湖北省荆州中学2026-2027学年高三上学期起点考试数学试卷

**基本信息** 荆州中学2024级高三起点数学试卷，聚焦函数、数列、概率等主干知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学思维与应用意识，适配开学初学情诊断与能力摸底。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、充要条件、等比数列等|基础概念辨析，强调数学眼光| |多选题|3/18|函数奇偶性、导数应用|多维度考查逻辑推理，体现数学思维| |填空题|3/15|集合、命题、几何分布新定义|结合创新情境，培养数学语言表达| |解答题|5/77|数列求和、立体几何证明、概率递推、双曲线探究、导数应用|综合考查逻辑推理与问题解决，适配高考命题趋势|

荆州中学2024级高三起点考试 数 学 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 13. 14. 15. 解：由，两边平方可得， 可知， 两式相减，得， 即， ，，当时，，， 则是首项为，公差的等差数列，的通项公式为； 因为， 所以， 所以 ． 16. 解：证明：因为平面平面， 平面平面，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 过作于，则，，， 所以，则，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，，则，所以， 故， 设为平面的法向量， 则，即，解得，令，得， 设直线与平面夹角为，，， 整理得，即，所以或， 所以或． 17. 解：由题意甲同学第局赢的概率为， 所以乙同学第局赢的概率为 由已知时，， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 即， 令，则， 易知是减函数，，所以时，，单调递减， 显然，因此要求的最小值，即求的最大值， 又， 为偶数时，，单调递减，所以， 为奇数时，，单调递增，所以，所以是中的最大值， 所以，． 18. 解：因为离心率， 所以，而，所以，所以双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程，得，所以，， 所以的方程为； 直线过定点， 由双曲线的方程可知，，设，， 由，可设，， 则直线即的方程为， 联立 整理得， 由题设知，且， 所以，所以， 所以，即， 又直线即的方程为， 联立，得， 由题设知，且， 由根与系数关系，得， 所以，所以， ， 当时，，即， 解得，， 当时，直线的斜率， 直线的方程为， 化简整理得， 所以直线过定点； 由知，直线过定点， 则， 由知，， 所以， 又点，在双曲线的右支上，的渐近线方程为， 所以， 令，则， 于是， 令，， 则，在单调递减， 所以在单调递增， 所以当，即时，取得最小值， 所以的取值范围是 19. 解：，由得：． ，，所以由必要性， 当时，，，不符合，故 下证时成立，此时， 当时，， 而，所以在递增，在递减， 又，，所以，即． 当时，，所以． 所以当时，均有对恒成立， 综上所述，整数的最小值为． 法二：下证时成立，此时， 当时，，令， 则在上递增， 而，，所以存在，使得，即， 而，所以， 则， 所以在递增，有． 当时，， 所以，也成立． 综上所述，整数的最小值为． 当时，， 令，在上递增， 而，，所以存在，使得， 所以在递减，在递增， 又，，， 所以存在，使得， 所以在递减，在递增， 又当时，，所以在递增， 所以在递减，在递增， 所以是在上的唯一极小值点． 此时，， 所以在，也即上存在唯一零点，且； 下证：． 因为，所以，又在递增，所以只需证． 即证 ， 而，只需证明：， 令，， 则， 所以在上单调递增，， 所以成立，证毕． 8. 解：因为是定义在上的偶函数，则，已知， 将换为得，即， 得，所以， 由，把代入得，即在上恒成立， 设，则，令，即，解得， 当时，，单调递减当时，，单调递增， 所以， 所以． 故选：． 11. 解：对选项，函数，定义域为， 所以，故A正确； 对选项，因为是周期函数，不是周期函数，故B错误； 对选项，当，， ， 所以，， 令， 解得或或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，故C正确； 对选项，令，， 则， 设，则， 设，则， 当时，， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，故D正确． 故选：． 14. 解：设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为偶数， 设随机变量表示事件第一次发生时已经进行的抛掷次数， 由于每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，， 记第一个投出的偶数点数为； 设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了以外的两个偶数， 设随机变量表示从出现第一个偶数后，直到出现第二个不同偶数所进行的额外抛掷次数， 在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，， 记第二个出现的偶数点数为； 设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了，以外的那个偶数， 设随机变量表示从出现第二个不同偶数后，直到出现第三个偶数所进行的额外抛掷次数， 在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，， 经过三个步骤，能保证，，点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为， 随机变量为抛掷骰子直至，，均出现时已经进行的试验次数， ， 故． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2024级高三起点考试 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.设，其中，是实数，是虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 2.在中，“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列满足设，记的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知展开式的二项式系数和为，则该展开式中常数项为(    ) A. B. C. D. 5.已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则(    ) A. B. C. D. 6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，，则 A. B. C. D. 10.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是(    ) A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为 D. 11.函数下列说法中正确的有(    ) A. 函数是偶函数 B. ，使为周期函数 C. 当，时，的极小值为 D. 当，时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，且，则的取值范围是           ． 13.命题“”为假命题，则实数的取值范围为          ． 14.已知：(ⅰ)在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且； (ⅱ)若随机变量，满足，则． 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到，，点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.设正项数列的前项和满足． 求数列的通项公式 设，，求数列的前项和． 16.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上． 求证：平面平面 当直线与平面所成角的正弦值为时，求． 17.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行记甲同学第局赢的概率为 求乙同学第局赢的概率 求 若存在，使成立，求的最小值． 18.已知双曲线的离心率为，点在上，，为的左、右顶点． 求的方程 若点，在的右支上在第一象限，直线，分别交轴于，两点，且． (ⅰ)探究：直线是否过定点若过定点，求出该定点坐标若不过定点，请说明理由 (ⅱ)设，分别为和的面积，求的取值范围． 19.已知函数． 若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； 若对恒成立，求整数的最小值； 当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且． 学科网（北京）股份有限公司 $