专题06 相似三角形的A字，8字等常见模型（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以六大相似模型为核心，通过“模型识别-等角证明-比例计算”三阶通法构建系统性训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|识别模型、找等角、列比例式，强调对应顶点顺序与结果检验|从共性解法到个性模型，构建“通法-模型-应用”逻辑链| |题型归纳|6题型含例+变式|A字（平行证相似）、8字（对顶角证相似）、结合（分步拆分）、一线三角（余角推导）、母子（射影定理）、手拉手（旋转性质）|从基础模型到复合应用，逐步提升图形分解与综合推理能力| |压轴挑战|12道题|多模型嵌套综合应用，强化方程思想与动态几何分析|对接中考压轴命题趋势，培养模型意识与问题解决能力|

专题06 相似三角形的A字，8字等常见模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“A”字模型 题型二、“8”字模型 题型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 题型四、一线三角模型 题型五、母子模型 题型六、手拉手模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形六大几何模型是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕识别模型、找等角、列比例式三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是确认对应顶点顺序不能写反，线段比例要做到一一对应，二是先观察图形定位模型，利用角相等证明三角形相似，列出比例式求解边长，求出结果后检验线段长度为正。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“A”字模型 题型模版 1.特征：三角形内部有一条直线平行于底边，形成上下两个同向三角形，整体轮廓形似字母A，顶角公共，底角分别对应相等，是最基础的相似模型。 2.方法：依据平行得同位角相等，直接证明三角形相似；严格按照上下对应关系列线段比例式，，求解边长、周长、面积比值，注意对应顶点顺序不可颠倒。 【例1】如图，点D、E分别在的边、上，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【例2】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【变式1-1】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点N，则的长为（   ）    A． B．2 C． D．3 【变式1-2】如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为______．    【变式1-3】如图，在中，点分别在边、上，且．    （1）如果，求线段的长； （2）设的面积为，求的面积（用的代数式表示）． 题型二、“8”字模型 题型模版 1.特征：两直线相交形成对顶角，上下两组三角形交错排布，图形结构形似数字8，两组对角相等，两组内错角相等，天然满足相似角条件。 2.方法：利用对顶角相等、平行线内错角相等证明两角对应相等，证得；按交叉对应关系写比例式，上下三角形对应边匹配，避免比例写反，常用于求相交线段长度与比值。 【例3】如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【例4】在中，，，点为的重心，连接，则_________． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，E为平行四边形的边延长线上的一点，连结交于点O，交点F． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G．延长交的延长线于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 题型模版 1.特征：复杂几何图形中同时存在平行A字结构与相交8字结构，图形线条多、嵌套复杂，单一模型无法求解，容易出现漏比例、找错对应关系的问题。 2.方法：拆分图形，分别识别A字、8字独立相似结构，分步证明多组相似，列出多组比例式；联立多个比例方程求解线段长或比值，解题需逐层分析，理清公共边、公共角，保证每一组相似对应准确。 【例5】如图，分别是的边上的点，，且分别为边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是______．    ①；②；③；④ 【例6】如图，在矩形中，过作于点，交于点，连接若是中点，且，则的长为______．    【变式3-1】如图，在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 _____． 【变式3-3】如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．      (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四、一线三角模型 题型模版 1.特征：同一条直线上存在三个顶点，中间角为直角或固定等角，左右两个三角形共享中间直线，通过余角性质可推出两组角对应相等，广泛用于直角、折叠、动点几何题。 2.方法：利用“同角的余角相等”推导等角，证明；根据相似对应边成比例列方程，求解未知边长，重点区分左右三角形对应关系，杜绝边角错位。 【例7】如图， 中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（    ）    A． B． C． D． 【例8】如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【变式4-1】如图所示，已知等边的边长为4，点D在边上且，点E在边上，，那么的长是____． 【变式4-2】如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【变式4-3】如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 题型五、母子模型 题型模版 1.特征：两个三角形共用一条斜边与一个公共角，大三角形内部包含小三角形，形状相似、角度一致、嵌套生长，形似母子结构，多见于直角三角形斜高题型。 2.方法：通过公共角+一组等角证明相似，熟记母子模型核心比例结论；利用对应边成比例、射影定理公式求解线段，熟练套用平方等积关系，快速计算边长、高、线段乘积问题。 【例9】如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【变式5-1】如图，在中，，，点为的中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点．若，则的长为______． 【变式5-2】如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________． 【变式5-3】如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 题型六、手拉手模型 题型模版 1.特征：两个共顶点的等腰三角形、等边三角形或正方形，绕公共顶点旋转，形成两组牵手式全等或相似三角形，顶角相同，旋转角度一致，结构对称。 2.方法：利用公共顶角推导等角，结合等边长、等比例边长证明；得到对应边成比例、对应角相等，求解旋转后线段长度、夹角大小、线段比值，重点把握旋转前后对应关系。 【例11】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 【例12】如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【变式6-1】如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为______．    【变式6-2】数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把他们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称为“手拉手图形”．如图，已知等边的边长为，点，分别为，的中点，现将绕点顺时针旋转角度为，直线，相交于点；当旋转到图位置（、、在同一直线上）时，的度数为________；在整个旋转过程中，当点与重合时，的长为________．      【变式6-3】如图：矩形和矩形有公共顶点，连接和，． (1)判断和的数量关系并说明理由； (2)判断和的位置关系并说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为______．    2．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 3．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 4．如图，E，F为矩形内两点，，垂直，垂足分别为E、F，若，，，则（    ） A． B．5 C． D．6 5．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 6．如图，矩形中，，，为的中点，为上一点，，且．对角线与交于点，则的长为___________．    7．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，交于点F，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接交于点F，过点F作，交于点G．求的长．    10．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G． (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：． 11．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 12．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形的A字，8字等常见模型 目 录 解题通法 明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 "A” 字模型 题型二、 “8”字模型 题型三、 "A”字模型与8” 字模型的结合 题型四、一线三角模型 题型五、母子模型 题型六、手拉手模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形六大几何模型是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕识别模型、找等角、列比例式三 大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是确认对应顶点顺序不能写反，线段比例要做到一一对应，二是 先观察图形定位模型，利用角相等证明三角形相似，列出比例式求解边长，求出结果后检验线段长度为正。 ◆◆ ◆◆ 刁题型归纳一精讲典型题法，务夫解题极基 题型一、“A”字模型 题型模版 1.特征：三角形内部有一条直线平行于底边，形成上下两个同向三角形，整体轮廓形似字母A,顶角公共， 底角分别对应相等，是最基础的相似模型。 1/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 2.方法：依据平行得同位角相等，直接证明三角形相似；严格按照上下对应关系列线段比例式， △ADE∽△ABC,求解边长、周长、面积比值，注意对应顶点顺序不可颠倒。 【例1】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED=∠B.若AD=1,AB=3,AC=2, 则AE的长是() A月 B.1 c.2 D.2 【答案】C 【详解】解：，∠A=∠A,∠AED=∠B, ∴.△ADE∽△ACB」 AD AE 1 AE ·AC=AB,即2=3， 解得：AE二、 故选：C 【例2】如图，BD,CE分别是AC与AB边上的高 求证：△ADE一△ABC, B 【答案】 2/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：：BD,CE分别是AC与AB边上的高， ∠ADB=∠AEC=90, :∠A=∠A, .△ADBn△AEC, AEAC .'AD AB, AE AD 即ACAB· ∠A=∠A, .△ADE一△ABC 【详解】略 【变式1-1】如图，在△ABC中，BC=12,高AD=6,，正方形EFGH一边在BC上，点E、F分别在 AB、AC上，AD交EF于点N,则AN的长为() E D G A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【答案】B 【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x, :四边形EFGH是正方形 ·.∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC, △AEFAABC, :AD是△ABC的高， ∴.∠HDN=90° ∴四边形EHDN是矩形， .DN =EH =x, ,△AEFn△ABC, 3/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AN EF ∴.ADBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)， :BC=12,AD=6 ∴.AN=6-x, 6-x x 6=12, 解得：x=4, .AN=6-4=6-4=2 故选：B 【变式1-2】如图，在△ABC中，AD=DE=EB,AF=FG=GC.已知△ABC的面积为9，则阴影部分的 面积为 A D E 【答案】5 【详解】解：AD=DE=EB,AF=FG=GC AG AE 2 AF AD 1 AC AB-3 AC AB3 又，∠A=∠A ·.△AEG∽△ABC 4 ∴.SAEG=。SABc=4 9 S阴影=SABc-S。MEG=5 故答案为：5 4/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确求得 SAAEG 【变式1-3】如图，在△4BC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=3,AC=6,AE=4,AB=8 (1)如果BC=7,求线段DE的长： (2)设△DEC的面积为a,求△BDC的面积（用a的代数式表示）· 7 【答案】(1)2；(2)Ssc=5a 【分析】 【详解】解：(1)AD=3,AC=6,AE=4,AB=8 AD AE 1 AC-AB2' ∠A=∠A ∴.△ADE-ACB DE 1 …BC2 .BC=7 7 ..DE-2: AE。4=2 (2):Ec=6-4 S.ADE=AF=2 ∴.S.EDC EC =a 5/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.ADE =2a .'△ADE-ACB S.CB 2a 1 .S.BDc+a+2a 4 S.woc =5a 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例解决线段问题，利用相似三角 形面积比等于相似比的平方解决面积问题是解答此类问题的重要思路. 题型二、“8”字模型 题型模版 1.特征：两直线相交形成对顶角，上下两组三角形交错排布，图形结构形似数字8，两组对角相等，两组 内错角相等，天然满足相似角条件。 B ○ D 2方法：利用对顶角相等、平行线内错角相等证明两角对应相等，证得△AOB∽△COD；按交叉对应关系 写比例式，上下三角形对应边匹配，避免比例写反，常用于求相交线段长度与比值。 【例3】如图，线段AC与BD相交于点O,补充下列一个条件后，仍不能判定△AOB和△DOC相似的是 () 6/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AB DC A. OA OD B.B=∠C C.OA.OC=OD.OB D.∠A=∠D 【答案】A 【详解】解：由图可知：∠AOB=∠DOC, AB DC A、 OAOD,不能判定a4OB与aDOC相似，故该选项符合题意： B、 ∠B=∠C根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△A0B与△DOC相似， 故该选项不符合题意： OA OD C、OA:OC=ODOB即OBOC,根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等， 则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意； D、∠A=∠D根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似， 故该选项不符合题意： 故选：A 【例4】在△ABC中，∠C=90,AB=6,点0为△ABC的重心，连接OC,则OC= 【答案】2 【详解】解：如图所示，D,E分别是AB,BC的中点，连接AE,CD交于点O,则O是△ABC的重心，连接 DE, 7/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :D,E分别是AB,BC的中点， DE 1 DE∥AC,AC2 ∴.△ACOAEDO OD DE 1 CO-AC-2 0C2 CD-3 ,点D是Rt△ABC斜边上的中点， ÷CD=}AB=3 2 :0c-cD=2 3 故答案为：2. 【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED,EC交对角线BD于点F, EF 则FC等于() D 1 A.4 1 B. C.Z 【答案】B 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, 8/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE =2ED, 0E-40-写c, 3 AD∥BC, △DEF∽aBCF, EF DE 1 FC BC 3' 故选：B 【变式2-2】如图，E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O,交AD点F. 可E D B OA CD (1)求证： OC CE (2)求证：B02=E0.F0】 【答案】(1) 证明：，平行四边形ABCD, .AB=CD.ABII CD. .∠BAC=∠ACD,∠ABO=∠OEC, .△ABOP△CEO. OA AB OA CD Oc=CE,即：OCCE: (2) 证明：由(1)知：△ABO∽△CEO, OE OC ·OBOA' .ADl BC, .∠FAO=∠ACB,∠AFO=∠FBC. 9/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AOF△BOC, OB OC .OFOA· OE OB OBOF· .'.BO2=EO.FO 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 DE 2 【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E是4D上一点，AE3,连接BE交AC于点G.延长 BG BE交CD的延长线于点R,则GF的值为() E G 气司 3 D. 【答案】C 【分析】 【详解】解：，四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD ∴.△ABGP△CFG,△ABEP△DFE, BG AB AE AB ·GFCF,DEDF, ·DE2 AE 3 .AB= 2 10/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CF= 2 AB 3 .CF5’ BG 3 GF 5 故选：C 题型三、“A”字模型与“8”字模型的结合 题型模版 1.特征：复杂几何图形中同时存在平行A字结构与相交8字结构，图形线条多、嵌套复杂，单一模型无法 求解，容易出现漏比例、找错对应关系的问题。 2.方法：拆分图形，分别识别A字、8字独立相似结构，分步证明多组相似，列出多组比例式：联立多个 比例方程求解线段长或比值，解题需逐层分析，理清公共边、公共角，保证每一组相似对应准确。 【例5】如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DEI‖AC,且D、E分别为BA、BC边上靠近点B 的三等分点，则下列结论正确的是 DE:4C1:3OD:OC:25.:: ;③ :④ 【答案】① 【详解】解：，DE‖AC。 ∴.△BDE△BAC, .DE:AC=BD:BA=1:3,故①正确： DEI‖AC, ∴.AODEAOCA, :.OD:OC=DE:CA=1:3,故②错误： 11/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,E分别为BC边上靠近点B的三等分点， .BE:CE=1:2, S.BDE:S.CDE =1:2 故③错误： AODEAOCA. SADOE:S△4oc=1:9 ,故④错误。 故答案为：①. 【例6】如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且 BC=8,则AE的长为 F B 【答案】8 【详解】解：过点E作MN⊥AB,交AB于点M,交CD于点N, F M E CE⊥BD .∠CEB=90°， ~四边形ABCD是矩形， ∴.∠BCD=90°，BA=CD,BA∥CD. 又'：∠EBC=∠CBD, ,ACBE∽ADBC BC BE BD BC .BC2=BD·BE. ~F是AB中点，BF∥CD, 12/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABEF∽aDEC, BE BE ME 1 DC DE NE2· .ME 1 MN3 设BE=x,则DE=2x,BD=3x, .BC=8.BC=MN, .82=3xx ME=-BC=8 3 3, 解得x=8 3, BE=83 3 .:BM=BE2-ME2 EM∥AD, BM BE 1 AM DE 2 AM=2BM=162 ， :∠EMA=90°， .AE=AM2+EM2 162 3 3 8 故答案为：8 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答， 【变式3-1】如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC,若BD:AD=I:2,则 S.osS.4oc的值为（） 13/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. 1 1 C.9 D.16 【答案】C 【详解】解：：BD:AD=1:2, BD:AB=1:3, :DE∥AC, :.△BDEABAC, DE BD 1 ·ACBA3' :DE∥AC, .∠EDC=∠DCA,∠DEA=∠EAC, ∴.△ODEAOAC. :8oaeS4c=DE2:4C2=1:9 故选C 【变式3-2】已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、 G,若BE=5,EF=2,则FG的长是一· B 【答案】10.5 【详解】解：ADBC, ∴，△AEF~△CEB 14/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE EF EC-BE 又，△ABE-△CGE, BE AE ·EG=EC' BE EF EG BE' 将BE=5,EF-2,代入求得EG12.5, FG-=EG-EF=12.5-2=10.5 故答案为：10.5 【点睛】此题考查学生相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解与掌握.利用相似三角形中的 对应边成比例是解答此题的关键.， 【变式3-3】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM,垂足为F,交AD 的延长线于点E,交DC于点N. D E M (I)求证：△ABMEFA: (2)若AB=12,BM=5,求AE的长 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD是正方形， 、AB=AD,∠B=90°，AD∥BC, ∴.∠AMB=∠EAF, 又，EF⊥AM, .∠AFE=90°， ∴，∠B=∠AFE, ∴.△ABM∽aEFA: (②)16.9 15/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)略 (2):∠B=90°，AB=12,BM=5, AM=V12+52=13 ,F是AM的中点， AF=号AM=6.5 .△ABM∽△EFA, BM AM 513 .AF=AE,即6.5AE, .AE=16.9 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题 的关键， 题型四、一线三角模型 题型模版 1.特征：同一条直线上存在三个项点，中间角为直角或固定等角，左右两个三角形共享中间直线，通过余 角性质可推出两组角对应相等，广泛用于直角、折叠、动点几何题。 D 3 E B 2.方法：利用“同角的余角相等”推导等角，证明△ACE∽△BED；根据相似对应边成比例列方程，求解 未知边长，重点区分左右三角形对应关系，杜绝边角错位。 【例T】如图，Rt△ABC中，∠ACB=9O°，CD⊥AB于D,矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD △ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF.可求两矩形的相似比的是() 16/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F E H N B GD M AB BD CE A. AC B. CD C.CH D.EH 【答案】B 【详解】解：连接FD,DN, H B G D M ,矩形MWHD∽矩形GDEF, ∴.∠FDE=∠BDN, :∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°， ∴.∠FCD=∠B, aCFD∽△BND .DN DF BD:CD. 故选：B. 【点睛】本题考查相似多边形，关键是连接FD,DN,证明△CFD∽aBND,即可解决问题. 【例8】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点，且 ∠AED=45°.求证：△ABEPAECD, B 【答案】 17/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：：∠BAC=90°，AB=AC, ∠B=∠C=45° :∠AEC=∠B+∠BAE 即∠AED+∠CED=∠B+∠BAE, :∠AED=∠B=45°， ∴.∠BAE=∠CED, .△ABE∽△ECD 【详解】略 【变式4-1】如图所示，已知等边△ABC的边长为4，点D在BC边上且BD=1,点E在AC边上， ∠ADE=60°，那么CE的长是一· 3 【答案】40.75 【详解】解：：△ABC为等边三角形， .∠B=∠C=60°，AB=BC=4,, .∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°， .∠ADE=60°， ∴.∠CDE+∠ADB=180°-∠ADE=120°， ∠CDE=∠BAD, ∴.△ABD∽aDCE, AB BD ·CDCE’ .CD=BC-BD=4-1=3, 41 :.3 CE' 18/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4· 【变式4-2】如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD=3,将含30°角的直角三角板 (∠F=30) 绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边4B、BC于P、e,连接P吧，当EFMP时，D0的 长为() y B Q C A.6 B.V39 c.2v3 D 43 【答案】B 【详解】解：∠F=30°， .∠E=60°， .EF∥PQ ∠DPQ=∠E=60°，∠D0P=∠F=30° ∴∠APD+∠BPQ=120° :△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠B=60°，AC=BC=AB=10, ∴.∠APD+∠ADP=120°， ∴∠BPQ=∠ADP ∴△ADP∽△BPQ 19/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AP DP .BP BO PO, '∠PD0=90°∠DQP=30° PD-0 3 AP 1 .BP BO2, .BP=6 .AP=4,BO=8. :C0=2, 过点2作QM⊥AC于点M, A P D M B 0 cM=)c0=1 QM=√5 CD=AC-AD=10-3=7, .D0=VDM2+QM2=V62+(N3)2=V39 故选：B. 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明 △ADP∽△BPQ 是解题的关键。 【变式43】如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F. 20/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D (I)求证：△ABE∽△DEF; (2)连接BF,若△ABE∽aEBF,试确定点E的位置并说明理由， 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是正方形， ∠A=∠D=90°， ∠AEB+∠ABE=90°， EF⊥BE, ∠AEB+∠DEF=90°， ∠ABE=∠DEF, 在△ABE和△DEF中， ∠A=∠D=90°，∠ABE=∠DEF, .△ABEn△DEF; (2) 点E为AD的中点时，△ABE∽aEBF,理由如下： :△ABE∽△DEF, AB BE DE EF, :△ABEP△EBF, AB BE AE EF, .ABAB DE AE :DE AE, ∴.点E为AD的中点. 【分析】 【详解】(1)略. 21/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略。 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用同角的余角找 出∠DEF=∠ABE;(2)利用相似三角形的性质得出DE=AE. 题型五、母子模型 题型模版 1特征：两个三角形共用一条斜边与一个公共角，大三角形内部包含小三角形，形状相似、角度一致、嵌 套生长，形似母子结构，多见于直角三角形斜高题型。 0 2.方法：通过公共角+一组等角证明相似，熟记母子模型核心比例结论：利用对应边成比例、射影定理公式 求解线段，熟练套用平方等积关系，快速计算边长、高、线段乘积问题。 【例9】如图，在△ABC中，点D为AC上一点，连接BD,下列给出的条件不能得出△ABDn△ACB的是 () AD BD A.AB BC B.∠ABD=∠ACB C.AB2=AD.AC D.∠ADB=∠ABC 【答案】A AD BD 【详解】解：A. ∠A=∠A,ABBC,不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到AABD∽AACB,故 符合题意： B.∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB,故不符合 题意； 22/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AC C.∠A=∠4：AB=AD4C即ADAB, 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到 △ABDn△ACB,故不符合题意； D.∠A=∠A,∠ADB=∠ABC,根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△ABDP△ACB,故不符合 题意： 故选A。 【例10】如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cms: 动点9从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、O两动点同时运动，那么经过 秒时 △QBP与△ABC相似. B 【答案】0.8或2 【详解】解：设经过t秒时△QBP与△ABC相似， :动点P的速度为2cm/s,动点Q的速度为4cms, .AP=2tcm,BO=4tcm, .AB =8cm. BP=AB-AP=(8-2t)cm :∠B是△OBP和△ABC的公共角，分两种情况讨论： 0当A08ABC时.器能，即智-8名，解，03： OB BP 4t 8-2t ②当△QBP∽aCBA时，BC=AB,即168，解得1=2： 综上，符合条件的t的值为0.8或2. 【变式5-l】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD L AC,点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点 F,且有MF=CF,过F点作FH LAC于点：.若H=5 BC ，则的长为 23/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】4 【分析】 【详解】解：BD⊥AC,FH⊥AC, ∴.∠ADE=∠CDB=90°BD∥FH .AF=CF, ∴.∠DAE=∠DCB .∴△ADE ACDB :点E为BD的中点， DE-BE-BD △ADE ACDB, AD DE 1 .CD DB 2 设AD=a,则CD=2a,AC=AD+CD=3a, FH⊥AC,AF=CF, AH-CH-TAC-3a. 3 2 2 又DE∥FH, .△ADE∽△AHF, DE_AD=a=2 FH AH 3 a3,即DE=2FH=5， 2 3 3 BD=2DE= 3, ∠ABC=90°，BD⊥AC, 24/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠C=90°， .∠ABD=∠C :∠ADB=∠BDC=90° .△ABDP△BCD. AD BD .BD CD' 45 a 3 即432a, 3 解得a=2v6 3 (负值己舍去)， CD=2a 4v6 3 43 BC=BD2+CD2 4V6 =4 3 故答案为：4. 【变式5-2】如图，在ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上.AB=3,BC=6,若E、F分别是 S△DE= AB、BC中点，则SGABCD 若BE=I,∠BEF=∠DEF=∠DFC,则DE= D B 【答案】 2+2V5 【详解】解：如图，取CD中点N,AD中点M,连接AC、BD、MF、EN、FN, 25/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 四边形 为平行四边形， B ABCD ∴.AO=OC,BO=OD .MF∥AB∥CD.AD∥EN∥BC, S.00=SMO=S.MD0=NDO-S.NOF=S.NCF=S.EOF=S.EF=8SACD or,poE +S,por +S.or,rS,ovr +S.ronc SE=3 SABCD 8: '∠BEF=∠DEF=LDFC,∠EFC+LDFC=∠BEF+∠EBF, .∠EBF=LEFD, .BEF△FED, EB EF BF DF, :四边形ABCD为平行四边形， :AD∥BC, ∠ADF=∠DFC=∠BEF, ∴.四边形AEFD对角互补， 如图，作四边形AEFD外接圆， B C:.∠DAF=∠DEF=LADF :ADI川BC, .∴.∠BFA=∠FAD 26/53 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFB=∠FEB, :∠ABF=∠FBE, .△ABF∽△FBE, :4B、BF BF BE BF=√5 解得 如图，在BC上取点M使得DM=DC,过点D作DN⊥MC, E B M C:.∠C=∠OMC CN=MN AB∥CD. .∠C+∠B=180°， :∠DMC+∠B=180° ∴∠DMF=LB, :∠DFC=LFEB, ∴.△DFMC∽aFEB, EB EF EB FM-FD BF. :.FM=BF=3 :DM=3FM=3 BC=6, Mw=6-25-3-5 2 在RteDMN中， DN2+MN2 DM2. 27/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得DW2=6V3-3, 在RtADFN中， DN2+FN2=DE2, 解得DF=V6+65 59 :△EBF∽AEFD∽aFMD, DE DF DF DM, DF2=DE·DM=3DE=6+6V5 DE=2+2V5 解得 3 故答案为：①8：②2+2√3 【点睛】本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定 理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键， 【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F,∠DCE=∠ADB. D (I)求证：AB·BC=BF·CE: (2)如果AD=3DE=6 ①求CF的长： ②若BD=10,求CD的长. 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AB=CD :.∠ADB=∠CBD,∠DEC=∠BCF, ,∠DCE=∠ADB, 28/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DCE=∠CBD, .△DCEm△FBC, DC CE BF BC' AB CE ∴BF=BC,即AB·BC=BF,CE: (2)①3：②CD=5 【分析】 【详解】(1) 略 (2) ①解：AD=3DE=6, ÷服=40=写x6=2 .AE=AD-DE=6-2=4, ADI BC .△EFDn△CFB, DE EF BC FC' ..AD=BC=6. DE EF 1 ·BCFC3: EF 1 ·EC=4,即EC=4EF, .∠EDF=∠ECD,∠DEF=∠CED, ∴.△EDF∽AECD. DE EF ·ECDE' 2 EF ·4EF2, 解得：EF=1(舍去负值)， 29/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CF=EC-EF=4EF-EF=4-1=3 ②解：：AD川BC, DF EF 1 ·BDEC4 BD=10, F '△EDFAECD. DF DE ·DCEC, DE=2,EC=4, 5 2=2 DC 4' ∴.CD=5 题型六、手拉手模型 题型模版 1.特征：两个共顶点的等腰三角形、等边三角形或正方形，绕公共顶点旋转，形成两组牵手式全等或相似 三角形，顶角相同，旋转角度一致，结构对称。 2.方法：利用公共顶角推导等角，结合等边长、等比例边长证明△ADE△ABC,△ABD∽△ACE:得到对 应边成比例、对应角相等，求解旋转后线段长度、夹角大小、线段比值，重点把握旋转前后对应关系。 【例11】如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记 为AEFG,如图所示.CD所在直线与AE、GF交于点H、I,CH=H.则线段Ⅲ的长度为() 30/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H A.32 B.25 C.5 D. 5-2 【答案】D 【详解】解：如图，连接AI,AC, D H ,以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为ABFG, AG=AD,∠GAE=∠DAB=90°， 在Rt△AGI和Rt△ADI中， AG=AD AI=AI, ∴.Rt△AGI≌Rt△ADI(HL), ∴.∠GAI=∠DAI, ∴.90°-∠GAI=90°-∠DA1 ∴.∠IAH=∠AID, ..IH-AH, 又，IH=HC, ∴.IH=HC=AH, ∴.∠IAC=90°， 31/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAH∠DAC=90°， 又，∠DAC+∠DCA=90°， ∴.∠DAI=∠DCA, 又，∠ADI=∠ADC=90°， ∴.△ADI-△CDA, AD DI ·DCAD, 2 DI 42, .DI=1, ∴.C=ID+CD=5, 5 H=3c-= 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知 识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 【例I2】如图，△ABC绕点B按顺时针方向旋转一定的角度得到△DBE,点D在边AC上，连接CE,求证： △BADABCE 【答案】 证明：根据旋转的性质，得△ABC≌aDBE, ∴AB=DB,∠ABC=∠DBE,BC=BE, .∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, .∠ABD=∠CBE 由AB=BD,BC=BE, 32/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB DB 得BCBE, △BAD∽△BCE. 【详解】略 【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=1,将△ABC绕点A逆时针方向旋转 90°，得到△AB'C',连接BB,交AC于点D,则DC的长为一 1 【答案】2 【详解】过点D作DF⊥AB于点F, ∠ACB=90°，AC=3,BC=1, .AB=V32+12=V10 8 :将4AB 绕点A逆时针方向旋转90°得到△1BC,AB=B=Vi0,∠BAB=90, ∴△ABB是等腰直角三角形， .∠ABB=45°， .DF⊥AB,∠DFB=45° ∴，△DFB是等腰直角三角形， ..DF =BF, 33/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC×AD=xDFxAB,即AD=ODF, 1 S.DBA= ,∠C=∠AFD=90°，∠CAB=∠FAD, .△AFDP△ACB, DF AF BC AC 即AF=3DF, 又AF=Vi-DF, ·DF=io 4 ·AD=vi0xi05 42 CD=3-5=1 22 1 故答案为：2. 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟 练掌握相关知识是解题的关键。 【变式6-2】数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动，两个顶角相等的等腰三角形，如果具 有公共的顶角的顶点，并把他们的底角项点连接起来，则形成一组全等三角形，我们把这个规律的图形称 为“手拉手图形”.如图1，已知等边△ABC的边长为6，点D,E分别为AC,BC的中点，现将△CDE 绕点C顺时针旋转角度为 x(0°<a<360) 直线BE,AD相交于点F,当△CDE旋转到图2位置(B、 C、D在同一直线上)时，∠AFB的度数为一：在整个旋转过程中，当点D与F重合时，BE的长 为 图1 图2 34/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 313+33V13-3 【答案】 60°160度 2或2 【详解】解：如图， 是等边三角形， D.△ABC ∴.AC=BC,∠ACB=60°， ~等边△ABC的边长为6，点D,E分别为AC,BC的中点， 1 -×6=3 CD=CE=2 ∴.△CDE是边长为3的等边三角形， .∠ECD=∠ACB=60°」 .∠ECD+∠ACE=∠ACB+∠ACE,即∠ACD=∠BCE, :△ACD≌aBCE(SAS) ∴.∠CBE=∠CAD, :∠BOC=∠AOE,∠BOC+∠CBE+∠ACB=∠AOE+∠CAD+∠AFB=180°， ∴.∠AFB=∠ACB=60° 如下图，在整个旋转过程中，当点D与F重合时，且点D在BC的上方时，过点C作CH⊥BF于点H, B ,△CDE是边长为3的等边三角形， .∠CFE=∠CDE=60°，CD=CF=DE=EF=3, .∠FCH=90°-60°=30°， :HF=1CF=3 1 2 2 35/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BC=6, 2 :BH =BC2-HF3 ,62- G=0-F=m+r-F-而+3-3店- 2 如下图，在整个旋转过程中，当点D与F重合时，且点D在BC的下方时，过点C作CH⊥BF于点H, 同理得HE=F=3 多， 8E=朗+HE=B+3M店+3 22 故答案为：60° 3V13+33V13-3 2 或2一 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理 以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质是解题的关 键 AB AM 2 【变式6-3】如图：矩形ABCD和矩形AMPN有公共顶点A,连接BM和DN,ADAN3· 36/53 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C M B (I)判断BM和DN的数量关系并说明理由； (2)判断BM和DN的位置关系并说明理由. 【答案】(1) 解，BM=号DN,理由如下 3 :四边形ABCD和四边形AMPV都是矩形， ∴.∠BAD=∠MAN=90° .∠BAD-∠MAD=∠MAN-∠MAD. ∴.∠BAM=∠DAN, AB、AM AD AN .△BAM∽△DAN, BM AB 2 DNAD 3. :.BM= (2)解：BM⊥DN,理由如下： 延长BM交AD于点O,交DN于点H, D H B ,△BAM∽△DAN ∠ABM=∠ADN, 又：∠AOB=∠DOH, ∴∠OHD=∠OAB=90°，即BM⊥DN 37/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 ◆◆ 同压轴挑战一支克离隐压轴，突威思维上保 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都 在AC上，射线AE交BC边于点H,则CH长为 H D A G F C 4 【答案】3 【详解】解：：四边形DGFE为正方形，∠ACB=90°， ∴.DG∥EF∥BC,DG=EF, :.△ADG∽△ABC,△AEF△AHC, DG AG EF AF .BC AC CH AC 设DG=EF=x, xAG x AG+x .24，CH4 .AG=2x, x 2x+x CH4 :CH=4 3· 4 故答案为3· 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明△ADG∽△ABC与 △AEF∽△AHC是解题的关键. 38/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E,F是BC延长线上一点，且CF=CE, BE延长线交DF于G,则BG:EG的值是 B 4-2V2 【答案】 【详解】“BC=2,四边形ABCD是正方形， BD=22 又：BE平分∠DBC交DF于G,BG⊥DF, .BD=BF.DG=FG, ∴CF=2W2-2 在△BGF和△DGE中， ∠GBF=∠GDE,∠BGF=∠DGE=90°， .△BGF∽△DGE, BG GF DG GE' BG DG DGGE即GE.GB=GD2 DC2+FC2=(2DG},即22+(2W2-2=4DG2. DG=4-25,amGE-GB=4-25 4-2√2 故答案为： 3.如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若 BD:DE=2:3,则CF=一· 39/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D 【答案】2.4 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A,DF=AF, ,△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， ∴.∠EDF-60°， ∴.∠BDE+∠CDF-180°.∠EDF=120°， ∠B-60°， .∴.∠BDE+∠BED=180°-∠B=120° .∴.∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED, ∴.∠CDF=∠BED, ∴△BDE-△CFD, BD DE CF BD 2 ∴CF=DF，即DF=DE3, ,等边△ABC的边长为6， CF 2 6-C℉3，解得：CF=2.4· 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角 形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键。 4.如图，E,F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF,CF垂直EF,垂足分别为E、F,若AE=1,CF=2, EF=4,则BD=() 40/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 10 A. B.5 c.3 D.6 【答案】B 【详解】解：连接AC,交EF于点MBD于O, D M O :AE⊥EF,CF⊥EF, ∴.∠AEM=∠CFM=90°， ,∠AMF=∠CMF, ∴△AEM∽aCFM, AE EM ·CFFM :AE=1,CF=2,EF=4, .EM-.MF-5 3, 在Acnw,=w-y产- 10 4c-4w+cw-95 41/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是矩形， .BD=AC=5. 故选：B。 【点睛】本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边 成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,D是AB上一点，点E在BC上，连接CD,AE 交于点F,若∠CFE=45°，BD=2AD,则CE=一· 【答案】2 【详解】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点， 在DG∥AE中，AC=BC=6, .AB=√AC2+BC2=6N2 又BD=2AD, :AD=22 在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2, CH=6-2=4, 在RtCHD中，CD=VCF+DM=25 .DGAE .∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°， 42/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDG=∠B, 又：∠DCG=∠BCD, ∴CDGACBD CD CG .CB CD, :.CD2=CG.CB, 即20=6CG, .CG=10 3, ..BG=BC-CG=6- 108 33, 又DGIAE, :ABDG△BAE, 又BD=2AD, BD BG 2 .BABE3· 又BGs8 3, 3 BE=BG×2=4 ∴.CE=6-4=2, 故答案为：2. 6.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=9,E为CD的中点，F为BC上一点，BF<FC,且AF⊥FE. 对角线AC与EF交于点G,则GC的长为 D G B 6W13 【答案】 > 43/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：四边形ABCD为矩形， ∠B=∠FCE=90°， AF⊥FE, ∴.∠AFB+∠EFC=90°， :∠AFB+∠BAF=90°， ∴.LEFC=∠BAF, ..ABFAFCE, AB BF .CF CE, 设BF=x,则CF=9-x, ~四边形ABCD为矩形，AB=6,E为CD的中点， .CE=3 6= .9-x3, 整理得：x2-9x+18=0, x=3为2=6 解得： :BF FC, .BF=3,CF=6, 过点G作GH⊥BC于点H,如图， D G H C,AB⊥BCDC⊥BC ∴.GH∥AB.GH∥CD ∴△CHG∽aCBA,△FHG∽△FCE, GH CH GH FH ∴.ABBC,CECF· 44/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GH CH GH 6-CH .69①，3 6②， GH CH 69 联立①②得： GH6-CH· 3 6 o- 解得： GH= 2, 在RtCHG中，由勾股定理得GC=VGH+CH_6 7· 613 故答案为： 7 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程，根据题意推出 △ABF∽△FCE,根据相似三角形的性质算出BF、CF是解题关键。 7.如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC,AC与BD相交于点O,作OM L BC于点M,点E是BD的中点， EF⊥BC于点G,交AC于点F,若AB=4,CD=6,则OM-EF值为() D B MG 3 A.5 2 B.5 c. 【答案】A 【详解】解：：AB⊥BC、DC⊥BC,OM⊥BC, ∴OM∥AB∥CD ∴.△COMACAB.△BOM∽△BDC, OM CM OM BM AB BC DC BC' OM CM OM BM .4 BC 6 BC 45/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OMOM .46 :OM=12 5 :EF⊥BC, .EG∥AB∥CD, 点E是BD的中点， BE BG ∴BE=DE'DECG, .BG=CG」 同理：CF=AF, EG三2CD=3FG= 2AB=2 ..EF EG-FG=1, :0M-EF=5, 7 故选：A. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题 的关键是熟练学握相似三角形的判完，求出OM-'? 5· 8.如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E,交BC于点F,已知 AD=9,BD=7,AC=12. D (I)求证：AC2=ADAB: (2)若AE=8,求EF的长. 【答案】(1) 证明：：AD=9,BD=7,AC=12, 46/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=16,AC2=144, .ADAB=9×16=144, .'AC2=AD.AB: P (②)EF=3 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：：AC2=AD·AB, AC AB :AD AC. :∠CAD=∠BAC, .△ACD∽△ABC, .∠ACE=∠ABF. :AF平分∠BAC, .∠CAE=∠BAF, .△ACE△ABF, AE AC .AFAB· 812 ∴.AF16 :AF32 3 8 EF=3 9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3,连接BE交AC于点F,过点F作 FG∥BC,交CD于点G.求FG的长. 47/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 16 【答案】7 【详解】解：四边形ABCD是正方形， :.ADIl BC, .∠CBF=∠AEF,∠BCF=∠EAF, .△CBF∽△AEF, CF BC 4 ·AFAE3’ CF 4 ∴CA7· .FG/BC.AD BC ..FGI AD FG CF 4 ·ADCA7: 49 7 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键， 10,知图，在BCD中，点B在AB上，E=写4B,ED和AC相交于点R,过点P作FG∥B,交AD 于点G E AF ()求FC的值. 48/53 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②若1B:4C=-V5:2 ①求证：∠AEF=∠ACB ②求证：DF2=DG·DA」 【答案】()3 (2) ①证明：B:AC=V5:2 可设AC=2a,则AB=V3a, AF 1 AE 1 由(1)知：AC4'AB3: “AF= 24,46= 3a 3， √3a “=20 5.AE_ 3 5 ABV3a6’Ac=2a= 6 AF AE ABAC, 又∠BAC=∠FAE, .△FAEn△BAC, ∴.∠AEF=∠ACB: ②证明：：FG∥AB, ∴.∠GFD=∠AED=∠ACB, 又：AD∥BC, .∠ACB=∠FAD, ∴.∠FAD=∠GFD, 又：∠GDF=∠FDA, .△GDF∽△FDA, DG DF DF DA' .DF2=DG.DA. 49/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(I)因为在ABCD中，AB∥CD,AB=CD, 又：∠DFC=∠AFE, .△AFE△CFD, AF AE AE 1 ·FC CD AB3 E (2)略 AB AD 1L,如图，在△ABC中，D是BC上的点，B是AD上一点，且ACCE,∠BAD=∠BCA. (1)求证：∠DAC=∠B: (2)若AD是△ABC的中线，AC=4,求CD的长. E B D 【答案】 AB AD (1)证明：ACCE,∠BAD=∠BC4, ∴.△BAD-△ACE, ∴.∠B=∠DAC: (22v2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：∠ACB=∠DCA,∠B=∠DAC, ∴.△ABC-△DAC, 50/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC BC CDAC· AD是△ABC的中线， ..2CD=BC, AC=4, 4 2CD .CD4, ,CD=2√2 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BAD一△ACE,△ABC一△DAC是解题关 键. 12.如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE与DC交于点P,已知 PA=3,PB=4,PC=5 B (I)求证：△ADC≌△ABE: (2)求∠DPB的度数及BE的长： (3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQAR、QR,作出图象， 求OR的长. 【答案】() 证明：，△ABD和△ACE都为等边三角形， :.AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°， ∴.∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE, ,△ADC≌AABE (2)60°，12 51/53 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6)6 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，△ADC≌△ABE: ∴.∠ADP=∠ABP, 设AB,PD交于O, ,∠AOD=∠POB, :.∠DPB=∠DAB=60°； 如图①在PE上取点F,使∠PCF=60°， 图① 同(I)可得△APC≌AEFC,∠EPC=∠EAC=60°， .EF=AP=3,△CPF为等边三角形， :.BE=PB+PF+FE=4+5+3=12: (3)解： 图② 如图②，过点0作QG1AD于G,设QG=x, ,点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心， :A0=2xAG=2x×sin30°=V3x,AB=25x 52/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,A但=AR-V5 :ABAE=3∠QAR=∠0AB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC, .∠QAR-∠BAE △ABE∽△AQR ..OR:BE=AO:AB :0Rs3 12=45 3 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定 与性质，熟记相关结论进行几何推理是解题关键. 53/53