（练习）课时分层作业9 空间向量与垂直关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(九)　空间向量与垂直关系 一、选择题 1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　) A．α，β平行 B．α，β垂直 C．α，β重合 D．α，β不垂直 B　[u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β．] 2．已知空间向量a＝(2,2，－3)，b＝(0,6，m)，若a⊥b，则m＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 D　[a·b＝12－3m＝0，解得m＝4．] 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 B　[因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥；因为·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD．] 4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A． B．－ C． D． B　[设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)， ∵＝2，∴∴ ∴D，＝， ∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．] 5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 B　[建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)， ＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)， E，F， ＝，∴·＝0，·＝0， ∴EF⊥A1D，EF⊥AC．] 二、填空题 6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________． 或　[三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)． 令平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，可得， 即， ∴x＝y＝z， ∵平面ABC的法向量n＝(x，y，z)为单位法向量， ∴x2＋y2＋z2＝1，解得x＝y＝z＝±， 故平面ABC的单位法向量是或．] 7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 垂直　[由题意，a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b， ∵根据平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β．故答案为垂直．] 8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________． 　[∵⊥，∴·＝0， ∴3＋5－2z＝0，∴z＝4． ∵＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC， ∴即 解得故＝．] 三、解答题 9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF． [证明]　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M． 所以＝，＝(0，，1)，＝(，－，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1,1，－)． 因为＝， 所以n＝－，得n与共线． 所以AM⊥平面BDF． 10．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1． [证明]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图， 由题意，知D(0,0,0)， A(2，0,0)，C(0,2，0)， B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)， 则＝(0，－，－4)， ＝(－，，0)． 设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)． 则n·＝－y－4z＝0， n·＝－x＋y＝0， 得x＝y，z＝－y，令y＝1，得n＝． 易知平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)， 而n·＝1×(－2)＋1×2＋×0＝0， 即n⊥，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1． 11．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向