第四章 一次函数 单元测试--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第四章一次函数单元卷，90分钟100分，以真实情境为载体，覆盖一次函数核心知识，梯度合理，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数平移、图像性质、实际应用|结合节气白昼时长、海拔气温等情境，考查抽象能力与几何直观| |填空题|5/20|分段函数、最值、图像与线段交点|以出租车收费、液体加热温差为背景，培养模型意识| |解答题|5/50|函数图像分析、实际问题建模|设计新能源车充电、无人机航拍等综合题，提升应用意识与推理能力|

暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 第四章一次函数 注意事项： 1.测试范围：北师大版(2024)八年级上册第四章。 2.考试时间：90分钟试卷满分：100分。 第I卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.将直线y=-7x+4向下平移5个单位长度后得到的直线的表达式是() A.y=-7x-1B.y=-7x+9 C.y=-12x+4D.y=-2x+4 2.如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图.在下列选项中，白昼时长不足11小 时的节气是() 白昼时长/小时 15 4 3 12 11 10 03 立 惊春 立小夏 秋 冬大节气 春 蛰分 夏满至 至寒 A.惊蛰 B.立夏 C.秋分 D.冬至 3.已知一次函数y=:+b,当x增大时，y随之减小，且仙<0，则其图像经过的象限是 () A.过一、二、四象限 B.过一、三、四象限 C过二、三、四象限 D.过一、二、三象限 4.若点 (2,m、B3,5列都在一次函数'=+b(k,b为常数，k>0)的图象上，则m 的取值范围为() A.m<2 B.m<3 C.m<5 D.m>5 1/6 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 5.关于一次函数y=-2x+4的图象，下列说法正确的是（) A.y随x的增大而增大 B.经过一、二、三象限 C.与x轴的交点坐标为2，) D.可由函数y=-2x的图象向下平移4个单位得到 6,如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高 度h(米)与放水时间t(时)的函数关系的图象大致是() h(米)A h(米)个 h(米)A B 0 衣时) 时) t时) h(米) (时) 7.在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h(千米)与此 高度处气温1（℃）的关系： 海拔高度h(千米) 0 1 3 4 气温t(℃) 20 14 8 -10 根据表格中两个变量之间的关系，当h=10时，气温()℃ A.-16 B.-20 C.-30 D.-40 2/6 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 8.己知直线'=x+”经过第一、二、四象限，且点 m,)n(ny2) 和 都在该直线上，则下 列说法错误的是() A.片<为 B mn<0 C.m-n<0 D.y随x的增大而减小 9.在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入 水里，如图①.在此过程中弹簧测力计的示数 F拉方(N) x(cm) 与石块下降的高度 之间的关 系如图②所示.已知石块入水后， F=G力~F力，则以下说法一定正确的是（） F拉力N 石块 14cm 0246810121416xcm 图① 图② A.长方体石块的高度为6cm B.当6≤x≤10时，F与的函数表达式 F拉力=-2x+17 C,石块下降8cm时，石块所受的浮力是lN D.当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离器皿底部4cm 10.如图1，点D是△ABC边AC上一定点，点P是一动点，点P从点A出发，依次沿 A→B→C路线匀速运动，运动到点C停止.设点P运动路程为x,线段DP的长为y, 且y关于x的函数图象如图2所示，其中M,N分别是两段曲线的最低点，则点N的纵坐 标a的值为() B 20 图1 图2 3/6 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 120 118 116 122 ,17 B.15 C.117 0. 15 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11.某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在3千米以内（包 括3千米)起步价8元，超过3千米后，每多行驶1千米加收2元，试写出乘车费用y (元)与乘车距离*（千米）任>3)之间的函数关系式： 12.函数》=K-中，当0≤x≤3时，函数的最小值和最大值分别为 13.如图(1)所示，把初温和质量相同的两种不同的液体用同一台红外灯加热，根据实验 数据绘制了如图(2)温度随时间变化的图象，则加热时间4分钟时，a，b两种液体的温 差为 oC. 温度/℃ 50 40 20 液体a液体b 10 时间/min 01234 图(1) 图(2) 14.如图，已知点 4,3).B(,m. 若直线'=x+1与线段AB有公共点，则m的范围为 15,已知一次商数’=(k+)x+2,当1≤x≤3时，y有最大值5，则k= 4/6 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16.已知李明家，食堂，图书馆依次在同一条直线上.昨天上午李明从家步行去食堂吃早 餐，接着去图书馆挑选书，然后回家.在整个过程中，李明分别采用了步行，骑共享单车 和乘公交车三种交通方式，且步行的速度低于骑共享单车的速度和乘公交车的平均速度 y/km 1.5 0.3 06 1620 38n x/min (1)求食堂和图书馆之间的距离： (2)求李明吃早餐所用的时间： (3)请写出图中A点的实际意义： (4)若乘坐公交车的平均速度是步行速度的10倍，请结合图象计算说明李明乘坐公交车是哪 个时间段，并求出n的值 17.新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生.某充电站施行峰谷电价收费制度 (高峰时段：10：00-22：00，低谷时段：22：00一次日10：00)，已知峰时充电单价是谷 时充电单价的2倍，且充电总费用'（元）与充电度数x(千瓦时)之间成一次函数关系， 下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况. 个/元 6 5 10x/千瓦时 (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当5≤x≤10时，求充电总费用)（元）与充电度数x(千瓦时)之间的函数解析式： (3)若充电站每小时能充15千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间， 18.某中学在科创实践类比赛中，开展无人机展示活动，小明用无人机沿竖直方向执行航 拍任务，需根据现场状况调节高度.已知无人机竖直上升的高度h(米)与时间t(分钟) 之间的关系如图所示.根据图象解答下列问题： 5/6 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 NH h/米 75 50 02 6 1215 t/分钟 (1)自变量是 因变量是 (2)无人机在50米高的上空停留的时间是 分钟： (3)求前2分钟该无人机竖直上升的速度： (4)若无人机在空中不停留，按前2分钟的速度竖直上升，则无人机从地面出发几分钟可到 达75米高的上空？ 19.如图，有若干个足够高且内部底面积不同的圆柱体容器，分别往这些容器中注入 300cm的水.设圆柱体容器内部的底面积为 (cm） 容器内水的高度为(cm ,y随x的 变化而变化. (1y是不是关于x的函数？若是，请写出y关于x的函数解析式，若不是，请说明理由： 75cm2 (2)当圆柱体容器的底面积为时，求容器内水的高度 4 20.y= +4分别交x轴、y轴于A、B两点，在坐标轴上取一点C,使。4BC为直角三角 形，求出所有符合条件的点C的坐标. 6/6暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 一次函数 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第四章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．将直线向下平移5个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线向下平移5个单位长度后，得到的直线表达式为. 2．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（     ） A．惊蛰 B．立夏 C．秋分 D．冬至 【答案】D 【分析】观察函数图象，找出纵坐标小于的点对应的节气． 【详解】解：由图象可知，惊蛰、立夏、秋分对应的白昼时长均大于小时，冬至对应的白昼时长小于小时， 白昼时长不足小时的节气是冬至 ． 3．已知一次函数，当x增大时，y随之减小，且，则其图像经过的象限是（     ） A．过一、二、四象限 B．过一、三、四象限 C．过二、三、四象限 D．过一、二、三象限 【答案】A 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知得到，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，当增大时减小， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴一次函数图像经过第二、四象限， ∵， ∴一次函数图像与轴交于正半轴，经过第一象限， ∴ 一次函数图像经过一、二、四象限． 4．若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数中得出随的增大而增大，由此性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴一次函数中随的增大而增大， ∵点，在函数图象上，， ∴． 5．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 【答案】C 【分析】结合一次函数的系数特征、与轴交点求法及图象平移规律判断各选项． 【详解】解：A选项，∵，∴随的增大而减小，故A错误． B选项，∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． C选项，令，则，解得，∴函数与轴的交点坐标为，故C正确． D选项，将的图象向下平移4个单位，得到的函数解析式为，故D错误． 6．如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0，而水池上宽下窄，则一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意． 7．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降， 海拔高度时，气温， 当海拔高度时，气温． 8．已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．随的增大而减小 【答案】A 【分析】根据直线经过第一、二、四象限得到，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限． ∴，，随的增大而减小，故D正确． ∵，． ∴，故B正确． ∴，故C正确． ∴． ∵随的增大而减小． ∴，故A错误． 9．在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（     ） A．长方体石块的高度为 B．当时，与的函数表达式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 【答案】C 【分析】通过函数图象获取石块重力、入水点及完全浸没时的拉力信息，利用待定系数法求出函数解析式，结合浮力公式及几何关系逐项判断即可． 【详解】解：由图②可知，当时，保持不变，说明此时石块未接触水面，则， 当时，石块开始进入水中，当时，保持不变，说明此时石块全部浸入水中， 由图①可知，石块初始位置底部距离容器底，则石块距离水底的高度， A．，故石块的高度为，故A选项错误； B．当时， 设， 将点，代入得， 解得， ，故B选项错误； C．当时，， 此时，故C选项正确； D．当时，由图②可知， 此时石块距离水底的距离无法确定，故D选项错误 ． 10．如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点D分别作于E，于F，根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 【答案】 【分析】根据收费规则，当乘车距离千米时，乘车总费用由起步价和超出3千米部分的加收费用两部分组成，据此即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出3千米的行驶距离为千米， 总费用， ∴乘车费用与乘车距离之间的函数关系式为：． 12．函数中，当时，函数的最小值和最大值分别为____________． 【答案】 和 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，； 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴； 当时，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴； 综合两种情况，可得当时，， ∴函数的最小值为，最大值为. 13．如图（1）所示，把初温和质量相同的两种不同的液体用同一台红外灯加热，根据实验数据绘制了如图（2）温度随时间变化的图象，则加热时间分钟时，，两种液体的温差为____________C． 【答案】 【分析】根据函数图象读取加热时间为分钟时液体和液体对应的温度数值，利用有理数减法法则计算两者的差值即可. 【详解】解：由图象可知，当加热时间为时，液体的图象对应的纵坐标为，即温度为； 液体的图象对应的纵坐标为，即温度为； 则两种液体的温差为：. 14．如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 【答案】 【分析】计算可得点在直线上方，只要使得点在直线上或者下方即可． 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 15．已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．已知李明家，食堂，图书馆依次在同一条直线上．昨天上午李明从家步行去食堂吃早餐，接着去图书馆挑选书，然后回家．在整个过程中，李明分别采用了步行，骑共享单车和乘公交车三种交通方式，且步行的速度低于骑共享单车的速度和乘公交车的平均速度 (1)求食堂和图书馆之间的距离； (2)求李明吃早餐所用的时间； (3)请写出图中点的实际意义； (4)若乘坐公交车的平均速度是步行速度的10倍，请结合图象计算说明李明乘坐公交车是哪个时间段，并求出的值． 【答案】(1)食堂和图书馆之间的距离为 (2)李明吃早餐所用的时间为 (3)当时间为第时，李明到达图书馆，距离家远 (4)李明是在第38分钟到41分钟时间段乘坐公交车， 【分析】（1）观察图像可知，食堂和图书馆之间的距离； （2）观察图像可知，李明在食堂吃早餐的时间； （3）观察图像即可解答； （4）根据图像求出步行去食堂的速度为，在第16分钟到20分钟时间段速度为，根据乘坐公交车的平均速度是步行速度的10倍得出第16分钟到20分钟是骑共享单车，则在第38分钟后乘坐公交车，即可解答． 【详解】（1）解：， 答：食堂和图书馆之间的距离为． （2）解：，   答：李明吃早餐所用的时间为． （3）略 （4）解：步行去食堂的速度为， 在第16分钟到20分钟时间段速度为， ∵， ∴第16分钟到20分钟是骑共享单车，则在第38分钟后乘坐公交车． ∴， ∴李明是在第38分钟到41分钟时间段乘坐公交车． 17．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）先求出谷时的充电单价，再求出低谷用电费用，加上6即可求解； （2）令y等于高峰充电费用6加上低谷充电费用即可求解； （3）求出低谷充电的时间即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴低谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）解：由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，； （3）解：由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 18．某中学在科创实践类比赛中，开展无人机展示活动．小明用无人机沿竖直方向执行航拍任务，需根据现场状况调节高度．已知无人机竖直上升的高度h（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题： (1)自变量是________________，因变量是________________； (2)无人机在50米高的上空停留的时间是________分钟； (3)求前2分钟该无人机竖直上升的速度； (4)若无人机在空中不停留，按前2分钟的速度竖直上升，则无人机从地面出发几分钟可到达75米高的上空？ 【答案】(1)时间t，无人机竖直上升的高度h (2) (3)米/分钟 (4)分钟 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象信息得出无人机在50米高的上空停留的时间分钟即可； （3）根据上升高度除以时间求出前2分钟上升的速度即可； （4）根据上升的高度除以速度计算即可求解． 【详解】（1）解：自变量是时间t，因变量是无人机竖直上升的高度h． （2）解：根据图象，无人机在50米高的上空停留的时间是（分钟）； （3）解：前2分钟该无人机竖直上升的速度（米/分钟）； （4）解：前2分钟的速度为米/分钟，无人机从地面出发到达75米高的上空的时间为（分钟）． 19．如图，有若干个足够高且内部底面积不同的圆柱体容器，分别往这些容器中注入的水．设圆柱体容器内部的底面积为，容器内水的高度为，y随x的变化而变化． (1)y是不是关于x的函数？若是，请写出y关于x的函数解析式，若不是，请说明理由； (2)当圆柱体容器的底面积为时，求容器内水的高度． 【答案】(1)是， (2)底面积为时，容器内水的高度为． 【分析】（1）根据水的体积不变恒为得到，即可得到答案； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设圆柱体容器内部的底面积为，容器内水的高度为， 则． 由此可知，y是x的函数，函数解析式为． （2）解：当时， ． 答：当圆柱体容器的底面积为时，容器内水的高度为． 20．分别交x轴、y轴于A、B两点，在坐标轴上取一点C，使为直角三角形，求出所有符合条件的点C的坐标． 【答案】，， 【分析】分类讨论：当时，当时，当时，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当时， ， 解得， ； 当时，， ； ， 当时， 在坐标轴上，， 此时与重合， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得， ； 当时，如图， 设， ， ， 解得； ； 综上，所有符合条件的点C的坐标为，，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $