4.3 直线与圆的位置关系（第3课时切线的性质定理）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线的性质定理”，先回顾切线的判定方法（定义法、数量法、判定定理），通过提问判定定理的逆命题引出性质定理，构建前后知识脉络，为学生搭建学习支架。 其亮点在于用反证法证明定理培养推理意识，“思考与交流”引导学生自主探究，典例结合“连圆心和切点”辅助线强化几何直观，坐标系题目体现应用意识。学生能提升演绎推理能力，教师可高效落实教学目标。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 4.3直线与圆的位置关系 第3课时 切线的性质定理 学 习 目 标 1 2 3 掌握圆的切线性质定理，理解切线与过切点半径互相垂直；能区分切线判定定理与性质定理。 遇到切线会添加辅助线：连接圆心和切点；能利用切线性质进行计算与证明。 经历定理探究过程，体会数形结合思想，提升几何演绎推理能力。 怎样判断直线与圆相切？ ①定义法 ②数量法 知识回顾 有且只有一个公共点数时直线与圆相切； 圆心到直线的距离等于的半径的长时； 当d=r时 相切 ③判定定理 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径. 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 前面我们学习了切线的判定方法,其中判定定理是“经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗？ 这就是我们要研究的---切线的性质。 ●O A l ∴l⊥OA, ∵直线l是圆相切与点的一条切线. (1)如图,直线l与☉O 相切于点A,直线l与半径OA 有什么 位置关系? 因为切线判定定理的逆 命题是 “圆的切线垂直于经 过切点的半径”，所以我猜想直线l与半径OA 垂直。 ●O A l (2)小莹的上述猜想正确吗? 如果正确,请给出证明过程。 已知:如图,直线l与☉O 相切于点A。 求证:OA⊥l。 用什么方法证明？ 证法：反证法. ●O A l 证明:假设l与半径OA 不垂直。 过点O 作OB⊥l,垂足为点B, B 则OB<OA。 ∴圆心O到直线l的距离小于半径。 ∴l与☉O 相交。 这与已知条件 “直线l与☉O 相切于点A”矛盾 ∴假设l与OA 不垂直不成立。 ∴OA⊥l。 为什么OB<OA？ 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径． ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. A l O 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.这是圆中常用的作辅助线的方法。 切线的性质定理的作用： 你能说一说切线的判定定理与切线的性质定理的区别吗？ 切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用; 归纳:如果圆中的一条直线满足以下条件中的任意两条，那么就一定满足第三条，它们是: ①垂直于切线;②过切点;③过圆心。 切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用。 例1、（1）如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点， ∠P=72°, 则∠C等于( ) A.108° B.72° C.54° D.36° C 解析：本题主要考查切线的性质定理。因为PA,PB分别与☉O相切于A,B两点，没有半径，所以要先作半径，利用性质得直角，由四边形内角和求得∠AOB的度数，再利用圆周角定理得∠C的度数。“有切线，连半径”。 典例讲解 （2）如图，AB是☉O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA, OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( ) A.75° B.70° C.65° D.60° B 解析：本题主要考查切线的性质定理。因为BC与☉O相切于B点，所以与半径OB垂直的∠OBC=90°。由OC⊥OA,得∠AOC=90°，又由∠BPC=70°得∠OAP=20°。再利用OA=OB等腰三角形可得∠ABO=20°所以得∠ABC的度数。 典例讲解 1.(1)如图，PA是☉O的切线，切点为A,PO的延长线交☉O 于点B.若∠P=40°，则∠B的度数为( ) A.20° B.25° C.40° D.50° B 跟踪练习 (2)如图，AB是☉O的直径，PA切☉O于点A，连接PO并 延长交☉O于点C，连接AC，AB=10,∠P=30°，则AC 的长度是( ) A.5 B.5 C.5 D. A 跟踪练习 例2、已知A,B,C 是☉O 上的三点,经过点A,B 分别作☉O 的切线, 两切线相交于点P。如果∠P=42°,求∠ACB的度数。 解析：本题主要考查切线的性质定理。因为PA,PB分别与☉O相切于A，B点，没有半径，先连接OA,OB,垂直的∠OBC=90°。点C的位置可能在优弧或在劣弧，分两种情况讨论求解。 ●O P A B C ●O P A B C 典例讲解 ●O P A B C m 解:(1)如图,当点C在AmB上时,连接OA,OB。 ( ∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点, ∴∠OAP=∠OBP=90°。 在四边形OAPB 中,∠P=42°。 ∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=138°。 ∴∠ACB=∠AOB=69° 典例讲解 (2)如图,当点C在AB上时,在AmB上任取一点C', 连接AC', BC' C' ●O P A B C m 由(1)知,∠AC'B=69°。 在圆内接四边形ACBC'中, ∠ACB+∠AC'B=180°。 ∴∠ACB=180°-∠AC'B=111°。 ∴∠ACB=69°或111°。 典例讲解 2.如图,AB是☉O的切线,B为切点。OA与☉O交于点C,D为☉O 上一点, 连接CD,BD,∠A=42°。求∠D的度数。 解:连接OB。 ∵AB与☉O相切于点B， ∴∠ABO=90°. ∵∠A=42°, ∴∠AOB=90°-∠A=90°-42°=48°, ∴∠D=∠AOB=×48°=24°. 跟踪练习 例3、如图，△ABC中，AB ＝AC ，O是BC的中点， ⊙O与AB相切于E. 求证：AC 是⊙O的切线． A B C O 分析：本题是切线的性质定理与判定定理的综合应用。根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. E A B C O E F 典例讲解 A B C O E A B C O E F 证明:连接OE，OA，过O作OF⊥AC. ∵与AB相切于E， ∴OE⊥AB. ∵AB=AC，O是BC的中点. ∴AO平分∠BAC, 又∵OE⊥AB, OF⊥AC. ∴OF =OE. ∵OE是⊙O半径，OF⊥AC. ∴AC是⊙O的切线. 典例讲解 3.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E. 若D为AC的中点，求证:DE是⊙O的切线. (1)证明:连接AE,OE, 1 2 3 4 ∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上, ∴∠AEB=90°,∴∠AEC=90°. ∵D为AC的中点，∴AD=DE ∴∠1=∠2. 跟踪练习 ∵AC是⊙O的切线， 1 2 3 4 ∴∠1 + ∠3 =∠ CAB =90°. ∵OA=OE, ∴∠3 = ∠4, ∴∠2+∠4=90°, 即∠DEO=90°, ∴OE⊥DE, ∴DE是⊙O的切线. 跟踪练习 例4、如图，在平面直角坐标系中,OP与x轴交于点M,N,与y轴相切于点Q，点P的坐标为(5,-3),则点N的坐标为 。 A 解析：本题主要考查切线的性质求平面直角坐标系中点的坐标。要把点P的坐标(5,-3)转化为线段的长，需要向两坐标轴作垂线,则PN=PQ=5,PA=3，再利用勾股定理可求AN的长。 拓展延申 A 解析:如图，连接PQ，PN，过点P作PA⊥MN于点A。 ∵点P的坐标为(5,-3), ∴OA=5,PA=3。 ∵OP与y轴相切于点Q, ∴PQ⊥y轴。 ∴∠PQO=∠AOQ=∠PAO=90°, ∴四边形APQO是矩形, ∴OA=PQ=PN=5。 由勾股定理，得AN===4, ∴ON=OA+AN=5+4=9, ∴N(9,0).答案:(9,0） 拓展延申 4.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2)。连接AC,BC。求点P的坐标及cos∠ACB的值。 D 解析:在直接坐标系中已知点的坐标还是求点的坐标，常用的辅助线都是向两坐标轴作垂线，把坐标转为线段长。本题主要用的：垂径定理+圆的切线的性质+矩形的判定及性质+勾股定理+圆周角定理+解直角三角形。 跟踪练习 H 解:如图，连接PC,PB， ∵点A(0,8),B(0,2), 过点P作PH⊥AB于点H, 则AH=BH=3,∴OH=5. ∵OP与x轴相切于点C, ∴AB=6. ∴∠PHB =∠PCO =∠COH =90° ∴PC⊥x轴, 跟踪练习 H ∴四边形PCOH是矩形, ∴点P的坐标为(4,5)。 连接AP并延长交OP于M,连接BM, ∴BM===8, ∴cos∠ACB = cos∠AMB = = = ∴PC=OH=5。 ∴PH===4, 则∠ABM=90°。 M 跟踪练习 1.如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C. AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠PCB的大小 为（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° C O . P A B C 解析：本题考查圆的切线性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角定理。重难点在于通过作辅助线(连接圆心和切点)构造直角三角形，求出圆心角的度数，进而利用等腰三角形性质求解。 当堂检测 2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径， ∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P， 则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° P O D A B C C 当堂检测 3.如图,AB为☉O的直径,C为AB延长线上一点。过点C作☉O 的切线CD,切点为D,∠ADC=115°。求∠ACD的度数。 解:如图，连接OD。 ∵CD为☉O的切线， ∴OD⊥CD,∴∠ODC=90°, ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC =115°-90°=25°, ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO=25°, ∴∠DOC=∠A+∠ADO=50°, ∴∠C=90°-∠DOC=90°-50°= 40° 当堂检测 切线的 性质 性质定理 与圆有1个公共点 圆心到直线的距离等于半径即d=r 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线： 见切线，连圆心与切点，得垂直. 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $