第三单元 整数乘法（二）-能力提升培优讲义【思维导图+知识卡片+新知梳理+十六大考点讲练+难度分层练 共52题】-2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建整数乘法知识体系，涵盖两三位数乘一位数及整十数口算、两位数与三位数笔算、积的变化规律等8个知识点，用拆分法、去0添0法等具体方法呈现算理，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于16个高频考点讲练设计，每个考点含典例精讲与变式训练，如积的变化规律通过等式填空培养推理意识，估算解决问题结合购物场景强化应用意识，真题分基础通关与能力提升分层演练，助力不同学生提升运算能力，为教师精准教学提供支持。

nullnull2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 第三单元 整数乘法（二）『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+16个考点讲练展+真题难度分层演练 共52题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 3 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 3 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 4 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 4 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 4 知识点六 积的变化规律 5 知识点七 用计算器探索规律 5 知识点八 用估算解决实际问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 6 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 7 高频考点三 三位数与整十数的口算乗法 7 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 8 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 10 高频考点六 两位数乘两位数的估算 11 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 12 高频考点八 三位数乘两位数的估算 12 高频考点九 三位数与两位数的乘法 13 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 14 高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 15 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 16 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 17 高频考点十四 计算器的复杂运算 18 高频考点十五 用计算器探究规律 18 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 21 优选真题 实战演练 22 【基础通关】 22 【能力提升】 26 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 1.拆分口算思路 采用拆分法计算，将两、三位数按数位拆分，两位数拆成整十数和一位数，三位数拆成整百数、整十数和一位数，分别与一位数相乘，再把所有的积相加。 2.几百几十数乘一位数简便算法 先去掉末尾的0，按两位数乘一位数计算，最后在积的末尾添回1个0，计算时需留意末尾的0，避免遗漏造成结果缩小。 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 1.去0添0通用方法 先忽略整十、整百数末尾的0，用两位数乘0前面的数，再在积的末尾添上对应个数的0，适用于两位数乘整十数、整十数乘整十数、几百几十数乘整十数等多种场景。 2.积末尾0的判定 积末尾0的个数大于或等于两个乘数末尾0的个数之和，计算时需结合0前面数字的乘积，判断最终积的末尾0的总数量。 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 1.拆分算理依据 将第二个两位数拆成“整十数+一位数”，分别与第一个乘数相乘后求和，逻辑与口算拆分法一致。 2.笔算分步操作规则 （1）数位对齐：乘数之间相同数位对齐，个位对齐个位、十位对齐十位。 （2）从个位起算：以第二个乘数的个位、十位数字，依次分别乘第一个乘数每一位（个位、十位，三位数需乘至百位）。 （3）对位写积：第二个乘数个位相乘的积，末位对齐个位；十位相乘的积，末位对齐十位。 （4）合并求和：将两次分步相乘得到的积相加，得出最终计算结果。 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 1.进位处理核心要点 计算步骤与不进位笔算完全一致，每一位相乘满几十，就要向前一位进几，计算下一位时需先加上进位的数，叠加进位时需仔细核对，避免遗漏。 2. 三位数乘两位数进位法则 三位数乘两位数的进位规则与两位数通用，逐位相乘时同步处理进位，保证每一步计算准确。 3.验算方法 计算完成后，可交换两个乘数的位置再计算一遍，验证结果是否一致。 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 1.末尾有0简便笔算 乘数末尾有0时，可采用简便写法：把0前面的数字末位对齐相乘，末尾的0不参与竖式计算，最后统计两个乘数末尾0的总个数，添在积的末尾，添0时需数清总个数，避免少添。 2.中间有0的运算规则 乘数中间有0时，0必须参与相乘，不能跳过；没有进位时该位直接写0占位，有进位时需加上进位的数。 3.数位对齐提醒 计算时需注意数位对齐，十位相乘的积末位要与十位对齐，避免对错数位造成结果偏差。 知识点六 积的变化规律 1.基础变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以相同的数；其中除以的数不能为0，因为0不能做除数。 2.积不变规律 一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数（0除外），积不变。 3.双乘数同变规则 两个乘数同时乘同一个数，积就连续乘两次这个数；两个乘数同时除以同一个数（0除外），积就连续除以两次这个数。 知识点七 用计算器探索规律 1.规律探索通用步骤 先借助计算器计算少量简单算式，观察乘数的特征和积的数字变化，归纳总结出通用规律；再运用规律直接推导同类型复杂算式的结果，最后可通过计算器验证规律的正确性。 2.全1数回文乘积规律 两个乘数位数相同，且全部由数字1组成时，乘积是左右对称的回文数；积的中间数字等于乘数的位数，数字从1开始依次递增到中间数，再依次递减到1。例如：11111×11111=123454321 3.全9数自乘特征 全9数相乘的积的规律：乘法算式中两个乘数完全相同，且每个数位上的数字均为9；积的前面部分数值，等于其中一个乘数减去1；积的中间部分是数字0，0的总个数比乘数的位数少1；积的末尾固定为数字1，位于结果的个位。例如：9999×9999=99980001。 注意：仅在乘数位数≤9时成立。 4. 6系列数乘法结论 第一个乘数由n个6组成，第二个乘数位数与第一个相同、前n-1位是6、末位是7时，积由n个4和n个2组成，前半部分全是4、后半部分全是2。 知识点八 用估算解决实际问题 1.估算核心原则 根据实际场景选择估大或估小的策略，保证结论符合现实逻辑。 2.估大估小适用场景 估大策略适用于购物带钱、准备物资等场景，估大后数量仍足够，则实际一定足够；估小策略适用于判断座位、载重是否足够等场景，估小后仍不够，则实际一定不够。 3.估算解题三步法 先将乘数看成接近的整十、整百数，再口算得出估算结果，最后结合场景判断结论；估算无唯一标准答案，但必须符合问题逻辑，不能随意估算。 4.常用数量关系式 计算依托基础数量关系：单价×数量=总价，单量×份数=总量。 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）在括号里填上合适的数。 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 【答案】 60 80 160 30 240 20 48 100 400 12 【思路引导】4800可以看成48个百，6×8＝48，12×4＝48，16×3＝48，1×48＝48，2×24＝48，可以是6个十乘8个十得48个百，也可以是6个百乘8得48个百，还可以是6乘8个百得48个百。只要最终计算结果是48个百即可。据此解答。 【规范解答】60×80＝4800 160×30＝4800 240×20＝4800 48×100＝4800 400×2＝4800 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）根据每组第一道算式的积，直接写出其他三道算式的积。 23×3＝        8×25＝ 23×30＝        24×25＝ 23×300＝        32×25＝ 230×3＝        48×25＝ 【答案】69；200； 690；600； 6900；800； 690；1200 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·周测）在括号里填上适当的数，使乘积相等。 56×32＝28×( ) 24×35＝7×( ) ( )×16＝18×48 26×( )＝23×78 【答案】 64 120 54 69 【思路引导】运用积不变的规律求解，一个乘数（0除外）乘（或除以）几（0除外），要使积不变，另一个乘数（0除外）就要除以（或乘）相同的数。 【规范解答】56÷2＝28，32×2＝64，所以56×32＝28×64； 35÷7＝5，24×5＝120，所以24×35＝7×120； 16×3＝48，18×3＝54，所以54×16＝18×48； 26×3＝78，23×3＝69，所以26×69＝23×78。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·周测）甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36；如果乙数减少5，积就减少120。原来的甲数是多少？乙数呢？ 【答案】24；18 【思路引导】甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36，在原来计算的基础上增加的数是多乘了2个乙，36除以2即为乙；如果乙数减少5，积就减少120，在原来计算的基础上减少的数是少乘了5个甲，120除以5即为甲。 【规范解答】36÷2＝18 120÷5＝24 答：甲数是24，乙数是18。 高频考点三 三位数与整十数的口算乗法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）填空。 右面一列数字按顺序是：_____、_____、_____、_____。 【答案】 2000 4000 6000 8000 【思路引导】整百数乘20的口算题，我们可以用简便方法计算：先把百位上的数字和2相乘，再在算出的结果后面添上2个0即可。 【规范解答】100×20＝2000 200×20＝4000 300×20＝6000 400×20＝8000 右面一列数字按顺序是：2000、4000、6000、8000。 【变式训练】（25-26四年级下·安徽蚌埠·期末）口算。 86÷2＝    3×27＝     20－8÷4＝   600－153＝      125×4＝ 120×50＝   72÷6＝   7＋2×8＝     711＋160＝         5×305＝ 【答案】 ；；；；； ；；；； 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）浩浩计算14×16，发现计算结果与正确结果不一致，这是因为他没有计算点子图中的（    ）。 4×6＝24 10×10＝100 24＋100＝124 A．①和③ B．②和④ C．②和③ D．①和④ 【答案】C 【思路引导】14×16利用乘法分配律拆分： 14×16＝（10＋4）×（10＋6）＝10×10＋10×6＋4×10＋4×6 四块区域对应： ①10×10，②10×6，③4×10，④4×6 浩浩只算了10×10与4×6，漏掉了10×6和4×10，也就是②和③。 【规范解答】根据分析： 正确拆分需要4部分相加：10×10、10×6、4×10、4×6。 浩浩只计算了10×10（①）和4×6（④），缺少②（10×6）和③（4×10）。 【变式训练】（25-26三年级下·北京房山·期末）小慧正在探索16×14的计算方法（如图），能正确表达小慧思路的算式是（    ）。 A．10×10＝100        6×4＝24        100＋24＝124 B．16×7＝112        16×7＝112        112＋112＝224 C．16×4＝64        16×10＝160        64＋160＝224 D．14×6＝84        14×10＝140        140＋84＝224 【答案】C 【思路引导】通过观察点子图，分析其计算思路。图中将14行点子分成了两部分：上面是4行，下面是10行，每行都有16个点。这表示将14拆分为10和4，分别与16相乘，最后将两个积相加。最后再将两次乘得的结果相加，依此选择。 【规范解答】小慧的计算思路是： 16×4＝64 16×10＝160 64＋160＝224 因此16×14＝224 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）玲玲用自己的方法计算了14×12，如图所示。她发现这样计算出的结果108与正确结果不一致。结合如图想一想，她出错是因为没有计算点子图中的( )。 【答案】②和③ 【思路引导】两位数乘两位数时，将其中一个两位数拆成整十数和一位数，分别求出这两个数与另一个两位数的乘积，再相加即可。14可以分成10＋4，12分成10＋2，①表示10×10＝100，②表示10×4＝40，③表示10×2＝20，④表示4×2＝8，100＋40＋20＋8＝168，即14×12＝168；据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知： 计算过程：①10×10＝100 ②10×4＝40 ③10×2＝20 ④4×2＝8 100＋40＋20＋8＝168，即14×12＝168， 结合图可知，他出错是因为没有计算点子图中的②和③。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）列竖式计算。 23×12＝    21×33＝    11×36＝    54×11＝ 【答案】276；693；396；594 【思路引导】两位数乘两位数的笔算方法：先用两位数的个位去乘另一个两位数的每一位，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数的十位去乘另一个两位数的每一位，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的结果加起来。 【规范解答】                                                                                           高频考点六 两位数乘两位数的估算 【典例精讲】（25-26三年级下·山东聊城·期末）消防员叔叔为全校1100名师生做防火灾安全教育报告。报告厅共有29排座位，每排可坐42人。报告厅的座位够吗？下列估算方法最合理的是（    ）。 A．把42看成40，40×29＝1160，1160＞1100，够坐 B．把29看成30，30×42＝1260，1260＞1100，够坐 C．把29看成30、42看成40，30×40＝1200，1200＞1100，够坐 【答案】A 【思路引导】根据两位数乘两位数的“”估算，解决“座位够不够”的问题时，为了确保结论可靠，应将座位数往小估算，如果估算出的较小座位数仍然大于师生总人数，则实际座位数一定够坐。若往大估算，即使结果大于人数，也无法保证实际座位数足够。 【规范解答】A．把42看成40，29不变。因为40＜42，所以29×40的积小于实际座位数29×42的积。计算40×29＝1160。因为1160＞1100，且实际座位数大于1160，所以实际座位数一定大于1100，够坐，此选项正确； B．把29看成30，42不变。因为30＞29，所以30×42的积大于实际座位数29×42的积。计算30×42＝1260。虽然1260＞1100，但实际座位数小于1260，无法确定实际座位数是否大于1100，此选项错误； C．把29看成30，42看成40。一个因数变大，一个因数变小，估算值30×40＝1200与实际值29×42的大小关系不确定，不能严格保证实际座位数大于1100，此选项错误。 【变式训练】（25-26三年级下·山东聊城·期末）25×40积的末尾有( )个0；估算89×92时，可以估成( )×( )，约等于( )。 【答案】 3 90 90 8100 【思路引导】根据两位数乘两位数的计算，计算出25×40的结果后判断积的末尾有几个0；根据两位数乘两位数的估算，将两个因数估成接近的整十数后相乘，即可求出估算的结果。 【规范解答】25×40＝1000 89×92≈90×90＝8100 25×40积的末尾有3个0；估算89×92时，可以估成90×90，约等于8100。 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 【典例精讲】（25-26四年级上·上海松江·期中）1000减22与18的积，结果是多少？ 【答案】604 【思路引导】要先算乘法再算减法，先算出22和18的乘积：22×18=396；再用1000减去这个乘积。 【规范解答】1000－22×18 ＝1000－396 ＝604 结果是604。 【变式训练】（25-26四年级上·上海闵行·期中）学校第一次购买15块磁性小黑板，每块26元，第二次又买了同样的小黑板8块，一共应付多少元？ 【答案】598元 【思路引导】先用加法算出两次一共买了多少块小黑板，再用总块数乘每一块的价钱，得到总价。 【规范解答】15＋8＝23（块） 23×26＝598（元） 答：一共应付598元。 高频考点八 三位数乘两位数的估算 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·周测）四（1）班有46人，学校准备为他们更换新校服，新校服的价格是每套106元，估算一下，5000元钱够买吗？ 【答案】够买 【思路引导】把46人按照50人估算，若结果小于等于5000元，那就够买；若结果大于5000元，计算多算的四个人的钱数，用估算的钱数减去多出来的四人的钱数，结果与5000元比较大小即可。 【规范解答】106×46≈106×50＝5300（元） 50－46＝4（人） 106×4＝424（元） 5300－424＝4876（元），4876＜5000 答：5000元够买。 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）图中点表示的数可能是下面算式（    ）的积。 A．498×39 B．498×49 C．498×59 D．498×69 【答案】C 【思路引导】根据题意，把三位数看作整百数、把两位数看作整十数，进行估算，把计算结果与P点表示的数进行比较，可知，P点表示的数比30000小且比较接近30000，据此作出判断选择即可。 【规范解答】A．498×39≈500×40＝20000； B．498×49≈500×50＝25000； C．498×59≈500×60＝30000； D．498×69≈500×70＝35000。 因此，点P表示的数可能是算式498×59的积。 高频考点九 三位数与两位数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级上·江苏盐城·期中）列竖式计算。 15×409＝        285×32＝        820×28＝ 160×80＝        325×40＝        800×74＝ 【答案】6135；9120；22960； 12800；13000；59200 【思路引导】三位数乘以两位数的竖式计算：先要用两位数个位和十位上的数依次分别去乘三位数；用两位数哪一位上的数去乘，乘得的数末位就和哪一位对齐；再把两次乘得的数相加得到计算结果。 【规范解答】15×409＝6135 285×32＝9120 820×28＝22960               160×80＝12800 325×40＝13000 800×74＝59200             【变式训练】（25-26四年级上·广东韶关·期中）竖式计算。 112×25＝           460×21＝          82×403＝ 【答案】2800；9660；33046 【思路引导】三位数乘两位数的竖式计算： 相同数位对齐；先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和十位对齐；最后把两次乘得的积相加。 【规范解答】112×25＝2800          460×21＝9660              82×403＝33046 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁大连·期中）竖式计算。 68×130＝               905×24＝              276×36＝ 【答案】8840；21720；9936 【思路引导】三位数乘两位数的方法：先用两位数个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相 乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。 【规范解答】68×130＝8840     905×24＝21720       276×36＝9936             【变式训练】（25-26四年级上·辽宁鞍山·期中）列竖式计算。 660×75＝    205×58＝    867×29＝ 【答案】49500；11890；25143 【思路引导】列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。 【规范解答】660×75＝49500     205×58＝11890     867×29＝25143                        高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江衢州·期中）如果两个乘数的末尾都没有0，那么积的末尾（    ）。 A．一定有0 B．一定没有0 C．可能有0 D．不能判断 【答案】C 【思路引导】通过举例可验证，两个末尾没有0的乘数相乘，积的末尾是否有0存在两种情况。 【规范解答】，两个乘数末尾都没有0，积的末尾有0。 ，两个乘数末尾都没有0，积的末尾没有0。 因此积的末尾可能有0。 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁鞍山·期中）计算下面各题。 308×26＋237     4013－13×290    （425－206）×59 【答案】8245；243；12921 【思路引导】（1）整数四则混合运算，没有括号先算乘法，再算加法； （2）整数四则混合运算，没有括号先算乘法，再算减法； （3）整数四则混合运算，有括号先算括号里面的，再算括号外面的乘法。 【规范解答】（1）308×26＋237 ＝8008＋237 ＝8245 （2）4013－13×290 ＝4013－3770 ＝243 （3）（425－206）×59 ＝219×59 ＝12921 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级下·山西临汾·期末）2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【答案】能 【思路引导】先计算笑笑15分钟能讲的总字数，再和稿子的3000字比较，若总字数大于或等于3000，就能在规定时间内讲完稿子。 【规范解答】（个） 答：她能演讲完。 【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末）新学期开始前，某文具店购进32箱铅笔，已知每箱铅笔有149支，求购进多少支铅笔。亮亮通过下面的竖式进行计算，则2箱中有( )支铅笔，竖式中箭头所指的这一步表示的是( )箱中有( )支铅笔。 【答案】 298 30 4470 【思路引导】计算149×32时，可以把32拆成2＋30。先用个位上的2乘149：149×2＝298，代表2箱铅笔的总数；再用十位上的3乘149：十位上的3表示30，149×30＝4470。 竖式书写时，末尾的0省略不写，把447的末位和十位对齐，箭头指向的447实际代表4470，表示30箱铅笔的总数。 【规范解答】149×2＝298，所以2箱中有298支铅笔；竖式箭头所指一步表示的是30箱中有4470支铅笔。 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）已知12345×9＝111105，那么12345×36＝( )（用计算器计算）；如果用简便方法计算，那么12345×36＝12345×( )×( )＝( )。 【答案】 444420 9 4 444420 【思路引导】已知12345×9＝111105，观察36，36＝9×4。利用积的变化规律，一个乘数不变，另一个乘数乘4，积也要乘4，把36拆成9×4进行简便计算。 【规范解答】用计算器计算：12345×36＝444420 简便计算： 12345×36＝12345×9×4 ＝111105×4 ＝444420 【变式训练】（25-26四年级下·山东潍坊·期末）用计算器计算一个数乘24，按键输入“24”时，不小心误操作，只按了“4”，如果想得到原题的结果，接下来应该输入（    ）。 A．×20 B．＋20 C．×6 【答案】C 【思路引导】把24拆成4与6的乘积，一个数乘两个数的积等于这个数连续乘这两个数，据此推导后续操作。 【规范解答】原式为：一个数×24，拆分24得：24＝4×6，因此一个数×24＝一个数×4×6，已经输入乘4，接下来应输入×6。 高频考点十四 计算器的复杂运算 【典例精讲】（25-26四年级下·山东枣庄·期中）观察算式：3×4＝12；33×34＝1122；333×334＝111222；根据你发现的规律再写出一道这样的算式：( ) 【答案】3333×3334＝11112222 【思路引导】观察已知算式可以总结规律：如果第一个因数是n个3组成的数，第二个因数比第一个因数大1，那么乘积就是n个1后面接n个2组成的数。按照规律，我们就可以写出符合要求的算式。 【规范解答】3×4＝12；33×34＝1122；333×334＝111222；3333×3334＝11112222（答案不唯一） 【变式训练】（25-26四年级下·湖北恩施·期末）用计算器计算“1234×63”时，发现键“6”坏了。如果还用这个计算器，错误的做法是（    ）。 A．1234×9×7 B．1234×（60÷3） C．1234×21×3 【答案】B 【思路引导】将63拆成两个不含数字6的数相乘的形式，保证算式结果和相等且不使用坏键“6”，据此判断即可。 【规范解答】A．，所以，A做法正确； B．，，且需要按键“6”，无法计算，B做法错误； C．，所以，C做法正确。 高频考点十五 用计算器探究规律 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·周测）先用计算器计算下面各题，找出规律后，再按规律直接在横线上填数。 1×9＝______ 91×99＝______ 991×999＝______ 9991×9999＝______ ______×______＝______ ______×______＝______ 【答案】 9 9009 990009 99900009 99991 99999 9999000009 999991 999999 999990000009 【思路引导】1×9＝9，91×99＝9009，991×999＝990009，9991×9999＝99900009；观察算式和结果的特点，第一个乘数：末尾都是1，前面依次多1个9：1→91→991→9991…；第二个乘数：末尾都是9，前面依次多1个9：9→99→999→9999…；乘积的规律： 第一个乘数里有几个9，乘积开头就写几个9，接着写比这个9的数量多1个的0，最后末尾固定是数字9。比如991里有2个9，乘积开头就是2个9，接着写3个0，最后加末尾的9，就得到990009。 【规范解答】1×9＝9 91×99＝9009 991×999＝990009 9991×9999＝99900009 99991×99999＝9999000009 999991×999999＝999990000009 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）计算并观察前面几道算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001＝            55×99＝ 22×1001＝            555×999＝ 23×1001＝            5555×9999＝ 24×1001＝            55555×99999＝ 25×1001＝            555555×999999＝ 【答案】21021；5445； 22022；554445； 23023；55544445； 24024；5555444445； 25025；555554444445 【思路引导】第一组：1001可拆为1000＋1，根据乘法分配律推导积与乘数的规律，验证规律后后续算式直接按规律写结果；第二组，55×99＝55×（100－1），555×999＝555×（1000－1），根据乘法分配律推导积的位数、数字组成规律，验证规律后后续算式直接按规律写结果。 【规范解答】21×1001 ＝21×（1000＋1） ＝21×1000＋21×1 ＝21000＋21 ＝21021 22×1001 ＝22×（1000＋1） ＝22×1000＋22×1 ＝22000＋22 ＝22022 观察上面算式及结果，易发现：两位数乘1001，相当于把这个两位数重复写两遍，中间补1个0，直接得到五位数的积，比如21重复两次就是21，中间插0就得到21021。 验证规律：23×1001 ＝23×（1000＋1） ＝23×1000＋23×1 ＝23000＋23 ＝23023 符合规律特征，所以 24×1001＝24024 25×1001＝25025 55×99 ＝55×（100－1） ＝55×100－55 ＝5500－55 ＝5400＋100－55 ＝5400＋45 ＝5445 555×999 ＝555×（1000－1） ＝555×1000－555×1 ＝555000－555 ＝554000＋1000－555 ＝554000＋445 ＝554445 观察上面算式及结果，易发现：n个5组成的数乘n个9组成的数，积的规律是：先写（n－1）个5，接着写n个4，最后末尾加1个5。比如55乘99，就先写1个5，接着写2个4，末尾加5，得到5445。 验证规律： 5555×9999 ＝5555×（10000－1） ＝5555×10000－5555×1 ＝55550000－5555 ＝55540000＋10000－5555 ＝55540000＋4445 ＝55544445 符合规律特征，所以 55555×99999＝5555444445 555555×999999＝555554444445 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）学校开展“诗歌创作”活动，将优秀作品编辑成一本诗集。每本诗集需要32张纸，需要准备多少张纸，就够给四年级的297名同学每人制作一本诗集？下面4个同学中，( )的估算方法能解决这个问题。 【答案】晶晶 【思路引导】要保证准备的纸足够给所有同学制作诗集，估算结果必须大于或等于实际需要的总纸张数，因此要采用进一法的估算逻辑；先确定实际总纸张数的计算式为：，再逐一分析每个同学的估算方式：判断其对两个乘数的估算是放大还是缩小，进而判断估算结果和实际值的大小关系；筛选出估算结果大于等于实际值的估算方法，即为符合要求的方法。 【规范解答】芳芳的估算：将估为，估小了，没变，所以积小于的实际结果，不够需求量，不符合要求； 明明的估算：将估为，估小了，将估为，也估小了，所以估算结果远小于实际的积，不够需求量，不符合要求； 贝贝的估算：将估为，估大了，将估为，估小了，小于，不够需求量，不符合要求； 晶晶的估算：将估为，估大了，没变，积是大于实际的结果，够需求量，符合要求； 所以4个同学中，晶晶的估算方法能解决本题的问题。 【变式训练】（25-26四年级下·江苏扬州·期末）星光影院最多能容纳1300人。阳光小学有19个班，每班有48人；希望小学共有学生280人。如果这两所小学的学生同时去观看，这个影院能否全部容纳？（请写出估算过程） 【答案】 能 【思路引导】先将阳光小学的班级数和每班人数都往大估成整十数，计算出阳光小学学生人数的上限，再加上希望小学的准确人数，得到总人数的估算上限。若这个估算上限仍小于影院容量，则说明实际人数一定能被容纳。 【规范解答】把19往大估，看成20，把48往大估，看成50。 20×50＝1000（人） 1000＋280＝1280（人） 1280＜1300 答：往大估，人数都能容纳，实际人数小于1280，所以肯定能全部容纳。 【基础通关】 1．（25-26四年级上·贵州铜仁·期中）在计算250×34的时候，2×4表示（    ）。 A．2×4 B．20×40 C．200×4 【答案】C 【思路引导】计算时，先明确数字所在数位的意义据此解答即可。 【规范解答】的在百位，表示；的在个位，表示，所以表示。 2．（25-26四年级上·贵州铜仁·期中）根据算式21×460＝9660，推理2100×46的积是（    ）。 A．960 B．96600 C．966000 【答案】B 【思路引导】利用积的变化规律：两个数相乘，其中一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）。 【规范解答】根据分析可得： 对比已知算式21×460＝9660和新算式2100×46： 第一个因数21变成2100，是乘了100； 第二个因数460变成46，是除以10； 总的变化是原来的积先乘100、再除以10，即： 9660×100÷10 ＝966000÷10 ＝96600 所以2100×46的积是96600。 3．（25-26四年级上·上海松江·期中）载重5吨的卡车一次最多能装（    ）袋重65千克的化肥。 A．77 B．76 C．70 D．80 【答案】B 【思路引导】采用乘法验算，化肥总质量不能超过卡车的载重量，找出符合要求的最大数量。1吨＝1000千克，所以5吨＝5000千克。 【规范解答】A．77袋，65×77＝5005千克，5005千克＞5000千克，超重，不符合题意。 B．76袋，65×76＝4940千克，4940千克＜5000千克，符合题意。 C．70袋，65×70＝4550千克，4550千克＜5000千克，但不是最多可装的数量，不符合题意。 D．80袋，65×80＝5200千克，5200千克＞5000千克，超重，不符合题意。 4．（25-26四年级上·浙江衢州·期中）在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 100001( )99999        48万( )480000         120×23( )12×230 【答案】 ＞ ＝ ＝ 【思路引导】（1）首先判断两个数的位数，如果位数不同，那么位数多的数更大；如果位数相同，再从最高位到低位依次比较对应数位的数字大小。 （2）先把计数单位统一改写为相同的表示形式，比如把“万”为单位的数改写为普通整数，再按照整数大小比较方法判断。 （3）对于两个乘法算式比较大小，可根据积的变化规律，观察两个因数的缩放倍数是否相同，也可以分别计算出两个算式的积，再比较积的大小。 【规范解答】（1）100001是6位数，99999是5位数，位数多的数更大，所以100001＞99999。 （2）1万＝10000，48万就是48×10000＝480000，两个数完全相等，所以48万＝480000。 （3）根据乘法计算规律，一个乘数缩小10倍，另一个乘数扩大10倍，积不变，两边的计算结果都是2760，所以120×23＝12×230。 5．（25-26四年级上·广东韶关·期中）400×25的积的末尾有( )个0；104×36的积是( )位数。 【答案】 4 4 【思路引导】400×25：先算4×25＝100，再补上400后的2个0，末尾就能算出几个0； 三位数乘两位数：可以用竖式计算，具体步骤：先用两位数个位去乘三位数，积末尾对齐个位；再用两位数十位去乘三位数，积末尾对齐十位；两次的积相加。这样看得数是几位数。 【规范解答】①先算4×25＝100，再补上400后面的2个0，100×100＝10000，末尾4个0。 ②104×36： 计算出结果3744，数一数，一共四位。 6．（25-26四年级上·江苏盐城·期中）用1、2、0、5、8组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘积最大的算式是___________________，乘积最小的算式是________________。（每个数字只用一次） 【答案】 810×52＝42120 258×10＝2580 【思路引导】根据乘法的计算方法和数位知识可知，要想这个三位数乘两位数的算式的积最大，就要使这两个乘数尽量大，就要使这个三位数与两位数的高位上的数值尽量大，由于三位数的位数多，数值大，所以应使位数少的两位数的高位尽量大；反之，要使积最小，应使高位数上的数尽量小，两位数尽量小。 第一个空，要使两个数的乘积最大，把大的数字分别放在两个乘数的高位上，小的数字分别放在两个乘数的低位上，因为两个乘数的数位不同，所以还需要再调整数字位置，计算不同情况的算式，找出积最大的算式。 第二个空，要使两个数的乘积最小，把小的数字分别放在两个乘数的高位上，大的数字分别放在两个乘数的低位上，因为两个乘数的数位不同，所以还需要再调整数字位置，计算不同情况的算式，找出积最小的算式。 【规范解答】0＜1＜2＜5＜8 820×51＝41820 810×52＝42120 821×50＝41050 520×81＝42120 510×82＝41820 521×80＝41680 则乘积最大的算式是：810×52＝42120或81×520＝42120。 105×28＝2940 158×20＝3160 108×25＝2700 18×205＝3690 15×208＝3120 10×258＝2580 则乘积最小的算式是：258×10＝2580。 7．（25-26四年级上·浙江衢州·期中）直接写出得数。 210×5＝        62000＋8000＝          714÷7＝            398×97≈ 356＋345＝      60×23＝               105÷5＝            72×602≈ 【答案】1050；70000；102；40000； 701；1380；21；42000 【解析】略 8．（25-26四年级上·广东韶关·期中）脱式计算。 （201＋296）÷7             136＋35×6             23×（96÷3） 【答案】 71；346；736 【思路引导】（201＋296）÷7先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法； 136＋35×6先算乘法，再算加法； 23×（96÷3）先算小括号里面的除法，再算括号外面的乘法。 【规范解答】（201＋296）÷7 ＝497÷7 ＝71 136＋35×6 ＝136＋210 ＝346 23×（96÷3） ＝23×32 ＝736 9．（25-26四年级上·江苏盐城·期中）一份稿件5500个字，李亮平均每分钟能打112个字，他50分钟能把这份稿件打完吗？ 【答案】能 【思路引导】根据题意，用李亮平均每分钟能打字的个数乘50分钟，求出50分钟打字的个数，再用50分钟打字的个数与5500进行比较，即可解答。 【规范解答】112×50＝5600（个） 5600＞5500 答：他50分钟能把这份稿件打完。 10．（25-26四年级上·贵州遵义·期中）贵州的万峰林景区，门票每人70元，观光车每人50元，一个旅游团有35人，买门票和观光车车票一共需要多少元？ 【答案】 4200元 【思路引导】用门票的价格加上观光车的价格，先算出1个人的门票和观光车总费用，再乘旅游团的总人数，就能得到总共需要的钱数。 【规范解答】（70＋50）×35 ＝120×35 ＝4200（元） 答：买门票和观光车车票一共需要4200元。 【能力提升】 1．（25-26四年级上·浙江杭州·期末）“□02×68”的计算结果可能是（    ）。 A．5736 B．20536 C．47734 D．74336 【答案】B 【思路引导】根据“□02×68”的个位数字2和8可知，乘积的个位一定是6；再分别计算出三位数最小是102和最大是902时的乘积，找出符合要求的选项即可。 【规范解答】2×8＝16，则乘积个位数字是6； 102×68＝6936，902×68＝61336，则乘积大于6936而小于61336。 A．5736＜6936，不符合要求； B．20536个位是6，且大于6936而小于61336，符合要求； C．47734个位是4，不符合要求； D．74336＞61336，不符合要求。 所以，“□02×68”的计算结果可能是20536。 2．（25-26四年级上·辽宁大连·期中）一袋10kg黄豆约五十万粒，200袋这样的黄豆大约有（    ）粒。 A．一千万 B．一亿 C．十亿 D．一百万 【答案】B 【思路引导】明确已知条件：1袋黄豆约五十万粒，五十万写作500000。总粒数等于每袋的粒数乘袋数，就是用1袋的粒数乘袋数： 【规范解答】五十万写作500000。 （粒） 100000000＝1亿 即200袋这样黄豆大约有一亿粒。 3．（25-26四年级下·江苏苏州·期中）有一种特别的计算器，它只有两个按键[＋1]和[×2]。当你按下其中一个键，计算器马上会显示运算结果。若计算器原有数据为9，当你按下[＋1]时就会显示为10，再按下[×2]时就会显示20。如果此计算器的初始值为1，要用它得到200，至少要按键（    ）次。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【思路引导】用乘法凑200显然要更快一些，按下其中一个键计算器马上会显示运算结果，其中一个因数可以看成是若干个2连乘得到，解答时使用逆运算，[＋1]和[×2]的逆运算是[－1]和[÷2]，200连续除以2，除不尽的再减1，继续除以2，直到结果是1为止，据此解答。 【规范解答】200÷2÷2÷2＝25（3步运算） （25－1）÷2÷2÷2＝3（4步运算） （3－1）÷2＝1或（3－1）－1＝1（2步运算） 可列算式：［（1＋1＋1）×2×2×2＋1］×2×2×2或［（1×2＋1）×2×2×2＋1］×2×2×2，共9步。 4．（25-26四年级上·江苏苏州·期末）有一串数字组成的一个数“12345679”，因为没有“8”，所以被称为“缺8数”。关于“缺8数”，有很多神奇的现象，请仔细观察下面含有“缺8数”的算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 …… 12345679×63＝( ) 【答案】 36 777777777 【思路引导】观察可知，乘数依次是9的1倍、2倍、3倍，积分别由1、2、3重复9次组成；按这个规律，乘数是9的几倍，积就由数字几重复9次组成。 【规范解答】9×1＝9，9×2＝18，9×3＝27，下一项的乘数是9×4＝36，所以12345679×36＝444444444。 63＝9×7，按规律，12345679×63的积由7重复9次组成，即777777777。 5．（25-26四年级上·辽宁鞍山·期中）要使216×□3的积是四位数，□里最大填( )。 【答案】4 【思路引导】题目要求：找到最大的一位数填入方框，使得216与两位数□3的乘积为四位数，首先确定□可填的取值范围是1到9的正整数；要找最大的可填数，所以可从较大的数字开始试算，采用试算法，因为4是与2相乘所得积为一位数（没有进位）的乘数中最大的1个数，所以从□＝4开始，计算216×43的结果，再依次尝试更大的数5与216的积，判断积是否为四位数，即可确定最大值。 【规范解答】当□＝4时，算式为216×43，计算可得216×43＝9288，积是四位数；当□＝5时，算式为216×53，计算可得216×53＝11448，积是五位数。所以括号里最大填4。 6．（25-26四年级上·浙江衢州·期中）列竖式计算。 125×88＝         702×28＝            12×480＝     35×186＝ 【答案】11000；19656；5760；6510 【思路引导】首先明确多位数乘法竖式的书写规则，相同数位对齐，若有因数末尾带0，可先将0前面的数对齐，最后再补0简化计算。 对于每个乘法算式，先用第二个因数的个位去乘第一个因数，所得结果的末位和第二个因数的个位对齐；再用第二个因数的十位去乘第一个因数，所得结果的末位和第二个因数的十位对齐；最后要把两次乘得的结果相加，最终得到乘积结果。 【规范解答】125×88＝11000           702×28＝19656                         12×480＝5760            35×186＝6510                 7．（25-26四年级上·辽宁大连·期中）包装礼盒需要28厘米彩带，共350个礼盒，估一估准备100米彩带够用吗？ 【答案】 够用 【思路引导】明确1米＝100厘米，判断彩带是否够用，需先统一单位，再用乘法估算350个礼盒需要的彩带总长度，最后和100米对应的长度比较大小。 【规范解答】1米＝100厘米 米厘米 （厘米） 30－28＝2（厘米） 350×2＝700厘米 10500－700＝9800（厘米） 9800＜10000 答：准备100米彩带够用。 8．（25-26四年级上·上海闵行·期中）某手机专卖店第一季度共卖出389部手机，获利77800元，照这样的销售速度，请你估算一下，这家手机专卖店能完成全年35万元的获利目标吗？请写出估算过程。 【答案】把77800估成8万，8×4＝32万。 32万＜35万，完不成。 【思路引导】先明确一年有4个季度，照第一季度的获利速度，全年获利是第一季度的4倍。通过估算计算全年大约的获利金额，再和35万元比较。估算时将第一季度获利往大估，若估大后的结果仍小于目标值，说明实际无法完成目标。 【规范解答】1年有4个季度35万元＝350000元 （元） 320000元＝32万元 答：由于估算时把第一季度获利往大了估，实际全年获利比32万元少，因此不能完成全年获利目标。 9．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）用5，6，7，8，9这五个数字组成一个三位数和一个两位数，并计算出它们的积。积最大是多少？ 【答案】84000 【思路引导】要使三位数乘两位数乘积最大，遵循规律： 1.大数尽可能放在高位； 2.两个数的差越小，乘积越大。 数字：5，6，7，8，9 先把最大两个数字9、8分别放在两个数的首位； 接着安排7、6，最小数字5放在末尾，组合尝试对比： 965×87、975×86、865×97、875×96 【规范解答】965×87＝83955 975×86＝83850 865×97＝83905 875×96＝84000 对比可得最大乘积为84000。 答：积最大是84000。 10．（26-27四年级上·全国·课后作业）有些国家采用“画线法”计算三位数乘两位数。如图①，用两组分开的线代表不同数位上的数，形成的交叉点从右往左依次对应“个、十、百、千”等计数单位。 (1)图②中D圈中2个点表示2个一，那么A圈中2个点表示( )个( )。 (2)请你用“画线法”在图③上先圈一圈，再计算214×31＝( )。 【答案】(1) 2 千 (2) 【思路引导】（1）根据画线法“从右往左依次对应个、十、百、千”的规则，结合D圈的位置和意义，推导A圈对应的计数单位。 （2）利用画线法计算三位数乘两位数，分别计算各数位对应的交叉点数量，满十向前一位进一，最终得到乘积。 【规范解答】（1）由题意可知，交叉点从右往左依次对应个、十、百、千等计数单位。D圈在最右侧，2个点表示2个一，对应个位。A圈在最左侧，是从右往左数第4个数位，对应千位，因此2个点表示2个千。 （2）作图：在图③中从右往左依次圈出四个交叉区域，最右侧区域为个位（4个交叉点），右数第二个区域为十位（13个交叉点），满十需向右数第三个区域即百位进一，右数第三个区域为百位（5个交叉点），加上进位的一，即，最左侧区域为千位（6个交叉点），作图略；。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 第三单元 整数乘法（二）『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+16个考点讲练展+真题难度分层演练 共52题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 3 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 3 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 4 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 4 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 4 知识点六 积的变化规律 5 知识点七 用计算器探索规律 5 知识点八 用估算解决实际问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 6 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 6 高频考点三 三位数与整十数的口算乗法 7 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 7 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 8 高频考点六 两位数乘两位数的估算 8 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 9 高频考点八 三位数乘两位数的估算 9 高频考点九 三位数与两位数的乘法 9 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 10 高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 10 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 11 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 11 高频考点十四 计算器的复杂运算 11 高频考点十五 用计算器探究规律 11 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 12 优选真题 实战演练 13 【基础通关】 13 【能力提升】 14 知识点一 两、三位数乘一位数的口算 1.拆分口算思路 采用拆分法计算，将两、三位数按数位拆分，两位数拆成整十数和一位数，三位数拆成整百数、整十数和一位数，分别与一位数相乘，再把所有的积相加。 2.几百几十数乘一位数简便算法 先去掉末尾的0，按两位数乘一位数计算，最后在积的末尾添回1个0，计算时需留意末尾的0，避免遗漏造成结果缩小。 知识点二 两、三位数乘整十数的口算 1.去0添0通用方法 先忽略整十、整百数末尾的0，用两位数乘0前面的数，再在积的末尾添上对应个数的0，适用于两位数乘整十数、整十数乘整十数、几百几十数乘整十数等多种场景。 2.积末尾0的判定 积末尾0的个数大于或等于两个乘数末尾0的个数之和，计算时需结合0前面数字的乘积，判断最终积的末尾0的总数量。 知识点三 两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 1.拆分算理依据 将第二个两位数拆成“整十数+一位数”，分别与第一个乘数相乘后求和，逻辑与口算拆分法一致。 2.笔算分步操作规则 （1）数位对齐：乘数之间相同数位对齐，个位对齐个位、十位对齐十位。 （2）从个位起算：以第二个乘数的个位、十位数字，依次分别乘第一个乘数每一位（个位、十位，三位数需乘至百位）。 （3）对位写积：第二个乘数个位相乘的积，末位对齐个位；十位相乘的积，末位对齐十位。 （4）合并求和：将两次分步相乘得到的积相加，得出最终计算结果。 知识点四 两、三位数乘两位数（进位）的笔算 1.进位处理核心要点 计算步骤与不进位笔算完全一致，每一位相乘满几十，就要向前一位进几，计算下一位时需先加上进位的数，叠加进位时需仔细核对，避免遗漏。 2. 三位数乘两位数进位法则 三位数乘两位数的进位规则与两位数通用，逐位相乘时同步处理进位，保证每一步计算准确。 3.验算方法 计算完成后，可交换两个乘数的位置再计算一遍，验证结果是否一致。 知识点五 乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 1.末尾有0简便笔算 乘数末尾有0时，可采用简便写法：把0前面的数字末位对齐相乘，末尾的0不参与竖式计算，最后统计两个乘数末尾0的总个数，添在积的末尾，添0时需数清总个数，避免少添。 2.中间有0的运算规则 乘数中间有0时，0必须参与相乘，不能跳过；没有进位时该位直接写0占位，有进位时需加上进位的数。 3.数位对齐提醒 计算时需注意数位对齐，十位相乘的积末位要与十位对齐，避免对错数位造成结果偏差。 知识点六 积的变化规律 1.基础变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以相同的数；其中除以的数不能为0，因为0不能做除数。 2.积不变规律 一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数（0除外），积不变。 3.双乘数同变规则 两个乘数同时乘同一个数，积就连续乘两次这个数；两个乘数同时除以同一个数（0除外），积就连续除以两次这个数。 知识点七 用计算器探索规律 1.规律探索通用步骤 先借助计算器计算少量简单算式，观察乘数的特征和积的数字变化，归纳总结出通用规律；再运用规律直接推导同类型复杂算式的结果，最后可通过计算器验证规律的正确性。 2.全1数回文乘积规律 两个乘数位数相同，且全部由数字1组成时，乘积是左右对称的回文数；积的中间数字等于乘数的位数，数字从1开始依次递增到中间数，再依次递减到1。例如：11111×11111=123454321 3.全9数自乘特征 全9数相乘的积的规律：乘法算式中两个乘数完全相同，且每个数位上的数字均为9；积的前面部分数值，等于其中一个乘数减去1；积的中间部分是数字0，0的总个数比乘数的位数少1；积的末尾固定为数字1，位于结果的个位。例如：9999×9999=99980001。 注意：仅在乘数位数≤9时成立。 4. 6系列数乘法结论 第一个乘数由n个6组成，第二个乘数位数与第一个相同、前n-1位是6、末位是7时，积由n个4和n个2组成，前半部分全是4、后半部分全是2。 知识点八 用估算解决实际问题 1.估算核心原则 根据实际场景选择估大或估小的策略，保证结论符合现实逻辑。 2.估大估小适用场景 估大策略适用于购物带钱、准备物资等场景，估大后数量仍足够，则实际一定足够；估小策略适用于判断座位、载重是否足够等场景，估小后仍不够，则实际一定不够。 3.估算解题三步法 先将乘数看成接近的整十、整百数，再口算得出估算结果，最后结合场景判断结论；估算无唯一标准答案，但必须符合问题逻辑，不能随意估算。 4.常用数量关系式 计算依托基础数量关系：单价×数量=总价，单量×份数=总量。 高频考点一 两位数乘整十数的口算乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）在括号里填上合适的数。 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 ( )×( )＝4800 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）根据每组第一道算式的积，直接写出其他三道算式的积。 23×3＝        8×25＝ 23×30＝        24×25＝ 23×300＝        32×25＝ 230×3＝        48×25＝ 高频考点二 积的变化规律（整数乘法) 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·周测）在括号里填上适当的数，使乘积相等。 56×32＝28×( ) 24×35＝7×( ) ( )×16＝18×48 26×( )＝23×78 【变式训练】（26-27四年级上·全国·周测）甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36；如果乙数减少5，积就减少120。原来的甲数是多少？乙数呢？ 高频考点三 三位数与整十数的口算乗法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）填空。 右面一列数字按顺序是：_____、_____、_____、_____。 【变式训练】（25-26四年级下·安徽蚌埠·期末）口算。 86÷2＝    3×27＝     20－8÷4＝   600－153＝      125×4＝ 120×50＝   72÷6＝   7＋2×8＝     711＋160＝         5×305＝ 高频考点四 两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）浩浩计算14×16，发现计算结果与正确结果不一致，这是因为他没有计算点子图中的（    ）。 4×6＝24 10×10＝100 24＋100＝124 A．①和③ B．②和④ C．②和③ D．①和④ 【变式训练】（25-26三年级下·北京房山·期末）小慧正在探索16×14的计算方法（如图），能正确表达小慧思路的算式是（    ）。 A．10×10＝100        6×4＝24        100＋24＝124 B．16×7＝112        16×7＝112        112＋112＝224 C．16×4＝64        16×10＝160        64＋160＝224 D．14×6＝84        14×10＝140        140＋84＝224 高频考点五 两位数乘两位数的不进位乘法 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）玲玲用自己的方法计算了14×12，如图所示。她发现这样计算出的结果108与正确结果不一致。结合如图想一想，她出错是因为没有计算点子图中的( )。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）列竖式计算。 23×12＝    21×33＝    11×36＝    54×11＝ 高频考点六 两位数乘两位数的估算 【典例精讲】（25-26三年级下·山东聊城·期末）消防员叔叔为全校1100名师生做防火灾安全教育报告。报告厅共有29排座位，每排可坐42人。报告厅的座位够吗？下列估算方法最合理的是（    ）。 A．把42看成40，40×29＝1160，1160＞1100，够坐 B．把29看成30，30×42＝1260，1260＞1100，够坐 C．把29看成30、42看成40，30×40＝1200，1200＞1100，够坐 【变式训练】（25-26三年级下·山东聊城·期末）25×40积的末尾有( )个0；估算89×92时，可以估成( )×( )，约等于( )。 高频考点七 两位数乘两位数的进位乘法 【典例精讲】（25-26四年级上·上海松江·期中）1000减22与18的积，结果是多少？ 【变式训练】（25-26四年级上·上海闵行·期中）学校第一次购买15块磁性小黑板，每块26元，第二次又买了同样的小黑板8块，一共应付多少元？ 高频考点八 三位数乘两位数的估算 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·周测）四（1）班有46人，学校准备为他们更换新校服，新校服的价格是每套106元，估算一下，5000元钱够买吗？ 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·单元测试）图中点表示的数可能是下面算式（    ）的积。 A．498×39 B．498×49 C．498×59 D．498×69 高频考点九 三位数与两位数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级上·江苏盐城·期中）列竖式计算。 15×409＝        285×32＝        820×28＝ 160×80＝        325×40＝        800×74＝ 【变式训练】（25-26四年级上·广东韶关·期中）竖式计算。 112×25＝           460×21＝          82×403＝ 高频考点十 三位数乘两位数，三位数中间有0 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁大连·期中）竖式计算。 68×130＝           905×24＝        276×36＝ 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁鞍山·期中）列竖式计算。 660×75＝    205×58＝    867×29＝ 高频考点十一 三位数乘两位数，乘数末尾有0 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江衢州·期中）如果两个乘数的末尾都没有0，那么积的末尾（    ）。 A．一定有0 B．一定没有0 C．可能有0 D．不能判断 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁鞍山·期中）计算下面各题。 308×26＋237     4013－13×290    （425－206）×59 高频考点十二 三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级下·山西临汾·期末）2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末）新学期开始前，某文具店购进32箱铅笔，已知每箱铅笔有149支，求购进多少支铅笔。亮亮通过下面的竖式进行计算，则2箱中有( )支铅笔，竖式中箭头所指的这一步表示的是( )箱中有( )支铅笔。 高频考点十三 计算器的初步认识与使用 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）已知12345×9＝111105，那么12345×36＝( )（用计算器计算）；如果用简便方法计算，那么12345×36＝12345×( )×( )＝( )。 【变式训练】（25-26四年级下·山东潍坊·期末）用计算器计算一个数乘24，按键输入“24”时，不小心误操作，只按了“4”，如果想得到原题的结果，接下来应该输入（    ）。 A．×20 B．＋20 C．×6 高频考点十四 计算器的复杂运算 【典例精讲】（25-26四年级下·山东枣庄·期中）观察算式：3×4＝12；33×34＝1122；333×334＝111222；根据你发现的规律再写出一道这样的算式：( ) 【变式训练】（25-26四年级下·湖北恩施·期末）用计算器计算“1234×63”时，发现键“6”坏了。如果还用这个计算器，错误的做法是（    ）。 A．1234×9×7 B．1234×（60÷3） C．1234×21×3 高频考点十五 用计算器探究规律 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·周测）先用计算器计算下面各题，找出规律后，再按规律直接在横线上填数。 1×9＝______ 91×99＝______ 991×999＝______ 9991×9999＝______ ______×______＝______ ______×______＝______ 【变式训练】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）计算并观察前面几道算式的积的特点，直接写出后面两道算式的积。 21×1001＝            55×99＝ 22×1001＝            555×999＝ 23×1001＝            5555×9999＝ 24×1001＝            55555×99999＝ 25×1001＝            555555×999999＝ 高频考点十六 用估算解决实际问题（乘法） 【典例精讲】（26-27四年级上·辽宁·课后作业）学校开展“诗歌创作”活动，将优秀作品编辑成一本诗集。每本诗集需要32张纸，需要准备多少张纸，就够给四年级的297名同学每人制作一本诗集？下面4个同学中，( )的估算方法能解决这个问题。 【变式训练】（25-26四年级下·江苏扬州·期末）星光影院最多能容纳1300人。阳光小学有19个班，每班有48人；希望小学共有学生280人。如果这两所小学的学生同时去观看，这个影院能否全部容纳？（请写出估算过程） 【基础通关】 1．（25-26四年级上·贵州铜仁·期中）在计算250×34的时候，2×4表示（    ）。 A．2×4 B．20×40 C．200×4 2．（25-26四年级上·贵州铜仁·期中）根据算式21×460＝9660，推理2100×46的积是（    ）。 A．960 B．96600 C．966000 3．（25-26四年级上·上海松江·期中）载重5吨的卡车一次最多能装（    ）袋重65千克的化肥。 A．77 B．76 C．70 D．80 4．（25-26四年级上·浙江衢州·期中）在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 100001( )99999      48万( )480000     120×23( )12×230 5．（25-26四年级上·广东韶关·期中）400×25的积的末尾有( )个0；104×36的积是( )位数。 6．（25-26四年级上·江苏盐城·期中）用1、2、0、5、8组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘积最大的算式是___________________，乘积最小的算式是________________。（每个数字只用一次） 7．（25-26四年级上·浙江衢州·期中）直接写出得数。 210×5＝     62000＋8000＝    714÷7＝     398×97≈ 356＋345＝    60×23＝    105÷5＝      72×602≈ 8．（25-26四年级上·广东韶关·期中）脱式计算。 （201＋296）÷7        136＋35×6      23×（96÷3） 9．（25-26四年级上·江苏盐城·期中）一份稿件5500个字，李亮平均每分钟能打112个字，他50分钟能把这份稿件打完吗？ 10．（25-26四年级上·贵州遵义·期中）贵州的万峰林景区，门票每人70元，观光车每人50元，一个旅游团有35人，买门票和观光车车票一共需要多少元？ 【能力提升】 1．（25-26四年级上·浙江杭州·期末）“□02×68”的计算结果可能是（    ）。 A．5736 B．20536 C．47734 D．74336 2．（25-26四年级上·辽宁大连·期中）一袋10kg黄豆约五十万粒，200袋这样的黄豆大约有（    ）粒。 A．一千万 B．一亿 C．十亿 D．一百万 3．（25-26四年级下·江苏苏州·期中）有一种特别的计算器，它只有两个按键[＋1]和[×2]。当你按下其中一个键，计算器马上会显示运算结果。若计算器原有数据为9，当你按下[＋1]时就会显示为10，再按下[×2]时就会显示20。如果此计算器的初始值为1，要用它得到200，至少要按键（    ）次。 A．8 B．9 C．10 4．（25-26四年级上·江苏苏州·期末）有一串数字组成的一个数“12345679”，因为没有“8”，所以被称为“缺8数”。关于“缺8数”，有很多神奇的现象，请仔细观察下面含有“缺8数”的算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 …… 12345679×63＝( ) 5．（25-26四年级上·辽宁鞍山·期中）要使216×□3的积是四位数，□里最大填( )。 6．（25-26四年级上·浙江衢州·期中）列竖式计算。 125×88＝         702×28＝            12×480＝     35×186＝ 7．（25-26四年级上·辽宁大连·期中）包装礼盒需要28厘米彩带，共350个礼盒，估一估准备100米彩带够用吗？ 8．（25-26四年级上·上海闵行·期中）某手机专卖店第一季度共卖出389部手机，获利77800元，照这样的销售速度，请你估算一下，这家手机专卖店能完成全年35万元的获利目标吗？请写出估算过程。 9．（26-27四年级上·辽宁·课后作业）用5，6，7，8，9这五个数字组成一个三位数和一个两位数，并计算出它们的积。积最大是多少？ 10．（26-27四年级上·全国·课后作业）有些国家采用“画线法”计算三位数乘两位数。如图①，用两组分开的线代表不同数位上的数，形成的交叉点从右往左依次对应“个、十、百、千”等计数单位。 (1)图②中D圈中2个点表示2个一，那么A圈中2个点表示( )个( )。 (2)请你用“画线法”在图③上先圈一圈，再计算214×31＝( )。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 第三单元整数乘法（二） 『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+16个考点讲练展+真题难度分层演练共52题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 梦目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络… 3 知识梳理温故知新. 3 知识点一两、三位数乘一位数的口算.。 知识点二两、三位数乘整十数的口算.… .3 知识点三两、三位数乘两位数（不进位)的笔算.... 知识点四两、三位数乘两位数（进位)的笔算… 知识点五乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法..· 知识点六积的变化规律 …5 知识点七用计算器探索规律… 知识点八用估算解决实际问题.· ..5 考点讲练真题汇总. b 高频考点一两位数乘整十数的口算乘法.…6 第1页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 高频考点二积的变化规律（整数乘法).··· 高频考点三三位数与整十数的口算乘法..... .7 高频考点四两位数与两位数的口算乘法（点子图） 7 高频考点五两位数乘两位数的不进位乘法… 高频考点六两位数乘两位数的估算.. 高频考点七两位数乘两位数的进位乘法....9 高频考点八三位数乘两位数的估算 高频考点九三位数与两位数的乘法........ ….9 高频考点十三位数乘两位数，三位数中间有0.…… 10 高频考点十一三位数乘两位数，乘数末尾有0… 10 高频考点十二三位数乘两位数的实际问题.· 11 高频考点十三计算器的初步认识与使用…….11 高频考点十四计算器的复杂运算. 11 高频考点十五用计算器探究规律...... 11 高频考点十六用估算解决实际问题（乘法) 12 优选真题实战演练……… 13 【基础通关】 13 【能力提升】 ….14 第2页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 步导图指引梳理脉格 1.整数乘法的意义与计算方法 2.队列表演(-)、（二） ◆意义：求几个相同加数的和的简便运算， ●结合图示理解乘法。 (一)用点子图表示队列 (仁)用竖式计算 iepone ●四年级进行队列表滴 14 3个10 ●你能用竖式计算14x12吗2 8888888888 ◆计算方法： 从圈中可以看出 一共有12行， (1)用竖式计算 每行有14人。 10i0是1个百 14 34 5个十乘2个十是 x12 出 ×12 6个而 6个100是600 ●说一说竖式中每一步的意思 168 391 408 。聚法交换律、结合律 ●计算：14×12=168（人） 8888888 42)用因数的变化规律口算 结合下图，说一说30×20=600的道理， 18×2■3618×20■360 18×200=3600 14 ×12 18×2×0=36018×20×0=3600 与同伴交流。 28…14×2 140-14×10 3)用估算解决问题 16R 168…28+140 估算：21×23￥20×20=400（人） -3.有趣的算式 第三单元☆ -5.神奇的计算工具 ◆找规律。 计算并找规律。 。我国古代和现代的计算工具。 1×1=1 整数乘法（二） 两千五百年前， 七百多年前， 15×15=225 1671年，莱布 1111=12 发现： 北师大版数学四年级上册 11x111=1232 两位数的平方 45×45-2025 (话算5000多次 111×1111=1234321 55x55=302 著重注意积的位 4.卫星运行时间 问题：计算器是生话中常用的计算工具。关于计算器你知道什么？ 999x990。g 份转慧复 9999×9999=99980001(-位数是8) 1970年4月24日，我国成 计算器的按键及输入过程（例：25×4=100） ●同伴间互相出。用计算器算第一算 功发射第一颗人遗地球显是 100 输入：25 “东方红一号”。 输入：×其 清除：留战 紧6.电影院 ●估一估：绕地球21图需要多少时阀？ 输入：4圆 245×789 21+7 清屏：AC健 与同律交连你的组法 星希：100 ·485名师生看电影，电影·买票带10000元够码？ 色 院的座位够吗？ 21排虚位，每排 有5人，需要 4×19=9215（元】 D7.整理与复习 0000>9215 26人，1 够了。 ●列经式计算，并交流计算过程， ●乘法运算的关系 ●需要注意的计算 ●解决问题的方法 ●数学思想方法 景法变换律：a×b=bxa 1)积的变化规 （1画图理解： ●问题：电影院的 114×21=2394(分)=39时54分 乘法结合康：(axb)xc=a(bxd) (2)列竖式计算 家价：19元/强 座位够吗？实际座 (3)合理算 位比500个多一些 “东方红一号”地球2图需要2394分钟 法分配律1@+b)a发C中 （4）式计算每一的义 估算意识 学习小贴士》☆乘法运算在生活中应用厂 泛 学会计算的方法，学会估算， 理解每 步的意义，能帮助我们解决很多实际问题！ 知识梳理温故知新 知识点一两、三位数乘一位数的口算 1.拆分口算思路 采用拆分法计算，将两、三位数按数位拆分，两位数拆成整十数和一位数，三位数拆成整百数、整十 数和一位数，分别与一位数相乘，再把所有的积相加。 2.几百几十数乘一位数简便算法 先去掉末尾的0，按两位数乘一位数计算，最后在积的末尾添回1个0，计算时需留意末尾的0，避免 遗漏造成结果缩小。 知识点二两、三位数乘整十数的口算 1.去0添0通用方法 先忽略整十、整百数末尾的0，用两位数乘0前面的数，再在积的末尾添上对应个数的0，适用于两位 数乘整十数、整十数乘整十数、几百几十数乘整十数等多种场景。 第3页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 2.积末尾0的判定 积末尾0的个数大于或等于两个乘数末尾0的个数之和，计算时需结合0前面数字的乘积，判断最终 积的末尾0的总数量。 知识点三两、三位数乘两位数（不进位）的笔算 1.拆分算理依据 将第二个两位数拆成“整十数+一位数”，分别与第一个乘数相乘后求和，逻辑与口算拆分法一致。 2.笔算分步操作规则 （1)数位对齐：乘数之间相同数位对齐，个位对齐个位、十位对齐十位。 (2)从个位起算：以第二个乘数的个位、十位数字，依次分别乘第一个乘数每一位（个位、十位，三 位数需乘至百位)。 (3)对位写积：第二个乘数个位相乘的积，末位对齐个位；十位相乘的积，末位对齐十位。 (4)合并求和：将两次分步相乘得到的积相加，得出最终计算结果。 知识点四两、三位数乘两位数（进位)的笔算 1.进位处理核心要点 计算步骤与不进位笔算完全一致，每一位相乘满几十，就要向前一位进几，计算下一位时需先加上进 位的数，叠加进位时需仔细核对，避免遗漏。 2.三位数乘两位数进位法则 三位数乘两位数的进位规则与两位数通用，逐位相乘时同步处理进位，保证每一步计算准确。 3.验算方法 计算完成后，可交换两个乘数的位置再计算一遍，验证结果是否一致。 知识点五乘数中间有0或末尾有0的笔算乘法 1.末尾有0简便笔算 乘数末尾有0时，可采用简便写法：把0前面的数字末位对齐相乘，末尾的0不参与竖式计算，最后 统计两个乘数末尾0的总个数，添在积的末尾，添0时需数清总个数，避免少添。 2.中间有0的运算规则 乘数中间有0时，0必须参与相乘，不能跳过；没有进位时该位直接写0占位，有进位时需加上进位的 数。 3.数位对齐提醒 计算时需注意数位对齐，十位相乘的积末位要与十位对齐，避免对错数位造成结果偏差。 第4页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 知识点六积的变化规律 1.基础变化规律 一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几(0除外)，积也乘或除以相同的数；其中除以的数不能为0， 因为0不能做除数。 2.积不变规律 一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数(0除外)，积不变。 3.双乘数同变规则 两个乘数同时乘同一个数，积就连续乘两次这个数；两个乘数同时除以同一个数(0除外)，积就连续 除以两次这个数。 知识点七用计算器探索规律 1.规律探索通用步骤 先借助计算器计算少量简单算式，观察乘数的特征和积的数字变化，归纳总结出通用规律；再运用规 律直接推导同类型复杂算式的结果，最后可通过计算器验证规律的正确性。 2.全1数回文乘积规律 两个乘数位数相同，且全部由数字1组成时，乘积是左右对称的回文数；积的中间数字等于乘数的位 数，数字从1开始依次递增到中间数，再依次递减到1。例如：11111×11111=123454321 3.全9数自乘特征 全9数相乘的积的规律：乘法算式中两个乘数完全相同，且每个数位上的数字均为9；积的前面部分数 值，等于其中一个乘数减去1；积的中间部分是数字0,0的总个数比乘数的位数少1；积的未尾固定 为数字1，位于结果的个位。例如：9999×9999=99980001。 注意：仅在乘数位数≤9时成立。 4.6系列数乘法结论 第一个乘数由n个6组成，第二个乘数位数与第一个相同、前n-1位是6、末位是7时，积由n个4 和n个2组成，前半部分全是4、后半部分全是2。 知识点八用估算解决实际问题 1.估算核心原则 根据实际场景选择估大或估小的策略，保证结论符合现实逻辑。 2.估大估小适用场景 估大策略适用于购物带钱、准备物资等场景，估大后数量仍足够，则实际一定足够；估小策略适用于 第5页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 判断座位、载重是否足够等场景，估小后仍不够，则实际一定不够。 3.估算解题三步法 先将乘数看成接近的整十、整百数，再口算得出估算结果，最后结合场景判断结论；估算无唯一标准 答案，但必须符合问题逻辑，不能随意估算。 4.常用数量关系式 计算依托基础数量关系：单价×数量=总价，单量×份数=总量。 考点讲练真题亿总 高频考点一两位数乘整十数的口算乘法 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)在括号里填上合适的数。 )×( )=4800 )×( )=4800 )×( )=4800 ( )×( )=4800 ( )X( )=4800 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)根据每组第一道算式的积，直接写出其他三道算式的 积。 23×3= 8×25= 23×30= 24×25= 23×300= 32×25= 230×3= 48X25= 高频考点二积的变化规律（整数乘法） 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·周测)在括号里填上适当的数，使乘积相等。 56×32=28×( ) 24×35=7×( )×16=18×48 26×( ）=23X78 第6页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】(26-27四年级上·全国·周测)甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36；如果乙 数减少5，积就减少120。原来的甲数是多少？乙数呢？ 高频考点三三位数与整十数的口算乘法 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)填空。 100 ×20 200 300 400 右面一列数字按顺序是： 一0 【变式训练】(25-26四年级下·安徽蚌埠·期末)口算。 86÷2= 3×27= 20-8÷4= 600-153= 125×4= 120×50= 72÷6= 7+2×8= 711+160= 5×305= 高频考点四两位数与两位数的口算乘法（点子图） 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)浩浩计算14×16，发现计算结果与正确结果不一致， 这是因为他没有计算点子图中的( )。 4×6=24 10×10=100 24+100=124 A.①和③ B.②和④ C.②和③ D.①和④ 【变式训练】(25-26三年级下·北京房山·期末)小慧正在探索16×14的计算方法（如图），能正确表 达小慧思路的算式是( )。 第7页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 16 A.10×10=100 6×4=24 100+24=124 B.16×7=112 16×7=112 112+112=224 C.16×4=64 16×10=160 64+160=224 D.14×6=84 14×10=140 140+84=224 高频考点五两位数乘两位数的不进位乘法 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)玲玲用自己的方法计算了14×12，如图所示。她发现 这样计算出的结果108与正确结果不一致。结合如图想一想，她出错是因为没有计算点子图中的( ）。 4×2=8 10×10=100 8+100=108 3. 4】 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)列竖式计算。 23×12= 21×33= 11×36= 54×11= 高频考点六两位数乘两位数的估算 【典例精讲】(25-26三年级下·山东聊城·期末)消防员叔叔为全校1100名师生做防火灾安全教育报告。 报告厅共有29排座位，每排可坐42人。报告厅的座位够吗？下列估算方法最合理的是()。 A.把42看成40,40×29=1160,1160>1100，够坐 B.把29看成30,30×42=1260,1260>1100，够坐 C.把29看成30、42看成40,30×40=1200,1200>1100，够坐 第8页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练】(25-26三年级下·山东聊城·期末)25×40积的末尾有( )个0：估算89×92时， 可以估成( )×( ),约等于( ）。 高频考点七两位数乘两位数的进位乘法 【典例精讲】(25-26四年级上·上海松江·期中)1000减22与18的积，结果是多少？ 【变式训练】(25-26四年级上·上海闵行·期中)学校第一次购买15块磁性小黑板，每块26元，第二 次又买了同样的小黑板8块，一共应付多少元？ 高频考点八三位数乘两位数的估算 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·周测)四(1)班有46人，学校准备为他们更换新校服，新校服 的价格是每套106元，估算一下，5000元钱够买吗？ 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·单元测试)图中点P表示的数可能是下面算式( ）的积。 P 0 10000200003000040000 A.498×39 B.498×49 C.498X59 D.498×69 高频考点九三位数与两位数的乘法 【典例精讲】(25-26四年级上·江苏盐城·期中)列竖式计算。 15×409= 285×32= 820×28= 第9页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 160×80= 325×40= 800X74= 【变式训练】(25-26四年级上·广东韶关·期中)竖式计算。 112×25= 460×21= 82×403= 高频考点十三位数乘两位数，三位数中间有0 【典例精讲】(25-26四年级上·辽宁大连·期中)竖式计算。 68×130= 905×24= 276×36= 【变式训练】(25-26四年级上·辽宁鞍山·期中)列竖式计算。 660×75= 205×58= 867×29= 高频考点十一三位数乘两位数，乘数末尾有0 【典例精讲】(25-26四年级上·浙江衢州·期中)如果两个乘数的末尾都没有0，那么积的末尾( 。 A.一定有0 B.一定没有0 C.可能有0 D.不能判断 【变式训练】(25-26四年级上·辽宁鞍山·期中)计算下面各题。 308×26+237 4013-13×290 (425-206)×59 第10页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 高频考点十二三位数乘两位数的实际问题 【典例精讲】(25-26四年级下·山西临汾·期末)2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞 船发射取得圆满成功。为了弘扬中国航天精神，学校举办航天精神演讲比赛，要求每人演讲时间为15分钟。 笑笑演讲的平均语速为每分钟215个字，准备了3000个字的稿子，她能演讲完吗？ 【变式训练】（25-26四年级下·河南新乡·期末)新学期开始前，某文具店购进32箱铅笔，已知每箱铅 笔有149支，求购进多少支铅笔。亮亮通过下面的竖式进行计算，则2箱中有( )支铅笔，竖式中 箭头所指的这一步表示的是( )箱中有( )支铅笔。 149 ×32 298 →447 4768 高频考点十三计算器的初步认识与使用 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)已知12345×9=111105，那么12345×36=( (用计算器计算)：如果用简便方法计算，那么12345×36=12345×( )×(（ )=( )。 【变式训练】(25-26四年级下·山东潍坊·期末)用计算器计算一个数乘24，按键输入“24”时，不小 心误操作，只按了“4”，如果想得到原题的结果，接下来应该输入( )。 A.X20 B.+20 C.×6 高频考点十四计算器的复杂运算 【典例精讲】（25-26四年级下山东枣庄·期中)观察算式：3×4=12：33×34=1122；333×334=111222： 根据你发现的规律再写出一道这样的算式：( 【变式训练】(25-26四年级下·湖北恩施·期末)用计算器计算“1234×63”时，发现键“6”坏了。如 果还用这个计算器，错误的做法是( ）。 A.1234×9×7 B.1234×(60÷3) C.1234×21×3 高频考点十五用计算器探究规律 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·周测)先用计算器计算下面各题，找出规律后，再按规律直接在 横线上填数。 第11页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 1×9= 91×99= 991×999= 9991×9999= 【变式训练】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)计算并观察前面几道算式的积的特点，直接写出后面 两道算式的积。 21×1001= 55×99= 22×1001= 555×999= 23×1001= 5555×9999= 24×1001= 55555×99999= 25×1001= 555555×999999= 高频考点十六用估算解决实际问题（乘法） 【典例精讲】(26-27四年级上·辽宁·课后作业)学校开展“诗歌创作”活动，将优秀作品编辑成一本 诗集。每本诗集需要32张纸，需要准备多少张纸，就够给四年级的297名同学每人制作一本诗集？下面4 个同学中，( )的估算方法能解决这个问题。 芳芳： 明明： 贝贝： 。 晶晶： 297×32≈8910（张） 297×32≈8700（张） 297x32≈9000（张） 297×32≈9600（张） 30 29030 30030 300 【变式训练】(25-26四年级下·江苏扬州·期末)星光影院最多能容纳1300人。阳光小学有19个班， 每班有48人；希望小学共有学生280人。如果这两所小学的学生同时去观看，这个影院能否全部容纳？（请 写出估算过程) 第12页共15页 2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三进义能力提升 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26四年级上·贵州铜仁·期中)在计算250×34的时候，2×4表示( ）。 A.2×4 B.20×40 C.200×4 2.(25-26四年级上·贵州铜仁·期中)根据算式21×460=9660，推理2100×46的积是( )o A.960 B.96600 C.966000 3.(25-26四年级上·上海松江·期中)载重5吨的卡车一次最多能装( )袋重65千克的化肥。 A.77 B.76 C.70 D.80 4.(25-26四年级上·浙江衢州·期中)在括号里填上“>”“<”“=” 100001( )99999 48万( )480000 120×23( ）12×230 5.（25-26四年级上·广东韶关·期中)400×25的积的末尾有( )个0；104×36的积是( ) 位数。 6.(25-26四年级上·江苏盐城·期中)用1、2、0、5、8组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘 积最大的算式是 乘积最小的算式是 。(每个数字只用一次) 7.(25-26四年级上·浙江衢州·期中)直接写出得数。 210×5= 62000+8000= 714÷7= 398X97≈ 356+345= 60×23= 105÷5= 72X602≈ 8.(25-26四年级上·广东韶关·期中)脱式计算。 (201+296)÷7 136+35×6 23×(96÷3) 9.(25-26四年级上·江苏盐城·期中)一份稿件5500个字，李亮平均每分钟能打112个字，他50分钟 能把这份稿件打完吗？ 第13页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 10.(25-26四年级上·贵州遵义·期中)贵州的万峰林景区，门票每人70元，观光车每人50元，一个旅 游团有35人，买门票和观光车车票一共需要多少元？ 【能力提升】 1.(25-26四年级上·浙江杭州·期末)“口02×68”的计算结果可能是( )。 A.5736 B.20536 C.47734 D.74336 2.(25-26四年级上·辽宁大连·期中)一袋10kg黄豆约五十万粒，200袋这样的黄豆大约有( ) 粒。 A.一千万 B.一亿 C.十亿 D.一百万 3.(25-26四年级下·江苏苏州·期中)有一种特别的计算器，它只有两个按键[+1]和[×2]。当你按下 其中一个键，计算器马上会显示运算结果。若计算器原有数据为9，当你按下[十1]时就会显示为10，再按 下[×2]时就会显示20。如果此计算器的初始值为1，要用它得到200，至少要按键( )次。 A.8 B.9 C.10 4.（25-26四年级上·江苏苏州·期末)有一串数字组成的一个数“12345679”，因为没有“8”，所以被 称为“缺8数”。关于“缺8数”，有很多神奇的现象，请仔细观察下面含有“缺8数”的算式，找规律 并填空。 12345679×9=111111111 12345679×18=222222222 12345679×27=333333333 12345679×( )=444444444 12345679×63=( 5.(25-26四年级上·辽宁鞍山·期中)要使216×口3的积是四位数，口里最大填( ）。 6.(25-26四年级上·浙江衢州·期中)列竖式计算。 125×88= 702×28= 12×480= 35×186= 第14页共15页 2026一2027学年北师大版新教材数学四年级上册举一反三讲义能力提升 7.(25-26四年级上·辽宁大连·期中)包装礼盒需要28厘米彩带，共350个礼盒，估一估准备100米彩 带够用吗？ 8.(25-26四年级上·上海闵行·期中)某手机专卖店第一季度共卖出389部手机，获利77800元，照这 样的销售速度，请你估算一下，这家手机专卖店能完成全年35万元的获利目标吗？请写出估算过程。 9.(26-27四年级上·辽宁·课后作业)用5,6,7,8,9这五个数字组成一个三位数和一个两位数，并 计算出它们的积。积最大是多少？ 10.(26-27四年级上·全国·课后作业)有些国家采用“画线法”计算三位数乘两位数。如图①，用两组 分开的线代表不同数位上的数，形成的交叉点从右往左依次对应“个、十、百、千”等计数单位。 2个百 3个 7个+ C 2 13×21=273 132×21=2772 ① ② ③ (1)图②中D圈中2个点表示2个一，那么A圈中2个点表示( )个( )。 (2)请你用“画线法”在图③上先圈一圈，再计算214×31=( 第15页共15页