第2章 图形的相似 单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 青岛版九上“图形的相似”单元卷，聚焦相似比、位似、比例线段等核心知识，通过路灯影子、小孔成像等生活情境与折叠综合题，考查几何直观、推理能力及应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|相似比、平行线分线段成比例、相似图形判断|基础概念辨析，如第3题平行线分线段成比例应用| |填空题|8/32|相似多边形性质、位似面积比、比例线段|结合实际，如第14题小孔成像考查相似应用| |解答题|8/86|位似作图、相似测量、综合证明|生活情境与推理结合，如第19题测量会议中心高度，第24题折叠综合题考查创新意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试一图形的相似 数 学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：青岛版2024九年级上册第二章一图形的相似 一、选择题（共32分） 1,(本题4分)若△ABC∽△DEF,且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为() A.3:2 B.2:3 C.4:9 D.9:16 m-5m-n 2.(本题4分)已知n=4,则n的值为（） A -1 4 B. c.5 1 3.《本题4分)如图，D∥BE∥CF,直线、h与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F 己知AB=1,BC=1.5,DE=2,则DF的长为() A.4 B.5 C.6 D.8 4.(本题4分)观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是() 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 皮率 D 5.(本题4分)如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN,若AB=10cm,FG=15cm,则下列结论中正 确的是() A.3∠C=2∠H B.2∠A=3∠F C.3BC=2GH D.2DE=3MN 6.(本题4分)如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即OB=8米），此 时在地面留下的影子为BN,小铭从点B处沿OA所在的直线行走I2m到点A时（即AB=12米），人影长 度AM会比BN() BN 10 M A.变长3m B.变长4m C.变短3m D.变短4m 7.(本题4分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,点E,F分别在AD、BC边上，且EF⊥BC,若矩形 ABFE∽矩形DEFC,且面积比为l:9,则AE长为() F A.1 B.2 C.3 D.18 8.(本题4分)在△ABC中，AB=BC,点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在 边CB延长线上的点D处，连接MD,与边AB交于点E,AE=3,DE=2,那么AC的长为() A.√19+3 B.5 C.9+33+2√2D.以上都是错误的 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 二、填空题（共32分） 9（本题4分)已知五边形ABCDE-∽ 五边形 BGDB,∠E=70°，则2B的度数为 a 5 b 10.(本题4分)若6=3，则a-b 11.(本题4分)如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则 △DEF的面积是 E 12.(本题4分)如图，线段AB,CD相交于点O,AC/BD,若OA=12,OC=6,OD=4,则OB的 长是一 13.(本题4分)已知线段a、b、c、d成比例，a=2cm,b=6cm,c=3cm,则线段d的长为cm 14.(本题4分)做小孔成像实验时，调整蜡烛和光屏的高度，使蜡烛的火焰、小孔和光屏的中心大致在 一条直线上.若固定蜡烛与光屏的距离为90cm,然后将小孔O置于距离光屏60Cm的位置，测得烛焰AB 的像CD高为4cm,AB∥CD,则此时烛焰AB的高为 cm.(小孔大小和厚度忽略不计) 光屏 15.(本题4分)如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处.若测得台阶 CD=EF=HG=0.2m DE=FG=0.3m 2M=0.45m ，此时台阶在地面的影子 ,树的底部到台阶的距 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 离BC=1.8m,则树高AB为 M 16.(本题4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AE平分∠CAB交CD于点E,若 25 BC=8CB,S8c=60,则AB的长为一 B 三、解答题（共86分） 17.(本题8分)如图，在正方形网格中，△OBC的顶点坐标分别为 0(0,0)B(3,-1)C(2,1) 2 5 ①)以点O0,0)为位似中心，按位似比2：1在位似中心的异侧将△0BC放大为△0B'C,放大后，B,C两 点的对应点分别为B,C”,画出△OB'C,并写出点B,C的坐标：B(, ),C 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ )； (2)在(1)中，若 M(x)为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M'的坐标：（，）· 18,（本8分)若登青号且中y叶：=18，分别求只Ξ的值. 19.(本题10分)国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑.小明利用硬纸板自制Rt△CEF测量国际 会议中心AG的高度，他们通过调整位置，使斜边CF与点B在同一直线上（如图所示），另一条直角边 CE与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离CD=2米，到会议中心的水平距离BC=32米. 己知CE=0.8米，CF=1米，求会议中心AG的高度. E --------------B G AF_2 20.(本题10分)如图，在△ABC中，DE∥BC,G为BC上一点，连接AG交DE于点F,AG5 B AD (1)求AB的值： (2)当DE=6时，求BC的长度. 21.(本题12分)项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意 图如图： 步骤1：把长为lm的标杆垂直立于地面点C处，此时测得标杆在地面上的影子长CG=0.8m; 步骤2：将标杆沿着BG的方向移动到点E处，此时测得标杆在地面上的影子长EH=2.4m, 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ CG (1)若测得标杆移动的距离CE=14.4m,求路灯AB的高度； (②)把条件“将标杆沿着BG的方向移动到点E处”改为“将标杆沿着GB的方向移动到点E处”，其他条 件不变，利用(1)的结果，请直接写出CE的长（不用说理）， 22.(本题12分)如图，在△ABC中，AB=AC,点P是BC边的一点，CD∥AB,且CD=AB,连接 DP并延长，交AC于E,交BA的延长线于F, D 力 E y B CE 3 1)若CP=6,EA2,求BC的长： (2)求证：PD=PE·PF」 23.(本题12分)如图，△ABC与△DEF位似，EB的延长线与FC的延长线交于点O,点A和点D在线 段OE上. (I)△ABC与△DEF的位似中心为点 (2)若△ABC与△DEF的相似比为2，AC=3,求DF的长， 3)若∠0=20°，∠E=40°，求∠BCF的度数. 24.(本题14分)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，将矩形ABCD沿EF折叠， 使点A的对应点P落在边BC上，点D的对应点为点G,PG交CD于点H. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ G G H H D P P E E 图1 图2 PE BE (I)求证：HPCP ②)若P为BC的中点，AB=6,AD=4时，求DF的长： CH 1 B)如图2，连接DG,若P为BC的中点，CD2,直接写出DG与4D的数量关系.学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—图形的相似 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：青岛版2024九年级上册第二章—图形的相似 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．（本题4分）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 3．（本题4分）如图，，直线、与三条平行线分别交于点、、和点、、．已知，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是根据定理得到比例式；已知，根据平行线分线段成比例定理得，将，，代入比例式中进行计算，得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 4．（本题4分）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形：把形状相同的图形叫做相似图形，熟记相似图形的定义是解题关键．根据相似图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； D、两个图形形状相同，大小不同，相似，则此项符合题意； 故选：D． 5．（本题4分）如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 6．（本题4分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 7．（本题4分）如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键．根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 8．（本题4分）在中，，点M是的中点，将线段绕点M逆时针旋转，点A落在边延长线上的点D处，连接，与边交于点E，，，那么的长为（   ） A． B． C． D．以上都是错误的 【答案】A 【分析】如解图，过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）已知五边形五边形，，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等的性质即可求解的度数． 【详解】解：∵五边形五边形． ∴根据相似多边形的性质，对应角相等，即． 又∵． ∴． 故答案为：． 10．（本题4分）若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质和分式的约分，利用比例的性质构建a与b的关系是解题关键． 由已知比例设参数表示和，代入目标表达式化简即可． 【详解】解：由，设（），则， ∴． 故答案为：． 11．（本题4分）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 12．（本题4分）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 【详解】解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 13．（本题4分）已知线段、、、成比例，，，，则线段的长为____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了成比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即）． 由成比例线段的定义，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴ ，即，解得：． 故答案为9． 14．（本题4分）做小孔成像实验时，调整蜡烛和光屏的高度，使蜡烛的火焰、小孔和光屏的中心大致在一条直线上．若固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔O置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高为，，则此时烛焰的高为________．（小孔大小和厚度忽略不计） 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 15．（本题4分）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点E，若BC＝CE，S△ABC＝60，则AB的长为_____． 【答案】17 【分析】如图（见解析），先根据角的和差得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而得出，又根据角平分线的性质得出，从而可得，然后根据正切函数值可得，根据三角形的面积可得AC、BC的长，最后利用勾股定理即可得． 【详解】如图，过E作于H，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵，即 ∴ ∵AE平分，， ∴ 设，则 由勾股定理得： ∵ ∴，即 设，则 ∵，即 解得或（不符实际，舍去） 则在中， 故答案为：17． 【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、勾股定理、正切三角函数值、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）如图，在正方形网格中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，按位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后，B，C两点的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标：（________，________），（________，________）； (2)在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点M的对应点的坐标：（ ， ）． 【答案】(1) 如图所示，即为所求，则； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—位似，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（在y轴同侧）或（在y轴异侧），则把B、C两点的横纵坐标都乘以可得，两点的坐标，据此作图即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（在y轴同侧）或（在y轴异侧），据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，点M的对应点的坐标为． 18．（本题8分）若且x＋y＋z＝18，分别求x、y、z的值． 【答案】x＝4，y＝6，z＝8 【分析】设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入x＋y＋z＝18即可求解； 【详解】解：设， 则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∵x+y+z＝18， ∴2k+3k+4k＝18， 解得：k＝2， ∴x＝2k＝4，y＝3k＝6，z＝4k=8． 【点睛】本题主要考查比例的性质，正确计算是解本题的关键． 19．（本题10分）国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【答案】26米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 根据勾股定理求出，再说明四边形是矩形，可得，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案. 【详解】解：在中，米，米， ∴米. ∵， ∴四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴米. 所以会议中心的高度为26米. 20．（本题10分）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（本题12分）项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判定和，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． （2）判定，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． 本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质解方程是解题关键． 【详解】（1）解：由题可知，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 联立两式可知，， 故路灯的高度为． （2）解： 由题可得图，由题可知，，，， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 故的长为． 22．（本题12分）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 【详解】（1）解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 23．（本题12分）如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】（1）略． （2）解：与的相似比为， ． ， ． （3）解：与位似，， ． ， ． 24．（本题14分）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)求证：； (2)若为的中点，，时，求的长； (3)如图2，连接，若为的中点，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， ； (2)2 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合直角三角形的性质和折叠的性质可得，即可证明，再由相似三角形的性质可得结论即可； （2）设，，在中，，即，解得，可得，．再由相似三角形的性质可得，即，可得，．再证明，可得结论； （3）延长，交于点，连接，先证明是等腰三角形，可得，设，可得，再证明，可得，，可求得，得出，由勾股定理可得，可得出，，由勾股定理求得，再证明，可得，可得，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ． 设， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， ． 由（1）知， ， 即， ，． ， ， 由折叠得， ， ， ，， ， ， 由折叠得； （3）解：；理由如下： 如图2，延长，交于点，连接， ，分别在，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $