11.2 锥体（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦锥体与台体核心知识点，系统梳理棱锥、圆锥、棱台、圆台的定义、结构要素（底面、侧棱、母线、斜高等）及体积、表面积公式，通过“即学即练”即时巩固，构建从概念辨析到公式应用的学习支架。 资料融入《九章算术》“鳖臑”等传统文化案例与方鼎体积计算等实际问题，培养数学眼光。题型设计如展开图、截面问题等，通过逻辑推理深化数学思维，典例与变式助力课中教学，分层练习帮助课后查漏补缺。

第11章 简单几何体 11.2 锥体 课标要点 1.认识棱锥、圆锥、棱台、圆台，能识别底面、侧棱、母线、斜高等几何体基础要素。 2.理解锥体、台体的定义，分清正棱锥、正棱台，掌握几何体的分类与表示方法。 3.熟记锥体、台体的体积、侧面积公式，能代入数据完成基础的计算类题目。 4.会结合侧面展开图理解侧面积来源，能够区分表面积与侧面积，处理简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.棱锥、圆锥、棱台、圆台的概念，掌握正棱锥与正棱台的结构以及斜高的含义。 2.锥体、台体体积公式，正棱锥、正棱台、圆锥、圆台的侧面积相关计算公式。 3.区分表面积和侧面积，能利用侧面展开图，解决简单几何体面积计算问题。 难点： 1.区分正棱锥的高与斜高，做题时容易混淆二者，计算侧面积错用垂直高代替斜高。 2.棱台、圆台的判定，要明确台体必须由锥体平行底面截取得到，侧棱延长应交于一点。3.灵活运用体积、侧面积公式，分清母线、高，避免公式记错、漏写系数与根号。 知识点一 棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥。 1.底面：这个三角形或平面多边形。 2.侧面：其余的各个面。 3.侧棱：不在底面上的棱。 4.顶点：所有侧棱的公共交点。 5.高：顶点到底面的垂直距离。 按底面多边形边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥定义：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 特别提醒 正棱锥各个侧面是全等的等腰三角形；侧面等腰三角形底边上的高叫做斜高。斜高不等于棱锥的高。 即学即练 1．有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（    ） A．五棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【详解】多面体共6个面，仅有1个面不是三角形，则其余5个面均为三角形， 可知非三角形的面为五边形（作为棱锥底面），5个三角形为共顶点的侧面， 总面数为，符合五棱锥的结构特征. A选项五棱柱共7个面，不符合面数要求； C选项四棱柱的6个面均为四边形，不符合“仅1个面不是三角形”的要求； D选项四棱锥共5个面，不符合面数要求. 2．如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥. （2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为等腰三角形，且，可得边上的高为， 所以面积为. 知识点二 圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 1.轴：作为旋转轴的直角边。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面。 3.侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面。 4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置都称为母线，圆锥所有母线长度相等。 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体。 圆锥表示：用轴上两个端点字母表示该圆锥。 即学即练 3．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 4．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因圆锥的底面半径为，则其底面周长为， 又圆锥的母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为. 故选：B. 知识点三 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台。 1.上底面：原棱锥被截得到的截面。 2.下底面：原棱锥的底面。 3.侧面：除去上下底面剩下的面。 4.侧棱：相邻侧面的公共边。 5.顶点：侧面和上、下底面的公共顶点。 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台依次叫三棱台、四棱台、五棱台…… 表示方法：用上下底面顶点字母表示棱台。 特别提醒 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面截取，截面与底面之间的部分为正棱台，侧面是全等的等腰梯形，等腰梯形的高为正棱台的斜高。 易错提醒 误认为只要上下底面平行就是棱台：棱台必须是由棱锥平行于底面截取得到，仅仅上下底面平行、对应边成比例还不够，所有侧棱延长后必须交于同一点。随意画一个上下底平行的多面体不一定是棱台。 知识点四 圆台 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 1.轴：原来圆锥的旋转轴。 2.底面：圆锥原来的底面与截取产生的截面（上、下两个圆形底面）。 3.侧面：圆锥侧面保留在两底面之间的曲面部分。 4.母线：圆锥母线保留在两底面之间的线段，圆台母线全部相等。 台体：棱台和圆台统称为台体。 圆台表示：用轴的两个端点字母表示圆台。 即学即练 5．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是______． 【答案】12 【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为， 则圆台的下底面的半径为， 作出圆锥的轴截面如图，则， 所以，即． 解得，即圆锥的母线长为12． 故答案为：.    知识点五 锥体、台体的体积 为底面积，为几何体的垂直高；台体中为上底面积，为下底面积。 1.锥体体积： 2.台体体积： 即学即练 6．如图1，是洛阳博物珍藏的西周兽面纹方鼎，其主体部分近似于如图2的棱台，底面为长方形，，，棱台的高为.则棱台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由棱台的体积公式得：. 故选：D 7．一个圆锥的高为2，母线长为3，则它的体积为_________． 【答案】 【详解】由题意得，圆锥的高，母线长，则半径为， 体积. 知识点六 锥体、台体表面积与侧面积 棱锥、棱台属于多面体，表面积等于所有面的面积之和，即各个侧面面积加上上下底面面积。 常见几何体侧面积汇总 1.直棱柱：，底面周长，棱柱的高。 2.正棱锥：，底面周长，为斜高。 3.正棱台：，上底周长，下底周长，斜高。 4.圆柱：，底面半径，母线长。 5.圆锥：，底面半径，母线长。 6.圆台：，上底半径，下底半径，母线长。 易错提醒 误认为只要上下底面平行就是棱台：棱台必须是由棱锥平行于底面截取得到，仅仅上下底面平行、对应边成比例还不够，所有侧棱延长后必须交于同一点。随意画一个上下底平行的多面体不一定是棱台。 即学即练 8．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆锥的底面半径，设母线长为，则， 所以该圆锥的侧面积为. 9．已知正四棱锥的底面边长为8，高为3，则这个正四棱锥的侧面积为______． 【答案】 【详解】由题意，正四棱锥的底面是边长为8的正方形，棱锥的高为3， 正四棱锥底面中心到任意一条底边的距离为，结合棱锥的高， 由勾股定理可得侧面等腰三角形的斜高为， 正四棱锥共有4个全等的侧面等腰三角形，因此其侧面积为. 题型01 棱锥的结构特征 解题贴士 判断棱锥要紧扣定义，一个面为多边形，其余各面是有公共顶点的三角形，两个条件缺一不可。 做题区分普通棱锥与正棱锥，正棱锥底面是正多边形，顶点在底面投影为底面中心，分清高与斜高，不要混淆两个概念。 典｜例｜精｜析 【例1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】在长方体中， 当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 【例2】如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【详解】因为，，两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形， 故答案为：锐角 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】表示：用________的4个字母表示，如图所示为空间四边形，这个空间四边形的边为________，对角线为________. 【答案】 顶点 ，，， ， 【详解】略 【变式1-2】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（   ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【答案】B 【详解】将图形沿折痕折起后，成一个四棱锥形的"走马灯" 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样， 可知顺序为②年①③， 则在①、②、③处可依次写上快、新、乐 【变式1-3】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 【答案】①③⑤⑦ 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 题型02 圆锥的结构特征 解题贴士 圆锥是旋转体，由直角三角形绕一条直角边旋转生成，分清轴、底面、侧面、母线，所有母线长度全部相等。 注意母线、底面半径、高构成直角三角形，满足勾股关系，做题不要把母线直接当作圆锥的高代入体积公式。 典｜例｜精｜析 【例3】正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 【答案】A 【详解】如图所示，在正方形中，设对角线与交于点， 根据正方形的性质，可得，且， 即对角线将正方形分为两个全等的等腰直角三角形和， 根据旋转体的定义，将正方形绕旋转一周时： 1. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 2. 线段绕旋转形成以为顶点，为底面圆心，为底面半径的圆锥侧面； 3. 线段和旋转后形成的侧面与上述侧面重合， 综上可得，正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体由两个圆锥构成. 【例4】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的底面直径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由半圆的面积为，得该半圆半径为1，半圆弧长为， 因此圆锥底面圆周长为，半径为， 所以该圆锥的底面直径为1. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【详解】对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，符合题意； 对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，不符合题意； 对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，符合题意； 对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，符合题意． 故选：B. 【变式2-2】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为______．    【答案】 【详解】解：∵直径为2的圆形，∴底面圆的半径为：1，周长为2π， 记扇形半径为，由扇形弧长得∴，即母线为4， ∴圆锥的高为： 故答案为： 【变式2-3】已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为______；母线的长为______. 【答案】 2 【详解】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得， 由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为， 圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为. 故答案为：；； 题型03 棱锥的展开图 解题贴士 棱锥侧面展开是多个三角形拼接而成，底面为多边形，表面积就是展开图全部图形的面积之和。 遇到展开还原类题目，找准展开前后对应的顶点与边长，折叠前后棱长不变，利用对应边长求解相关几何量。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 【例6】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 【答案】C 【详解】可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体， ③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】一个四棱锥的四个侧面中，钝角三角形最多有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】作钝角三角形，且，分别在，上取一点，，连接， 在空间中取一点，使得平面，如下图所示： 由上图可知，当足够小时，和仍为钝角， 而，即为钝角， 同理，也为钝角， 故在四棱锥中，其四个侧面均为钝角三角形. 故选：D. 【变式3-2】将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. 【变式3-3】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 题型04 棱锥的截面问题 典｜例｜精｜析 【例7】一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】截得截面与底面多边形相似，故边长比就是相似比为，所以侧棱上、下两部分长度之比为． 【例8】如图，在正三棱锥中，，.过的中点作与和都平行的平面，则该平面截三棱锥所得的截面面积为（   ） A． B．10 C． D．20 【答案】D 【详解】设截面为，过中点，且，. 因为，，故与底面的交线过且平行于，交于. 在中，为中点，，所以为中点，且. 因为，， 故与侧面的交线过且平行于，交于. 在中，为中点，， 所以为中点，且. 同理，与侧面的交线过且平行于，交于， 则为中点，. 与侧面的交线为， 由中位线性质得，，. 故截面四边形为平行四边形，，. 下面证明. 设底面中心为，连接， 则底面.取中点，连接， 因为正三角形，. 又底面， 所以. 因此平面， 从而. 因为，，且， 所以， 所以平行四边形为矩形，面积. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 【答案】D 【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面， 所以平面， 因为，且，则存在，所以为平行四边形， 同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形， 所以存在存在无穷多个平行四边形截面， 即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面； 故选：D. 【变式4-2】一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 【变式4-3】已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接， 由题意可得：，即为等边三角形， 且E为SC的中点，可得， 故平面， 连接，设，连接， 可得平面， 且平面，则， ，平面，所以平面， 平面，则， 在直线取一点，连接，使得， 在中，， 因为，可得， 故， 同理在棱取一点，使得，连接，则， 故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形， 因为，则//， 由，可得， 所以四边形的面积. 故选：A. 题型05 圆锥的展开图及最短距离问题 解题贴士 圆锥侧面展开是扇形，求表面两点最短距离，把侧面展开成扇形，利用“两点之间线段最短”解题。 先找准展开后扇形的圆心角，定位两个点的位置，再用勾股或者余弦定理算线段长度，注意不要在立体图上直接连线。 典｜例｜精｜析 【例9】已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得圆锥的母线长，即侧面展开图扇形的半径为， ∵底面半径为， ∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ∴扇形圆心角的弧度， 母线上的点展开后为扇形上的，为该质点运动的最短路径，且， 由余弦定理得， 解得． 【例10】已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【详解】如下图将圆锥侧面展开，得扇形，则最短距离为线段长度. 由题意圆锥底面圆周长为，则圆弧长度为， 又扇形半径为，则扇形圆心角为，从而为等腰直角三角形， 从而.    变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆锥的底面半径为3，所以周长， 则侧面展开图扇形的弧长， 又扇形的圆心角为，设圆锥的母线长为, 则，解得， 故圆锥侧面积，B正确. 【变式5-2】如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 【变式5-3】某圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为______． 【答案】1 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，则母线长为， 由题知，解得． 题型06 锥体的体积 典｜例｜精｜析 【例11】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为____．（结果中保留） 【答案】/ 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 由该圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面得：，解得：， 又圆锥底面圆的周长等于圆锥的侧面展开半圆面的弧长：，解得：， 所以圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为：. 【例12】已知三棱锥的高为，，分别为棱的中点，，若为正三角形，则三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 又分别为棱的中点，所以且， 又因为，所以为等边三角形， 所以， 所以， 故， 设三棱锥的高为， 因为，故，得． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】斗拱是中国传统木构建筑的核心榫卯构件，某宋代斗拱的简化模型可看作由一个正四棱柱与一个正四棱锥上下拼接而成（拼接面完全重合）．已知正四棱柱的底面边长为 2、高为 1，正四棱锥的底面边长与棱柱一致，高为 1.5，则该模型的体积为（    ） 宋代斗拱 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】. 【变式6-2】如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点、分别在棱、上，若，，，（、、大于零），则四面体的体积（   ） A．与、、有关 B．与有关，与、无关 C．与有关，与、无关 D．与有关，与、无关 【答案】D 【详解】在正方体中，平面，平面， 所以， 因为，，故四边形为矩形， 因为，故点到直线的距离为， 所以为定值， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面， 所以平面， 易知，所以， 故， 故四面体的体积与有关，与、无关. 【变式6-3】如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 【答案】 【详解】因为是的中点，所以， 又因为平面，所以， 又因为平面，所以， 所以，所以体积比为. 题型07 棱锥的侧面积和表面积问题 典｜例｜精｜析 【例13】已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则其体积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，已知总表面积为12，则侧面积为， 正四棱锥的侧面由4个全等的等腰三角形组成. 设侧面三角形的斜高为， 则，即， 正四棱锥的高、斜高以及底面中心到边的距离构成一个直角三角形， 如图所示，作出符合题意的图形， 根据勾股定理得， 则正四棱锥的体积为，A正确. 【例14】在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______. 【答案】 【详解】因为， 可知，均为等边三角形，其面积均为， 取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面，则， 由题意可知：，则，可知与全等， 在中，边上的高， 则的面积为， 所以四面体的表面积为. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【答案】C 【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形， 由勾股定理得： 单个侧面的面积为 则正四棱锥的侧面积 【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为______，侧面积为______． 【答案】 / / 【详解】取的中点，的中点，连接．作，垂足为. 因为，且为中线，所以， 又因为，，平面. 所以平面.所以为平面与平面的夹角的平面角， 即.又因为平面，所以. 又因为，，平面，所以平面. 所以即为四棱锥的高， 在中，， 在中，， 所以四棱锥体积为. 在中，由余弦定理， 由对称性可知，，， 在中，. 所以，三边长为， 所以，所以， 所以， 又因为， 所以侧面积为. 【变式7-3】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底边上的高为，求这个三棱锥的表面积. 【答案】 【详解】 结合题目边长关系，三棱锥如图所示，， 由题意是等腰直角三角形，则，， 则表面积为. 题型08 圆锥的侧面积和表面积问题 典｜例｜精｜析 【例15】将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体是两个同底的圆锥底面重合的组合体. 设等腰直角三角形为，，斜边， 由题可知：，且， 解得：， 设边上的高为，利用等面积法可得： ， 即，即， 因此，旋转后形成的两个圆锥底面半径，母线， 由圆锥的侧面积公式可得：， 两个圆锥的侧面积之和为：， 故所形成的几何体的表面积为. 【例16】已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．如图，将一个底面半径为5的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点滚动，其首次转回到原位置时，陀螺本身恰好滚动了3周，则该陀螺的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆锥形陀螺的母线长为（即图中），已知陀螺底面半径. 圆锥底面的周长为， 这代表陀螺自身完整滚动周时，它的底面边缘在水平面上扫过的路径长度等于自身底面周长. 陀螺绕顶点在水平面滚动、首次回到原位置时，陀螺的底面边缘会绕点画出一个以为圆心、 母线长为半径的完整大圆，这个大圆的总周长为. 所 所以由题意得 ,解得母线长. 所以 . 【变式8-2】已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径和高分别为 由于轴截面为等腰直角三角形，故，且母线， 故侧面积为，则. 体积为. 【变式8-3】已知圆锥与圆柱底面半径相等、高相等，且侧面积也相等，若圆锥体积为，则圆柱的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱侧面积：， 圆锥母线长， 圆锥侧面积：， 由侧面积相等得： ， 约去非零项后平方得：，化简得， 又圆锥体积公式，代入和， 得： ， 化简得，因此. 故圆柱的高为. 基础通关 一、单选题 1．下列结论中正确的是（    ） A．正四面体是四棱锥 B．棱台的侧棱长均相等 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 【答案】C 【详解】对于A，正四面体是三棱锥，故A错误； 对于B，棱台的侧棱长不一定都相等，故B错误； 对于C，圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故C正确； 对于D，必须是直角三角形以直角边为旋转轴，旋转形成的几何体是圆锥，故D错误. 故选：C 2．下列几何体不是五面体的是（        ） A．正四棱柱 B．三棱柱 C．三棱台 D．正四棱锥 【答案】A 【详解】正四棱柱有两个底面，四个侧面，共6个面，是六面体； 三棱柱和三棱台均有两个底面，三个侧面，共5个面，是五面体； 正四棱锥有一个底面，四个侧面，共5个面，是五面体. 3．已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥底面圆面积，侧面积（其中为底面圆半径，为母线长）， 已知，即. 圆锥高，所以圆锥的体积. 4．若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积，解得， 则， 故圆锥的侧面展开图的面积为. 5．已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积， 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， 所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积， 从而所求三棱锥的体积为. 故选：A 二、填空题 7．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为______． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得， 所以， 则该圆锥的高为． 8．在正四棱锥中，底面边长为2，高为，则异面直线与所成角的大小是______． 【答案】 【详解】如图，设正四棱锥的高为，     ， ∴异面直线所成的角为． 因为是边长为的正方形，所以，又高，所以， ． 9．如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为___________     【答案】/ 【详解】因为该几何体是由棱长为20cm的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得， 所以. 故答案为： 三、解答题 10．如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面， 又平面，所以；又因为，即， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面，所以是三棱锥的高， 所以. 11．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2． (1)求圆锥的侧面积； (2)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）圆锥的侧面积为； （2）因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高 显然，且E为中点，所以， 剩下几何体的体积. 12．如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1) 因为，为圆台两条母线， 所以，且它们都在同一个平面内， 又由于圆台的上下底面都是圆，由圆的同心性和圆台的形成可知，， 故四边形为等腰梯形. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示： 连接,过点作于点，    则,所以由勾股定理得高， ， ， 故剩余部分的体积. 素养提升 1．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径cm，圆柱体部分的高cm，圆锥体部分的高cm，则这个陀螺的表面积是（    ）cm2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为； 圆柱的侧面积为； 圆柱的底面积为. 所以这个陀螺的表面积为. 2．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①⑤ C．②③ D．①④ 【答案】B 【详解】当竖直截面经过圆柱、圆锥的轴线（轴截面）时： 圆柱截面是矩形，圆锥截面是等腰三角形，挖去后内部是V形缺口，对应图形①. 当竖直截面不经过轴线时： 圆柱竖直截线依然是直线，但圆锥被不经过顶点的竖直平面截取，截线是曲线，缺口边缘是弧线，对应图形⑤. 圆锥被竖直平面截，只有过顶点时截线才是直线；不过顶点时内侧边缘一定是曲线，不会是直线段，故排除②③④. 3．在中，，，现以所在直线为轴，将其余两边旋转一周形成曲面并围成一个封闭几何体，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，，则. 设边上的高为，，则，得. 该旋转体为两个共底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为和. 所以该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和， 即. 4．五面体如下图所示，其底面是一个的矩形，侧面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成．其中等腰三角形的底边长为8，且两条相等的腰长为13；等腰梯形的两条底边长分别为7和13，且非平行的腰长为13．问该五面体的体积是多少？（    ） A．416 B．520 C．528 D．676 E．832 【答案】C 【详解】如图，作， 因为平面，所以平面， 则为直三棱柱， 在等腰梯形中，， 在等腰三角形中，底边上的高为， 则， ， 则该五面体的体积是. 5．如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）设圆锥的高为h，由题意得：，故，所以． 所以圆锥侧面积，圆锥的底面积， 所以圆锥的表面积； 圆锥的体积为． （2）圆柱的底面半径为，高（母线）为， 所以圆柱的体积为    又圆锥的体积为，所以剩下几何体的体积为； 因为，圆锥的表面积； 所以剩下几何体的表面积 迁移创新 1．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台. 如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为__________. 【答案】 【详解】设原盛满米的正四棱台容器的高为，上底面边长，下底面边长. 由题意可知，取出米后，米的高度下降一半， 则剩余米的部分是一个高为的正四棱台， 取出米的部分也是一个高为的正四棱台. 设高度下降一半处的截面（即剩余米的上底面）边长为， 由棱台的几何性质可知，该截面边长为上下底面边长的算术平均数， 即. 设米的密度为，剩余米的质量为. 取出米的体积为 ， 剩余米的体积为. 因为米的质量与体积成正比，所以， 解得. 故剩余的米的质量为. 2．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则不正确的是（ ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 【答案】A 【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误， 对于B，如图由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确， 对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以阳马的体积，鳖臑的体积， 所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确， 对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点， 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体， 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确. 3．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为，侧面展开圆心角分别为，高分别为. 圆锥侧面积公式为，已知，母线相等，因此，即. 侧面展开弧长等于底面周长，得，即. 已知，代入得， 结合，解得. 圆锥的高满足，因此， 圆锥体积公式，体积比为. 因此体积比为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体 11.2 锥体 课标要点 1.认识棱锥、圆锥、棱台、圆台，能识别底面、侧棱、母线、斜高等几何体基础要素。 2.理解锥体、台体的定义，分清正棱锥、正棱台，掌握几何体的分类与表示方法。 3.熟记锥体、台体的体积、侧面积公式，能代入数据完成基础的计算类题目。 4.会结合侧面展开图理解侧面积来源，能够区分表面积与侧面积，处理简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.棱锥、圆锥、棱台、圆台的概念，掌握正棱锥与正棱台的结构以及斜高的含义。 2.锥体、台体体积公式，正棱锥、正棱台、圆锥、圆台的侧面积相关计算公式。 3.区分表面积和侧面积，能利用侧面展开图，解决简单几何体面积计算问题。 难点： 1.区分正棱锥的高与斜高，做题时容易混淆二者，计算侧面积错用垂直高代替斜高。 2.棱台、圆台的判定，要明确台体必须由锥体平行底面截取得到，侧棱延长应交于一点。3.灵活运用体积、侧面积公式，分清母线、高，避免公式记错、漏写系数与根号。 知识点一 棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥。 1.底面：这个三角形或平面多边形。 2.侧面：其余的各个面。 3.侧棱：不在底面上的棱。 4.顶点：所有侧棱的公共交点。 5.高：顶点到底面的垂直距离。 按底面多边形边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥定义：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 特别提醒 正棱锥各个侧面是全等的等腰三角形；侧面等腰三角形底边上的高叫做斜高。斜高不等于棱锥的高。 即学即练 1．有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（    ） A．五棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 2．如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 知识点二 圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 1.轴：作为旋转轴的直角边。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面。 3.侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面。 4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置都称为母线，圆锥所有母线长度相等。 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体。 圆锥表示：用轴上两个端点字母表示该圆锥。 即学即练 3．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 4．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 知识点三 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台。 1.上底面：原棱锥被截得到的截面。 2.下底面：原棱锥的底面。 3.侧面：除去上下底面剩下的面。 4.侧棱：相邻侧面的公共边。 5.顶点：侧面和上、下底面的公共顶点。 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台依次叫三棱台、四棱台、五棱台…… 表示方法：用上下底面顶点字母表示棱台。 特别提醒 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面截取，截面与底面之间的部分为正棱台，侧面是全等的等腰梯形，等腰梯形的高为正棱台的斜高。 易错提醒 误认为只要上下底面平行就是棱台：棱台必须是由棱锥平行于底面截取得到，仅仅上下底面平行、对应边成比例还不够，所有侧棱延长后必须交于同一点。随意画一个上下底平行的多面体不一定是棱台。 知识点四 圆台 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 1.轴：原来圆锥的旋转轴。 2.底面：圆锥原来的底面与截取产生的截面（上、下两个圆形底面）。 3.侧面：圆锥侧面保留在两底面之间的曲面部分。 4.母线：圆锥母线保留在两底面之间的线段，圆台母线全部相等。 台体：棱台和圆台统称为台体。 圆台表示：用轴的两个端点字母表示圆台。 即学即练 5．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是______． 知识点五 锥体、台体的体积 为底面积，为几何体的垂直高；台体中为上底面积，为下底面积。 1.锥体体积： 2.台体体积： 即学即练 6．如图1，是洛阳博物珍藏的西周兽面纹方鼎，其主体部分近似于如图2的棱台，底面为长方形，，，棱台的高为.则棱台的体积是（   ） A． B． C． D． 7．一个圆锥的高为2，母线长为3，则它的体积为_________． 知识点六 锥体、台体表面积与侧面积 棱锥、棱台属于多面体，表面积等于所有面的面积之和，即各个侧面面积加上上下底面面积。 常见几何体侧面积汇总 1.直棱柱：，底面周长，棱柱的高。 2.正棱锥：，底面周长，为斜高。 3.正棱台：，上底周长，下底周长，斜高。 4.圆柱：，底面半径，母线长。 5.圆锥：，底面半径，母线长。 6.圆台：，上底半径，下底半径，母线长。 易错提醒 误认为只要上下底面平行就是棱台：棱台必须是由棱锥平行于底面截取得到，仅仅上下底面平行、对应边成比例还不够，所有侧棱延长后必须交于同一点。随意画一个上下底平行的多面体不一定是棱台。 即学即练 8．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知正四棱锥的底面边长为8，高为3，则这个正四棱锥的侧面积为______． 题型01 棱锥的结构特征 解题贴士 判断棱锥要紧扣定义，一个面为多边形，其余各面是有公共顶点的三角形，两个条件缺一不可。 做题区分普通棱锥与正棱锥，正棱锥底面是正多边形，顶点在底面投影为底面中心，分清高与斜高，不要混淆两个概念。 典｜例｜精｜析 【例1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【例2】如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】表示：用________的4个字母表示，如图所示为空间四边形，这个空间四边形的边为________，对角线为________. 【变式1-2】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（   ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【变式1-3】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 题型02 圆锥的结构特征 解题贴士 圆锥是旋转体，由直角三角形绕一条直角边旋转生成，分清轴、底面、侧面、母线，所有母线长度全部相等。 注意母线、底面半径、高构成直角三角形，满足勾股关系，做题不要把母线直接当作圆锥的高代入体积公式。 典｜例｜精｜析 【例3】正方形绕对角线旋转一周所得到的几何体（   ） A．由两个圆锥构成 B．由一个圆锥和一个圆台构成 C．由圆台组成 D．由两个棱柱构成 【例4】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的底面直径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 【变式2-2】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为______．    【变式2-3】已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为______；母线的长为______. 题型03 棱锥的展开图 解题贴士 棱锥侧面展开是多个三角形拼接而成，底面为多边形，表面积就是展开图全部图形的面积之和。 遇到展开还原类题目，找准展开前后对应的顶点与边长，折叠前后棱长不变，利用对应边长求解相关几何量。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例6】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】一个四棱锥的四个侧面中，钝角三角形最多有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【变式3-3】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 题型04 棱锥的截面问题 典｜例｜精｜析 【例7】一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，在正三棱锥中，，.过的中点作与和都平行的平面，则该平面截三棱锥所得的截面面积为（   ） A． B．10 C． D．20 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 【变式4-2】一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-3】已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 题型05 圆锥的展开图及最短距离问题 解题贴士 圆锥侧面展开是扇形，求表面两点最短距离，把侧面展开成扇形，利用“两点之间线段最短”解题。 先找准展开后扇形的圆心角，定位两个点的位置，再用勾股或者余弦定理算线段长度，注意不要在立体图上直接连线。 典｜例｜精｜析 【例9】已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ） A． B． C． D． 【例10】已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【变式5-3】某圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为______． 题型06 锥体的体积 典｜例｜精｜析 【例11】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为____．（结果中保留） 【例12】已知三棱锥的高为，，分别为棱的中点，，若为正三角形，则三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】斗拱是中国传统木构建筑的核心榫卯构件，某宋代斗拱的简化模型可看作由一个正四棱柱与一个正四棱锥上下拼接而成（拼接面完全重合）．已知正四棱柱的底面边长为 2、高为 1，正四棱锥的底面边长与棱柱一致，高为 1.5，则该模型的体积为（    ） 宋代斗拱 A．4 B．6 C．8 D．10 【变式6-2】如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点、分别在棱、上，若，，，（、、大于零），则四面体的体积（   ） A．与、、有关 B．与有关，与、无关 C．与有关，与、无关 D．与有关，与、无关 【变式6-3】如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 题型07 棱锥的侧面积和表面积问题 典｜例｜精｜析 【例13】已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则其体积为（    ） A． B． C．4 D． 【例14】在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为______，侧面积为______． 【变式7-3】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底边上的高为，求这个三棱锥的表面积. 题型08 圆锥的侧面积和表面积问题 典｜例｜精｜析 【例15】将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．如图，将一个底面半径为5的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点滚动，其首次转回到原位置时，陀螺本身恰好滚动了3周，则该陀螺的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知圆锥与圆柱底面半径相等、高相等，且侧面积也相等，若圆锥体积为，则圆柱的高为（    ） A． B． C． D． 基础通关 一、单选题 1．下列结论中正确的是（    ） A．正四面体是四棱锥 B．棱台的侧棱长均相等 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥 2．下列几何体不是五面体的是（        ） A．正四棱柱 B．三棱柱 C．三棱台 D．正四棱锥 3．已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为______． 8．在正四棱锥中，底面边长为2，高为，则异面直线与所成角的大小是______． 9．如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为___________     三、解答题 10．如图，在直三棱柱中，． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 11．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2． (1)求圆锥的侧面积； (2)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 12．如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 素养提升 1．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径cm，圆柱体部分的高cm，圆锥体部分的高cm，则这个陀螺的表面积是（    ）cm2 A． B． C． D． 2．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①⑤ C．②③ D．①④ 3．在中，，，现以所在直线为轴，将其余两边旋转一周形成曲面并围成一个封闭几何体，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．五面体如下图所示，其底面是一个的矩形，侧面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成．其中等腰三角形的底边长为8，且两条相等的腰长为13；等腰梯形的两条底边长分别为7和13，且非平行的腰长为13．问该五面体的体积是多少？（    ） A．416 B．520 C．528 D．676 E．832 5．如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 迁移创新 1．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台. 如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为__________. 2．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则不正确的是（ ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 3．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $