4.3 直线与圆的位置关系（第2课时圆的切线的判定）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的切线判定定理，通过回顾直线与圆位置关系（公共点个数、d与r关系）导入，结合动手画图操作引导学生发现定理条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以动手操作培养几何直观（数学眼光），通过典例分类讲解“连半径证垂直”“作垂直证半径”辅助线方法提升推理能力（数学思维），总结判定方法及口诀强化数学语言表达。实例覆盖不同情境，助力学生规范证明，教师教学更高效。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.3直线与圆的位置关系 第2课时 切线的判定定理 学 习 目 标 1 2 3 通过观察、动手画图、猜想、推理，经历切线判定定理的推导过程，掌握圆的切线判定定理，理解定理成立的两个必备条件，记住切线证明的两类辅助线作法。 能利用切线判定定理证明直线是圆的切线，规范完成几何证明过程，提升演绎推理能力。 经历定理的探索过程，体会数形结合思想，养成严谨规范的几何书写习惯。 直线和圆有几种位置关系?怎样判断直线与圆的位置关系？ 直线与圆有3种位置关系 : 相交、相切、相离. 判断直线与圆的位置方法: ①公共点个数 ①有两个公共点数时相交； ②有一个公共点数时相切； ③没有公共点数时相离。 ②数量关系 当d>r时 相离 当d=r时 相切 当d<r时 相交 知识回顾 直线和圆相切是一种特殊的位置关系，我们可以通过两种方法来判定直线是圆的切线： 除此之外,还有其他判定切线的方法吗? 1. 和圆有且只有一个公共点的直线与圆相切. 2. 圆心到直线的距离等于半径的直线与圆相切. 导入新知 ●O 你会画出的一条切线吗？怎么画？ 如图，作半径OA， A l 过点A作直线l⊥OA, 则直线l是圆的一条切线. 为什么直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA,是⊙O的切线？ ●O A l 因为圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径OA的长． 由d=r 直线 l 是⊙O的切线． 这时⊙O的切线直线 l 符合什么条件? 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ●O A l ∵OA为⊙O的半径，l⊥OA于点A, ∴l为⊙O的切线。 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ （1）（2）不是，因为没有经过半径的外端点A； ●O A l (2) ●O A l (3) ●O A l (1) (3)不是，因为没有垂直. 在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判断一条直线是一个圆的切线方法总结 方法 1：定义法 直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; l 方法 2：数量法 圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； l r d 方法 3：定理法 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. A l O 如何过☉O上任意一点P作☉O的切线? 过点P的切线有几条? ●O ● P l 如图,连接OP,过点P作OP的垂线l,直线l就是☉O的切线。 由 “过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直”可知,过点P的切线是唯一的. 例1、判断下列命题是否正确. （1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） （2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） （4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） 典例讲解 1.下列关于圆的切线的说法正确的是( ) A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D.经过直径的一端且垂直于直径的直线是圆的切线 D 跟踪练习 例2 如图，AB是☉O上的直径，∠ABC=45°，AC=AB. 求证：AC是☉O的切线. A O C B 解析：要证明AC是☉O的切线：因为AC“经过半径OA的外端” 所以只要证明AC“垂直于这条半径”，即可。“知半（直）径，证垂直。” 典例讲解 例2 如图，AB是☉O上的直径，∠ABC=45°，AC=AB. 求证：AC是☉O的切线. A O C B ∵∠ABC=45°，AC=AB. ∴∠C=∠ABC=45°. 证明： ∴∠BAC=90° ∴AC⊥AB， ∴AC是☉O的切线. 典例讲解 ∵OA是半径. 求直角的方法：计算法 2.如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交AC于点M，弦 MN//BC交AB于点E,ME=1, AM=2,AE=. 求证:BC是☉O的切线. ●O B A C E N M 证明： ∵ME=1, AM=2,AE=, ∴ME2+AE2=12+()2=4=22=AM2 ∴∠AEM =90°, ∵MN//BC ∴∠ABC= ∠AEM =90°, ∴BC是☉O的切线. 跟踪练习 求直角的方法：平行法 ∴BC⊥AB， 例3、如图,以△ABC的边AB为直径作☉O,交AC于点D,过点D 作DE⊥BC,垂足为点E。若D为AC的中点,那么DE是☉O的切线吗? 请说明理由。 ●O B A C E D 解析：要证明DE是☉O的切线：有准切点，没有半径，所以要先作半径， 再证明DE“垂直于这条半径”，即可。“连半径，证垂直。” 典例讲解 ●O B A C E D 解:DE 是☉O 的切线。理由如下: 连接OD。 ∵AB 是☉O 的直径, ∵D 为AC 的中点, ∴O 是AB 的中点。 ∴OD∥BC。 ∵DE⊥BC, ∴∠DEA=90°。 ∴∠ODE=∠DEA=90°。 ∴DE⊥OD。 ∴DE 是☉O 的切线。 典例讲解 求直角的方法：平行法 3.如图,AB是☉O的直径,C为半圆O上一点,直线l经过点C,过点A 作AD⊥l, 垂足为点D。连接AC,AC平分∠DAB。 CD是☉O 的切线吗? 为什么? 解:CD是☉O的切线。理由如下: 连接OC。 1 2 3 ∵AC平分∠DAB, ∴∠1=∠2. ∵AD⊥l,∴∠ADC=90°。 跟踪练习 1 2 3 ∴∠1=∠3, ∴∠3=∠2, ∴OC∥AD。 ∵OA=OC, ∴∠ADC+∠DCO=180°。 ∴∠DCO=90°, ∴CD⊥OC, ∴DE 是☉O 的切线。 跟踪练习 求直角的方法：平行法 例4、如图所示，点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于 点D，以点O为圆心,OD的长为半径作☉O。 求证:☉O与AC相切 解析：本题中没有给出直线圆的公共点，所以采取“作垂直，证半径”的方法求解，即只需证明点O到AC的距离等于半径OD即可。 典例讲解 证明:过点O作OE⊥AC，垂足为点E。 E ∵O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D， ∴OE=OD, ∴☉O与AC相切 ∵OD的长为半径, ∴点E在☉O上, 典例讲解 证明圆的切线的两种方法方法总结 方法 1：“连半径，证垂直” 当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直，得切线”。 方法 2：“作垂直，证半径” 当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线， 再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径，得切线”。 方法总结 4.如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC,∠DAB=90°, AB是☉O的直径，CO平分∠BCD。 求证:直线CD与☉O相切。 证明:过点O作OE⊥CD，垂足为点E。 E ∵AD//BC,∠DAB=90°, ∴∠ABC=180°-∠DAB=90°。 ∴OB⊥BC, 跟踪练习 ∵CO平分∠BCD。 E ∴OE=OB, ∵OB为半径, ∴点E在☉O上, ∴直线CD与☉O相切。 跟踪练习 例5、如图所示，AB是☉O的直径，BD是☉O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC,E为 AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F，若∠CDE=∠DAC,AC=12. (1)求☉O的半径; (2)求证DE为☉O的切线. 解析：（1）要求半径，只要求直径即可。已知线段AC=12，所以要利用条件找到AB与AC 的数量关系。（2）要证切线要先连接OD,只要证明OD垂直DE即可。 拓展延申 (1)解:∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB=90° ∴AD⊥BC. 又∵BD= CD, ∴AB=AC=12. ∴☉O的半径为6. 拓展延申 (2)证明:连接OD. ∵∠CDE=∠DAC, ∴∠CDE+∠C=∠DAC+∠C. ∴∠AED=∠ADB=90° ∵DC=BD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC. ∴∠ODF= ∠AED=90°,∴OD⊥EF. ∵OD为☉O的半径， ∴DE为☉O的切线. 拓展延申 5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，过点 D作DE⊥AC，垂足为点E. (1)求证△ABD≌△ACD; (2)判断直线DE与☉O的位置关系，并说明理由. 解析：(1)要证△ABD≌△ACD;因为AB=AC，且AB是☉O的直径，可得∠ADB=90°，即 AD⊥BC.根据等腰三角形"三线合一"可证得全等；（2）要证切线要先连接OD,只要证明OD垂直DE即可。 跟踪练习 (1)证明:∵AB为的直径径， ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AD=AD, AB=AC, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) 跟踪练习 (2)直线DE与DE为相切.理由如下: 连接OD， 由△ABD≌△ACD知，BD=CD. 又∵OA=OB， ∴OD为ABC的中位线， ∴OD//AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. ∵OD为的半径， ∴DE为的半径，∴直线DE与DE为相切. 跟踪练习 1、如图,AB是⊙O的直径,下列条件中不能判断AT所在直 线是圆的切线的是（ ） A.AB=4,AT=3,BT=5 B.∠B=45o,AB=AT C.∠B=55o,∠TAC=55o D.∠ATC=∠B D 当堂检测 2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13， AP=12，则PA与☉O的位置关系是 . A P O 相切 当堂检测 3.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一 点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC. 求证：PC与⊙O相切； O . P A B C 解析：要证明PC与O相切，需证明PC⊥OC( OC为O的半径)，具体步骤如下:1:连接OC因为OA=OC(O的半径相等)，所以∠OAC=∠OCA。 2:利用平行线的性质推导角相等 已知OP⊥AC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得:∠OAC=∠POB；3:证明△OBP≌△OCP，可得∠OCP=∠OBP=90°, 所以OC⊥PC. 当堂检测 证明：如图，连接OC， ∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA. ∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP. ∴∠COP=∠BOP. ∵OP=OP，OC=OB，∴△COP≌△OBP（SAS）. ∴∠OCP=∠OBP=90°.∴OP⊥PC. ∴PC与⊙O相切. O . P A B C 当堂检测 切线的判定方法 定义法 1个公共点，则相切 数量关系法 d=r，则相切 判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $