精品解析：湖北十堰市第一中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

高三数学 考生注意： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法法则运算可得，再结合复数的概念可得. 【详解】由，则复数的虚部为 ． 故选：A． 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了 分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第 百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数的定义直接判断即可. 【详解】由表可知，低于分占比 ， 又 分位于分数段中， 则其中低于 分占比为， 所以 分总占比为 ， 故学生的成绩可能是第百分位数. 故选：B 3. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得相交弦 所在直线方程，然后根据圆的弦长公式求得的值. 【详解】将圆和圆方程相减， 可得直线 的方程为， 圆的圆心为，半径为1， 点到直线 的距离为， 解得，又，所以. 故选：B. 4. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立体几何中线面、面面位置关系的判断定理和性质定理，逐一分析各个选项的正确性. 【详解】对于A，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则可能相交，故A错误； 对于B，线面垂直的判定定理要求相交，若 ，则推不出，故B错误； 对于C，过作平面交 于，则,过作平面 交于，则,故, 又不属于平面，又属于平面，所以,而,故,故,C正确； 对于D，与可能平行，故D错误. 故选：C 5. 已知数列 满足，，(，，)，则“ ”是“数列 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立. 【详解】当 时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立； ，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立， 综上，“ ”是“数列为等差数列”的充分不必要条件， 故选A 【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题. 6. Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是单调减函数 B. C. 函数的最大值是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断单调性即可；对于B：根据指数幂运算求解即可；对于C：利用基本不等式运算求解即可；对于D：可证，进而可得结果. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数在定义域内单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最大值是，故C错误； 对于选项D：因为， 所以，故D错误； 故选：B. 7. 已知函数，则此函数的所有零点的和为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数与图象的图象，它们交点横坐标即为 的零点，由图象及对称性可得结论． 【详解】由题意 的零点个数，即为函数与图象交点个数， 函数的图象关于直线对称，函数是周期为4的周期函数，且图象也关于直线对称， 作出它们的图象，如图， 函数的最大值是2，，因此由图象可得它们在直线右侧有三个交点，总共6个交点， 所以 的所有零点的和为， 故选：D． 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，设，而，再结合组合计数问题求解. 【详解】依题意，，设，而， 则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给， 所以满足条件的的个数为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于 ，对任意的，存在，使得，故 正确； 对于，集合中元素绝对值的最小值为1， 易知当时，不存在使得成立，故错误； 对于，集合，对于任意的存在，使得成立，故C正确； 对于，集合，当时，， 易知当时不存在使得成立，故错误； 故选：AC 10. 在平面直角坐标系内，动点 到定点的距离与 到定直线的距离的和为4．记动点 的轨迹为曲线 ，给出下列四个结论正确的是（ ） A. 曲线 过原点 B. 曲线 是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 曲线 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线 围成区域的面积大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案. 【详解】设，则， 到直线l的距离， 由题意可知，， ，， 当时，， 则； 当时，，则，，. 可作图如下： 由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A正确，B错误； 曲线 经过4个点，没有其它整点，故C正确； 由，，， 四边形的面积，， ， 多边形的面积 曲线W围成区域的面积大于，故D正确. 故选：ACD. 11. 在四棱锥 中，， ，，，， 是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点 在半径为的球面上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，取的中点，连接、 ，证明四边形为梯形，结合线面平行担的性质，即可判断；对于B，设 的中点为 ，连接、 、 ，求出点的轨迹，即可判断；对于C，，求出的范围即可判断；对于D，设 的中点为，连接 ，求出 的长度即可判断. 【详解】对于A选项，取线段的中点，连接 、， 因为 、分别为、的中点，则且， 因为，则，则、、 、四点共面， 若 平面 ，且平面，平面平面，则， 事实上，因为，且，故四边形为梯形，则、不平行， 故假设不成立，即与平面 不平行，A错； 对于B选项，取 的中点 ，连接 、、，如下图所示： 由题意四边形 为直角梯形， ，，，， 则 为等腰直角三角形，则，则， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以点在以 为球心，为半径的球面上运动（不过平面 ）， 则，所以，的长可能为，B对； 对于C选项，因为， ， 因为、不共线，所以， 所以，故C正确； 对于D选项，设 的中点为，连接 ， 因为 、分别为、 的中点，则， 所以点 在以为球心，为半径的球面上运动，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行； （2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用两角差余弦公式及同角三角函数关系得出，再应用二倍角余弦公式及弦化切计算求解. 【详解】因为， 所以，则， 则. 故答案为：. 13. 在现代通信技术中，信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内，两个信号基站分别在双曲线的左､右焦点处，信号发射源在双曲线上，信号中转装置被安置在以基站为圆心，为半径的圆上.若从基站到发射源的信号传输路径与从发射源到中转装置的信号传输路径相互垂直，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到，由双曲线的定义，求得，在直角中，利用勾股定理，得到，转化为，即可求解. 【详解】如图所示，因为信号中转装置被安置在以基站为圆心，为半径的圆上， 可得，因为，所以三点共线，且， 由双曲线的定义，可得，所以， 在直角中，可得，即， 整理得，即， 两边同除以，可得，解得， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查函数的对称性以及数列的性质．先分析函数 和的对称性，确定它们图象的交点关于直线对称，再根据数列的定义，结合交点的对称性求出数列的所有项之和． 【详解】对于函数，其图象关于直线对称． 对于函数， 令，解得， ∴的图象关于直线对称． ∵ 与的图象都关于直线对称， ∴它们图象的交点也关于直线对称． 已知，设交点关于直线的对称点为， 则，即， 那么． 由于函数 与图象的交点关于直线对称， ∴数列的项两两配对，每对的和都为0， 因此数列的所有项之和为0． 故答案为：0． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且这样的有两解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理化角为边，再根据余弦定理求角； （2）先根据正弦定理得，再根据角范围以及正弦函数图象性质得的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 因为这样的有两解，即关于的三角方程在时有两解， 所以，所以． 16. 在四棱锥中，底面 是直角梯形，，，平面 平面 . （1）若，求四棱锥的体积； （2）若直线与所成的角为，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形性质和面面垂直的性质定理确定高线，再在 中运用勾股定理算出高，并求出梯形 的面积，最后再代入锥体体积公式，求得四棱锥的体积即可； （2）先建立空间直角坐标系，并由异面直线夹角公式求出参数 ，再利用法向量与平面内两条向量 垂直的性质，列出方程组并求解，得到法向量，最后求出线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 取的中点，连接. 由于，故， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以平面 ，则 ， 因为 ，底面 是直角梯形，得， 又，所以. 故四棱锥的体积为. 【小问2详解】 取 的中点，连接，则，由（1）知，平面 ， 以为原点所在直线分别为轴建系，如图，则 ， 设，则， 因为直线与所成的角为， 所以，得， . 设平面 的法向量为， 则即得 令，得， 因为， ， ， 所以， 故直线与平面 所成角的正弦值为. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件 ， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件 ， 则，，， 的可能取值为 ， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知函数. （1）若函数在上不单调，求实数a的取值范围； （2）求函数在上的最大值； （3）若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值；（3）对化简变形，构造函数，则问题转化为在上有解，利用导数求出函数的最小值，列不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当 时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当 时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知： 当 时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当 时，若，即， 在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为 时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. 【小问3详解】 因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以 ， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得 . 所以实数a的取值范围是. 19. 我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式. 【答案】（1）； （2） 证明：， 由矩阵乘法的定义，得 ； ∵，∴， 化简得 . ∵，∴，即 . （3） ，. 【解析】 【分析】（1）根据矩阵乘法的定义计算即可. （2）根据矩阵乘法的定义和已知条件证明即可. （3）根据矩阵乘法的定义列出，然后得到等式，结合已知条件得出数列 是首项和公比均为 的等比数列 ，数列 是首项和公比均为 的等比数列，然后根据等比数列的通项公式求出结果即可. 【小问1详解】 解：，， 由矩阵乘法的定义，得 ； . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ∴ ①， ② ，① ②，得 . ∵，∴，∴ ， ∴，∴ 数列 是首项和公比均为 的等比数列 . 同理，数列 是首项和公比均为 的等比数列. ∴，. 解得 ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了 分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 3. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列 满足，，(，，)，则“ ”是“数列 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是单调减函数 B. C. 函数的最大值是 D. 7. 已知函数，则此函数的所有零点的和为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的 的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线 ，给出下列四个结论正确的是（ ） A. 曲线 过原点 B. 曲线 是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 曲线 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线 围成区域的面积大于 11. 在四棱锥 中，， ，， ，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点在半径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知满足，则________． 13. 在现代通信技术中，信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内，两个信号基站分别在双曲线的左､右焦点处，信号发射源在双曲线上，信号中转装置被安置在以基站为圆心，为半径的圆上.若从基站到发射源的信号传输路径与从发射源到中转装置的信号传输路径相互垂直，且，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且这样的有两解，求的取值范围． 16. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面 平面. （1）若，求四棱锥的体积； （2）若直线与所成的角为，求直线与平面 所成角的正弦值. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量 ，求 的分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）若函数在上不单调，求实数a的取值范围； （2）求函数在上的最大值； （3）若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 19. 我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $