专题04 相似三角形的判定（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

### 基本信息 聚焦相似三角形判定，以7类题型构建从比例性质、平行截线到判定定理应用的递进式训练体系，突出高频考点与综合应用，培养几何直观与推理能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与应用|7类基础题型（28题）|覆盖比例性质、平行截线、三个判定定理及条件补充|从预备知识（比例、平行）到判定定理直接应用，形成完整知识链| |综合提升|3类综合题型（12题）|含选择、填空、解答，融合多知识点综合应用|通过复杂图形与开放问题，提升推理能力与几何直观|

专题04 相似三角形的判定 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 题型1比例的性质 题型2由平行判断成比例的线段 题型3由平行截线求相关线段的长或比值（难） 题型4利用两角对应相等判定相似（高频） 题型5利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似（高频） 题型6利用三边对应成比例判定相似 题型7选择或补充条件使两个三角形相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 ◆题型1比例的性质 1．A 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 2． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3． 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 4．，， 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． ◆题型2由平行判断成比例的线段 5．D 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 6．A 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 7．A 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．D 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． ◆题型3由平行截线求相关线段的长或比值 9．A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 10．16 【详解】解：， ， ， ， ． 11．(1) (2) 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 12．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ◆题型4利用两角对应相等判定相似 13．和 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 14．证明：∵， ∴，， ∴． 15． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 16．(1) 证明：， ， ， ，， ， ． (2) 证明：由（1）得， ， ， ． ◆题型5利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 17．C 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 18．B 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 19．证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 20．证明：，，，， ，， ∴， 又， ． ◆题型6利用三边对应成比例判定相似 21．相似 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 22．D 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 23．(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 24．【详解】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. ◆题型7选择或补充条件使两个三角形相似 25．C 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 26．D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 27．（答案不唯一） 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 28．（答案不唯一） 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题 5．相似 6． 7．/厘米 三、解答题 8．【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 9． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 10． 【详解】解：设，则， 所以． 11． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得， ∴． 12． 【详解】（1）解：过点作交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴点是中点， ∴； （2）证明：过点作交于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形的判定 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 题型1比例的性质 题型2由平行判断成比例的线段 题型3由平行截线求相关线段的长或比值（难） 题型4利用两角对应相等判定相似（高频） 题型5利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似（高频） 题型6利用三边对应成比例判定相似 题型7选择或补充条件使两个三角形相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 ◆题型1比例的性质 1．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 2．若，则________． 【答案】 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3．由，可得比例式：____． 【答案】 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 4．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． ◆题型2由平行判断成比例的线段 5．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 6．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 7．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． ◆题型3由平行截线求相关线段的长或比值 9．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 10．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【详解】解：， ， ， ， ． 11．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 12．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ◆题型4利用两角对应相等判定相似 13．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 14．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 15．如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 16．如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1) 证明：， ， ， ，， ， ． (2) 证明：由（1）得， ， ， ． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型5利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 17．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 18．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 19．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【详解】略 20．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【详解】略 ◆题型6利用三边对应成比例判定相似 21．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 22．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 23．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 24．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. ◆题型7选择或补充条件使两个三角形相似 25．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 26．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 27．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 28．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 2．如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意； B、，不能证明，符合题意； C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； 故选：B． 3．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 4．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 【答案】C 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A选项：∵， ， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． B选项：∵， ∴，， ∴ ， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． C选项：当时，无法得到的度数，故无法判定与相似， ∴本选项不能判定与相似，符合题意． D选项：∵， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． 故选：C ． 二、填空题 5．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 6．已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 7．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 8．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【详解】略 9．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 10．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：设，则， 所以． 11．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得， ∴． 12．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 即． 【详解】（1）解：过点作交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴点是中点， ∴； （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形的判定 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 题型1比例的性质 题型2由平行判断成比例的线段 题型3由平行截线求相关线段的长或比值（难） 题型4利用两角对应相等判定相似（高频） 题型5利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似（高频） 题型6利用三边对应成比例判定相似 题型7选择或补充条件使两个三角形相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定 ◆题型1比例的性质 1．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则________． 3．由，可得比例式：____． 4．已知，满足，求、、的值． ◆题型2由平行判断成比例的线段 5．已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． ◆题型3由平行截线求相关线段的长或比值 9．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 10．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 11．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 12．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． ◆题型4利用两角对应相等判定相似 13．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 14．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 15．如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 16．如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： ◆题型5利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 17．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 18．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 20．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． ◆题型6利用三边对应成比例判定相似 21．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 22．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 24．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． ◆题型7选择或补充条件使两个三角形相似 25．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 27．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 28．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 二、填空题 5．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 6．已知，则的值是____________． 7．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 三、解答题 8．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 9．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 10．已知，求代数式的值． 11．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 12．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $