4.6 正多边形与圆（第1课时正多边形与圆的关系）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的关系，涵盖中心、半径等概念及相关计算。通过复习正多边形定义和三角形外接内切圆，以“多边形是否有外接内切圆”设问导入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合生活实例观察培养几何直观，通过动手作图和问题链发展抽象能力与推理意识，典例联系正六边形花坛等实际问题。采用问题驱动和分层练习，小结结构化呈现知识，助力学生提升核心素养，为教师提供完整教学资源。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.6正多边形与圆 第1课时 正多边形与圆的关系 学 习 目 标 1 2 3 初步认识正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念。(抽象能力、几何直观) 理解正n边形的半径和中心向边所作的垂线段把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。(运算能力) 会运用正多边形与圆的有关知识解决实际问题. 思考 1.什么叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 注意：两个条件缺一不可. 如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形. 知识回顾 2.什么叫作三角形有外接圆和内切圆？ 三角形的外接圆： 经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 这个圆叫作三角形的外接圆。 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。 知识回顾 我们知道，三角形有外接圆和内切圆. 多边形是否有外接圆和内切圆呢？ 对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过 它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切. 对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？ 导入新课 有正三角形、正方形、正五边形、 正六边形、正十边形、正十二边形。 这些正多边形有什么共同特征? 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案你能从下图中能找出哪些正多边形? (1)下图中是一些常见的正多边形,它们是轴对称图形吗? 如果是,它们各有几条对称轴? 它们是中心对称图形吗? 如果是,请指出它们的对称中心。 它们都是轴对称图形。 3条对称轴 4条对称轴 5条对称轴 6条对称轴 不是 是，对称中心 是对称轴的交点 不是 是，对称中心 是对称轴的交点 (2)任意一个正多边形都是轴对称图形吗? 如果是,有几条对称轴? 是中心对称图形吗? 如果是,请指出它们的对称中心。 任意一个正多边形都是轴对称图形； 一个正n边形有n条对称轴,都相交与一点； 当n为奇数时不是中心对称图形； 当n为偶数时是中心对称图形； 对称中心是正n边形外接圆的圆心。 (3)利用尺规作出正三角形、正方形的外接圆和内切圆, 这两种圆有什么关系? B A C B A C D 正三角形和正方形都有一个外接圆 和一个内切圆,它们是同心圆. (4)正多边形都有外接圆和内切圆吗? 如果有,这两个圆 有什么关系? 正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,它们是同心圆. 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。圆心是各对称轴的交点,它到正多边形各顶点的距离相等,到各边的距离也相等。 正多形的外接圆与内切圆： 正多边形的外接圆和内切圆的 公共圆心叫作正多边形的中心； 正多边形的中心： 正多边形的半径： 外接圆的半径叫作正多边形的半径； 正多边形的边心距： 内切圆的半径长叫作正多边形的边心距。 边心距与弦心距的区别与联系是什么？ 1：边心距 边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离. 2：弦心距 弦心距是圆心到圆中某一条弦的距离. 联系：边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到正多边形的边 (即外接圆的弦) 的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 想一想：正多边形各边所对的外接圆的圆心角有什么数量关系？ 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角。 正多边形的中心角： 想一想：正n边形的中心角的度数怎么计算？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 正n边形的每个中心角都等于 。 正n边形的一个外角的度数是 。 正多边形的中心角与外角相等。 设正n边形的边长为an,半径为rn,边心距为dn。 an，rn，dn 之间有什么关系？正n边形的面积怎样计算？ （）2+dn2=rn2 S=nandn 例1、下列说法错误的是（ ） A.任意一个三角形都有内切圆 B.边长相等的多边形一定是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形一定是正多边形 D.边数为n(n≥3)的正多边形共有n条对称轴 解析:任意一个三角形都有内切圆和外接圆，A选项正确;各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，B选项错误;连接多边形各顶点与圆心，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，又半径相等，所以在各等腰三角形中，它们的底角均相等，所以各边相等的圆内接多边形的各内角也相等，一定是正多边形，C选项正确;边数为 n(n≥3)的正多边形共有n条对称轴，D选项正确。 B 典例讲解 1.下面的命题是真命题吗? 如果不是,请举出一个反例。 (1)正多边形的对称轴一定是经过正多边形的顶点和中心的直线; (2)边数为偶数的正多边形,既是轴对称图形又是中心对称图形; (3)既是轴对称图形,又是中心对称图形的多边形是正多边形; (4)有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形。 解:(1)假命题，反例:过正方形对边中点的直线也是正方形的对称轴； (2)真命题； (3)假命题.反例:菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，但不是正多边形； (4)假命题，反例:直角三角形既有外接圆也有内圆，但不是正三角形。 跟踪练习 例2、一个正六边形花坛的半径为4m,求花坛的周长和面积。 A B C D E F •O 解:如图,连接OA,OB, 作OP⊥AB,垂足为点P。 P ∵六边形ABCDEF 是 正六边形,半径为4 ∴∠AOB==60°,OA=4。 ∵OA=OB,OP⊥AB, ∴∠AOP=30°,AB=OA=4。 典例讲解 A B C D E F •O ∴花坛的周长l=6AB=6×4=24。 在Rt△AOP 中, P OP=OA·cos∠AOP =4×cos30°=2。 花坛的面积S=6S△AOB=6×AB·OP=24。 ∴花坛的周长为24m,面积为24m2。 典例讲解 2.完成下表中正多边形的计算,并把计算结果填入表内。 60° 120° 2 1 6 3 •O •O P A •O P A P •O A 90° 90° 2 1 8 4 120° 60° 2 2 6 跟踪练习 特殊正多边形的有关结论 1：正三角形 正三角形的边长等于其外接圆半径的倍;是边心距的2. 2：正方形 正方形的边长等于其外接圆半径的倍；是边心距的2. 3.正六边形 正六边形的边长等于其外接圆的半径;是边心距的. 归一归 例3、如图,☉O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆,求正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的周长比。 解析：解决这个问题，我们可以通过外接圆半径分别表示正方形和正六边形的边长，进而计算周长之比。 设☉O的半径为R(即正方形和正六边形的外接圆半径均为R)求正方形的边长， 及正六边形的边长。 典例讲解 解:如图，连接OA，OB，OE， 则OA= OB=OE。 设此圆的半径为R, ∵∠AOB=360°÷4=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB==R。 典例讲解 ∵∠AOE=360°÷6=60°, ∴△AOE是等边三角形， ∴AE=OA=R, ∴内接正方形和内接正六边形的边长 之比为R:R=:1. ∴正方形ABCD 与正六边形AEFCGH的周长 之比=4:6=2:3。 典例讲解 3.如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形， 四边形EFGH是正方形．(1)求∠OGF的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 解:(1)连接OE, 易知△OEF是等边三角形, ∴OF=EF,∠OFE=60°, ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF,∠EFG=90° ∴OF=FG, ∠OFG=150°, 跟踪练习 ∴∠OGF=×(180°-150°)=15°. （2）过点O作OP⊥EF于点P. ∵⊙O的半径为R, ∴正方形EFGH的面积为R2， ∴EP=EF=R, ∴OP===R. ∴正六边形ABCDEF的面积为6××R×R= R2 ∴正六边形与正方形的面积比为 R2:R2= P 跟踪练习 1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为 (　　) A．25° B．36° C．35° D．40° B 当堂检测 2.如图7，工人师傅用扳手拧一个边长为a cm的六角形螺帽， 现测得扳手的开口宽度b＝4 cm，则螺帽边长a＝________cm. 解析：要解决正六边形螺帽的边长问题，我们可以利用正六边形的几何性质分析: 正六边形的外接圆半径(中心到顶点的距离)等于其边长a。设正六边形的中心为O，取两条平行的对边，中心到每条对边的距离(边心距)为 r，则对边之间的距离(即扳手开口宽度b)为2r。 当堂检测 3.已知边长为4的等边三角形ABC，求△ABC的中心角、半径、边心距、面积. 解：设OD=x，则BO=2x. 在Rt△BOD中，根据勾股定理， 得(2x)2-x2=22， ∴x=2,故OD=,BO=2×2=, ∴等边三角形ABC的边心距为，半径为； S△ABC=BC•AD=×4×(+)=4. 边长为a的正三角形的面积是a. 当堂检测 正多边形与圆 正多边形和圆的关系 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 每一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆。 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $