11.4 球（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本高中数学讲义聚焦“球”这一核心知识点，系统梳理球面与球体的概念、截面的大圆小圆性质及勾股关系、表面积与体积公式，构建从基础概念到综合应用（球面距离、内切球、外接球）的递进学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+题型分类+变式巩固”设计，结合地球经纬线、卫星覆盖等情境培养空间想象，运用转化思想将空间问题转化为平面几何提升逻辑推理，体现数学眼光与数学思维，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第11章 简单几何体 11.4 球 课标要点 1.了解球、球面的形成过程，熟记球心、半径、直径等基础概念，区分球面与球体。 2.理解球的截面中大圆、小圆定义，掌握截面的勾股关系，能完成截面相关简单计算。 3.牢记球的表面积、体积公式，能够利用公式完成基础计算，会求解球的半径。 4.可以辨析球面距离含义，初步建立球相关的空间想象，处理简单的球的综合题型。 学习重难点 重点： 1.球的相关基础概念，分清球面和球体，掌握大圆、小圆的定义与截面几何关系。 2.记住球的表面积与体积公式，以求解球半径为核心，进行基础的数值运算。 3.掌握截面公式，实现空间截面问题向平面几何的转化计算。 难点： 1.理解球的截面模型，灵活运用，分清球半径、小圆半径、球心距。 2.区分球面距离与空间弦长，容易混淆两个概念，正确理解大圆劣弧的实际意义。 3.结合几何体外接球、内切球综合情境，建立空间模型，分析几何要素之间关系。 知识点一 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 1.球心：半圆的圆心。 2.半径：连接球心和球面上任意一点的线段。 3.直径：连接球面上两点并经过球心的线段。 特别提醒 球面是曲面；球体（球）是实体几何体。球面仅仅是外壳曲面，球体包含球面及其内部空间。 即学即练 1．给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点二 平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。 截面关系公式：设球的半径为，截面小圆半径为，球心到截面平面的距离为，满足勾股关系： 即学即练 2．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 知识点三 球的表面积和体积 1.球的表面积公式：，为球的半径。 2.球的体积公式：，为球的半径。 即学即练 3．若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径___________． 题型01 球的结构特征 典｜例｜精｜析 例1．下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 变式1-1．如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 变式1-2．将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 变式1-3．若球的半径为1，则其大圆的面积为________. 题型02 球的截面问题 解题贴士 球任意截面都是圆面，过球心为大圆，不过球心为小圆，核心公式。 公式里为球半径，是截面圆半径，是球心到截面的距离，始终作为直角三角形斜边。解题先找这三个量，已知其中两个就可以求第三个，遇到实际题目画出截面示意图，把空间问题转化平面直角三角形计算。 典｜例｜精｜析 例2．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 变｜式｜巩｜固 变式2-1．设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为__________.（结果用表示） 变式2-2．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为_____． 变式2-3．（11.4球）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且．求截面的面积． 题型03 求球面距离 解题贴士 球面距离不是两点空间弦长，而是过两点大圆上的劣弧长度，公式：，为圆心角弧度值。 解题第一步先求两点对应的弦长，再在大圆中利用余弦定理求出圆心角。圆心角必须取0到之间的劣弧对应角度，角度为角度制要先转化为弧度制，最后代入弧长公式算出球面距离。 典｜例｜精｜析 例3．如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式3-1．设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 变式3-2．如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为．已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为______．（结果中保留反余弦的符号） 变式3-3．若地球半径为，地面上两点A、B的纬度均为北纬45°，又A、B两点的球面距离为，则A、B两点的经度差为_______． 题型04 球的表面积和体积 典｜例｜精｜析 例4．若球被一个平面截得的截面圆的半径为，且球心到该平面的距离为，则球的体积为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式4-1．已知底面半径为3，高为4的圆柱与某球的体积相等，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 变式4-3．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 题型05 内切球问题 解题贴士 几何体的内切球，球与几何体各个面相切，球心到每个面距离均等于内切球半径。 常用等体积法求解内切球半径：几何体总体积等于各个面面积乘求和再除以3。要注意不是所有几何体都存在内切球，需要满足有内切球的几何条件，计算时分清表面积，不要漏算或者多算几何体的面。 典｜例｜精｜析 例5．已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式5-1．以正方体六个面的中心为顶点的空间几何体就是一个正八面体，在正八面体中，其外接球与内切球体积的比值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 题型06 长方体、墙角模型的外接球 解题贴士 长方体的外接球的直径等于长方体体对角线长，墙角模型三条棱两两互相垂直，可补成长方体。 墙角模型直接补形为长方体，外接球直径就是补形后的长方体体对角线。先写出体对角线表达式，由此解出外接球半径。补形法可以避开复杂空间分析，直接套用长方体对角线结论快速解题。 典｜例｜精｜析 例6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式6-1．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知正方体的八个顶点均在同一个球的球面上，若正方体的棱长为2，则该球的表面积为_____. 变式6-3．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 题型07 柱体的外接球 解题贴士 直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的中点；斜棱柱一般较少考查外接球。 先求出柱体底面多边形的外接圆半径，柱体高为，再用勾股定理求球半径。关键在于准确找到底面多边形的外心，外心是底面各边垂直平分线的交点，再确定球心位置列式计算。 典｜例｜精｜析 例7．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 变｜式｜巩｜固 变式7-1．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 变式7-3．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为6m，底面为直角三角形其直角边长分别为6m和8m，则该球的最大半径为________． 基础通关 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 2．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 3．若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 4．已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动．现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为，则外层球半径为（） A．2 B．3 C．4 D．5 6．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若球的半径为，则该球的体积为__________． 8．将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 9．棱长为的正方体，则其内切球的体积为______． 三、解答题 10．已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． (1)求其体积； (2)若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 11．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的母线长以及底面圆的直径均为. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 12．已知地球半径为6371千米，上海的位置约为东经，北纬；大连的位置约为东经，北纬，试求上海和大连之间的球面距离．（，结果精确到1千米） 素养提升 1．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的半径为（    ） A．6 B．8 C．36 D．64 2．已知正四面体的各顶点都在球的球面上，该正四面体内有一球，球与该正四面体的四个面都相切，则球与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一个冰淇淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两部分体积相等，则圆锥的母线长与底面半径的比值是（    ） A． B． C． D． 4．半径为的球壳（球壳厚度不计）中不可以装入（    ） A．半径为的球 B．边长为的正方体 C．底面半径和高均为的圆柱 D．底面半径和高均为的圆锥 5．已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 6．已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径（     ） A． B． C． D． 7．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面半径是另一个底面半径的3倍，高为3cm，则该圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 迁移创新 1．古代数学家刘徽所著的《重差》是中国最早的一部测量学著作，其思想为地图学提供了数学基础．现根据《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据．如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，在其右侧两点处（三点共线）分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________． 3．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体 11.4 球 课标要点 1.了解球、球面的形成过程，熟记球心、半径、直径等基础概念，区分球面与球体。 2.理解球的截面中大圆、小圆定义，掌握截面的勾股关系，能完成截面相关简单计算。 3.牢记球的表面积、体积公式，能够利用公式完成基础计算，会求解球的半径。 4.可以辨析球面距离含义，初步建立球相关的空间想象，处理简单的球的综合题型。 学习重难点 重点： 1.球的相关基础概念，分清球面和球体，掌握大圆、小圆的定义与截面几何关系。 2.记住球的表面积与体积公式，以求解球半径为核心，进行基础的数值运算。 3.掌握截面公式，实现空间截面问题向平面几何的转化计算。 难点： 1.理解球的截面模型，灵活运用，分清球半径、小圆半径、球心距。 2.区分球面距离与空间弦长，容易混淆两个概念，正确理解大圆劣弧的实际意义。 3.结合几何体外接球、内切球综合情境，建立空间模型，分析几何要素之间关系。 知识点一 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 1.球心：半圆的圆心。 2.半径：连接球心和球面上任意一点的线段。 3.直径：连接球面上两点并经过球心的线段。 特别提醒 球面是曲面；球体（球）是实体几何体。球面仅仅是外壳曲面，球体包含球面及其内部空间。 即学即练 1．给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由球的结构特征知，②③正确，①④错误. 知识点二 平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。 截面关系公式：设球的半径为，截面小圆半径为，球心到截面平面的距离为，满足勾股关系： 即学即练 所以正确命题的个数有2个. 2．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 【答案】C 【详解】因为截面圆的周长为，则，解得； 因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为， 则，即，解得． 知识点三 球的表面积和体积 1.球的表面积公式：，为球的半径。 2.球的体积公式：，为球的半径。 即学即练 3．若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两球半径依次为， 由题意可知：，可得， 所以它们的表面积之比为. 4．若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径___________． 【答案】3 【详解】由题意得，又，解得. 题型01 球的结构特征 典｜例｜精｜析 例1．下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确； 球面和球是两个不同的概念，故③错误； 若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 所以说法正确的有1个. 变｜式｜巩｜固 变式1-1．如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 【答案】D 【详解】由图可知，该几何体是由一个球和棱柱构成的组合体. 故选：D 变式1-2．将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆， 故①③④正确，②错误. 故选：C 变式1-3．若球的半径为1，则其大圆的面积为________. 【答案】 【详解】由球体的大圆是过球心的圆，故其半径为1，所以其面积为. 故答案为： 题型02 球的截面问题 解题贴士 球任意截面都是圆面，过球心为大圆，不过球心为小圆，核心公式。 公式里为球半径，是截面圆半径，是球心到截面的距离，始终作为直角三角形斜边。解题先找这三个量，已知其中两个就可以求第三个，遇到实际题目画出截面示意图，把空间问题转化平面直角三角形计算。 典｜例｜精｜析 例2．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 变式2-1．设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为__________.（结果用表示） 【答案】 【详解】解：如图所示： 则点A所在小圆半径， 所以小圆的面积为. 故答案为： 变式2-2．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为_____． 【答案】 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 变式2-3．（11.4球）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且．求截面的面积． 【答案】 【详解】由题意可知：是边长为2的等边三角形，且所求截面圆即为的外接圆， 则的外接圆半径， 所以截面的面积为. 题型03 求球面距离 解题贴士 球面距离不是两点空间弦长，而是过两点大圆上的劣弧长度，公式：，为圆心角弧度值。 解题第一步先求两点对应的弦长，再在大圆中利用余弦定理求出圆心角。圆心角必须取0到之间的劣弧对应角度，角度为角度制要先转化为弧度制，最后代入弧长公式算出球面距离。 典｜例｜精｜析 例3．如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，在中，可得，且， 在中，由余弦定理，可得 ，所以， 因为从地沿大圆飞行到地的弧长为，可得，所以， 所以，解得. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 变式3-1．设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，两地经度夹角为，且两点所在纬线圈上的截面圆半径为， 所以从沿球面向正东前进到地. 故选：B 变式3-2．如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为．已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为______．（结果中保留反余弦的符号） 【答案】 【详解】如下图所示， ，， 因为， 所以，则， 因此弧长为． 变式3-3．若地球半径为，地面上两点A、B的纬度均为北纬45°，又A、B两点的球面距离为，则A、B两点的经度差为_______． 【答案】 【详解】解：作图如下:    设在北纬的纬圆的圆心为C,球心为O,连接. 则平面, 在中,,同理, 因为A、B两点的球面距离为，而地球的半径为， 所以、的球心角为， 则 为等边三角形， 所以， 在中，, 所以 . 故答案为：. 题型04 球的表面积和体积 典｜例｜精｜析 例4．若球被一个平面截得的截面圆的半径为，且球心到该平面的距离为，则球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据球的截面性质：设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离为， 则三者满足直角三角形勾股关系， 已知，，则，因为，故， 则球的体积，故D正确. 变｜式｜巩｜固 变式4-1．已知底面半径为3，高为4的圆柱与某球的体积相等，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 设该球的半径为，则，解得， 则该球的表面积为. 变式4-2．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 【答案】/ 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 变式4-3．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以. 题型05 内切球问题 解题贴士 几何体的内切球，球与几何体各个面相切，球心到每个面距离均等于内切球半径。 常用等体积法求解内切球半径：几何体总体积等于各个面面积乘求和再除以3。要注意不是所有几何体都存在内切球，需要满足有内切球的几何条件，计算时分清表面积，不要漏算或者多算几何体的面。 典｜例｜精｜析 例5．已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则, 因为与分别为的平分线， 因此，从而， 故，所以，又因为，所以，故， 故圆台的高为，故圆台的体积为. 变｜式｜巩｜固 变式5-1．以正方体六个面的中心为顶点的空间几何体就是一个正八面体，在正八面体中，其外接球与内切球体积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 不妨设正方体的棱长为，各个面的中心分别是， 正方体的中心为， 分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体为， 该正八面体是由正四棱锥和组成， 因为，所以外接球半径，内切球半径等于到面的距离， 如图，连接，所以是的中位线， 由正方体的棱长为，所以，所以， 同理， 在三棱锥中， 由等体积法知：，解得：， 所以外接球与内切球的体积之比为. 变式5-2．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 由球的体积公式得. 变式5-3．正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 【答案】 【详解】∵正三棱锥的高为1，底面边长为， ， 设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥． 又正三棱锥的斜高为， ， ． ， 体积． 故答案为：；. 题型06 长方体、墙角模型的外接球 解题贴士 长方体的外接球的直径等于长方体体对角线长，墙角模型三条棱两两互相垂直，可补成长方体。 墙角模型直接补形为长方体，外接球直径就是补形后的长方体体对角线。先写出体对角线表达式，由此解出外接球半径。补形法可以避开复杂空间分析，直接套用长方体对角线结论快速解题。 典｜例｜精｜析 例6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 变｜式｜巩｜固 变式6-1．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 变式6-2．已知正方体的八个顶点均在同一个球的球面上，若正方体的棱长为2，则该球的表面积为_____. 【答案】 【详解】正方体的棱长为2，则其体对角线长为，所以其外接球的直径为，半径为，所以表面积为. 变式6-3．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 【答案】 【详解】由题知此球为长方体的外接球，球的半径为， 此球的表面积为：. 题型07 柱体的外接球 解题贴士 直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的中点；斜棱柱一般较少考查外接球。 先求出柱体底面多边形的外接圆半径，柱体高为，再用勾股定理求球半径。关键在于准确找到底面多边形的外心，外心是底面各边垂直平分线的交点，再确定球心位置列式计算。 典｜例｜精｜析 例7．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 变｜式｜巩｜固 变式7-1．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点 设正六棱柱的底面边长为 若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径 ，即外接球的半径 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 故选：C． 变式7-2．如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 【答案】 【详解】设内接圆柱的半径为，高为， 则由题意可得：， 该圆柱的侧面积为， 当时，上式等号成立， 则当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于， 故答案为：. 变式7-3．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为6m，底面为直角三角形其直角边长分别为6m和8m，则该球的最大半径为________． 【答案】 【详解】直角边长分别为6m和8m的直角三角形的面积为， 则内切圆半径为， 因直三棱柱高度为6m，，则该球的最大半径为. 故答案为： 基础通关 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【答案】B 【详解】在圆柱上下底面各取的点的连线平行于轴是母线，故选项A错误； 由圆锥母线的定义可知选项B正确； 圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的， 根据圆锥母线的定义可知选项C错误； 当球面上两点是球的一条直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：B． 2．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以. 3．若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球心为，半径为， 若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，，， 则，解得． 故球的直径为． 若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，， 则，解得,所以． 故选：D． 4．已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，． 5．如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动．现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为，则外层球半径为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设外层球半径为，内层小球半径为， 由外层球表面积是内层小球表面积的9倍， 得， 即， 即， 由题意得： ， 将体积公式代入： ， ， 把代入，得： ， 解得：， 因为， 所以外层球半径：. 6．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线， 且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C． 故选：C. 二、填空题 7．若球的半径为，则该球的体积为__________． 【答案】 【详解】因为球的半径为，并且球的体积公式为 故答案为： 8．将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 9．棱长为的正方体，则其内切球的体积为______． 【答案】 【详解】设内切球的半径为， 所以，即，所以内切球的体积为， 故答案为：. 三、解答题 10．已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． (1)求其体积； (2)若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 【答案】(1) (2)28 【分析】 【详解】（1）设圆台高为， 则． 其体积为． （2）设球的半径为， 由题意， 即， 解得 则其表面积为． 11．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的母线长以及底面圆的直径均为. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高， 该几何体的表面积为. （2）该几何体的体积为. 12．已知地球半径为6371千米，上海的位置约为东经，北纬；大连的位置约为东经，北纬，试求上海和大连之间的球面距离．（，结果精确到1千米） 【答案】889千米 【详解】由题设，上海、大连在同一经度上，即它们在地球的一个最大截面圆上， 如下图，地球半径千米， 所以上海和大连之间的球面距离千米.      素养提升 1．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的半径为（    ） A．6 B．8 C．36 D．64 【答案】A 【详解】设球的半径为，点到平面的距离为，则， 由，得，， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以球的半径为6. 2．已知正四面体的各顶点都在球的球面上，该正四面体内有一球，球与该正四面体的四个面都相切，则球与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正四面体的外接球与内切球为同心球，球心均为正四面体的中心，即球心在正四面体的高线上. 设正四面体外接球半径为，内切球半径为，正四面体一个面的面积为，正四面体的高为， 则，所以，又， 所以，设外接球的表面积为，内切球的表面积为， 则. 3．如图，一个冰淇淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两部分体积相等，则圆锥的母线长与底面半径的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设半球与圆锥的公共底面半径为，圆锥的高为， 则半球体积为，圆锥体积为，由两部分体积相等可得，解得， 圆锥母线长， 因此母线长与底面半径的比值为. 4．半径为的球壳（球壳厚度不计）中不可以装入（    ） A．半径为的球 B．边长为的正方体 C．底面半径和高均为的圆柱 D．底面半径和高均为的圆锥 【答案】B 【详解】对于A，半径为的球，则球的直径为， 而已知的球壳的半径为，则直径为， 因为，半径为的球可以装入球壳，故A正确； 对于B，边长为的正方体的体对角线为：， 而已知的球壳的直径为， 因为，所以不能装入边长为的正方体，故B错误； 对于C：对于底面半径和高均为的圆柱，其轴截面如图所示： 则最宽处为的长，由， 同时底面圆直径为，高为都小于已知的球壳的直径， 所以能装入底面半径和高均为的圆柱，故C正确； 对于D，圆锥母线长为：， 同时底面圆直径为，高为都小于已知的球壳的直径， 所以能装入底面半径和高均为的圆锥，故D正确. 5．已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】由侧棱平面，平面，得，且， 所以三棱锥可以补成长方体，如图所示. 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同， 则外接球的直径为长方体的体对角线. 已知，， 则，则， 故三棱锥外接球的表面积为. 6．已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意得，球的表面积为，圆锥侧面积为， 由可得：，化简得， 根据圆锥的几何性质，母线、底面半径、高满足勾股定理，代入、得：， 已知圆锥体积，将、代入得： ，解得，故B正确. 7．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面半径是另一个底面半径的3倍，高为3cm，则该圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上底面圆的半径为，由题意得，解得. 圆台的母线长：. 所以表面积为：. 迁移创新 1．古代数学家刘徽所著的《重差》是中国最早的一部测量学著作，其思想为地图学提供了数学基础．现根据《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据．如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，在其右侧两点处（三点共线）分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该球球心为，半径为，连接， 因为球体建筑物与水平地面切于点，所以，且， 由题意知，从点观测球体的最大仰角为，即过点的切线与地面的夹角为， 根据切线长定理，圆心与点的连线平分该夹角，所以， 在中，， 同理，从点观测球体的最大仰角为，则， 在中，， 因为， 所以， 因为三点共线且在最左侧，所以，即， 解得， 所以该球体建筑物的体积. 2．已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________． 【答案】 【详解】已知为等边三角形，设边长为a，其面积，解得，即； 设底面的外接圆半径为r，， 因为，所以D在底面上的投影H即为 的外心; 在直角中，高, 设四面体外接球的球心为O，半径为R，球心O必在高线所在的直线上； 设，由于D到平面的距离为，球心到平面的距离为x， 则； 同时，球心到顶点D的距离也为R，则， 故，解得，由此可知O在延长线上， 则球的体积. 3．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】如图，过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接， 由正弦定理得，则， 为的中点，， ，所以， 因为， 所以， 所以，， 因为平面平面，于，平面平面，则平面，故， 设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于， 则平面，于是，从而是矩形， 所以外接球半径满足， 解得， 所以外接球的表面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $