精品解析：湖北省荆州市2025-2026学年高三上学期9月起点考试数学试题

荆州市2026届高三（9月）起点考试 数学试卷 命题人：陈子俊 何绪兆 徐勤丰 审题人：朱中文 朱代文 张永波 黄蓉 2025.9 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知正方形的边长为1，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 16 B. 16或 C. 32 D. 32或 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的众数是70 B. 这组数据的中位数是70 C. 这组数据的平均数小于70 D. 这组数据的平均数大于70 10. 已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确有（ ） A. 是在定义域上增函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象位于两条直线，之间 11. 圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有（ ） A. 圆柱体表面积为 B. 圆柱体夹在截面与下底面之间部分体积为 C. 圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为 D. 截面椭圆的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 13. 双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______． 14. 在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 16. 在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）若，讨论函数在上的单调性； （2）若，当时，恒成立，求的最大值． 18. 在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． （1）求队全胜夺冠的概率； （2）设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 19. 已知焦点在轴上的椭圆，点，是椭圆上的两点，且位于轴上方，为轴上一点，为坐标原点． （1）当点在轴上，，且的面积为时，求椭圆的离心率； （2）若点在第一象限，，分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线，分别与轴和轴交于点，．记，的面积分别为、，若为定值2，求椭圆的标准方程； （3）对于（2）所求的椭圆，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州市2026届高三（9月）起点考试 数学试卷 命题人：陈子俊 何绪兆 徐勤丰 审题人：朱中文 朱代文 张永波 黄蓉 2025.9 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出及其模. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：D 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的概念及充分条件、必要条件的定义可求解. 【详解】因为，， 若，可能为，推不出， 当时，，即， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 3. 已知正方形的边长为1，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底表示出，根据向量数量积运算，求得表达式的值. 【详解】，， . 故选：A. 4. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 16 B. 16或 C. 32 D. 32或 【答案】B 【解析】 【分析】求出公比后可求的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，故， 故， 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式与同角的三角函数关系求出的值，再由两角和的正弦公式求解即得. 【详解】由题意， ， 所以. 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同时平方判断的大小关系，利用函数在上的单调性比较的大小关系，从而得到答案. 【详解】因为，，且， 所以，即， ， 设函数，则，当时，， 所以在上单调递减，所以，当时，，即， 当时，得，所以，即， 综上，， 故选：A. 7. 一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可设三角形的三边长为，不妨设，由此结合三角形为锐角三角形可求出之间的关系，即可得，结合换元法求解，即可求得答案. 【详解】由题意可设三角形的三边长为，不妨设， 由于三边长成等差数列，故， 由于三角形中，需满足，（恒成立）， 结合，则，得； 又三角形为锐角三角形，需满足， 即，即， 即，结合，可得； 又 令，则，故， 由于在时单调递增，故在上单调递增， 故当时，取最小值， 当时，， 故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是. 故选：D 8. 若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围，得到符合条件的点的区域，进而得到面积. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦， 由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长， 因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（ ） A. 这组数据的众数是70 B. 这组数据的中位数是70 C. 这组数据的平均数小于70 D. 这组数据的平均数大于70 【答案】AD 【解析】 【分析】由数据的数字特征逐一判断即可求解． 【详解】对于选项A，这组数据中出现次数最多的数是70，所以这组数据的众数是70，故A正确； 对于选项B，这组数据的中位数是，故B错误； 对于选项C，D，这组数据的平均数是，故C错误；D正确． 故选：AD． 10. 已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 是在定义域上的增函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象位于两条直线，之间 【答案】ACD 【解析】 【分析】据正态分布的性质，对函数的单调性、对称性以及值域进行分析判断. 【详解】已知，随着的增大，这个事件发生的概率是增大的，即是在定义域上的增函数，所以A选项正确； 若函数的图象关于直线对称，则； ，， 由正态分布的性质可知， 所以的图象不关于直线对称，B选项错误； 因为正态分布曲线关于对称， 所以，且，即， 所以的图象关于点对称，C选项正确； 由于概率的取值范围是，所以的图象位于两条直线，之间，D选项正确； 故选：ACD. 11. 圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有（ ） A. 圆柱体的表面积为 B. 圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为 C. 圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为 D. 截面椭圆的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据公式可求圆柱的体积，故可判断A的正误，利用对称性可求圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积或面积，故可判断BC的正误，求出椭圆的长轴长和短轴长后可求半焦距，故可求离心率，从而可判断D的正误. 【详解】对于A，圆柱的表面积为，故A错误； 对于B，如图，设圆柱的上下底面的圆的圆心分别为， 设题设中与圆柱底面成45°角的平面为，记截面的最低点为， 设在轴截面的边上，过作平行于底面的截面，交于， 则且，故， 故圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为， 故B正确； 对于C，圆柱体夹在截面与下底面之间部分的面积为， 故C正确； 对于D，由B中可得椭圆的长轴长为，而短轴长为， 故椭圆的半焦距为，故离心率为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，代入即可求值. 【详解】因为，. 故答案为：. 13. 双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，抛物线准线方程，再求出准线与渐近线交点坐标，即可得解. 【详解】由双曲线可知，即， 所以两条渐近线方程为， 又抛物线的准线方程为， 所以准线与渐近线的交点为， 所以三角形面积为， 故答案为：2 14. 在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出总取法，再分正方体的个面，个中间平面，个对角面和8个斜切面四种情况讨论，求出四点共面的取法，再利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从个点中取4个点，共有种取法， 四点共面分下面四种情况： ①正方体的个面：每个面包含个顶点和个中心点，此时共有种； ②个中间平面：每个平面包含个点，此时共有种； ③个对角面：每个对角面包含个顶点和个中心点，此时共有种； ④8个斜切面（三条面对角线形成的）：每个面包含3个顶点和3个中心点，此时共有种； 所以四个点不共面共有种， 所以所求概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 16. 长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形和四边形都为平行四边形，从而可得出，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数，． （1）若，讨论函数在上的单调性； （2）若，当时，恒成立，求的最大值． 【答案】（1）单调递增； （2）3. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，结合已知区间及正弦函数的有界性确定导数正负判断单调性. （2）根据给定条件，等价变形不等式并分离参数，构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令函数，求导得， 则函数在上单调递增，，即，当且仅当时取等号， 当时，，所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 而，则，函数在上单调递增， 则，， 函数在上单调递增，，则， 而，即，因此，又， 所以的最大值为3. 18. 在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． （1）求队全胜夺冠的概率； （2）设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）由题意可知队参加三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率； （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望． 【小问1详解】 由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜， 所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜， 所以队全胜夺冠的概率为． 【小问2详解】 依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5， 若，即队在第一轮，第二轮均失败， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为； ②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为， 所以， 所以的分布列为： 2 3 4 5 故的数学期望为． 19. 已知焦点在轴上的椭圆，点，是椭圆上的两点，且位于轴上方，为轴上一点，为坐标原点． （1）当点在轴上，，且的面积为时，求椭圆的离心率； （2）若点在第一象限，，分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线，分别与轴和轴交于点，．记，的面积分别为、，若为定值2，求椭圆的标准方程； （3）对于（2）所求的椭圆，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存， 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出，即可求得答案； （2）设，求出的坐标，即可求出的表达式，继而求出b，即得答案； （3）假设存在，设直线PQ的方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系，继而结合是以为直角顶点的等腰直角三角形，可利用向量数量积等于0，可得参数的关系，结合判别式大于0，即可求得参数范围，即得结论. 【小问1详解】 由题意知， 由的面积为，得，则， 而，故， 所以椭圆的离心率为； 【小问2详解】 设，由题意知， 则直线的方程为：，令，则， 即得， 直线的方程为：，令，则， 即得， 故， 即，即得， 则， 又，故， 即， 故椭圆的标准方程为； 【小问3详解】 假设存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，设， 联立，得， 由，得， 则， ， 故且，故， 当时，且，则， 此时，满足题意； 当时，的中点为，又， 故，则， 则， 则， 即， 结合，则， 则，故， 故; 综合上述可知存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $