专题04 相似三角形中母子型模型（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以母子型相似模型为核心，通过斜射影、双垂直及变形模型的系统梳理，构建“模型解读-条件结论-典例应用”的方法体系，强化相似三角形判定与性质的推理应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“母子”模型（斜射影模型）|3道（含常州/长春开学考）|公共角+等角证相似，AB²=AD·AC核心结论|从基础模型到特殊模型再到变形，层层递进构建相似应用体系| |双垂直模型（射影模型）|3道（含九江二模综合题）|双垂直得三相似，射影定理线段关系| |“母子”模型（变形）|3道（含哈尔滨阶段练习）|等角+等腰条件证相似，模型变形应用|

专题04 相似三角形中母子型模型 常考题型·精准突破 题型1 “母子”模型（斜射影模型）（重） 题型2 双垂直模型（射影模型）（高频） 题型3 “母子”模型（变形）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．（25-26九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． ◆题型2 双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 4．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 5.（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 6．（2026·江西九江·二模）综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 (1)如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 (2)如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 (3)如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；②或 【分析】（）证明，可得，再根据“射影点”的定义即可判断求解； （）根据“射影点”的定义可得 ，又由得到，即得到，即可求证； （）①根据“射影点”的定义可得，又由可得，即得到，进而即可求证；②利用矩形的性质和勾股定理可得，过点作，垂足为，利用三角形的面积得 ，得到 ，设，则， ，由 ，可得，即得，解方程得到或，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是中边上的“射影点”， 故答案为：是； （2）证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴点也是中边上的“射影点”； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由①知，， 又∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， ∴解得或． ◆题型3 “母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 9．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)直接写出的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长，再证明，利用相似比求出的长即可． 【详解】解：过点作于点． 四边形是菱形， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ． 即菱形的边长为． 二、填空题 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 【答案】2.4 【分析】先设参数表示、，利用得到线段比例关系，求出表达式，再由列方程求解参数，最后算出长度． 【详解】解：已知，设， ，， ，，， ， ， 由相似三角形对应边成比例： ， 代入，： ， 化简得， 解得， 又， 代入表达式：， ， ， ， ， ，把代入 ． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出和的度数；利用已知等式及推出对应边成比例，结合夹角相等证明；根据相似三角形的性质得到，最后利用外角的性质及角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 三、解答题 7．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【详解】略 10．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出，此题得解； （2）过点作交于点，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出和的长度，在中，利用勾股定理可求出的长，此题得解． 【详解】（1）过点作，交的延长线于点， ． ， ， ． 又， ， ， ，， ， ； （2）解：过点作交于点，如图所示． ，， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ，， ． 在中，，即， 解得：（舍负）， ，． ∵在中，， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【答案】 （1）， ， ． ， ， ， ． （2）四边形是正方形， 且， ． ，， ， ， ． ， ， ． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及正方形的性质． （1）先证明，得对应边成比例，再将比例式转化为等积式即可； （2）直接利用射影定理得，，由此得，再将此等积式转化为比例式，再根据“两边对应成比例，且夹角相等”证明，即可证明． 熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用射影定理是解题的关键． 【详解】略． 13．（2025·河南焦作·二模）（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴， ②或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）①同（1）证明，即可得证； ②根据相似三角形的性质求得，进而求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）①略 ②∵，， ∴ ∴ 如图， 当时， ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述，的长为或． 14．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 (1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 (4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)；； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，可知，即可根据两角分别相等的两个三角形相似得到结论； （2）根据题意易得，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； （3）先由，结合点D为的中点，可推出，进而根据，列出比例式即可解答； （4）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质可知，，接着由等角对等边和三线合一可推出，，从而证得，得到，然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出，即可在中，利用勾股定理建立方程求得，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴， 又∵点D为的中点，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴（负值已舍）， ∴． 15．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 【初步探究】 (1)如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 (2)如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 (3)在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 【答案】(1) ；2 (2)补全图形： ； (3)的值为2或5 【分析】（1）先证明，再用三线合一得到，过点A作于点A，交的延长线于点P，，即可得到的值为2； （2）过点A作 于点A，交的延长线于点P，证明，得到，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵N是的中点，， ， ， ， 如图，过点A作于点A，交的延长线于点P， 则， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：补全图形； 如图，过点A作 于点A，交的延长线于点P， ． ， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质知， ∴， 由折叠的性质知， ， ， ， 根据四边形内角和可知，， ， ． 分别过点N，作的垂线，垂足分别为点P，Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 分两种情况：①当时，， ，， ， ， ． ②当时，， ， 同理， ． 综上可知，的值为2或5． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形中母子型模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1“母子”模型（斜射影棋型）（重） 题型2双垂直模型（射影模型）（高频） 题型3“母子”模型（变形）（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似， “母子”棋型（斜射影棋型）条件：如图，∠C=LABD:结论：△ABD一△ACB,AB2=ADAC. 1.(25-26九年级下江苏常州开学考试)如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ABC=∠ACD. (1)求证：△ABC∽△ACD. (2)若AD=2,AB=3,求AC的长 2.(25-26九年级上吉林长春开学考试)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD 边上，CD=CE 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：△ABD∽aCAE: ②若4B=6,AC=),4D=5,则直接写出CD的长为 3.(25-26八年级下山东泰安期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P、D分别在边BC、AC上， ∠BAP=∠CPD (I)求证：△APDP△ACP, (2)若AB=6,AD=2,求AP的长. ◆题型2双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似. D 双垂直模型（射影模型）条件：如图2，∠ACB=90°，CD⊥AB: 结论：△ACD-△ABC△CBD;CA=ADAB,BC2=BDBA,CD=DADB 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)求证：△ACD∽△CBD: (2)若CD=2,BD=1,求AD 5.(1)如图O,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=ADAC: B B 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 AB BD AE AF F,若BCDC l,求ED和FC的值： (3)在Rt△ABC中，∠ABC=9O°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于 AB BD AF 点E,交直线4C于点R,若BCDC=”,请直接写出FC的所有可能的值（用含”的式子表示）· 6.(2026江西九江·二模)综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方， 则称这个点为三角形该边的“射影点”，如图1，在△ABC中，E是BC边上一点，连接AE,若 AE2=BE.CE,则称点E是△ABC中BC边上的“射影点”. 图1 图2 图3 图4 初步感知 ()如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则点D一（填“是”或“不是”）△ABC 中AB边上的“射影点”. 尝试探究 (2)如图3，已知在四边形ABCD中，对角线ACBD交于点E,∠BAC=∠BDC,若点E是△ACD中AC 边上的“射影点”，求证：BE=DE. 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 迁移应用 (3)如图4，在矩形ABCD中，E为BC边上一动点，连接DE交对角线AC于点F,当点F恰好是△CDE 中DE边上的“射影点”时， ①求证：点F也是△ACD中AC边上的“射影点”， ②若AB=2V5,AD=4N5,直接写出CE的长. ◆题型3“母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似， D B “母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=LCAE,AB=AC结论：△ABD一△ECA: 7.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，△ABC是等边三角形，D、B、CE在一条直线上， ∠DAE=120°，若BD=1,CE=4,则AB的长是(). D B C A.5 B.2 C.3 D.4 8.如图，在△ABC中，D,E是BC上的点，己知△ADE是等边三角形，BD=L,DE=2,CE=4. B D (I)证明：△ABD∽△CAE； (2)求∠BAC的度数. 9.(25-26九年级上吉林长春开学考试)如图，等边△ABC的边长为4，点D,B,C,E在同一直线上， 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE=8,∠BAD=∠E B (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)直接写出AD的长为 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1,(2026甘肃武威模拟预测)如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4,AB=10,则 AD的长为() C D 6 A.1.5 B.1.6 C.1.8 D.2.0 2.(25-26八年级下山东泰安期末)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=7,点D是边BC上一点， BD=4,点E在边AC上.若∠ADE=∠C,则CE的长为() E B 0 A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 3.(2026浙江舟山：二模)如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点C作CG⊥BC,交BD于点G, 若BD=18,DG=5,则菱形的边长为(). 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G A.10 B.11 C.313 D.5W2+25 二、填空题 4.(25-26九年级上上海期中)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠ABD=∠C,AD=4,AC=9, 那么AB= D 5.(25-26八年级下·上海阶段检测)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D, AD 3 DC4,AB=5,那么CD的长是一· D B 6.(25-26八年级下上海阶段检测)如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=20°，D、E分别在边CB和 BC的延长线上，若AB=DB.CE,则∠DAE=一· D B E 三、解答题 7.(25-26九年级下广西南宁开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于D,求证： AC2=AD·AB 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 8.(25-26九年级上海南省直辖县级单位期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是 边AB上的高且为2， D (I)求证：△ACD∽△CBD: (2)求AB的长. 9.(25-26八年级下山东威海·期末)如图，点D,点E是△ABC边BC上的两点，∠BAD=∠BDA,AD 平分∠EAC.求证：BD=BE·BC. E D 10.(25-26八年级下山东东营期末)如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点， 小星：若∠ACP=∠B,则可证△ACPn△ABC AP AC 小红：若AC=AB,则可证ACP-ABC AC BC 小亮：若CP=AC,则可证△ACP6ABC (1)请判断三人的说法的对错：小星 一，小红一，小亮 (填“对”或“错”) (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽aABC: (3)若△ACP∽aABC,且BP=l,AC=V6,求AP的长. 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26九年级下·山东烟台期末)某学校数学社团开展解题闯关活动. D CB B 图1 D 图2 C 图3 (1)【闯关活动一】如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BA0=30°，∠0AC=75°，A0=3V3, BO:CO=1:3,求AB的长 经过社团成员合作交流发现，过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决此 问题（如图2）.请根据所发现的解题思路求出∠ABD的度数和线段AB的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考(1)的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3V3,∠ABC=∠ACB=75 ,BO:OD=1:3,求DC的长 12.(25-26九年级上·甘肃张掖期中)射影定理：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果CD1AB」 垂足为D,那么有下列结论：①CD=AD·BD;②AC2=AB·AD;③BC2=AB·BD. B ① ② (1)请你证明射影定理中的结论③，即BC2=AB·BD 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题. (2)如图②，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，过点C作CF⊥BE, 垂足为F,连接OF.求证：∠BOF=∠BED 13.(2025·河南焦作·二模)(1)追根溯源 如图1，太阳直射在Rt△ABC上，AD为BC上的高，BD,CD,BC是位于同一条直线上的影子.则通过 ∠BAD=∠C,∠B=∠B,得到△ABD∽一，进而得到AB=BD·BC,被称作射影定理. (2)拓展提升 如图2，在△ABC中，点D为BC上一点，∠BAD=∠C=30°. ①求证：AB2=BD.BC: ②若AB=6,BD=3,点E为直线AC上一点，当△ECD为直角三角形时，请直接写出DE的长度. 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ◇ B4 D 图1 图2 14.(25-26八年级下·江苏淮安·期末)数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程， 更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一 基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决. 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD A ② D ③ ④ 【初步探究】 (I)如图O,在RiABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,则△ACDA_a_ (2)如图②，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB: 【尝试应用】 (3)如图③，在(2)的条件下，若点D为AB的中点，CB=4,求CD的长： 【创新提升】 (④如图④，点E为CB的中点，连接DE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EDB,AC=7V5,直接写 出AD的长为_ 15.(2026河南开封·模拟预测)综合与实践 M 图1 图2 备用图 【初步探究】 (I)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,M为边AB上一点，N为边AC的中点，CM⊥BN于点 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM O,则∠ACM的度数为 BM的值为. 【类比探究】 (②)如图2，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,M为边AB上一点，N为边AC的中点，CM⊥BN于点 、AM O.请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求BM的值： 【拓展延伸】 (3)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,M为边AB上一点，N为边AC的三等分点.将△ABC沿AB所在 AM 直线翻折，点C的对应点为C',连接MN,CM·若MN⊥C'M,请直接写出BM的值. 10/10西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形中母子型模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1“母子”模型（斜射影棋型）（重） 题型2双垂直模型（射影模型）（高频） 题型3“母子”模型（变形）（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1“母子”模型（斜射影模型） 1. 【答案】(I)证明：，在△ABC和△ACD中 ∠ABC=∠ACD,∠A=∠A, .△ABCP△ACD: (2)V6 【详解】(1)略 (2)解：△ABCn△ACD, :B、AC AC AD' AC2=AB·AD, AC2=2×3=6, .AC=±V6(舍去负值)， AC的长为V6, 2. 【答案】(I)证明：CD=CE, ∴.∠CED=∠CDE :∠CED=∠EAC+∠ACE,∠CDE=∠BAD+∠B 又∠DAC=∠B 1/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ACE=∠BAD 又，∠DAC=∠B, .△ABDACAE 、15 24 【详解】(1)略. (2)解：△ABD∽△CAE, .AB_AD AC CE :B=6,AC=9 ’AD=5, 、65 CE. 2 .CB=15 4… CD-CE-15 · 3. 【答案】(I)证明：：∠B=∠C,∠BAP=∠CPD ∴△BAP△CPD ∴.∠APB=∠CDP」 点P、D分别在边BC、AC上， .∠APC+∠APB=180°，∠ADP+∠CDP=18O°， ∠APC=∠ADP, 又：∠DAP=∠PAC. ∴△APD∽AACP (2)25 【详解】(1)略 (2)解：△APD∽△ACP, AP_AD AC AP' AP2=AC·AD. ∠B=∠C 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC=6, AD=2, AP2=6×2=12, :AP=2W5或AP=-2W5(不符合题意，舍去)， AP的长是2V3」 ◆题型2双垂直模型（射影模型） 4. 【答案】（①）证明见解析 (2)AD=2 【详解】(1)证明：在R△ABC中，∠ACB=90,CD L AB于点D, ∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠B=90° ∠B+∠BCD=90°， .∠A=∠BCD, ∠ADC=∠CDB=90°， ∴.△ACD∽△CBD: (2)解：△ACD∽△CBD, CD AD BD CD' .CD2 AD.BD, CD=√2，BD=1, (=4Dx1, .AD=2. 5. 【答案】(1)见解析： a4 =2 AF (3)满足条件的FC的所有可能的值为m+n或m2-n或n-n2 【详解】解：(1)证明：如图①， 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图① BD⊥AC∠ABC=90° .∠ADB=∠ABC=90°， 又：∠A=∠A, ∴ADB△ABC, AB AD AC AB' AB2=AD·AC. (2)解：方法一： 如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G, ⊙ G C 图② .·BE⊥AD ∴.∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF :AB、BD BC DC .AB=BC=2BD=2DC,BD=DC, 又∠BDE=∠CDG, .∴ABDE≌aCDG(AAS), ∴ED=GD=EG 同理(1)可得：AB=AD·AE,BD=DE·AD, ..E-4B_(2BD) =4, DE BD BD2 .AE=4DE, AE_4DE=2 EG 2DE CG∥BF, 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF AE FC EG -2 方法二： 如图③，过点D作DG∥BF,交AC于点G, B D F G C AB BD 图③ =1 BC DC BD=DC=,BC,AB=BC· 2 .DG‖BF FG BD 1 FC BC 2'FC=2FG 同理(I)可得：AB2=AD·AE,BD=DE·AD, AE AB2 (2BD) =4, DE BD2 BD2 DGI BF, 、AFAE FG DE =4, AFAF =2 ·FC2FG (3)解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： (I)当点D在线段BC上时，如图④所示： 过点D作DG∥BF,交AC边于点G. D E 9 C 、ABBD 图④ BC DC=n ..BD=nDC,BC=(n+1)DC.AB=n(n+1)DC DGI BF. 5/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FG BD GC DC =n, ∴.FG=nGC, FG-FC.BD-NDC n+1 同理(1)可得：AB2=AD·AE,BD=DE·AD, E4 n(+)DCE-(: DE BD2 (nDC) ..DGIBF, AF AE FG DE =(a+1, AF 即nFC =(n+1 n+1 AF 化简得： =n2+n: FC (II)当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作DG∥BE,交AC边的延长线于点G. B G 图⑤ AF 同理可求得：FC=r-”: (II)当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作DG∥BF,交CA边的延长线于点G. E G------ 图⑥ AF 同理可求得： =n-n2 FC 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 即满足条件的FC的所有可能的值为m+n或m2-n或n-n2 6. 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)①证明见解析：②4V5或V5 【详解】(1)解：，∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCD=90°， CD⊥AB于点D, ∴.∠ADC=∠CDB=90°」 .∠ACD+∠A=90°， .∠A=∠BCD ∴.△ADC∽△CDB, AD CD ∴CDBD' :.AD.BD=CD2, ∴.点D是△ABC中AB边上的“射影点”， 故答案为：是： (2)证明：：点E是△ACD中AC边上的“射影点”， .DE2=AE.CE. .∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠DEC, .△ABEADCE, AE BE ·DECE' .AE-CE=BE-DE, .'BE.DE DE2, ∴.BE=DE: (3)①证明：：点F是△CDE中DE边上的“射影点”， CF2=EF·DF, CF DF ∴EFCF' ,四边形ABCD是矩形， 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD∥BC, .∠DAC=∠BCA, .∠AFD=∠CFE, :.△ADF∽△CEF, AF DF ·CFEF' CFAF ·EFDF, DF AF ∴CFDF, .DF2=CF.AF ∴，点F也是△ACD中AC边上的“射影点”； ②：四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90°，CD=AB=2V5, AC=VAD2+CD2=V4W5+(2V5=10, 如图，过点D作DP⊥AC,垂足为P, D B E 1 S.ADC= C.DP= 2 4D-CD. :DP=4D.CD_45x25-4. AC 10 .AP=VAD2-Dp=V45-4=8, 设AF=x,则CF=10-x,PF=8-x, 由①知，DF2=AF.CF, 又DF2=PF2+DP2, .AF.CF=PF2+DP2, .x(10-x)=(8-x)2+42, 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得，x2-13x+40=0, 解得x=5,x2=8. .AF=5或AF=8, .CF=5或CF=2, .△ADF∽△CEF, AF AD ·CFCE' 语 或2CE ∴解得CE=4V5或CE=V5 ◆题型3“母子”模型（变形） 7.B 8. 【答案】（①）见解析 (2)120 【详解】(I)解：△ADE是等边三角形， :∠ADE=∠AED=6O°，AD=DE=AE=2, .∠ADB=180°-∠ADE=120°=∠AEC=180°-∠AED=120°， BD=1,CE=4, .BD 1 AD 2 1 AE-2’CE42 BD AD AE CE' 又：∠ADB=∠AEC, ∴△ABDACAE: (2)解：△ABD∽△CAE, ∴∠BAD=∠C, '∠ADE=∠B+∠BAD=60°， .∠B+∠C=60°， 9121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=120° 9 【答案】(1)见解析 (2)AD=2N7 【详解】(1)证明：，△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB .180°-∠ABC=180°-∠ACB, .∠ABD=∠ACE. ∠BAD=∠E, .△ABD∽△ECA: (2)解：，等边△ABC的边长为4， .AB=AC=BC=4, △ABD∽△ECA, AB BD 4 BD “CE=AC,即84， .BD=2, .DE BD BC CE =14. ∠BAD=∠E,∠ADB=∠ADE, .△ABD∽△EAD, AD BD AD 2 DE=AD,即14=AD: .AD=2√7（负值舍去）. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.C 二、填空题 4.6 10/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.2.4 6.100° 三、解答题 1. 【答案】 证明：：CD⊥AB于D,∠ACB=90° ∴.∠ADC=∠ACB=90°， .∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC, AC AD :ABAC' .AC2=AD.AB. 8. 【答案】(1) 证明：由题意得，CD1AB,而∠ACB=90°， .∠CDB=∠ACB=∠ADC=90°， ∴.∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°， .∠A=∠DCB. ∴.△ACD∽△CBD: oj 【详解】(1)略 (2)解：：∠A=30°，CD⊥AB, .AC=2CD=4, .∠ACB=90° 86 2 9. 【答案】证明：∠BAD=∠BDA, ∴.AB=BD AD平分∠EAC, 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAD=∠CAD」 :∠BDA=∠C+∠CAD,∠BAD=∠BAE+∠EAD, .∠BAE+∠EAD=∠C+∠CAD, ∴∠BAE=∠C, ∠B=∠B, .△ABE△CBA, BE AB 'AB BC' :AB2 BE.BC, AB=BD, BD2=BE·BC. 10. 【答案】(1)对：对：错： (2)选择小星的方法： :∠ACP=∠B,∠CAP=∠BAC,有两组角对应相等， ∴.△ACPP△ABC: 选择小红的方法： ..AP AC ACAB'∠CAP=∠BAC:有两组边对应成比例且它们的夹角相等， .△ACPAABC; 3)2 【详解】(I)解：若∠ACP=∠B,且∠CAP=∠BAC,有两个角对应相等，可判定△ACP∽△ABC,小星 对： AP AC 若ACAB,且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定A4CP△ABC,小红对； AC BC 若CP-AC,且∠CAP=∠BAC,有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明。ACPABC,小 亮错： (2)证明：略： (3)解：设AP=x, BP=1,AC=6. .AB=1+x, 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ACP∽△ABC, APAC ACAB· x6 石1+ 整理得：x2+x-6=0. 解得：x=2或x=-3(舍)， .AP=2 11. 【答案】(1)∠ABD=75°，AB=4V3 (2)4V13 【详解】(I)过点B作BDI‖AC,交AO的延长线于点D, .∠ADB=∠OAC=75°. :∠BOD=∠COA, △BOD∽△COA, OD OB 1 ..OA OC 3 又：A0=3V3, 00-40=5, .AD=A0+OD=43. ∠BAD=30°，∠ADB=75°， .∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB, :.AB=AD=43: (2)解：过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示. D :AC⊥ADBE∥AD ∴.∠DAC=∠BEA=90° :∠AOD=∠EOB ∴.△AODr△EOB, .m 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO EO BE ∴.DO AO DA B0:OD=1:3, EO BE 1 .AODA3· A0=3V3, E0=V3, AE=45 ∠ABC=∠ACB=75°， ∠BAC=30°，AB=AC, .AB=2BE. 在Rt△AEB中，BE'+AE=AB2,即(45+BE2=(2BE, 解得：BE=4(舍负)， .AB=AC=8,AD=12. :在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2, .82+122=CD2, 解得CD=4v13 12. 【答案】 (1)∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠ACB=∠CDB=90° ∠B=∠B, ∴.△ABC∽△CBD, 、ABBC BC BD' :BC2=AB.BD (2)四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°且AC⊥BD, .BC2=BD,OB」 ∠BCE=90°，CF⊥BE, BC2=BE·BF, 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BDOB=BE·BF, BD BF BEBO· ∠DBE=∠FBO. .ADBE∽△FBO, .∠BED=∠BOF 13. 【答案】(I)△CBA: (2)①∠BAD=∠C=30°，∠B=∠B. ∴.△ABD∽ACBA AB BD ·BCAB AB2=BD·BC, 9 ②2或3√5 【详解】解：∠BAD=∠C,∠B=∠B, ∴.△ABDACBA AB BD BC AB .AB2=BD.BC, 故答案为：△CBA。 (2)①略 ②，AB=6,BD=3,AB2=BD·BC B0-4g36-12 BD 3 ∴.CD=BC-BD=12-3=9 如图， E2 B C D 当∠CE,D=90°时， 15/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=30° 当∠CDE=90时，DE,=2CE .CD=CE -DE=3DE :DE=5cD=35 综上所述，CE的长为2或35， 14. 【答案】(I)CBD:ABC: (2)证明：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACDAABC, AC AD .AB AC' :AC2=AD.AB: 3)22 (4V21 【详解】(1)解：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°， ∴.∠CAD+∠CBD=∠BCD+∠CBD=9O°， .∠CAD=∠BCD .△ACD∽ACBD」 .∠CAD=∠BAC, .△ACDD△ABC, .△ACDACBD△ABC: (2)略 (3)解：由(2)可知，△ACD△ABC,AC2=AD·AB, AD CD ·.ACBC, 又：点D为AB的中点，即AB=2AD, 16/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AC2=AD.2AD=2AD2, AD2 1 AC2,即 D=2 AC 2 CB=4, 94 :.CD=22; (4)解：如图，取BD的中点F,连接CF、EF, D ④ ,点E为CB的中点， ∴EF是△BCD的中位线， :.EF II CD,CD=2EF, ∴.∠EFB=∠CDB」 .∠CDB=∠CBD=30° .CD=CB,∠EFB=∠CDB=30°， .CF⊥BD,∠ADC=∠EFD=180°-30°=150°， 又：∠ACD=∠EDB, .△ADC∽△EFD. CD AD DFEF· .∠CFD=90°，∠CDF=30°. .CD=2CF,DF =CD2-CF2=3CF, ..EF =CF, AD CD 2CF 2 .EFDF√3CFV3' 4D=25ar.25cr. 3 AF-ADDF2CF+CFCF 3 3 在RIAACF中，AC=7V5,AC2=AF2+CF2, 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ccr CF=3V万 2 (负值已舍)， AD-25x3y5-2. 32 15. 【答案】(1)45°：2 (2)补全图形： C M BM 2 AM (3)BM的值为2或5 【详解】(1)解：N是AC的中点，AC=2BC, .NC-CC CM⊥BN, ∠ACM=∠BCM=ACB=45°， 21 如图，过点A作AP⊥AC于点A,交CM的延长线于点P, 则∠P=∠ACM=45, .AP=AC=2BC, ·∠PAC=∠ACB=90°， AP∥BC, 18/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AMP∽△BMC, AM AP BM BC =2: (2)解：补全图形 N M 如图，过点A作AP⊥AC于点A,交CM的延长线于点P, .∠PAC=90° C N B :∠NCO+∠P=90°，∠NCO+∠BNC=90° .∠P=∠BNC, 在△CAP和△BCN中， ∠P=∠BNC ∠CAP=∠BCN AC=CB .ACAP≌△BCN(AAS), .AP=CN, :∠PAC=90°，∠ACB=90° ∠PAC+∠ACB=180°， AP∥BC, ∴.△APM∽△BCM, .AM=AP_CN 1 BM BC AC2 (3)解：：∠ACB=90°，AC=BC, .∠CAB=∠CBA=45°， 由折叠的性质知∠CAB=∠C'AB=45°， .∠CAC'=90°， 19/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠的性质知△ACM≌△ACM, ∴∠AC'M=∠ACM, :MN⊥C'M, ∴.∠C'AC=C'MN=90°， 根据四边形内角和可知，∠CNM=∠AC'M=180°-∠AWM, ∠CNM=∠ACM, ∴.CM=MN=C'M. 分别过点N,C'作AB的垂线，垂足分别为点P,O, .∠NPM=∠MQC'=∠WMC'=90° ∴.∠PNM=90°-∠PMN=LQMC', .MN =C'M .△NMP≌aMC'Q(AAS), 设AC=3V2a,则AB=6a, 分两种情况：①当CN=2AW时，AW=√2a, C OH M C 六AP-Np=54N=aCQ-4B=a 2 ∴PM=C'Q=3a. :AM=4a,BM=2a, ,AM_40=2 BM 2a ②当AW=2CN时，AN=2√2a, B AP-NP- -AN =2a 2 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理AM=5a,BM=a, :4M-5a=5. BM a A 综上可知， BM的值为2或5. 21/21