第四章 一次函数 单元卷 2026—2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数单元核心，通过选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分）梯度设计，融合购物、行程等生活情境与数形结合，适配初中数学单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、一次函数识别、图像性质|如第4题行程图像辨析，考查几何直观；第7题函数图像交点判断，培养推理意识| |填空题|6/18|图像与坐标轴交点、性质比较、实际应用|如第15题油箱油量与里程关系，体现模型意识；第16题对称点坐标计算，强化空间观念| |解答题|8/72|图像综合、实际问题、探究性分析|如23题函数图像探究，发展创新意识；24题动态几何问题，提升运算能力与推理能力|

第四章 一次函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意 C、满足对于x的取值时，y有两个值与之对应关系的情况，所以曲线不能表示y是x的函数，故本选项符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以曲线能表示y是x的函数，故本选项不符合题意． 2、函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【详解】且, 解得且． 3、下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. y＝5x2＋x D. y＝−8 【答案】B 【详解】是反比例函数，故A错误； 是一次函数，也是正比例函数，故B正确； y＝5x2＋x，是二次函数，故C错误； y＝−8不是一次函数，故D错误； 4、小明同学喜欢看书，周日他先从家步行到书店，在那里看了一会书，再跑步回家，下面能反映小明离家距离y与所用时间x之间关系的图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：∵小明从家步行到书店， ∴随着时间的增加离家的距离越来越远， ∵到达书店后，他在那里看了会书， ∴在书店的这段时间，他离家的距离不变， 又∵再跑步回家， ∴这段时间，他离家越来越近，而且跑步回家比步行到书店用的时间少， ∴能反映小明离家距离y与所用时间x之间关系的图像是A， 5、一圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【答案】B 【详解】解：A、是自变量，故A选项错误，不符合题意； B、是常量，故B选项正确，符合题意； C、是因变量，故C选项错误，不符合题意； D、是常量，故D选项错误，不符合题意； 6、一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【详解】解：∵一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，b=3>0， ∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 7、下列选项中，表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项符合题意； B、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论不一致，故本选项不符合题意； C、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知 ，两结论不一致，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论不一致，故本选项不符合题意． 8、关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数的图象与x轴的交点是（0，-1） C．向下平移1个单位，可得到y=3x D．图象经过点（1，2） 【答案】D 【详解】 在中， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴函数与轴相交于负半轴， ∴可知函数过第一、三、四象限，故A选项不符合题意； 将代入到解析式可得，， ∴函数的图像与x轴的交点是，故B选项不符合题意； 向下平移1个单位，函数解析式为，故C选项不符合题意； 将点代入解析式可知，，故D选项符合题意； 9、一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【答案】A 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点为（0，3）， ∴方程kx+b﹣3＝0的解是x＝0． 10、如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点A．下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是：x＝2； ④； ⑤．其中正确的有（ ） A. ①②⑤ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】B 【详解】解：∵由k>0时y随x增大而增大, k<0时y随x增大而减小，结合图形可知：，，故④错误；⑤正确; ∴，故①错误; 由图像可知：与y轴交于上半轴, ∴，故②正确； 由图像可知：直线与直线交点的横坐标, ∴关于x的方程的解是：x＝2，故③正确； 综上所述：正确的有：②③⑤． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、一次函数y＝2x+4交x轴交于点A，则点A的坐标为_____． 【答案】（﹣2，0）． 【详解】 解：一次函数y＝2x+4中，当y＝0时，0＝2x+4， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 12、已知直线经过第一，二，四象限，那么直线不经过第_________象限． 【答案】四 【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴1-k＞0， ∴直线y=bx+1-k一定不经过第四象限． 故答案为：四． 13、已知点（－3，）、（2，）在一次函数的图像上，则、的大小关系是______． 【答案】y1＜y2 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 14、数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象交于点， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 15、一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶________千米． 【答案】500 【详解】解：令，则， 解得：， 从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶500千米， 故答案为：500． 16、在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，点A关于y轴对称的点B恰好落在直线上，则k的值为______． 【答案】2 【详解】解：点A（2，m）在直线上， ∴， 点 A（2，-3）关于y轴对称的点为（-2，-3）， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分， 23-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、将正比例函数向下平移m个单位后正好经过点，求m的值． 【答案】2 【详解】解：设正比例函数的图象向下平移后的解析式为（k≠0）， ∵图象经过点（-2，-3）， ∴-3=×（-2）-m， 解得m=2， ∴m的值2． 18、已知一函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一函数表达式． 【答案】或． 【详解】解：设函数与x、y轴相交于A(x，0)，B(0，y)， 把B点代入得y=4，则B(0，4)， 把A点代入得x=-，A(，0)， ∵围成三角形的面积为8， ∴， 解得， ∴此函数表达式为或． 19、某蔬菜公司收到某种绿色蔬菜20吨，准备一部分进行精加工，其余部分进行粗加工，加工后销售获利的情况如下表： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 设该公司精加工的蔬菜为吨，加工后全部销售获得的利润为元． （1）求与间的函数表达式； （2）若该公司加工后全部销售获得的利润为28000元，求该公司精加工了多少吨蔬菜？ 【答案】（1）y；（2）该公司精加工了8吨蔬菜. 【详解】解：（1）根据题意，有： ； ∴与间的函数表达式为：； （2）由（1）得：， 令，则 ， 解得：； ∴该公司精加工了8吨蔬菜． 20、某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． （1）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费是 元； （2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式； （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？ 【答案】（1）1660元；1400元 （2）y=0.5x（x≤3000）；y=0.8x-900（x＞3000） （3）3050吨 【详解】 解：（1）根据题意，用水3200吨超出计划用水量，所以3000×0.5+200×0.8=1660元； 用水2800吨符合计划用水量，所以2800×0.5=1400元； （2）用水在计划内：y=0.5x（x≤3000） 用水超出计划用水量：y=1500+0.8（x-3000）=0.8x-900（x＞3000） （3） 缴费1540元大于计划用水量水费1500元，所以1540=0.8x-900 解得 x=3050. 该单位这个月的用水量为3050吨。 21、如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． （1）求出m、n的值； （2）求出ABP的面积． 【答案】（1）n=，m=- （2） 【小问1详解】 解：∵y=-2x+3过P（n，-2） ∴-2=-2n+3， 解得：n=， ∴P() ， ∵y=-x+m的图像过P() ， ∴-2=-×+m， 解得：m=-， 【小问2详解】 ∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3 ∴A(0，3) ∵y=-x-中，x=0时，y=-， ∴B(0， -)． ∴AB=3， ∴△ABP的面积：AB×=××= 22、如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和． (1)点的坐标为____，点的坐标为____； (2)在直线上是否存在点使得的面积为12．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，点或 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则， ， ， 故答案为：； （2）设点 的面积为12， 或14， ∴点或 23、学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是____； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中____，____； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x____时，y随x的增大而增大； ②方程有____个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是____． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见详解 (4)①；②2；③ 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 24、在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线与交于点E． (1)若点E坐标为． ①求m的值； ②点P在直线上，若，求点P的坐标； (2)点F是线段的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②点P的坐标为或 (2)存在， 【详解】（1）解：①当时，，即点， 将点E的坐标代入得：， 解得：； 解：由题意可知，、、， ，， 则， 由A、E的坐标得：， 设的底边上的高为h， 则， 解得：， 由直线的表达式知，，则， 取，作直线，过点A作于点M，过点M作轴于点N，则直线l和直线的交点即为点P， 则为等腰直角三角形，则， 则点， 设直线l的表达式为：， 将点M的坐标代入上式并解得：， 则直线l的表达式为：， 联立直线l和并解得， 即点P的坐标为； 当点P在直线上方时，同理可得：点， 综上，点P的坐标为：或； （2）解：存在，理由如下：设点，则点， 过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N， 为以为直角边的等腰直角三角形，则，， ，， ， ，， ， ， 即， 解得：， 则点， 将点E的坐标代入并解得：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2、函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 3、下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. y＝5x2＋x D. y＝−8 4、小明同学喜欢看书，周日他先从家步行到书店，在那里看了一会书，再跑步回家，下面能反映小明离家距离y与所用时间x之间关系的图像是（　　） A. B. C. D. 5、一圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 6、一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7、下列选项中，表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 8、关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数的图象与x轴的交点是（0，-1） C．向下平移1个单位，可得到y=3x D．图象经过点（1，2） 9、一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 10、如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点A．下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是：x＝2； ④； ⑤．其中正确的有（ ） A. ①②⑤ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、一次函数y＝2x+4交x轴交于点A，则点A的坐标为_____． 12、已知直线经过第一，二，四象限，那么直线不经过第_________象限． 13、已知点（－3，）、（2，）在一次函数的图像上，则、的大小关系是______． 14、数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 15、一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶________千米． 16、在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，点A关于y轴对称的点B恰好落在直线上，则k的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分， 23-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、将正比例函数向下平移m个单位后正好经过点，求m的值． 18、已知一函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一函数表达式． 19、某蔬菜公司收到某种绿色蔬菜20吨，准备一部分进行精加工，其余部分进行粗加工，加工后销售获利的情况如下表： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 设该公司精加工的蔬菜为吨，加工后全部销售获得的利润为元． （1）求与间的函数表达式； （2）若该公司加工后全部销售获得的利润为28000元，求该公司精加工了多少吨蔬菜？ 20、某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． （1）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费是 元； （2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式； （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？ 21、如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． （1）求出m、n的值； （2）求出ABP的面积． 22、如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和． (1)点的坐标为____，点的坐标为____； (2)在直线上是否存在点使得的面积为12．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 23、学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是____； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中____，____； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x____时，y随x的增大而增大； ②方程有____个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是____． 24、在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线与交于点E． (1)若点E坐标为． ①求m的值； ②点P在直线上，若，求点P的坐标； (2)点F是线段的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使为以为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $