车”是一种集体单脚跳行进游戏，是趣味运动项目之一。 如图所示，每队成员需排成纵队，第一位队员双脚站立并用单手揽住第二位队员前伸的腿，第二位队员用单手揽住第三位队员前伸的腿，另一只手搭在前面队员的肩上，此后队员以此类推。 6个人参加游戏，有( )只脚着地；n个人参加游戏，有( )只脚着地。 【答案】 7 （1＋n）/（n＋1） 【思路引导】观察可知，1个人参加游戏，有2只脚着地，2＝2＋（1－1）×1；2个人参加游戏，有3只脚着地，3＝2＋（2－1）×1；3个人参加游戏，有4只脚着地，4＝2＋（3－1）×1……由此可知，着地的脚数＝2＋（几个人参加游戏就用几－1）×1。 【规范解答】2＋（6－1）×1 ＝2＋5×1 ＝2＋5 ＝7（只） 2＋（n－1）×1 ＝2＋n－1 ＝（1＋n）只 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共有（    ）人。 A．30－x B．30＋x C．60＋x D．60－x 【答案】C 【思路引导】女生有30人，女生比男生少x人，先求出男生人数是30＋x，再把男、女生人数相加求出合唱小组的总人数：30＋（30＋x）＝60＋x，逐个分析每个选项的含义。 【规范解答】A．30－x：这个式子表示比女生人数少x，和题中“女生比男生少x人”的数量关系完全相反，既不是男生人数，也不是总人数，错误。 B．30＋x：该算式仅仅计算出男生的人数，没有加上女生的人数，不能代表小组的总人数，错误。 C．60＋x：由女生30人加上男生（30＋x）人，计算得到的就是合唱小组全部的人数，正确。 D．60－x：这个式子不符合本题的数量推导，没有对应的实际意义，错误。 【变式训练1】在百数表中任意圈出一个九宫格，请找出规律并回答下列问题。 (1)如果设九宫格正中间的数为，那么请用含的式子分别表示九宫格内左上角、右上角、左下角和右下角的四个数。 (2)计算九宫格内四个顶角上的数之和，并说明这个和与正中间的数的数量关系。 (3)若九宫格内的九个数的和为360，求九宫格正中间的数。 【答案】(1)左上角：；右上角：；左下角：；右下角： (2)四个顶角上的数之和是正中间的数的4倍。 (3) 40 【思路引导】（1）百数表中，九宫格内上面的数比正中间的数少10，下面的数比正中间的数多10，左边的数比正中间的数少1，右边的数比正中间的数多1，左上角的数比正中间的数少11，右上角的数比正中间的数少9，左下角的数比正中间的数多9，右下角的数比正中间的数多11；据此解答即可； （2）将四个顶角的表达式加起来即可； （3）将九宫格中九个数的表达式加起来，和为360，求出m的值即可。 【规范解答】（1）左上角：；右上角：；左下角：；右下角： （2）四个顶角上的数相加： 所以四个顶角上的数之和是正中间的数的4倍。 （3）九宫格内的九个数分别是，，，，，，，， 所以，因数＝积÷另一个因数，因此 【变式训练2】在百数表中任意圈出一个“田”字形，请根据规律回答下列问题。 (1)若设“田”字右下角的数为，则用含的式子表示：左上角为( )，右上角为( )，左下角为( )。 (2)“田”字形中，对角上的两个数之和相等吗？请作出判断并说明理由。 (3)若“田”字形中的四个数之和为150，分别求出这四个数。 【答案】(1) (2)相等。理由：对角的两组数分别为和，和。第一组和：；第二组和：；所以对角上的两个数的和相等。 (3)左上角32；右上角33；左下角42；右下角43 【思路引导】依据百数表同一行左右相邻数差1、同一列上下相邻数差10的规律，用含字母的式子表示田字格各数，再推导对角和关系与四个数的具体值。 【规范解答】（1）已知右下角的数为：左下角与右下角同行，在左侧，为；右上角与右下角同列，在上侧，为；左上角与右上角同行，在左侧，为。 （2）左上角＋右下角： 右上角＋左下角： 两组对角的和都是，因此对角上的两个数之和相等。 （3） 解： 左上角：43－11＝32 右上角：43－10＝33 左下角：43－1＝42 右下角：43 高频考点六 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（25-26五年级上·福建福州·期末）小芳和小红去文具店买文具。小芳买了1个笔袋和3支笔共付21元；小红也买了与小芳同款的3个笔袋和9支笔，小红要付( )元。 【答案】63 【思路引导】先确定小红购买的文具的数量是小芳的几倍，再用小芳的总钱数乘倍数得到小红要付的钱数。 【规范解答】3÷1＝3，即小红买的笔袋数量是小芳的3倍； 9÷3＝3，即小红买的笔的数量是小芳的3倍； 1个笔袋＋3支笔＝21元 3个笔袋＋9支笔 ＝3×（1个笔袋＋3支笔） ＝3×21 ＝63（元） 【变式训练1】（25-26五年级上·湖南张家界·期末）榴莲每千克a元、荔枝每千克b元，张阿姨买了3千克榴莲和2千克荔枝一共花了( )元；李阿姨买了8千克荔枝，她花的钱和张阿姨同样多。1千克榴莲的价钱相当于( )千克荔枝的价钱，当a＝32时，她们每人花了( )元买水果。 【答案】 3a＋2b/2b＋3a 2 128 【思路引导】（1）根据“总价＝单价×数量”，求出3千克榴莲的价格为3×a＝3a元，2千克荔枝的价格为2×b＝2b元，再将两者相加得到总花费，即（3a＋2b）元； （2）8千克荔枝的价格为8×b＝8b元，根据题意，3a＋2b＝8b，则可推出3a＝6b，等式两边同时除以3，得到a＝2b，据此求出1千克榴莲的价钱相当于2千克的荔枝的价钱； （3）将a＝32，代入a＝2b中，求出b的值，再代入李阿姨花的钱数8b中得到她们买水果花的钱数。 【规范解答】（1）榴莲的价格：3×a＝3a元 荔枝的价格：2×b＝2b元 总花费：（3a＋2b）元，也可以写成（2b＋3a）元。 （2）8千克荔枝的价格：8×b＝8b（元） 因为3a＋2b＝8b，所以3a＝8b－2b，3a＝6b，3a÷3＝6b÷3，即a＝2b。 因此，1千克榴莲的价钱相当于2千克的荔枝的价钱。 （3）当a＝32时，代入a＝2b中，得： 32＝2b 解：32÷2＝2b÷2 b＝16 8×16＝128（元） 她们各花了128元。 因此，榴莲每千克a元、荔枝每千克b元，张阿姨买了3千克榴莲和2千克荔枝一共花了（2b＋3a）元；李阿姨买了8千克荔枝，她花的钱和张阿姨同样多。1千克榴莲的价钱相当于2千克荔枝的价钱，当a＝32时，她们每人花了128元买水果。 【变式训练2】（24-25五年级上·广东广州·期末）如图所示，两个天平平衡，则与一个球的质量相等的正方体个数为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据左图天平平衡可知，2个球的质量＝4个圆柱的质量，根据等式性质2两边同时除以相同的数等式两边仍相等，两边同除以2，所以1个球的质量＝2个圆柱的质量，根据右图天平平衡可知，2个正方体的质量＝2个圆柱的质量，据此可知1个球的质量＝2个正方体的质量，据此解答。 【规范解答】左图天平平衡可知：2个球的质量＝4个圆柱的质量，由分析所以1个球的质量＝2个圆柱的质量。 2个正方体的质量＝2个圆柱的质量，所以1个球的质量＝2个正方体的质量，即与一个球的质量相等的正方体个数为2。 故答案为：B 高频考点七 等式的性质1 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）不计算，根据等式的规律，在圆圈里填写合适的运算符号，方框里填写正确的数。 38＋12＝50                               14×6＝84 38＋12＋7＝50                   14×6×3＝84 38＋12－15＝50                  14×6÷7＝84 38＋12＝50＋24                  14×6＝84÷3 【答案】＋，7；×，3； －，15；÷，7； ＋，24；÷，3 【思路引导】根据等式的性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立、等式的性质2：等式两边同时乘或者除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。 【规范解答】38＋12＝50；14×6＝84 38＋12＋7＝50＋7；14×6×3＝84×3 38＋12－15＝50－15；14×6÷7＝84÷7 38＋12＋24＝50＋24；14×6÷3＝84÷3 【变式训练1】（25-26五年级上·山东济宁·期末）根据等式的性质，对4x＝2x＋8进行变换，下列式子中错误的是（    ）。 A．2x＝8 B．2x＝x＋4 C．3x＝x＋8 D．8x＝4x＋8 【答案】D 【思路引导】根据等式性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，等式不变；等式性质2，等式两边同时乘或除以一个数，等式不变。逐项分析，选出错误选项。 【规范解答】A．等式两边同时减去2x，得到4x－2x＝2x－2x＋8，即2x＝8，正确。 B．等式两边同时除以2，得到4x÷2＝2x÷2＋8÷2，即2x＝x＋4，正确。 C．等式两边同时减去x，得到4x－x＝2x－x＋8，即3x＝x＋8，正确。 D．等式两边同时乘2，得到4x×2＝2x×2＋8×2，即8x＝4x＋16，而不是8x＝4x＋8，错误。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东广州·期末）如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填上相应的序号。 （3x－4.5）×9＝27 解：9×3x－9×4.5＝27→( ) 27x－40.5＝27 27x－40.5＋40.5＝27＋40.5→( ) 27x＝67.5 27x÷27＝67.5÷27→( ) x＝2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【答案】 ③ ② ④ 【思路引导】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 商不变规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。 【规范解答】把（3x－4.5）×9改写成9×3x－9×4.5，运用了乘法分配律； 把27x－40.5＝27改写成27x－40.5＋40.5＝27＋40.5，运用了等式的性质1； 把27x＝67.5改写成27x÷27＝67.5÷27，运用了等式的性质2。 高频考点八 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·陕西安康·期末）如果，根据等式的性质填空。 x＋5＝y＋( )        x－( )＝y－c x×3＝y×( )        x÷( )＝y÷8 【答案】 5 c 3 8 【思路引导】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【规范解答】x＋5＝y＋5 x－c＝y－c x×3＝y×3 x÷8＝y÷8 【变式训练1】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是（    ）。 A．如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B．如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C．摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32 D．（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 【答案】C 【思路引导】由题意可知，华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，求华氏温度时把摄氏温度代入数量关系，再计算出结果就是对应的华氏温度；已知华氏温度时把对应的摄氏温度设为未知数，然后利用等式的性质解方程求出摄氏温度；最后根据等式的性质得出（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度。 【规范解答】A．当摄氏温度是30℃时。 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 ＝30×1.8＋32 ＝54＋32 ＝86（℉） 所以，如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉，题目说法正确。 B．解：设当华氏温度是77℉时摄氏温度是x℃。 1.8x＋32＝77 1.8x＋32－32＝77－32 1.8x＝45 1.8x÷1.8＝45÷1.8 x＝25 所以，如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃，题目说法正确。 C．由“华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32”可知，摄氏温度＝（华氏温度－32）÷1.8，而不是摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32，题目说法错误。 D．华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 华氏温度－32＝摄氏温度×1.8＋32－32 华氏温度－32＝摄氏温度×1.8 （华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度×1.8÷1.8 （华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 所以，（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度，题目说法正确。 【变式训练2】（24-25五年级上·河南商丘·期末）已知＋10＝，经过变换后两个式子依然相等的是（    ）。 A．＋10×3和×3 B．＋10－和－ C．（＋10）÷10和÷10 D．＋10÷5和÷5 【答案】C 【思路引导】等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍成立； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立。据此解答。 【规范解答】A．＋10×3和×3，等式左边的一个加数乘3，而不是（＋10）乘3，等式右边乘3，根据等式的性质2，此时两个式子不相等； B．＋10－和－，分别是等式左边减去，等式右边减去，根据等式的性质1，此时两个式子不相等； C．（＋10）÷10和÷10，等式两边同时除以10，根据等式的性质2，此时两个式子仍然相等； D．＋10÷5和÷5，等式左边的一个加数除以5，而不是（＋10）除以5，等式的右边除以5，根据等式的性质2，此时两个式子不相等。 故答案为：C 【基础通关】 1．（24-25五年级下·广东深圳·期末）淘气有x颗糖果，笑笑的糖果数是淘气的1.5倍。则2.5x表示（    ）。 A．淘气的糖果数 B．笑笑和淘气的总糖果数 C．笑笑比淘气多的糖果数 【答案】B 【思路引导】先根据倍数关系求出笑笑的糖果数，再分别计算两人的总糖果数、相差糖果数，和对比即可。 【规范解答】笑笑的糖果数： 笑笑和淘气的总糖果数： 笑笑比淘气多的糖果数： 因此，2.5x表示笑笑和淘气的总糖果数。 2．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）妍妍的爸爸今年b岁，妍妍今年（b－26）岁。10年后，爸爸（    ）岁，他们相差（    ）岁。 A．10，26 B．26，36 C．36，b＋10 D．b＋10，26 【答案】D 【思路引导】每人每年年龄增长1岁，10年后爸爸的年龄是今年年龄加10；两个人的年龄差始终不变，可直接用今年的年龄计算差值。 【规范解答】10年后爸爸的年龄：岁 今年两人的年龄差： （岁） 10年后年龄差不变，仍为26岁。 3．（人教版数学五年级上册5.1用字母表示加减数量关系练习卷）一个直角三角形的一个锐角是°，另一个锐角是（    ）°。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】三角形内角和是，直角三角形有一个角是，两个锐角的和为，用减去已知锐角的度数即可得到另一个锐角的度数。 【规范解答】直角三角形两个锐角的和：（°）另一个锐角的度数：（°） 4．（24-25五年级下·福建莆田·期末）截止到2024年7月北京中轴线申遗成功，至此，中国共有59项世界遗产。其中世界自然遗产有x项，世界文化遗产比世界自然遗产的2倍多10项。表示( )，表示( )。 【答案】 世界文化遗产的项数 世界文化遗产比世界自然遗产多的项数 【思路引导】（1）根据“世界文化遗产比世界自然遗产的2倍多10项”可知：世界文化遗产的项数＝世界自然遗产的项数×2＋10，再根据x表示世界自然遗产的项数可知：“2x＋10”求的是世界文化遗产的项数； （2）根据（1）可知：2x＋10表示世界文化遗产的项数，根据减法的意义可知：2x＋10－x表示世界文化遗产比世界自然遗产多多少项。 【规范解答】2x＋10表示世界文化遗产的项数；2x＋10－x表示世界文化遗产比世界自然遗产多的项数。 5．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）已知亮亮家到学校的路程是600米。 (1)亮亮从家去学校，步行速度是60米/分，他t分钟走了( )米，此时距离学校还有( )米。（t小于或等于10） (2)亮亮从家去学校，走了n分钟到达，他的步行速度是( )米/分。 【答案】(1) 60t 600－60t (2) 【思路引导】（1）路程＝速度×时间，先用速度60米/分乘时间t，求出已经走的路程；再用总路程减去已经走的路程，求出剩下距离学校的路程。 （2）速度＝路程÷时间，总路程是600米，时间是n分钟，用路程除以时间得到步行速度。 【规范解答】（1）t分钟走了60t米 距离学校还有（600－60t）米 （2）步行速度是600÷n=（米/分） 6．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为( )。 【答案】100a＋10b＋c 【思路引导】23中，2在十位，代表2个10，也就是10×2；3在个位，代表3个1，直接写3。以此类推即可。 【规范解答】三位数的百位上的数字a，代表a个100，也就是100×a；十位上的数字b代表b个10，也就是10×b；个位上的数字c代表c个1，把三部分加起来，这个三位数就可以表示成100a＋10b＋c。 7．（24-25五年级下·广西防城港·期中）如果7x＝8y，那么7x＋8＝8y＋7。( ) 【答案】× 【思路引导】根据等式的基本性质，等式两边加上相同的数，结果仍相等，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，如果7x＝8y，那么7x＋8＝8y＋8。 原题干说法错误。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·江苏宿迁·期末）一种钢笔的单价是x元/支，小芳买了12支，小敏买了5支。 (1)用含有字母的式子表示小芳比小敏多用了多少元。 (2)当x＝8时，小芳比小敏多用了多少元？ 【答案】(1)7x元 (2)56元 【思路引导】（1）钢笔单价×小芳买的支数－钢笔单价×小敏买的支数＝小芳比小敏多用的钱数，据此用字母表示出小芳比小敏多用的钱数； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】（1）x×12－x×5 ＝12x－5x ＝7x（元） 答：小芳比小敏多用了7x元。 （2）7x ＝7×8 ＝56（元） 答：小芳比小敏多用了56元。 9．（24-25五年级下·河南周口·阶段检测）李亮和张红两人同时从家出发相向而行，5分钟后相遇。 （1）用含有字母的式子表示李亮和张红家之间的距离。 （2）当a＝75，b＝60时，他们两家之间的距离是多少米？ 【答案】（1）5（a＋b）米； （2）675米 【思路引导】（1）根据“路程＝速度×时间”，分别求出李亮、张红相遇时各自走的路程，再相加，即是李亮和张红家之间的距离，用含有字母的式子表示即可。 （2）把a＝75，b＝60代入上一题的式子中，计算出结果，即是他们两家之间的距离。 【规范解答】（1）a×5＋b×5＝5（a＋b）（米） 答：李亮和张红家之间的距离为5（a＋b）米。 （2） 当a＝75，b＝60时 5（a＋b） ＝5×（75＋60） ＝5×135 ＝675（米） 答：当a＝75，b＝60时，他们两家之间的距离是675米。 10．（24-25五年级上·江苏·课后作业）用s表示路程，v表示速度，t表示时间。 （1）求时间用字母表示是__________。 （2）一辆汽车每小时行驶65千米，从甲地到乙地共行驶了390千米，利用上面的公式求出这辆汽车行驶了多长时间？ 【答案】（1）t＝s÷v （2）6小时 【思路引导】（1）时间＝路程÷速度，据此用字母表示出时间的求法； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】（1）求时间用字母表示是t＝s÷v。 （2）t＝s÷v ＝390÷65 ＝6（小时） 答：这辆汽车行驶了6小时。 【能力提升】 1．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）下面四个选项中，（    ）中两个式子的计算结果一定是相等的。 A．72和7×2 B．b×b和2b C．a＋a和2a D．c＋c和c2 【答案】C 【思路引导】根据平方的意义（两个相同的数相乘）和乘法的意义（求几个相同加数和的简便运算），逐一判断各选项两个式子的结果是否一定相等。 【规范解答】A．72＝7×7＝49，7×2＝14，49≠14，结果不相等。 B．b×b＝b2，2b＝b＋b，仅当b＝0或b＝2时二者相等，不是一定相等。 C．a＋a＝2×a＝2a，无论取何值，两个式子结果都相等。 D．c＋c＝2c，c2＝c×c，仅当c＝0或c＝2时二者相等，不是一定相等。 2．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）根据亮亮和李老师的对话，可知当亮亮m岁时，李老师（    ）岁。 A．10＋m B．30m C．m＋26 D．36－m 【答案】C 【思路引导】两个人的年龄差永远不变，李老师始终比亮亮大26岁。当亮亮是m岁的时候，李老师的年龄就是亮亮的年龄加上年龄差26。 【规范解答】根据分析可知：李老师（m＋26）岁。 3．（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 【答案】D 【思路引导】依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等或等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等”来进行判断。 【规范解答】A．若a＝b，则ac＝bc。依据“等式两边同时乘同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，所以说法正确。 B．若，则a＝2。 当a＝2时，2a＝2×2＝4 4＝4 所以，“若，则a＝2”的说法正确。 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b。依据“等式两边同时除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等” 的等式性质，所以，“若a÷c＝b÷c，则a＝b”说法正确。 D．若a＝b，则a＋b＝b－b。依据“等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等”的等式性质，a＋b＝b－b左边是“加b”，右边是“减b”，不符合等式的性质。所以，“若a＝b，则a＋b＝b－b”的说法错误。 故答案为：D 【考点剖析】准确运用等式的性质对每个推论进行辨析，注意特殊值的情况。 4．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( )人。 【答案】 6 4n＋2 【思路引导】我们还能把人数拆分来看：不管多少张桌子并起来，左右两端总共固定坐2人，剩下的人是每张桌子对应坐4人。 【规范解答】现在算26人需要的桌子数：先把两端固定的2人去掉，剩下26−2＝24（人）， 每张桌子对应安排4人，需要的桌子数就是24÷4＝6（张）。 每多并1张桌子，就多坐4个人。所以n张桌子能坐的人数就是4×n＋2＝（4n＋2）人。 5．（25-26五年级下·江苏宿迁·期末）如图，搭一个五边形需要5根小棒，搭2个五边形需要9根小棒……那么搭7个五边形需要( )根小棒，搭n个五边形需要( )根小棒。 【答案】 29 【思路引导】根据题意，可以列表求规律。 图形 小棒根数（根） 5 9 13 17 由上表可知，每增加一个正五边形就增加4根小棒： 搭1个五边形，需要5根小棒，可表示为5＝4×1＋1； 搭2个五边形，需要9根小棒，可表示为9＝4×2＋1； 搭3个五边形，需要13根小棒，可表示为13＝4×3＋1； ……由此可发现规律：搭7个正五边形，需要小棒（4×7＋1）根； 搭n个正五边形时，需要小棒4×n＋1＝（）根。 【规范解答】根据分析可知： 搭7个正五边形，需要小棒： 4×7＋1 ＝28＋1 ＝29（根） 搭n个正五边形，需要小棒： 4×n＋1 ＝（）根 所以搭7个正五边形需要29根小棒，搭n个正五边形需要（）根小棒。 6．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 4－2＝（4＋2）×（4－2）＝12 7－3＝（7＋3）×（7－3）＝40 9－4＝（9＋4）×（9－4）＝65 (1)请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 15－5＝（____＋____）×（____－____） (2)求下图中涂色部分的面积。聪聪说可以用“a－b”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎样想的吗？ 【答案】(1) 15 5 15 5 (2)如图，明明沿虚线剪开，把剪开的小长方形拼到剩下的大长方形右侧，把涂色部分转化为长（a＋b）、宽（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，得涂色部分的面积为（a＋b）×（a－b）。 【思路引导】（1）观察题中给出的算式，可以发现规律：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，也就是m2－n2＝（m＋n）（m－n），并且例题里都是把大数写在算式前面。 （2）涂色部分原本可以用大正方形面积减小正方形面积，列式为a2－b2；还可以通过切割、平移拼出新长方形，找到新长方形的长和宽，利用长方形面积公式：面积＝长×宽列出算式。 【规范解答】（1）152－52＝（15＋5）（15－5） 7．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分，每千米收2.4元。张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共行了b（b＞3）千米。 （1）用含有字母的式子，表示张叔叔坐出租车从体育馆到火车站，一共花了多少钱？ （2）当b＝10时，张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共花了多少钱？ 【答案】（1）（2.4b＋0.8）元 （2）24.8元 【思路引导】（1）根据题意，张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共行了b（b＞3）千米，分两段计费： 第一段，行驶3千米，收费8元； 第二段，超过3千米的部分为（b－3）千米，单价2.4元；根据“单价×数量＝总价”求出这一段的收费； 最后把这两段的费用相加，即是一共要付的车费，用含字母的式子表示出来。 （2）把b＝10代入式子中，计算出得数即可。 【规范解答】（1）行驶3千米的费用：8元； 超过3千米部分的费用：[2.4×（b－3）]元； 一共： 8＋2.4×（b－3） ＝8＋2.4×b－2.4×3 ＝（2.4b＋0.8）元 答：张叔叔坐出租车从体育馆到火车站，一共花（2.4b＋0.8）元。 （2）当b＝10时 2.4b＋0.8 ＝10×2.4＋0.8 ＝24＋0.8 ＝24.8（元） 答：当b＝10时，张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共花了24.8元。 8．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）书桌上放着同样的书本，如下图。请根据图中信息解答： （1）书桌上每本书厚多少厘米？ （2）如果书桌上整齐叠放着X本同样的书本，那么这一摞书本的顶部距离地面的高度用含有字母的式子表示为（          ）厘米。 【答案】（1）0.8厘米 （2）85.2＋0.8X 【思路引导】（1）从图中可知，书桌的高度加上6本书的厚度是90厘米，书桌的高度加上2本书的厚度是86.8厘米，那么（6－2）本书的厚度是（90－86.8）厘米，根据除法的意义求出每本书的厚度。 （2）先求出书桌的高度，可以用90厘米减去6本书的厚度，即是书桌的高度； 根据数量关系：X本同样的书本的顶部距离地面的高度＝书桌的高度＋X本书的厚度，据此用含字母的式子表示数量关系。 【规范解答】（1）（90－86.8）÷（6－2） ＝3.2÷4 ＝0.8（厘米） 答：书桌上每本书厚0.8厘米。 （2）书桌的高度： 90－0.8×6 ＝90－4.8 ＝85.2（厘米） X本同样的书本高度为：0.8X厘米 那么这一摞书本的顶部距离地面的高度用含有字母的式子表示为（85.2＋0.8X）厘米。 9．（25-26五年级下·广东揭阳·期末）小军用小棒搭正方形，搭1个正方形需要4根小棒（图1），搭2个正方形需要7根小棒（图2），搭3个正方形需要10根小棒（图3）。 (1)照这样继续搭下去，搭4个正方形需要( )根小棒。 (2)31根小棒可以搭几个正方形？请你通过画图、文字叙述或者列式计算表达你的思考过程。 【答案】(1)13 (2)搭n个正方形需要1＋3n（根）小棒。 1＋3n＝31 1＋3n－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10； 10个 【思路引导】（1）搭1个正方形需要小棒数：（1＋3）根； 搭2个正方形需要小棒数：（1＋3×2）根； 搭3个正方形需要小棒数：（1＋3×3）根； 以此类推可知搭4个正方形需要（1＋3×4）根。 （2）根据上述分析可知，搭n个正方形需要（1＋3n）根小棒，令得数等于31，可求出n。 【规范解答】（1）1＋3×4 ＝1＋12 ＝13（根） 搭4个正方形需要13根小棒。 （2）由分析可知 搭n个正方形需要1＋3n（根）小棒。 1＋3n＝31 解：1＋3n－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10 答：31根小棒可以搭10个正方形。 10．（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 【答案】（1）2.4x＋1.8 （2）8千米 【思路引导】（1）行驶千米数－3千米＝超出3千米的部分，乘对应收费标准，再加上起步价就是付的钱数，据此用字母表示出付的钱数。 （2）付的钱数－起步价，先求出超出起步价的钱数，除以对应收费标准，求出超出3千米的距离，再加上3千米即可。 【规范解答】（1）y＝（x－3）×2.4＋9＝2.4x－7.2＋9＝2.4x＋1.8 它们之间的关系可以用式子表示为y＝2.4x＋1.8。 （2）（22.5－9）÷2.7＋3 ＝13.5÷2.7＋3 ＝5＋3 ＝8（千米） 答：他家到医院最多有8千米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 第四单元用字母表示（一）『举一反三知识讲练』 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+8个考点讲练展+真题难度分层演练共44题) 讲义简介丙容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 目录指引丙容知晓 导图指引梳理脉络. 2 知识梳理温故知新.。 知识点一用字母表示数.…… 2 知识点二用字母表示数量关系 ..3 知识点三用字母表示运算定律及计算公式.... 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系… 知识点五利用等式的性质求未知数.· ..4 知识点六含有字母式子的化简与求值... …….5 知识点七数与形（归纳递推)… 考点讲练真题汇总… 6 高频考点一用字母表示数量关系(1个未知数) 6 高频考点二用字母表示运算定律及计算公式..7 第1页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 高频考点三用字母表示数量关系(2个未知数).. 高频考点四用字母表示规律. 8 高频考点五含有字母式子的化简与求值...... 9 高频考点六等式的认识及列等量关系式.· 10 高频考点七等式的性质1..· 10 高频考点八等式的性质2.… 11 优选真题实战演练…… 12 【基础通关】 12 【能力提升】 13 少导图指引梳理脉格 ●用字得表示青蛙的只数，用字母表示淘气说的儿歌 1.用字母表示数 3.用字母表示数量关系 ,麦示数量之树的炎系 S=vt 0只址 v=s+t 2只★姓8条 0只青址2承 。图形甲和乙m成了一个长方形。请用字得表示它的面积。并与同作交液 甲乙 甲的面：ac 甲、乙成的长方形 长是a+b,宽是c 。用字母表示下面的儿 标忙。 甲.乙的面积和：aC+bc 面积是(a+b)c, 选是象害分起体。 w 第四单元 是址式数的 用字母表示（一） 4回声测距离·格新物装：金.在州所的 所以4 单元复习思维导图 是。◆340 海用学母表示下面的儿眼 2.用字母表示式子 。权板面离对面的山的多少术？，草一 娃度x时网一游位 a风青雄a银常 340m 3只青姓2限烟 2×g只眼睛4×a 4其眼砖%条候 8 6.等式中的规律 。用字表示生活中的运算和公式。并与同件交 5.用字母表示规律 1解决阿距 ●这样摆。第4个室 ●下。你发现了什么规 。鸡蛋的质量是多少充？想一想，风一说 0 周长C=4×a: 绝 m的 c,10 面积S=a×a 5s202 2n2-20g-1 第1个第2个第3个 生美+有 ●生活中你到哪线能用解决的数学问避？想一，说一说 感是我居的： 意有对北一色这样的的均等式，晚用上南的银推望成立的 x=ab 。,占9制表帝数学书 一炎笔■元，买春其， 速度是，行驶的时间 地生 封面的长和宽。封面 面积某一b, 总价x=b, 老本，路程x=ab。 。不什草，积家限家填上合道的荐司和 163x2 03-60 203x560 412-3x4 20×3+5=60 2中0 54 1030=3￥10 知识梳理温故知新 知识点一用字母表示数 1.基本概念 在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的 第2页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 数。 (1)作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2)取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄a不能是负 数，也不能超过合理寿命（如a<150)。 2.书写规范（重点） (1)数字与字母相乘时，乘号可以记作“.”或省略不写。 (2)数字必须写在字母前面。 例：a×4写作4a（不可写作a4)。 例：b×1写作b（1通常省略)。 (3)字母与字母相乘，乘号可省略或记作“”。 例：a×b写作ab或ab。 (4)注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3.相同字母相乘 (1)a×a写作a2,读作“a的平方”，表示2个a相乘。 (2)易错区分： ①a2=a×a ②2a=a+a=a×2 ③当a=2时，a2=4,2a=4（相等)；当a=3时，a2=9,2a=6（不相等)。 知识点二用字母表示数量关系 1.常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量” 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x-a 倍数关系 x的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 X÷a 2.实际应用示例 (1)年龄问题：小明今年x岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(x+28)岁。 (2)购物问题：苹果每千克a元，买5千克应付5a元。 第3页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 (3)剩余问题：一本故事书共m页，看了n天，每天看k页，还剩(m一k页。 知识点三用字母表示运算定律及计算公式 1.运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+b+c) (3)乘法交换律：ab=ba (4)乘法结合律：(ab)c=abc) (5)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 2.平面图形计算公式 设正方形的边长为a,长方形的长为a、宽为b。 图形 周长公式(C) 面积公式(S) 正方形 C=4a S=a2 长方形 C=2(a+b) S=ab 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系 1.两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1)示例1：学校买来×个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数：3x-5 (2)示例2：甲数是a,乙数比甲数的2倍多b。 乙数：2a+b (3)示例3：修路队第一天修了米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度：a+2a=3a 2.含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1)总路程三速度×时间：若速度为v,时间为t,则路程s=t。 (2)工作总量=工作效率×工作时间：若效率为a,时间为t,则总量W=at。 知识点五利用等式的性质求未知数 1,等式的性质 第4页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 (1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若a=b,则a十c=b+c,a-c=b-co (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若a=b,则ac=bc;若c≠0，则a÷c=b÷c。 2.简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1)对于x+a=b,利用减法关系：x=b-a。 (2)对于ax=b,利用除法关系：x=b÷a。 (3)对于x-a=b,利用加法关系：x=b+a。 (4)对于x÷a=b,利用乘法关系：x=ab。 知识点六含有字母式子的化简与求值 1.式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1)ax+bx=(a+b)x (2)ax-bx=(a-b)x (3)示例： ①3a+5a=(3+5)a=8a ②7x-2x=5x ③4y+y=5y(注意：y等同于1y) 2.式子求值步骤 (1)写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号)。 (3)计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4)示例：当a=5,b=3时，求2a+3b的值。 解：当a=5,b=3时， 2a+3b=2×5+3×3 =10+9 =19 知识点七数与形（归纳递推） 1.找规律方法 第5页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第n个图形/数字与序号n之间的关系。 2.常见模型 (1)线性增长模型： ①摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根… ②规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 ③第n个图形所需小棒数：3+2(m-1)=2n+1。 (2）正方形点阵： ①第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点… ②规律：点数是序号的平方。 ③第n个图的点数：n。 3.解题策略 (1)列表整理前几个数据。 (2)观察相邻两项的差或倍数关系。 (3)尝试用含n的式子表示，并验证前几项是否成立。 考点讲练真题亿邑 高频考点一用字母表示数量关系(1个未知数) 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江嘉兴·期末)n是大于0的自然数，选项( )的结果一定是 偶数。 A.2(n+1) B.2n+1 C.n-1 D.n+2 【变式训练1】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的 个数比足球多10个。x一10表示( ),3x表示( ),篮球和排球一共有 )个，排球和足球一共有( )个。 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图所示，丽丽在月历上框出了三组数，下面四个选 项分别是用不同的方式表示的每组4个数之间的关系，其中最合理的是( )。 第6页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 三 四 五六 - 12 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1415 1617 181920 21 2223 2425 2627 28」 2930 1+1=2,8+1=9 8-1=7.9-2=7 d A. A+1 a+1 B+1 a+7 a+8 高频考点二用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)一个长方形的长是a米，宽是b米(a>b),它的周 长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是 ( )平方米。 【变式训练1】用a表示工作效率，t表示工作时间，c表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系。 a= t= C= 先从下面选出合适的信息，再用上面的一个式子解决问题。 ①小锦每天要练150个字。 ②小锦每分钟练5个字。 ③小锦每天要练半小时的字。 我选的信息是 。 (填序号) 我要解决的问题是」 【变式训练2】(24-25五年级上·江苏徐州·期末)用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方 形。 (1)用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ (2)当m=16,n=12时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 第7页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 高频考点三用字母表示数量关系(2个未知数) 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)如果甲车速度是a千米/时，乙车速度是b千米/时。 3小时相遇 甲车 乙车 人 (1)两地之间的距离是( )千米。 (2)两车相遇时，( )车比( )车多行驶了( )千米。 【变式训练1】(2026五年级上·辽宁·专题练习)图书馆原有x本故事书，周五有4个班级来借书，平 均每个班级借走a本故事书，还剩( )本，当x=300,a=12时，图书馆还剩( )本故事书。 【变式训练2】乐乐在元旦联欢会上表演了一个《读心术》的魔术。 第一步：任意想一个50以内的两位数，记录下来： 第二步：用这个两位数十位上的数乘5再加5： 第三步：用上面计算的结果乘2： 第四步：加个位上的数 同学们报出第四步的得数后，乐乐悄悄将这个得数减去10，恰好就是同学们想的那个两位数。 (1)请你按照以上四个步骤完成这个魔术。 我想的数是( ),我的计算过程： (2)请你尝试用含有字母的式子写出你的思考过程和发现的结论。 高频考点四用字母表示规律 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)用小棒按如下规律摆三角形。 △ (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 第8页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训川练1】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图( )中有15个 图⑩中有( )个△。 □△△△ ▣△△ □△△△ △ □△△ □△△△ ▣ ① ② ③ ④ 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)“时代列车”是一种集体单脚跳行进游戏，是趣味运 动项目之一。 如图所示，每队成员需排成纵队，第一位队员双脚站立并用单手揽住第二位队员前伸的腿，第二位队员用 单手揽住第三位队员前伸的腿，另一只手搭在前面队员的肩上，此后队员以此类推。 6个人参加游戏，有( )只脚着地；n个人参加游戏，有( )只脚着地。 高频考点五含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共 有( )人。 A.30-x B.30+x C.60+x D.60-x (1)如果设九宫格正中间的数为，那么请用含m的式子分别表示九宫格内左上角、右上角、左下角和右下 角的四个数。 (2)计算九宫格内四个顶角上的数之和，并说明这个和与正中间的数的数量关系。 (3)若九宫格内的九个数的和为360，求九宫格正中间的数。 第9页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练2】在百数表中任意圈出一个“田”字形，请根据规律回答下列问题。 (1)若设“田”字右下角的数为a,则用含a的式子表示：左上角为( ),右上角为( ),左下 角为( )。 (②)“田”字形中，对角上的两个数之和相等吗？请作出判断并说明理由。 (3)若“田”字形中的四个数之和为150，分别求出这四个数。 高频考点六等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(25-26五年级上·福建福州·期末)小芳和小红去文具店买文具。小芳买了1个笔袋和3 支笔共付21元：小红也买了与小芳同款的3个笔袋和9支笔，小红要付( )元。 【变式训练1】(25-26五年级上·湖南张家界·期末)榴莲每千克a元、荔枝每千克b元，张阿姨买了3 千克榴莲和2千克荔枝一共花了( )元：李阿姨买了8千克荔枝，她花的钱和张阿姨同样多。1千克 榴莲的价钱相当于( )千克荔枝的价钱，当a=32时，她们每人花了( ）元买水果。 【变式训练2】(24-25五年级上·广东广州·期末)如图所示，两个天平平衡，则与一个球的质量相等的 正方体个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 高频考点七等式的性质1 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)不计算，根据等式的规律，在圆圈里填写合适的运算 符号，方框里填写正确的数。 38+12=50 14×6=84 38+12+7=50○☐ 14×6×3=84 38+12-15=50○☐ 14×6÷7=84 38+12○=50+24 14×6 =84÷3 第10页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练1】(25-26五年级上·山东济宁·期末)根据等式的性质，对4x=2x+8进行变换，下列式子 中错误的是( )。 A.2x=8 B.2x=x+4 C.3x=x+8 D.8x=4x+8 【变式训练2】(25-26五年级上·广东广州·期末)如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填 上相应的序号。 (3x-4.5)×9=27 解：9×3x-9×4.5=27→( 27x-40.5=27 27x-40.5+40.5=27+40.5→( 27x=67.5 27x÷27=67.5÷27( x=2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 高频考点八等式的性质2 【典例精讲】(25-26五年级上·陕西安康·期末)如果x=y,根据等式的性质填空。 x+5=y+( x-( )=y-c xX3=y×( x÷( )=y÷8 【变式训川练1】(25-26五年级上·河南三门峡·期末)我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家 用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度=摄氏温度×1.8十32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是( )。 A.如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B.如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C.摄氏温度=华氏温度÷1.8-32 D.(华氏温度-32)÷1.8=摄氏温度 第11页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练2】(24-25五年级上·河南商丘·期末)已知a+10=b,经过变换后两个式子依然相等的是 )。 A.a+10×3和b×3 B.a+10-a和b-b C.(a+10)÷10和b÷10 D.a+10÷5和b÷5 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25五年级下广东深圳期末)淘气有x颗糖果，笑笑的糖果数是淘气的1.5倍。则2.5x表示( A.淘气的糖果数 B.笑笑和淘气的总糖果数 C.笑笑比淘气多的糖果数 2.(26-27五年级上辽宁·课后作业)妍妍的爸爸今年b岁，妍妍今年(b一26)岁。10年后，爸爸( 岁，他们相差( )岁。 A.10,26 B.26,36 C.36,b+10 D.b+10,26 3.(人教版数学五年级上册5.1用字母表示加减数量关系练习卷)一个直角三角形的一个锐角是a°，另 一个锐角是( ）。。 A.180-a B.90-a C.180+a D.90+a 4.(24-25五年级下·福建莆田·期末)截止到2024年7月北京中轴线申遗成功，至此，中国共有59项 世界遗产。其中世界自然遗产有x项，世界文化遗产比世界自然遗产的2倍多10项。2x+10表示( ）, 2x+10-x表示( )。 5.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)已知亮亮家到学校的路程是600米。 (1)亮亮从家去学校，步行速度是60米/分，他t分钟走了( )米，此时距离学校还有( 米。(t小于或等于10) (2)亮亮从家去学校，走了n分钟到达，他的步行速度是( )米/分。 6.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)23可以表示为10×2+3，如果一个三位数百位、十位和个位上的 数字分别是a、b、c,那么这个三位数可以表示为( )。 7.(24-25五年级下·广西防城港·期中)如果7x=8y,那么7x十8=8y+7。( ）（判断对错) 8.(25-26五年级上·江苏宿迁·期末)一种钢笔的单价是x元/支，小芳买了12支，小敏买了5支。 (1)用含有字母的式子表示小芳比小敏多用了多少元。 (2)当x=8时，小芳比小敏多用了多少元？ 第12页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 9. （24-25五年级下·河南周口·阶段检测)李亮和张红两人同时从家出发相向而行，5分钟后相遇。 我每分钟走a米。 我每分钟走b米。 5分钟相遇 李亮 张红 (1)用含有字母的式子表示李亮和张红家之间的距离。 (2)当a=75,b=60时，他们两家之间的距离是多少米？ 10.(24-25五年级上·江苏·课后作业)用s表示路程，v表示速度，t表示时间。 (1)求时间用字母表示是 (2)一辆汽车每小时行驶65千米，从甲地到乙地共行驶了390千米，利用上面的公式求出这辆汽车行驶 了多长时间？ 【能力提升】 1.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)下面四个选项中，( )中两个式子的计算结果一定是相 等的。 A.7和7X2 B.b×b和2b C.a十a和2a D.c+c和c 2.（26-27五年级上·辽宁·单元测试)根据亮亮和李老师的对话，可知当亮亮m岁时，李老师( 岁。 我比你大26岁。 我今年10岁了。 李老师 亮亮 A.10+m B.30m C.m+26 D.36-m 3.(25-26五年级上·河南三门峡·期末)小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是 ( )。(a、b、c均不为0) A.若a=b,则ac=bc B.若a2=2a,则a=2 第13页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义能力提升 C.若a÷c=b÷c,则a=b D.若a=b,则a十b=b-b 4.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人， 3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( 人。 5.(25-26五年级下·江苏宿迁·期末)如图，搭一个五边形需要5根小棒，搭2个五边形需要9根小棒… 那么搭7个五边形需要( )根小棒，搭n个五边形需要( )根小棒。 (1) (2) (3) (4) 6.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42-22=(4+2)×(4-2)=12 7 2-32=(7+3)×(7-3)=40 9 2-42=(9+4)×(9-4)=65 (1)请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152-52=（+)×（--) (2)求下图中涂色部分的面积。聪聪说可以用“a2一b2”来计算，明明说也可以用“(a十b)×(a一b)” 来计算。你知道明明是怎样想的吗？ 第14页共16页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 7.(24-25五年级上·河南洛阳·期末)某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收8元，超 过3千米的部分，每千米收2.4元。张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共行了b(b>3)千米。 (1)用含有字母的式子，表示张叔叔坐出租车从体育馆到火车站，一共花了多少钱？ (2)当b=10时，张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共花了多少钱？ 8.(24-25五年级上·江苏苏州·期末)书桌上放着同样的书本，如下图。请根据图中信息解答： 6本 2本 90cm 86.8cm (1)书桌上每本书厚多少厘米？ (2)如果书桌上整齐叠放着X本同样的书本，那么这一摞书本的顶部距离地面的高度用含有字母的式子表 示为( )厘米。 9.(25-26五年级下·广东揭阳·期末)小军用小棒搭正方形，搭1个正方形需要4根小棒（图1），搭2 个正方形需要7根小棒（图2），搭3个正方形需要10根小棒（图3）。 图1 图2 图3 (1)照这样继续搭下去，搭4个正方形需要( )根小棒。 (2)31根小棒可以搭几个正方形？请你通过画图、文字叙述或者列式计算表达你的思考过程。 第15页共16页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 10.(24-25五年级上·湖北武汉·期中)某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分 每千米收2.4元：晚间(23：00到次日5：00)超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） (1)如果用x（x为整数，且x>3)表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关 系可以用式子表示为y=一一一。 (2)王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 第16页共16页2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义能力提升 第四单元 用字母表示（一）『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+8个考点讲练展+真题难度分层演练 共44题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一 用字母表示数 2 知识点二 用字母表示数量关系 3 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 4 知识点五 利用等式的性质求未知数 4 知识点六 含有字母式子的化简与求值 5 知识点七 数与形（归纳递推） 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 6 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 7 高频考点三 用字母表示数量关系（2个未知数） 8 高频考点四 用字母表示规律 8 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 9 高频考点六 等式的认识及列等量关系式 10 高频考点七 等式的性质1 10 高频考点八 等式的性质2 11 优选真题 实战演练 12 【基础通关】 12 【能力提升】 13 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）是大于0的自然数，选项（    ）的结果一定是偶数。 A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，丽丽在月历上框出了三组数，下面四个选项分别是用不同的方式表示的每组4个数之间的关系，其中最合理的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方米。 【变式训练1】用表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系。 _______________    _______________    _______________ 先从下面选出合适的信息，再用上面的一个式子解决问题。 ①小锦每天要练150个字。 ②小锦每分钟练5个字。 ③小锦每天要练半小时的字。 我选的信息是_______________。（填序号） 我要解决的问题是_____________________________________________ 【变式训练2】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 高频考点三 用字母表示数量关系（2个未知数） 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）如果甲车速度是a千米/时，乙车速度是b千米/时。 (1)两地之间的距离是( )千米。 (2)两车相遇时，( )车比( )车多行驶了( )千米。 【变式训练1】（2026五年级上·辽宁·专题练习）图书馆原有x本故事书，周五有4个班级来借书，平均每个班级借走a本故事书，还剩( )本，当x＝300，a＝12时，图书馆还剩( )本故事书。 【变式训练2】乐乐在元旦联欢会上表演了一个《读心术》的魔术。 第一步：任意想一个50以内的两位数，记录下来； 第二步：用这个两位数十位上的数乘5再加5； 第三步：用上面计算的结果乘2； 第四步：加个位上的数 同学们报出第四步的得数后，乐乐悄悄将这个得数减去10，恰好就是同学们想的那个两位数。 (1)请你按照以上四个步骤完成这个魔术。 我想的数是( )，我的计算过程：________________________________。 (2)请你尝试用含有字母的式子写出你的思考过程和发现的结论。 高频考点四 用字母表示规律 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）用小棒按如下规律摆三角形。 (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 【变式训练1】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图（    ）中有15个，图⑩中有（    ）个△。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）“时代列车”是一种集体单脚跳行进游戏，是趣味运动项目之一。 如图所示，每队成员需排成纵队，第一位队员双脚站立并用单手揽住第二位队员前伸的腿，第二位队员用单手揽住第三位队员前伸的腿，另一只手搭在前面队员的肩上，此后队员以此类推。 6个人参加游戏，有( )只脚着地；n个人参加游戏，有( )只脚着地。 高频考点五 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共有（    ）人。 A．30－x B．30＋x C．60＋x D．60－x (1)如果设九宫格正中间的数为，那么请用含的式子分别表示九宫格内左上角、右上角、左下角和右下角的四个数。 (2)计算九宫格内四个顶角上的数之和，并说明这个和与正中间的数的数量关系。 (3)若九宫格内的九个数的和为360，求九宫格正中间的数。 【变式训练2】在百数表中任意圈出一个“田”字形，请根据规律回答下列问题。 (1)若设“田”字右下角的数为，则用含的式子表示：左上角为( )，右上角为( )，左下角为( )。 (2)“田”字形中，对角上的两个数之和相等吗？请作出判断并说明理由。 (3)若“田”字形中的四个数之和为150，分别求出这四个数。 高频考点六 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（25-26五年级上·福建福州·期末）小芳和小红去文具店买文具。小芳买了1个笔袋和3支笔共付21元；小红也买了与小芳同款的3个笔袋和9支笔，小红要付( )元。 【变式训练1】（25-26五年级上·湖南张家界·期末）榴莲每千克a元、荔枝每千克b元，张阿姨买了3千克榴莲和2千克荔枝一共花了( )元；李阿姨买了8千克荔枝，她花的钱和张阿姨同样多。1千克榴莲的价钱相当于( )千克荔枝的价钱，当a＝32时，她们每人花了( )元买水果。 【变式训练2】（24-25五年级上·广东广州·期末）如图所示，两个天平平衡，则与一个球的质量相等的正方体个数为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点七 等式的性质1 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）不计算，根据等式的规律，在圆圈里填写合适的运算符号，方框里填写正确的数。 38＋12＝50                               14×6＝84 38＋12＋7＝50                   14×6×3＝84 38＋12－15＝50                  14×6÷7＝84 38＋12＝50＋24                  14×6＝84÷3 【变式训练1】（25-26五年级上·山东济宁·期末）根据等式的性质，对4x＝2x＋8进行变换，下列式子中错误的是（    ）。 A．2x＝8 B．2x＝x＋4 C．3x＝x＋8 D．8x＝4x＋8 【变式训练2】（25-26五年级上·广东广州·期末）如图，依依在解方程时运用了哪些知识？在括号里填上相应的序号。 （3x－4.5）×9＝27 解：9×3x－9×4.5＝27→( ) 27x－40.5＝27 27x－40.5＋40.5＝27＋40.5→( ) 27x＝67.5 27x÷27＝67.5÷27→( ) x＝2.5 ①商不变的规律。 ②等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 ③乘法分配律。 ④等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 高频考点八 等式的性质2 【典例精讲】（25-26五年级上·陕西安康·期末）如果，根据等式的性质填空。 x＋5＝y＋( )        x－( )＝y－c x×3＝y×( )        x÷( )＝y÷8 【变式训练1】（25-26五年级上·河南三门峡·期末）我国记录温度常用摄氏温度（℃），还有一些国家用华氏温度（℉）。华氏温度与摄氏温度的关系如下： 华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32 根据华氏温度和摄氏温度的关系，以下说法错误的是（    ）。 A．如果摄氏温度是30℃，相当于华氏温度是86℉。 B．如果华氏温度是77℉，相当于摄氏温度是25℃。 C．摄氏温度＝华氏温度÷1.8－32 D．（华氏温度－32）÷1.8＝摄氏温度 【变式训练2】（24-25五年级上·河南商丘·期末）已知＋10＝，经过变换后两个式子依然相等的是（    ）。 A．＋10×3和×3 B．＋10－和－ C．（＋10）÷10和÷10 D．＋10÷5和÷5 【基础通关】 1．（24-25五年级下·广东深圳·期末）淘气有x颗糖果，笑笑的糖果数是淘气的1.5倍。则2.5x表示（    ）。 A．淘气的糖果数 B．笑笑和淘气的总糖果数 C．笑笑比淘气多的糖果数 2．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）妍妍的爸爸今年b岁，妍妍今年（b－26）岁。10年后，爸爸（    ）岁，他们相差（    ）岁。 A．10，26 B．26，36 C．36，b＋10 D．b＋10，26 3．（人教版数学五年级上册5.1用字母表示加减数量关系练习卷）一个直角三角形的一个锐角是°，另一个锐角是（    ）°。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·福建莆田·期末）截止到2024年7月北京中轴线申遗成功，至此，中国共有59项世界遗产。其中世界自然遗产有x项，世界文化遗产比世界自然遗产的2倍多10项。表示( )，表示( )。 5．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）已知亮亮家到学校的路程是600米。 (1)亮亮从家去学校，步行速度是60米/分，他t分钟走了( )米，此时距离学校还有( )米。（t小于或等于10） (2)亮亮从家去学校，走了n分钟到达，他的步行速度是( )米/分。 6．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为( )。 7．（24-25五年级下·广西防城港·期中）如果7x＝8y，那么7x＋8＝8y＋7。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·江苏宿迁·期末）一种钢笔的单价是x元/支，小芳买了12支，小敏买了5支。 (1)用含有字母的式子表示小芳比小敏多用了多少元。 (2)当x＝8时，小芳比小敏多用了多少元？ 9．（24-25五年级下·河南周口·阶段检测）李亮和张红两人同时从家出发相向而行，5分钟后相遇。 （1）用含有字母的式子表示李亮和张红家之间的距离。 （2）当a＝75，b＝60时，他们两家之间的距离是多少米？ 10．（24-25五年级上·江苏·课后作业）用s表示路程，v表示速度，t表示时间。 （1）求时间用字母表示是__________。 （2）一辆汽车每小时行驶65千米，从甲地到乙地共行驶了390千米，利用上面的公式求出这辆汽车行驶了多长时间？ 【能力提升】 1．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）下面四个选项中，（    ）中两个式子的计算结果一定是相等的。 A．72和7×2 B．b×b和2b C．a＋a和2a D．c＋c和c2 2．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）根据亮亮和李老师的对话，可知当亮亮m岁时，李老师（    ）岁。 A．10＋m B．30m C．m＋26 D．36－m 3．（25-26五年级上·河南三门峡·期末）小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中错误的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若a＝b，则ac＝bc B．若＝2a，则a＝2 C．若a÷c＝b÷c，则a＝b D．若a＝b，则a＋b＝b－b 4．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( )人。 5．（25-26五年级下·江苏宿迁·期末）如图，搭一个五边形需要5根小棒，搭2个五边形需要9根小棒……那么搭7个五边形需要( )根小棒，搭n个五边形需要( )根小棒。 6．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 4－2＝（4＋2）×（4－2）＝12 7－3＝（7＋3）×（7－3）＝40 9－4＝（9＋4）×（9－4）＝65 (1)请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 15－5＝（____＋____）×（____－____） (2)求下图中涂色部分的面积。聪聪说可以用“a－b”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎样想的吗？ 7．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分，每千米收2.4元。张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共行了b（b＞3）千米。 （1）用含有字母的式子，表示张叔叔坐出租车从体育馆到火车站，一共花了多少钱？ （2）当b＝10时，张叔叔坐出租车从体育馆到火车站一共花了多少钱？ 8．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）书桌上放着同样的书本，如下图。请根据图中信息解答： （1）书桌上每本书厚多少厘米？ （2）如果书桌上整齐叠放着X本同样的书本，那么这一摞书本的顶部距离地面的高度用含有字母的式子表示为（          ）厘米。 9．（25-26五年级下·广东揭阳·期末）小军用小棒搭正方形，搭1个正方形需要4根小棒（图1），搭2个正方形需要7根小棒（图2），搭3个正方形需要10根小棒（图3）。 (1)照这样继续搭下去，搭4个正方形需要( )根小棒。 (2)31根小棒可以搭几个正方形？请你通过画图、文字叙述或者列式计算表达你的思考过程。 10．（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null