10.4 平面与平面间的位置关系（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

**基本信息** 聚焦平面与平面平行及二面角，通过基础辨析、性质应用到综合探究的分层设计，培养空间观念与逻辑推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|平面与平面平行判定、二面角定义|选择题辨析概念（如平面平行判定条件），填空题巩固定义（如面面垂直定义）| |能力提升层|面面平行性质、二面角计算|多面体性质判断（如第8题）、翻折问题（如第9题），深化空间想象| |综合应用层|跨情境综合、实际问题|折叠餐桌平行判定（题1）、四棱锥面面垂直证明（题16），体现数学应用意识|

10.4 平面与平面间的位置关系 题型一 平面与平面平行 1．已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是（    ） A． B． C．直线上有两个不同的点到的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的定义、判定定理及面面平行的性质，逐一判断选项即可. 【详解】对于选项A，当，，则可能在平面内，所以得不到，故选项A不正确. 对于选项B，，如果直线是平面和的交线，则直线在平面内，无法一定有，故B错误. 对于选项C，当直线与平面相交时，当直线上的两点分别在平面的两侧时也可以有这两点到平面的距离相等，故C错误. 对于选项D，当时，即平面和没有公共点，而，即直线与平面没有公共点，即，故D正确. 2．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出的比值，再结合，得到的值. 【详解】因为，直线与分别交于点和点， 过点作直线，使得，交于点，所以， 所以，故. 3．已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 4．已知表示直线，表示平面，有以下命题： ①相交且都在平面外，，，，，则；②若，，且，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由面面平行的判定定理与性质即可求解. 【详解】①中，，记与确定的平面为，由题意知：，，则.故①正确； ②③中，与既可平行，也可相交，故均错误，所以只有1个正确命题. 5．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 6．在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定定理判断ACD；利用面面平行的判定定理以及反证法判断B选项. 【详解】如图，因为，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 同理可证，四边形为平行四边形， 同A证出，平面，平面，故C、D正确； 因为平面，所以平面平面， 若平面，则平面或平面，显然不成立，故B错误. 故选：B 7．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由线面垂直的定义以及充分、必要条件的定义可判断. 【详解】已知，，，则，故充分性成立； 已知，，，则任何位置关系均可，故必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 【答案】① 【分析】根据线面平行、线线平行、面面平行有关定理对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面，故①正确； 由于， 则四边形是梯形， 的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 9．已知平面且，过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于，，且，，8，则的长为________． 【答案】或24 【分析】根据面面平行的性质定理可得，进而利用平行线分线段成比例定理，结合已知线段长度建立比例关系，求解的长度. 【详解】如图1，，经过直线与可确定平面，如下图所示： vv，平面，平面， ．，即，． 如图2，同理可证． ，即，． 综上所述，或24． 10．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 题型二 二面角 1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有条件（　　） A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 【答案】D 【知识点】二面角的概念及辨析 【分析】根据二面角的定义即可判断得到答案 【详解】根据题意， 是与平面的交线，则根据二面角的定义，若， ，且 ,则为二面角的平面角 故选：D 2．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(    ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 【答案】D 【知识点】二面角的概念及辨析 【分析】作出图像数形结合即可判断. 【详解】如图， A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD， 则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°， ∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角， ∵∠A＋∠BDC＝180°， ∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等， 当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补. 故选：D. 3．已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面平行的性质与线面垂直的性质可判断A；可作出，，的图形判断B；利用两平面平行的定义可判断C；利用反证法证明可判断D. 【详解】对于A，作平面，使且，因为，所以， 又因为，，所以，所以，故A正确； 对于B，如图所示，，，，满足，，， 但不满足，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，因为，所以，，取点，则，， 假设直线与平面不垂直，又， 则过点在平面内可作一条直线与平面垂直，记为， 同理，在平面内过点可作直线，因为过点有且仅有一条直线垂直于平面， 所以直线与直线重合，所以，，所以，又， 与平面与平面有且仅有一条交线矛盾，故假设不成立，所以D正确. 故选：B. 4．如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面角的概念及辨析、由异面直线所成的角求其他量、由二面角大小求线线角或线面角、求线面角 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，AB与l所成的角及AB与β所成的角，利用求出答案. 【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则为二面角的平面角，即， 为AB与l所成的角，， 设AB与所成的角为θ，则. 由图得. 故选：B 5．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果. 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故． 故选：C． 6．在正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二面角 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 故答案为：D 7．平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直； （2）画法： （3）记作：__________． 【答案】 直二面角 【知识点】判断面面是否垂直 8．如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】补全面面垂直的条件 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 9．已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为__________． 【答案】 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高． 【详解】如图， 图①中，由题意，， 所以， 因为， 所以为二面角的平面角， 即， 所以图②中， 设点B到的距离为h， 由等面积法可知， 即， 故答案为：． 10．如图，二面角为30°，点在内，到平面距离为6cm，求到的距离． 【答案】12 【知识点】二面角的概念及辨析、点面距离的概念及性质 【分析】由题意可作出直角，根据条件即可求得结果. 【详解】 过作于，于，连接， 则为二面角的平面角，， 因为在直角中，， 所以到的距离，. 11．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点，E点在上，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面平行、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，根据，可证得平面，从而，又满足线面垂直的判定定理条件； （2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可； （3）连接，构造直角三角形，可知即为直线与平面所成角，解直角三角形，即可求出的大小； 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，故CD⊥AD， 平面，平面,所以， 平面，故平面， 平面，故CD⊥AG， 由知，G为中点，故， 平面，所以平面. （2）证明：作于F，因为平面平面,平面， 平面平面,故平面， 又由（1）知平面， 所以，又平面平面， ∴平面. （3）连接，由于平面，则为所求的角． 在中，， 由，四边形为正方形, G为中点， 可得,，故， 即直线与平面所成角为. 1．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件，结合线面、面面平行的性质判定判断即可. 【详解】由，，得；反之，由，，得或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 3．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 4．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 【答案】D 【知识点】二面角的概念及辨析 【分析】举例验证两个二面角的位置关系，进而得到两个二面角的大小关系. 【详解】如图所示，平面平面ABC，    当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直， 因为二面角的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定． 故选：D. 5．如图所示，平面矩形，且，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、空间垂直的转化 【分析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，由线线垂直，线面垂直以及面面垂直的互相转化即可根据选项逐一求解. 【详解】因为平面矩形，两平面交线为,,且平面， 所以平面，平面，所以，故D正确， 若，由于，,平面,则平面，平面,则这与为矩形矛盾，故A不正确； 因为平面矩形，两平面交线为,,平面，所以平面，平面,所以，故B正确， 由于平面，平面,所以，又，平面,所以平面,平面,所以,故C正确， 故选：A 6．如图，在平行四边形中，，将沿BD折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 因为平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 综上，平面平面，平面平面，平面平面，共有3对， 故选:C． 7．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、证明面面垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行的判定定理可判断A错误；根据线面平行判定定理可以判断B错误；根据线面平行判定定理判断C错误；根据两平面所成的角的概念，结合条件即可判断D正确； 【详解】对于A，根据面面平行的判定定理，一个面内两条相交的直线与另一个平面平行，才能得到两平面平行，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，因，即平面相交成直角，又，故平面与平面也成直角，即，故D正确. 故选：D. 8．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 9．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由二面角大小求线线角或线面角 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 10．如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】过，分别作，的平行线，使之交于点，根据余弦定理求出，再证明，进而求解即可. 【详解】过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角的大小为， 则，而，， ， 又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，则. 11．已知是两条直线，是两个平面，则下列说法中正确的序号为______． ①若，则直线就平行于平面内的无数条直线； ②若，则与是异面直线； ③若，则； ④若，则与一定相交． 【答案】①③ 【分析】由线线关系、线面关系即线面平行的判定定理可得答案. 【详解】①中，，，则或，当时，在平面内存在无数条直线与平行； 当，根据线面平行的性质，在平面内也存在无数条直线与平行. 所以不管在平面内还是平面外，都有结论成立，故①正确； ②中，直线与b没有交点，所以与b可能异面，也可能平行，故②错误； ③中，直线与平面没有公共点，所以，故③正确； ④中，直线与平面有可能平行，故④错误. 12．如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 【答案】点与点重合（点只要在线段上即可） 【分析】先证明平面与平面平行，再根据面面平行的性质，确定点的运动轨迹． 【详解】连接，，，如图所示： 则，，且，， 平面平面，只需，则平面， 平面． 故答案为：点与点重合（点只要在线段上即可）. 13．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为______________． 【答案】/ 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 14．已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【知识点】二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【详解】如图，    设，取的中点为，连接， 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 15．如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有____________对. 【答案】5 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理证明即可. 【详解】在四棱锥中，由平面，平面， 得，由矩形，得， 而，平面，平面， 则平面，平面，又平面， 因此平面平面，平面平面； 又平面，平面，因此平面平面，平面平面； 而，则平面，又平面，因此平面平面； 由平面，可得平面与平面都不垂直于平面； 假定平面平面，在平面内过点作，而平面平面， 则平面，，而，平面， 于是平面，，与为锐角矛盾，因此平面与平面不垂直， 所以五面体的五个面中两两互相垂直的共有5对. 故答案为：5 16．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接， 因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则． (2)存在，且，理由如下： 取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形ABFG为平行四边形，所以， 设M为的中点，则，所以. 因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF， 故存在所求的点M，且. 【分析】（1）由题设得，再由线面平行的判定、性质定理或面面平行的性质定理证明结论； （2）取的中点G，连接AG，FG，易得，设M为的中点，从而得到，则，最后由线面平行的判定定理证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面平行、线面平行的性质、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 18．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【知识点】线面垂直证明线线垂直、补全面面垂直的条件、证明面面垂直 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 1．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查； 项目③：打开过程中（如图2），检查； 项目④：打开后（如图3），检查； 项目⑤：打开后（如图3），检查. 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】根据面面平行的判定，考查是否可以得到线线平行，转化为线面平行，得到面面平行． 【详解】项目①，折叠状态下（如图1），四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行； 项目②，打开过程中（如图2），若，可以得到线线平行，从而得到面面平行； 项目③，打开过程中（如图2），检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行； 项目④，打开后（如图3），检查，桌面与地面不一定平行； 项目⑤，打开后（如图3），检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行， 故选：C． 2．如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 【答案】B 【分析】过点作的平行线交平面于点，连接，，得到平行四边形，在中，计算即得到异面直线与所成的角. 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，. ，平面，平面， 四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或， 当时，又为等边三角形，故 当时，， 又，不合题意； 综上， 在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 故选：B. 3．已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理得到线线平行，再分点在平面的同侧和点在平面之间两种情况，利用相似三角形的性质求出的长. 【详解】当点位于平面同侧时， 如图（1），则， ∴， ∴； 当点位于平面之间时， 如图（2），， ∴， ∴. 故选：B. 4．已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二面角 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，， 所以，， 因平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 5．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求二面角 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 6．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二面角 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设，    因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 7．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 8．在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 【答案】平行 【分析】由侧面是平行四边形，得到，证得平面，同理证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面． 【详解】因为侧面是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面．又因为， 平面，平面， 所以平面平面． 答案：平行 9．给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 【答案】③④ 【分析】根据面面平行的判定与性质判断即可. 【详解】由如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，那么这两个平面平行可知，若与不相交，得不到，故①错误； 由面面平行的性质定理可知，与可以平行或异面，②错误； 由面面平行的性质定理即线面平行的判定定理可知③正确； 由面面平行的定义可知④正确. 10．金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：      ①平面； ②平面平面； ③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①④ 【知识点】判断线面平行、判断面面是否垂直、线面角的概念及辨析 【分析】根据线面平行的判定定理判断①； 根据二面角相关知识判断②； 根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③； 根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④. 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确. 对于②，如下图所示，取中点，连接，      根据等边三角形性质可知， 所以是二面角的平面角， 设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面与平面不垂直，故②错误. 对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点， 则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误. 对于④，如下图所示，取中点，的中心， 连接，则即正方体的一条棱，    设该正八面体棱长为， 则，， 根据,， 得， 所以， 所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的， 故④正确. 故答案为：①④ 11．把等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，则此二面角的大小是______________． 【答案】/ 【知识点】求二面角 【分析】由题意此二面角的平面角为，根据条件，求出的值，根据勾股定理，即可得答案. 【详解】因为等腰直角，斜边上的高为， 所以，平面平面， 所以此二面角的平面角为， 设，则， 又因为，连接，则， 在中，，所以，所以． 则此二面角的大小是. 故答案为： 12．如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 【答案】 1 【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角 【分析】根据面面垂直及二面角定义得到，在求解即可. 【详解】因为，所以，，所以是二面角的平面角． 因为平面平面，所以． 在中，，， 所以． 则为正三角形，所以． 故答案为：1；. 13．是正方形，平面，则二面角的平面角的度数为______________． 【答案】 【知识点】求二面角、二面角的概念及辨析 【分析】利用线面垂直的定义得到，，根据二面角的平面角的定义得到即为二面角的平面角，利用是正方形得到，从而得到所求的角的大小. 【详解】平面，平面，平面， ，， 即即为二面角的平面角，又在正方形中， 故所求二面角的平面角为． 故答案为：. 14．如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 15．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又// ，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故 面，又面，故面 面. (2). 【知识点】证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明 面，再证面 面； （2）过 作垂足为 ，过 作垂足为 ，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，故 为上靠近 的三等分点， 过 作垂足为 ，过 作垂足为 ，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故 //，又 面，故面，又面， 则，又，面，故面，又 面，故 ； 又面面，，面面， 故即为平面 与平面的夹角； 在三角形 中，因为 为上靠近 的三等分点，又// ，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面 与平面的夹角的正弦值为. 16．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4 平面与平面间的位置关系 题型一 平面与平面平行 1．已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是（    ） A． B． C．直线上有两个不同的点到的距离相等 D． 2．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 4．已知表示直线，表示平面，有以下命题： ①相交且都在平面外，，，，，则；②若，，且，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 6．在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 8．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 9．已知平面且，过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于，，且，，8，则的长为________． 10．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 题型二 二面角 1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有条件（　　） A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 2．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(    ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 3．已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 6．在正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 7．平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直； （2）画法： （3）记作：__________． 8．如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 9．已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为__________． 10．如图，二面角为30°，点在内，到平面距离为6cm，求到的距离． 11．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点，E点在上，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角． 1．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 3．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 5．如图所示，平面矩形，且，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，，将沿BD折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 9．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 11．已知是两条直线，是两个平面，则下列说法中正确的序号为______． ①若，则直线就平行于平面内的无数条直线； ②若，则与是异面直线； ③若，则； ④若，则与一定相交． 12．如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 13．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为______________． 14．已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为_______. 15．如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有____________对. 16．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 18．如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 1．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查； 项目③：打开过程中（如图2），检查； 项目④：打开后（如图3），检查； 项目⑤：打开后（如图3），检查. 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 2．如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 3．已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 4．已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 6．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 8．在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 9．给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 10．金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：      ①平面； ②平面平面； ③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是__________． 11．把等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，则此二面角的大小是______________． 12．如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 13．是正方形，平面，则二面角的平面角的度数为______________． 14．如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 15．如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 16．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $