第07讲 锥体（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第07讲 锥体（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：棱锥 知识点02：圆锥 知识点03：棱台与圆台 知识点04：锥体、台体的体积 知识点05：锥体、台体的表面积与侧面积 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：棱锥的结构特征和分类 题型02：正棱锥及其有关计算 题型03：圆锥的结构特征辨析 题型04：圆锥的展开图及最短距离问题 题型05：锥体体积的有关计算 题型06：棱锥表面积的有关计算 题型07：圆锥表面积的有关计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【例1】已知正四棱锥底面正方形边长 ，高 ，求该正四棱锥的斜高与侧棱长。 解析：第一步：求斜高 底面正方形中心到边中点的水平距离： 由空间勾股定理可得斜高： 第二步：求侧棱长 底面正方形中心到底面顶点的距离： 同理由勾股定理得侧棱长： 答案：斜高为5，侧棱长为。 【知识点02】圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 【例2】已知圆锥底面半径 ，高 ，求母线长和侧面展开扇形的圆心角。 解析：第一步：计算母线长 第二步：求侧面扇形圆心角 设圆心角为（弧度制），根据底面周长=扇形弧长： 代入数据计算： 答案：母线长为5，侧面展开图圆心角为。 【知识点03】棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 【例3】已知圆台上底面半径，下底面半径，高，求圆台母线长。 解析：先计算上下底面半径差值： 代入圆台母线公式： 答案：圆台母线长为5。 【知识点04】锥体、台体的体积 1、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2、柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝ (S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 【例4】一个圆锥底面半径，高，在高的中点处用平行底面的平面截去小圆锥，求剩余圆台的体积。 解析：第一步：计算大圆锥体积 第二步：分析小圆锥参数 截面在高的中点，大小圆锥相似比为，小圆锥底面半径，高 第三步：计算小圆锥体积 第四步：求圆台体积（大圆锥减小圆锥） 答案：圆台体积为。 【知识点05】锥体、台体的表面积与侧面积 1. 棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝ (c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【例5】一个圆锥底面半径，高，在高的中点处用平行底面的平面截去小圆锥，求剩余圆台的体积。 解析：第一步：计算大圆锥体积 第二步：分析小圆锥参数 截面在高的中点，大小圆锥相似比为，小圆锥底面半径，高 第三步：计算小圆锥体积 第四步：求圆台体积（大圆锥减小圆锥） 答案：圆台体积为。 【题型01】棱锥的结构特征和分类 【典例1-1】下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 【变式1-1】下列命题： ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥； ③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥. 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由正棱锥满足的条件即可判断. 【详解】是正棱锥必须满足两个条件：（1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心，即侧面是全等的等腰三角形. 对于①，底面是正多边形的棱锥，但侧面不是全等的等腰三角形时不满足条件（2），故错误； 对于②，比如一个四棱锥满足各侧棱的长都相等，但其底面可以为矩形，此时不满足条件（1），故错误； 对于③，比如一个四棱锥满足各侧面是全等的等腰三角形，但其底面可以为菱形，此时不满足条件（1），故错误. 故选：A 【变式1-2】下列几何体中不是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棱锥的定义判断即可. 【详解】根据棱锥的定义，B、C、D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·福建福州·期中）一个棱锥至少有________个面. 【答案】4 【分析】根据棱锥的定义推断即可. 【详解】棱锥的面数是由侧面的面数加1个底面得到的，面数最少的棱锥有四个面，它是三棱锥. 故答案为：4. 【题型02】正棱锥及其有关计算 【典例2-1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【答案】 【分析】根据题意，由正四面体的棱长为3，可求出其底面正三角形的高和底面正三角形的外接圆的半径，即可求出正四面体的高. 【详解】一个正四面体的棱长为3， ∴正四面体的底面正三角形的高为：， ∴底面正三角形的外接圆的半径为：， 所以正四面体的高：. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【答案】/ 【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案. 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为4的等边三角形， 设侧棱长为， 设O为的中心， 取中点D，连接，则O在上，为三棱锥的高， 则，， 故， ∴正三棱锥的侧棱长为， 故答案为： 【变式2-3】正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 【答案】高为3，侧面上的斜高为. 【分析】根据正三棱锥的性质结合条件即得. 【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接， 由正三棱锥的定义得面， 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高, 作交于，又，， 则正三棱锥的斜高， 所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为． 【题型03】圆锥的结构特征辨析 【典例3-1】下列几何体表示圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的形状判断即可. 【详解】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱. 故选：C. 【变式3-1】底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出等式，即可求解. 【详解】设圆锥侧面展开图的圆心角为，且圆锥底面圆半径为1，母线长为4， 根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，可得，解得. 故选：C. 【变式3-2】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设圆锥的母线长为，圆锥的高为，根据题意得到，求得母线长，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，圆锥的高为， 因为圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，可得，解得， 则圆锥的高为. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 【题型04】圆锥的展开图及最短距离问题 【典例4-1】已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】由扇形弧长公式求得，则，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为______．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___________公里 【答案】9 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 【变式4-3】如图，有一个圆锥形花篮，母线长为20cm，在花篮口的点P处用一根绳子将花篮挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧箍住花篮，不会上下滑动，已知绳子的长度是20cm． (1)求花篮的底面半径； (2)求母线OQ与水平地面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆锥沿着母线展开，即可得到展开图为半径为圆心角为的扇形，再根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等得到方程，即可求出底面圆的半径； （2）首先利用余弦定理求出，即可求出母线与水平地面所成角的大小； 【详解】（1）解：如图沿着母线将圆锥的侧面展开，可得、， 所以为等边三角形，所以，设圆锥的底面半径为， 所以，即，解得； （2）解：由（1）可知，且， 在中由余弦定理， 即 所以，所以， 所以母线与水平地面所成角的大小 【题型05】锥体体积的有关计算 【典例5-1】（24-25高二·上海·课堂例题）正六棱锥底边为2，侧棱与底面所成角为．则六棱锥的体积是（    ） A．12 B． C．36 D． 【答案】A 【分析】由已知条件推导出棱锥的底面面积，棱锥的高，由此能求出体积． 【详解】正六棱锥的底面边长为2， ， 侧棱与底面所成角为， 棱锥的高， 体积为， 故选：A． 【变式5-1】一个三棱锥的三视图是如图所示的三个等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】由三视图还原原几何体，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为腰长为2的等腰直角三角形，侧棱底面ABC， 则该三棱锥的体积为：. 故选：C 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式即可求得. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则； 又，所以圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 【题型06】棱锥表面积的有关计算 【典例6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 【变式6-1】若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据侧面积之和为底面积的2倍得到斜高和底面边长的关系，由勾股定理得到方程，求出斜高，进而求出底面积和侧面积，相加得到表面积. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以， 所以， 底面积，侧面积为， 表面积． 故选：D． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________. 【答案】 【分析】根据正四棱锥的结构特征及表面积的求法求其侧面积. 【详解】由题意，正四棱锥的底面是边长为6的正方形，且棱锥的高为4， 所以正四棱锥的侧面等腰三角形的高为， 由正四棱锥有4个侧面等腰三角形，所以其侧面积为. 故答案为： 【变式6-3】已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【答案】(1)； (2)﹒ 【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和； (2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解． 【详解】（1）∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为； （2）连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高， 则 ， 故棱锥的体积． 【题型07】圆锥表面积的有关计算 【典例7-1】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积,进而求解表面积. 【详解】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为,侧面展开图的弧长为. 圆锥的底面半径为2，所以圆锥底面周长为，且侧面展开图为半圆， 所以, 即圆锥的母钱长. 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为, 所以该圆锥的表面积为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 【答案】 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出母线长； 再分别计算圆锥的底面积和侧面积，即可求解. 【详解】设圆锥体的母线为，则，所以，所以. 故答案为：. 【变式7-2】已知底面半径为，高为4的圆柱内有一个圆锥，圆锥的底面半径为圆柱底面半径的，圆锥的高为圆柱高的一半，求圆锥的侧面积. 【答案】 【分析】由题求得圆锥的底面半径以及高，进而结合勾股定理求得母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求解结论即可. 【详解】由题意得圆柱的底面半径为，高为4， 且圆锥的底面半径为圆柱底面半径的，圆锥的高为圆柱高的一半， 则圆锥的底面半径，高为， 由勾股定理得圆锥的母线长， 由圆锥的侧面积公式得圆锥的侧面积为 【变式7-3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 【答案】侧面积为；表面积为 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为，利用圆锥侧面展开图的面积公式与圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为， 所以，解得：， 又，解得：， 所以，侧面展开图的弧长为， 则， . 知识点01几何体概念梳理（棱锥、圆锥、棱台、圆台） 1. 棱锥 定义：一个面为多边形，其余各面是有公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体。 正棱锥核心特征：底面是正多边形，顶点在底面的射影为底面中心，所有侧面为全等的等腰三角形。 关键线段： 高：顶点到底面的垂直距离； 斜高：侧面等腰三角形底边上的高（仅正棱锥具备）； 侧棱长：棱锥侧面三角形的腰长。 正四棱锥核心几何关系（底面边长）： 底面中心到边中点距离： 底面中心到顶点距离： 斜高公式： 侧棱长公式： 2. 圆锥 定义：直角三角形以一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的旋转体。 三量核心关系（底面半径、高、母线）： 侧面展开性质：展开图为扇形，扇形半径=圆锥母线，扇形弧长=圆锥底面周长。 圆心角计算公式： （弧度制） 3. 棱台与圆台 形成原理：用平行于锥体底面的平面截取锥体，截面与原底面之间的几何体。 棱台特征：上下底面为相似多边形，对应边成比例、对应角相等，侧面为梯形。 圆台核心关系（上底半径、下底半径、高、母线）： 知识点02体积公式系统梳理 1. 锥体体积（棱锥、圆锥通用） 参数说明：为底面面积，为锥体的垂直高。 2. 台体体积（棱台、圆台通用） 参数说明：为上底面面积，为下底面面积，为台体的垂直高。 3. 重要推论：相似锥体体积性质 两个相似锥体，相似比为，则体积比为。 常用于：平行截面截取圆锥/棱锥，求剩余台体体积。 知识点03侧面积与表面积公式系统梳理 1. 正棱锥 侧面积： 表面积： 参数说明：为底面周长，为斜高。 2. 圆锥 侧面积： 表面积： 3. 圆台 侧面积： 表面积： 知识点04核心解题易错点总结 1. 区分高与斜高：锥体的体积公式用垂直高，侧面积公式（正棱锥）用斜高，二者不可混用。 2. 台体的前提条件：必须由平行于底面的平面截取锥体得到，上下底面才相似，公式方可使用。 3. 圆锥圆心角计算：务必保证“底面周长=扇形弧长”等量关系，区分弧度制与角度制。 4. 表面积与侧面积区分：侧面积仅包含侧面，表面积需要叠加上下底面面积。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分. 【答案】15 【分析】根据三棱锥的几何特征分析即可求解. 【详解】三个侧面平面两两相交，可以将空间分成8个部分， 再增加一个底面，其中有1个封闭的空间，另外还有6个部分， 所以三棱锥的4个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为：15. 2．（25-26高二上·上海松江·期末）若圆锥的高为3，底面圆的半径为1，则这个圆锥的体积为________． 【答案】 【分析】利用圆锥的体积公式计算即可. 【详解】圆锥的高为3，底面圆的半径为1， 圆锥的体积 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 【答案】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 5．（2025高二上·上海·专题练习）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 【答案】①③⑤⑦ 【分析】结合正方体的性质逐一作图，可能出现①③⑤⑦这四种情况. 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 6．（25-26高二上·上海金山·期末）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个半圆，半圆的弧长就是圆锥底面圆的周长，设出母线，求出圆锥底面圆的直径，即可求出截面三角形的顶角. 【详解】根据题意，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的周长为， 所以，所以，所以圆锥底面圆的直径为， 所以用经过圆锥的轴的平面截此圆锥得到的三角形为等边三角形， 所以截面三角形的顶角大小为； 故答案为： 7．正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为______． 【答案】 【分析】平面于，连接并延长与交于点，计算，，计算得到答案. 【详解】如图所示：平面于，连接并延长与交于点，    则是中点，是中心，， ，侧面积为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海普陀·期中）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【分析】由题意可得该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，从而求得底面半径，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h. 由题可知，该圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因为，所以，所以. . 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·阶段检测）顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 【答案】 【分析】首先在圆锥的底面中利用弧长公式求出，然后在侧面展开图中利用圆心角的求法求出，最后利用余弦定理求出，则即为圆锥侧面上由点到点的最短路线长. 【详解】 由圆锥底面半径为，，则， 又在圆锥的侧面展开图中，， 因此在中， ， 故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长， 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·期中）的三边分别是的中点，沿，将折起，使得重合于，则四面体的体积为_________. 【答案】 【分析】由折起成四面体的过程知，四面体相对棱等长，将其补形成长方体，利用割补法即可得解. 【详解】因四面体相对棱等长，则该四面体的每一组相对棱可作为一个矩形的两条对角线，从而把四面体补成长方体，如图：   ， 设， 则有，解得，， 所以四面体的体积. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为__________. 【答案】6 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由 ， 所以 . 故答案为：6. 12．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，推知母线长后即可求解. 【详解】设圆锥母线长，底面半径为，由题意，即， 侧面展开的扇形的弧长是，于是侧面积为， 底面积为，故表面积为. 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】找到圆锥高和底面半径的关系，建立方程求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 14．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 15．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的侧面积公式，体积公式，列方程代入验证即可. 【详解】设圆锥母线为，底面半径为，高为， 则， 消去整理得， 代入选项验证，仅有符合题意， 故选：C. 16．如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解. 【详解】 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为， 所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 故选:B. 三、解答题 17．在棱长为1的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去8个三棱锥．求剩下的几何体的体积． 【答案】 【分析】用正方体的体积减去8个三棱锥的体积即可. 【详解】 设剩余几何体的体积为， 由题意知，截去的三棱锥可看作是：底面是边长为的等腰直角三角形，高为的三棱锥. 则正方体三棱锥. 故剩下的几何体的体积为. 18．如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积. 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式及圆的面积公式求解. 【详解】圆锥的侧面积公式， 底面圆的面积， 故圆锥的表面积. 故答案为： 19．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高；若，，求：四棱锥的体积． 【答案】 【分析】先利用三角函数关系求出，再利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为为等腰梯形，，，， 所以， 因为是四棱锥的高，即底面，底面， 所以，，和全等， 因为 所以，， 所以， 又因为等腰梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为. 20．将一块边长为的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩． (1)试把容器罩的表面积表示为的函数； (2)试把容器罩的体积表示为的函数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）表示出、，再由锥体的侧面积公式计算可得； （2）依题意可得平面，利用勾股定理求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）由题意，，，， 所以容器罩的表面积，． （2）由题意，平面，平面，所以， 又，，，， 在中，， 所以容器罩的体积，． 21．（24-25高二上·上海·期中）设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． (1)时，求a的取值范围； (2)时，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不妨设，可折叠三角形，观察的长度即可； （2）分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围. 【详解】（1）设，固定，让绕转动， 当接近时，接近于0；当与接近于共面时，a接近于， 故；    （2）第一种情况，两边在一个三角形内时：    假设时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设， 则，即， 解得，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，取中点，连接， 则， 由两边之和大于第三边可知：，解得：，故，    综上，. 【点睛】关键点点睛：等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质，是解决第二问的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 锥体（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：棱锥 知识点02：圆锥 知识点03：棱台与圆台 知识点04：锥体、台体的体积 知识点05：锥体、台体的表面积与侧面积 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：棱锥的结构特征和分类 题型02：正棱锥及其有关计算 题型03：圆锥的结构特征辨析 题型04：圆锥的展开图及最短距离问题 题型05：锥体体积的有关计算 题型06：棱锥表面积的有关计算 题型07：圆锥表面积的有关计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高； 【例1】已知正四棱锥底面正方形边长 ，高 ，求该正四棱锥的斜高与侧棱长。 【知识点02】圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 【例2】已知圆锥底面半径 ，高 ，求母线长和侧面展开扇形的圆心角。 【知识点03】棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 【例3】已知圆台上底面半径，下底面半径，高，求圆台母线长。 【知识点04】锥体、台体的体积 1、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2、柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝ (S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 【例4】一个圆锥底面半径，高，在高的中点处用平行底面的平面截去小圆锥，求剩余圆台的体积。 解析：第一步：计算大圆锥体积 第二步：分析小圆锥参数 截面在高的中点，大小圆锥相似比为，小圆锥底面半径，高 第三步：计算小圆锥体积 第四步：求圆台体积（大圆锥减小圆锥） 答案：圆台体积为。 【知识点05】锥体、台体的表面积与侧面积 1. 棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝ (c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 【例5】一个圆锥底面半径，高，在高的中点处用平行底面的平面截去小圆锥，求剩余圆台的体积。 【题型01】棱锥的结构特征和分类 【典例1-1】下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【变式1-1】下列命题： ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥； ③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥. 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】下列几何体中不是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·福建福州·期中）一个棱锥至少有________个面. 【题型02】正棱锥及其有关计算 【典例2-1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【变式2-2】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【变式2-3】正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 【题型03】圆锥的结构特征辨析 【典例3-1】下列几何体表示圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为（    ） A． B． C．4 D． 【变式3-3】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 【题型04】圆锥的展开图及最短距离问题 【典例4-1】已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为______．    【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___________公里 【变式4-3】如图，有一个圆锥形花篮，母线长为20cm，在花篮口的点P处用一根绳子将花篮挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧箍住花篮，不会上下滑动，已知绳子的长度是20cm． (1)求花篮的底面半径； (2)求母线OQ与水平地面所成角的大小． 【题型05】锥体体积的有关计算 【典例5-1】（24-25高二·上海·课堂例题）正六棱锥底边为2，侧棱与底面所成角为．则六棱锥的体积是（    ） A．12 B． C．36 D． 【变式5-1】一个三棱锥的三视图是如图所示的三个等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【题型06】棱锥表面积的有关计算 【典例6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【变式6-1】若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________. 【变式6-3】已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【题型07】圆锥表面积的有关计算 【典例7-1】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 【变式7-2】已知底面半径为，高为4的圆柱内有一个圆锥，圆锥的底面半径为圆柱底面半径的，圆锥的高为圆柱高的一半，求圆锥的侧面积. 【变式7-3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 知识点01几何体概念梳理（棱锥、圆锥、棱台、圆台） 1. 棱锥 定义：一个面为多边形，其余各面是有公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体。 正棱锥核心特征：底面是正多边形，顶点在底面的射影为底面中心，所有侧面为全等的等腰三角形。 关键线段： 高：顶点到底面的垂直距离； 斜高：侧面等腰三角形底边上的高（仅正棱锥具备）； 侧棱长：棱锥侧面三角形的腰长。 正四棱锥核心几何关系（底面边长）： 底面中心到边中点距离： 底面中心到顶点距离： 斜高公式： 侧棱长公式： 2. 圆锥 定义：直角三角形以一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的旋转体。 三量核心关系（底面半径、高、母线）： 侧面展开性质：展开图为扇形，扇形半径=圆锥母线，扇形弧长=圆锥底面周长。 圆心角计算公式： （弧度制） 3. 棱台与圆台 形成原理：用平行于锥体底面的平面截取锥体，截面与原底面之间的几何体。 棱台特征：上下底面为相似多边形，对应边成比例、对应角相等，侧面为梯形。 圆台核心关系（上底半径、下底半径、高、母线）： 知识点02体积公式系统梳理 1. 锥体体积（棱锥、圆锥通用） 参数说明：为底面面积，为锥体的垂直高。 2. 台体体积（棱台、圆台通用） 参数说明：为上底面面积，为下底面面积，为台体的垂直高。 3. 重要推论：相似锥体体积性质 两个相似锥体，相似比为，则体积比为。 常用于：平行截面截取圆锥/棱锥，求剩余台体体积。 知识点03侧面积与表面积公式系统梳理 1. 正棱锥 侧面积： 表面积： 参数说明：为底面周长，为斜高。 2. 圆锥 侧面积： 表面积： 3. 圆台 侧面积： 表面积： 知识点04核心解题易错点总结 1. 区分高与斜高：锥体的体积公式用垂直高，侧面积公式（正棱锥）用斜高，二者不可混用。 2. 台体的前提条件：必须由平行于底面的平面截取锥体得到，上下底面才相似，公式方可使用。 3. 圆锥圆心角计算：务必保证“底面周长=扇形弧长”等量关系，区分弧度制与角度制。 4. 表面积与侧面积区分：侧面积仅包含侧面，表面积需要叠加上下底面面积。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分. 2．（25-26高二上·上海松江·期末）若圆锥的高为3，底面圆的半径为1，则这个圆锥的体积为________． 3．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 4．（25-26高二上·上海·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 5．（2025高二上·上海·专题练习）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 6．（25-26高二上·上海金山·期末）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 7．正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为______． 8．（25-26高二上·上海普陀·期中）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为则该圆锥的侧面积为_____. 9．（24-25高三上·上海·阶段检测）顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 10．（25-26高二上·上海·期中）的三边分别是的中点，沿，将折起，使得重合于，则四面体的体积为_________. 11．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为__________. 12．（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为______． 二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 14．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长可能为（    ） A． B． C． D． 16．如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 三、解答题 17．在棱长为1的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去8个三棱锥．求剩下的几何体的体积． 18．如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积. 19．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高；若，，求：四棱锥的体积． 20．将一块边长为的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩． (1)试把容器罩的表面积表示为的函数； (2)试把容器罩的体积表示为的函数． 21．（24-25高二上·上海·期中）设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． (1)时，求a的取值范围； (2)时，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $