专题03 全等三角形的辅助线问题（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形辅助线5大核心题型，以高频模型（倍长中线、旋转）为重点，通过“题型-方法-典例”架构系统构建辅助线添加策略，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连接两点构造全等|3题|利用中点等条件构造全等三角形|从基础构造入手，建立全等证明意识| |倍长中线模型|5题|遇中线/中点延长中线构造全等|高频模型，强化转化思想与推理能力| |旋转模型|5题|通过旋转构全等，解决含特殊角问题|深化空间观念，提升复杂图形分析能力| |垂线模型|4题|利用垂直条件证全等，转化线段关系|结合直角特征，培养几何直观| |证线段和差|4题|截长补短法构造全等，证线段关系|综合应用前序方法，提升知识迁移能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形的辅助线问题 内容概览 目常考题型精推突破 考点一全等三角形的辅助线问题 题型1连接两点构造全等三角形 题型2倍长中线模型（高频） 题型3旋转模型（高频） 题型4垂线模型 题型5证一条线段等于两条线段和差 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 。考点一全等三角形的辅助线问题·一 ◆题型1连接两点构造全等三角形 1.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出 CD的长，就能求出工件内槽的宽AB的长，依据是 D 【答案】全等三角形的对应边相等 【详解】解：连接AB,CD,如图， 点O分别是AC、BD的中点， 1/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OA=OC,OB=OD 在△AOB和△COD中， OA=OC,∠AOB=∠COD(对顶角相等)，OB=OD, ∴△AOB≌△COD(SAS). :CD=AB(全等三角形的对应边相等)· 故答案为：全等三角形的对应边相等。 2.已知△ABC中，AC=8,AB=V41,BC边上的高AG=5,D为线段AC上的动点，在BC上截取 CE=AD,连接AE,BD,则AE+BD的最小值为一· 【答案】13 【详解】如图，过点A作GC的平行线AF,并在AF上截取AH=AC,连接DH,BH. A H ▣ ■ B 则∠HAD=∠C AD=CE, 在 和 中， ∠HAD=∠C, △ADH△CEA AH=CA, .△ADH≌ACEA(SAS), .'DH=AE, .AE+BD=DH +BD, ∴当B,D,H三点共线时，DH+BD的值最小，即AE+BD的值最小，为BH的长 :AG⊥BG,AB=V41,AG=5, ∴，在Rt△ABG中，由勾股定理，得 2/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG=AR-G-(1)-5-4. 如图，过点H作HM⊥GC,交GC的延长线于点M,则四边形AGMH为长方形， .HM=AG=5,GM=AH=AC=8. ∴，在RtABMH中，由勾股定理，得 BH=VBM2+HM2=V(4+8)2+52=13. ∴.AE+BD的最小值为13 故答案为：13， 【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行 线的性质、勾股定理等知识.解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在Rt△ECD中，∠ECD=90°，BC=CD,∠BAC=∠DEC B 图1 图2 (1)求证：AB=DE; (2)连接AD,连接BE交AC于点F,若点F恰好是BE的中点，求证：AD=2CF 【答案】(1) 证明：：∠ACB=90°，∠ECD=90°， .∴∠ACB=∠ECD ∠ACB=∠ECD 在 和 中 ∠BAC=∠DEC, △ACB BC=CD .:△ACB≌AECD(AAS) .AB=DE: (2) 证明：过点E作EG‖CB交AC于点G,如图所示， 3/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G B 图2 ∴.∠EGC=∠ACB :F是BE的中点， :EF =BF, I∠EGF=∠ACB 在 和 中∠EFG=∠BFC, △EGF △BCF EF=BF ∴.△EGF≌△BCF(AAS). ∴EG=BC,GF=CF .:.GC=2CF, .DC=BC, ∴EG=CD, .EG∥CB .∠GEC+∠BCE=180°. :∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°， ∠ECD=90°. ∴.∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=I8O°， ∠GEC=∠ACD, △ACB≌△ECD. :.AC=EC, EG=CD 在 和 中∠GEC=∠ACD △GEC△DCA EC=AC ∴.△GEC≌△DCA(SAS) ∴GC=AD, GC =2CF, ∴AD=2CF. 【详解】(1)略 4/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 4,数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时， 可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题. (1)【问题初探】如图1：在△ABC中，AB=2,AC=6,AD为BC边上的中线，则AD的取值范围为 D 图1 (2)【类比分析】如图2：在△ABC中，∠B=90,AB=7,AD是△ABC的中线，CE⊥BC于点C,CE=1Ⅱ 且∠ADE=90°.求AE的长度. E B D 图2 【答案】(1)2<AD<4: (2)18 【详解】(1)解：如下图所示，延长AD到点E使DE=AD, :AD是BC边上的中线， .BD=CD. AD=ED 和 中∠ADC=∠EDC, ADC AEDB CD=BD 5/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ADC2AEDB」 在△ABE中，AC-AB<AE<AB+AC, .6-2<AE<6+2, .4<AE<8」 AD=ED, .AE=2AD, .4<2AD<8, .2<AD<4: (2)解：如下图所示，延长AD交EC的延长线于点F, E 0 :AD是△ABC的中线， ∴BD=CD, CE⊥DC, ∴.∠ECD=∠FCD=90°， [∠B=∠FCD=90° 在 和 中BD=CD △ABD △FCD∠ADB=∠FDC .∴△ABD≌△FCD」 .FC=AB=7,AD=FD, ∠ADE=90°， .∠FDE=90°， AD=FD 在 和 中 ∠ADE=∠FDE, △ADE△FDE DE=DE ∴.△ADE≌AFDE, .AE=FE, 6/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FE=EC+FC=EC+AB=7+11=18. ∴.AE=18 ◆题型2倍长中线模型 5.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE,CE.BD平分∠ABE, CEI‖AB,若CE=3，,BE=8,则AB的长为() B A.8 B.10 c.11 D.12 【答案】C 【详解】解：连接ED并延长，交AB于点F, F CE ll AB ∴∠A=∠DCE, ,点D为AC的中点， .AD=CD 在△ADF和△CDE中， ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE .aADF≌aCDE(ASA). .AF=CE=3,DF=DE, 7/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， BD=GD ∠BDF=∠GDE DF=DE .△BDF≌aGDE(SAS), .BF=GE,∠FBD=∠G, :BD平分∠ABE, ,∠FBD=∠EBD, ∴.∠G=∠EBD. ∴BE=GE,BF=BE=8, .AB=AF+BF=3+8=11 6.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连 接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 B 【答案】I<AD<7 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE, ,点D是BC的中点， .BD=DC, 又：∠ADB=∠EDC, ÷.△ABD≌aECD(SAS), .AB=CE=8」 ·.CE-AC<AE<AC+CE, 即2<AE<14, .1<AD<7, 8/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E,连接CE交AD于点F,若AB=CF,∠ACE=I6°， ∠CAD=30°，则∠AEF的度数为 D 【答案】88 【详解】解：延长AD至点G,使得DG=AD,连接CG, G :AD是△ABC的中线， ..CD=DB ,AB=CF,∠ADB=∠GDC, ·.△ADB≌aGDC(SAS), ∴.AB=CG,∠G=∠FAE, AB=CF ..CG=CF, ∴.∠CFG=∠G ·.∠CFG=∠G=∠AFE=∠FAE, .∠ACE=16°，∠CAD=30° .∠AFE=180°-∠AFC=180°-(180°-∠CAD-∠ACE)=46° :.∠AEF=180°-∠FAE-∠AFE=180°-46°×2=88° 8.八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧. 9154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【初步探索】 如图1，在△ABC中，若AB=4,BC=2,求AC边上的中线BD的取值范围 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E,使DE=BD,然后连接CE,利用三角形全等将边 AB转化到CE,最后在△DEC中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围， (1)在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是一；若线段BD的长度为整数，则 BD=: 【灵活应用】 (2)如图2，BD是△ABC的中线，延长DB到点E,连接AE,使AE=BC,求证：∠AEB=∠DBC: 【拓展提升】 (3)如图3，在△ABC中，分别以AB,BC作等腰直角三角形△ABM和△BCN,其中∠ABM=∠CBN=90 连接MN,点D是MN的中点，连接DB,延长DB与AC相交于点H,BD=6,BH=2.试判断BD与 AC的数量关系，并求出△ABC的面积. 【答案】(1)SAS,2: (2)证明：如图：延长BD到点F,使DF=BD,连接AF, 是 的中线， B C 图2 BD△ABC .'AD=CD 在△ADF和△CDB中， AD=CD ∠ADF=∠CDB DB=DF △ADF≌aCDB(SAS) 10/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=BC,∠DBC=∠F .AE=BC, ∴.AF=AE, ∴.∠F=∠AEB, 又，∠DBC=∠F, .∠AEB=∠DBC (3)AC=2BD,△ABC的面积为12 【详解】解：(1)如图1：先延长BD至点E,使DE=BD,连接CE, ,BD是边AC上的中线， .AD=CD :DE=BD,∠ADB=∠EDC, ·.△ADB≌△CDE(SAS), .CE=AB=4. 在△BCE中，CE-BC<BE<CE+BC, ∴2<BE<6,即2<2BD<6, 1<BD<3, ,线段BD的长度为整数， BD=2」 故答案为：SAS,2. (2)略 (3)如图3：延长BD到点B,使DE=BD=6,连接ME, M 图3 ,点D是MN的中点， ..MD ND 11/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BDN和△EDM中， BD=DE ∠BDN=∠EDM MD=ND .△BDN≌aEDM(SAS) ∴.BN=EM,∠DME=∠DNB, .BN∥EM :△BCN是等腰直角三角形， ∴∠CBN=90°，BN=BC,∠BCN=45°， ∴.EM=BC. ,∠ABM=90° ∴.∠ABC+∠MBN=180° 又BN∥EM, ∴.∠MBN+∠BME=180°. ∴.∠ABC=∠BME 在△ABC和△BME中， AB=BM ∠ABC=∠BME BC=EM .△ABC≌△BME(SAS) ∴.AC=BE,∠MBE=LCAB. .BE =2BD. ∴.AC=2BD BD=6, .AC=2×6=12 ∠ABM=90°， ∴.∠MBE+∠ABH=90° .∠CAB+∠ABH=90°. .∠AHB=90°， ÷AMBC的面积为54CBH=12x2=12 12/54 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3旋转模型 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，AC=V74,BC=2V0,CD=6,则BD= B D 【答案】213 【详解】解：作AE⊥AC,AE=AC,连接EC,延长EB交CD于点F B D :AE⊥AC,∠BAD=90° .∠BAE=∠DAC AE=AC,AB=AD △ABE≌AADC, :.BE=CD=6,∠AEB=∠ACD ,1=∠2， ÷.∠CFB=∠CAE=90°， 在RtAAEC中，EC=V2AE=237」 在Rt△BCF中，RtECF中，有(237°-(6+BF=(2IO'-BF2, 解得：BF=6,CF=2,FD=4, ∴.在Rt△BDF中，BD=V36+16=2√3， 13/54 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2V13 10.如图所示，O是等腰直角△ABC(∠ABC=90)内一点，连接0A、OB、0C,当0A=3,OB=4, OC=√41时，求∠AOB的度数，并说明理由， ○ B 【答案】135°，理由如下： ,△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°， .AB=BC. 如图，将△BAO绕点B顺时针旋转得到△BCD,连接OD, D 可得∠OBD=∠ABC=90°，B0=BD=4,CD=AO=3, ∴.aOBD为等腰直角三角形， ∴OD=V0B2+BD2=4v2, :A0=CD=3,OC=V41, .CD2+0D2=0C2, ∴.aOCD为直角三角形，△∠ODC=90°， ∴.∠AOB=∠BDC=∠BD0+∠ODC=45°+90°=135° 【详解】解：略 11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC」 14/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A B 图1 图2 图3 (I)点D是△ABC内部一点，CD⊥CE且CD=CE, ①如图1，求证：△ACD≌△BCE ②如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积： (2)如图3，点M是△ABC外一点，且∠AMC=45°，若△ABM的面积为8，求AM的长. 【答案】(1)①证明：∠ACB=90°，CD⊥CE, ∴.∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACD+∠DCB=90°，∠BCE+∠DCB=90°， .∠ACD=∠BCE」 AC=BC,CD=CE, .△ACD≌ABCE ②30 (2)4 【详解】(1)①证明：略. ②解：CD=CE,CE⊥CD, .∠CDE=∠CED=45°， ∴.∠ADC=180°-45°=135°， 由①△ACD≌aBCE可得∠ADC=LBEC=135°，AD=BE=5, .∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， ∴△ABE为直角三角形， AD=5,DE=7, ∴.AE=AD+DE=5+7=12 BE=5, Sm=4B-8E=x12x5=30. 2 (2)解：将△MCA绕点C逆时针旋转9O°使AC和BC重合，得到△BCP,如图所示， 15/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P :.MC=CP∠MCP=∠ACB=90°∠CPB=45°MA=PB :∴△MCP为等腰直角三角形， .∠CMP=∠MPC=45°， :∠CMA=45° .∠CMP=∠CMA=45° ∴.P在线段MA的延长线上， ∠CPB=45°， .∠MPB=∠MPC+∠CPB=45°+45°=90°， .BP⊥MP S.ABM =8,MA=PB, .AM=4. 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断 M,A,P三点共线，巧妙将AM边上的高PB转化为AM. 12.【问题发现】(1)如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD=90°，AC=CD,B、C、E三点 在同一直线上，AB=3,ED=4,则BE= 【问题提出】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90,AB=4,BC=2,过点C作CD⊥AC,且CD=AC, 求BD 【问题解决】(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD面积为12且CD的长 为6，求BD的长. 16154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 【答案】(1)7；(2)2W10:(3)226 【详解】解：(1)：∠ACD=∠E=90°， ∠ACB=90°-∠DCE=∠D, 在△ABC和△CED中， ∠B=∠E ∠ACB=∠D AC=CD ·.△ABC≌aCED(AAS), .AB=CE=3,BC=ED=4. ∴BE=BC+CE=T: 故答案为：7； (2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E,如图： D DE⊥BC,CD⊥AC, .∠E=∠ACD=90° ·.∠ACB=90°-∠DCE=∠CDE, 在△ABC和△CED中， ∠ABC=∠E ∠ACB=∠CDE AC=CD ÷.△ABC≌aCED(AAS). ∴BC=ED=2,AB=CE=4, 17/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=BC+CE=2+4=6. ∴在Rt△BED中，BD=VBE2+DE2=V6+2=2V10: (3)过A作AE⊥CD于E,过B作BF⊥CD交DC延长线于F,如图： 70 :△ACD面积为12且CD的长为6， ×6·AE=12. .2 .AE=4, .∠ADC=45°，AE⊥CD. ∴.△ADE是等腰直角三角形， ∴.DE=AE=4, .'CE =CD-DE=2. ,∠ABC=∠CAB=45°， .∠ACB=90°，AC=BC, .∠ACE=90°-∠BCF=∠CBF, 在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠F ∠ACE=∠CBF AC=BC ·.△ACE≌aCBF(AAS). ..BF=CE=2,CF=AE=4. .DF=CF+CD=4+6=10. ∴.在Rt△BFD中，BD=VBF2+DF2=V22+102=226 ◆题型4垂线模型 13.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°，则四边 形AFBE的面积为() 18/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B队 E A.6 B.7 C.12 D.20 【答案】C 【详解】解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI⊥AB,EG⊥AB,交直线AB于点M,H,L,G, M D 2 Gh- BL E 46 ----H .∠M=∠AGE=∠FHB=∠I=90°， ,∠DAE=∠CBF=90°， .∠1=∠2=90°-∠3，∠4=∠5=90°-∠6， AD=AE,BF=BC. .△AGE≌aDMA(AAS),aFHB≌aBIC(AAS). .AM=EG,FH=BI, 设AM=EG=xFH=BI=y, .MI=AM+AB+BI=x+4+y, :ABICD,DM⊥AB,CI⊥AB, .CD=M0=4+x+y=10】 .x+y=6, 19/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形AFBE的面积=S△Mr+S△Ms, 四边形AFBE的面积=4BxFH+4B×EG =1 AB(FH+EG) 2 1 =5×4×(x+y) 2 _1x4×6 =12, 故选：C 14.已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一点，过点B作BG⊥直线AD于点G, 过点C作CF⊥直线AD于点F. B4 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 【答案】 5 16或4/4或16 【详解】解：(1)：BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， ∠BAC=90°， 、.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG. AB=AC ·.△AFC≌aBGA(AAS), ·BG=AF=7,CF=AG=2, GF=AF-AG=7-2=5, 故答案为：5： (2)当点D线段BC延长线上时， 20/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G ,BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, ·.∠AFC=∠BGA=90° ∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC .△AFC≌aBGA(AAS)」 ..AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4: 当点D线段BC上时， C GD B A ,BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, ∠AFC=∠BGA=90°， ∠BAC=90°， ∴∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC .△AFC≌aBGA(AAS). ..AF=BG=6,AG=CF=FG+AF=10+6=16: 当点D线段CB延长线上时， 21/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90° ,∠BAC=90°， ∴.∠ABG=∠CAF=90°-LBAG, .AB=AC ·.△AFC≌△BGA(AAS), ...AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4. 过点A作BC平行线，再过点C作平行线的垂线，垂足为H, :AB=AC,∠BAC=90°，AH∥BC, ∴.∠ACB=∠CAH=45°， .∠CAF>45,∠ACF<45°， .CF>AF, 故点D线段CB延长线上不成立，舍， 综上：CF=16或CF=4, 故答案为：16或4. 15.【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂 足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: D A C 【变式探究】 E E D B GC 图1 图2 图3 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,求证：ED=BD+CE； 22/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长 GA交DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由， 【答案】 (1)证明：：BD⊥直线L,CE⊥直线l, ∴BDA=∠AEC=90°， ∴.∠DAB+∠DBA=90° ,∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90° ∴.∠DBA=∠EAC 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC .:△ABD≌aCAE(AAS): (2)证明：：'∠EAB是△ABD的外角， ∴.LEAB=LADB+∠DBA ∴.LEAC+LBAC=∠ADB+∠DBA, ,∠ADB=∠BAC, .∠EAC=∠DBA. 在△EAC和△DBA中， [∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB AC=AB .△EAC≌aDBA(AAS) ∴.CE=AD,EA=BD .'ED=EA+AD=BD+CE: (3)S,S2大小关系是：S=S,理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： 23/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B ,AG⊥BC, .∠AGB=∠M=90° ∴.∠ABG+∠BAG=90° .∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAM=90°. ∴∠ABG=∠DAM 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌aDAM(AAS) ∴，AG=DM: 同理可证明： △AGC≌AENA .'.AG=EN .DM=EN」 DME 1 S=S2」 【详解】略 16.【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板 如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相应的问 题. 241/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B d B E 图1 图2 图3 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM1DF,垂足 为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N (1)图1中，AM=3,CW=8,求MN的长，请补充小明的过程. ∠ABC=90°， ∴.∠ABM+∠CBN=90°」 .AM⊥DF,CN⊥DF, .∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∴.∠ABM+∠BAM=90° ∴.∠BAM=∠CBN, (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE, 垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=8,BE=2, 连接CE,请求出△ACE的面积. 【答案】(1) 解：∠ABC=90°， ∴.∠ABM+∠CBN=90° ,AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90° .∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠CBN, :∠BAM=∠CBN,∠AMB=∠CNB=90°，AB=BC, .△ABM≌aBCN(AAS): ∴.AM=BN,BM=CN. AM=3,CN=8. .MN=MB+BN =CN+AM=11: 25/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 解：结论：PE=PC-AE,理由如下： ∠ABC=90° ∴∠ABE+∠CBE=90°， CP⊥BE, .∠CPB=90°， ∴.∠BCP+∠CBP=90° .∠ABE=∠BCP, ∠AEB=90°， ∴.∠AEB=∠CPB=90°， .AB=BC. .△ABE≌△BCP ∴.AE=BP,BE=CP BE=BP+PE, :PE=BE-BP=PC-AE: (3)24 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：延长FE,过点C作CP⊥FE于P,如图所示： D P B :∠ABE+∠EBC=90°∠ABE+∠BAE=90° ∴.∠EBC=∠BAE, ·∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC, ÷.△ABE≌aBCP(AAS), ∴.PC=BE=2,PB=AE=8, ∴.PE=PB-BE=8-2=6, 延长AE,过点C作CF⊥AE于F,如图所标： 26/54 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P B U AF⊥PE,CP⊥PE ∴.AF∥CP AF⊥PE,CF⊥AF, .PE∥CF, 由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=6, a墨=)×AE×CF=)×8×6=24 ◆题型5证一条线段等于两条线段和差 17.如图，ADI BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， D B (1)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长. 【答案】(1) 解：DE⊥CE,理由如下： :DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， ∴.∠ADC=2∠EDC,∠BCD=2∠DCE ADI BC .∠ADC+∠BCD=180°. :.2∠EDC+2∠DCE=180° ∴.∠EDC+∠DCE=90°， .∠DEC=90°， DE⊥CE: 27/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (25 【详解】(1)略 (2)解：如图，在DC上截取DF=AD=3,连接EF, D 分别是 的角平分线， B .DE、CE ∠ADC∠BCD ∴.∠EDC=∠ADE,∠DCE=∠BCE. 在△ADE和△FDE中， AD=FD ∠ADE=∠FDE」 DE=DE ∴△ADE≌2aFDE(SAS). ∴.∠A=∠DFE, ADI BC .∠A+∠B=180°， :∠DFE+∠CFE=180°， ∴.∠B=∠CFE, 在aBCE和△FCE中， I∠BCE=∠FCE ∠B=∠EFC CE=CE ∴△BCE≌△FCE(AAS). :.BC=CF=2, ∴.CD=CF+DF=2+3=5 18.如图，AB川CD,点E,F在线段AD上，且AE=DF,连接BF、CE,若∠B=∠C 证明：BF∥CE且BF=CE.请将以下推导过程补充完成. 证明：AB‖CD ① AE=DF,. 28/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AE+EF=②，即AF=DE. 在△ABF和△DCE中， í③ {∠A=∠D AF=DE .△ABF≌△DCE(④_)： ∴.BF=CE,∠AFB=∠DEC ∴.BF∥CE(⑤-) B 【答案】①∠A=∠D,②DF+EF,③∠B=∠C,④AAS,⑤内错角相等，两直线平行. 【详解】证明：AB‖CD, .∠A=∠D .AE=DF, ∴.AE+EF=DF+EF,即AF=DE. 在△ABF和△DCE中， 「∠B=∠C .·∠A=∠D AF=DE :.△ABF≌△DCE(AAS): ∴.BF=CE,∠AFB=∠DEC .BF∥CE(内错角相等，两直线平行) 故答案为：①LA=∠D,②DF+EF,③∠B=∠C,④AAS,⑤内错角相等，两直线平行. 19.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90,E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G, 使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由： 29/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD 的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. G D E B E 图1 图2 图3 【答案】(1)∠BAD=2∠EAF: （2)∠EAF=)∠BAD,理由如下： 2 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G D 在 和 中， B女 3 △ABE △ADG (AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG △ABE≌△ADG(SAS), ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG EF BE+DF,DG=BE, ..EF=BE+DF=DG+DF =GF, .AF=AF, :∴.△AEF≌△AGF(SSS). ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF .∠BAE+∠FAD=∠EAF, :.∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF: 30/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)∠BMF=180°-)∠DAB,理由如下 2 如图，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G E .∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180° .∠ADC=∠ABE, 又：AB=AD, .·AADG2AABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE :EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴△AEF≌△AGF(SSS). ∴.∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠FAG+LGAE=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°. ∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°」 即2∠FAE+∠DAB=360°， Bf=18o-DaB, ∴ 【详解】解：(1)∠BAD=2∠EAF；理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E 在△ABE和△ADG中， 31/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG AABE≌aADG(SAS) ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG. EF=BE+DF,DG=BE, ∴EF=BE+DF=DG+DF=GF, AF AF, ∴AAEF2aAGF(SSS), ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF .∠BAE+∠FAD=∠EAF, ·∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF; (2)略 (3)略 20.(1)如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a」 【积累经验】①如图1，当a=9O°时，直接写出线段DE,BD,CE之间的数量关系是 【类比迁移】②如图2，当0°<<180°时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展应用】 (2)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE，,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与 直线AF交于点G,G是DE的中点吗？请说明理由. E m A E m 图1 图2 图3 【答案】(1)①DE=BD+CE: ②问题①中结论DE=BD+CE仍然成立，理由如下： ∠BDA=∠BAC=∠AEC=a, ∴.∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-a, 32/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBA=∠EAC, 又：∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, :∴.△DBA≌aEAC(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, ..DE=AD+AE=BD+CE (2)G是DE的中点，理由如下： 如图，作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N, B BC⊥AF, :∠BFA=∠AMD=90°， ∠BAD=90° .∠DAM+∠BAF=∠BAF+∠ABF=90°， .∠ABF=∠DAM, 在△ABF与△DAM中， [∠BFA=∠AMD ∠ABF=∠DAM, AB=DA ·.△ABF≌aDAM(AAS). .AF=DM, ,BC⊥AF, .∠CFA=∠ANE=90°， ,LCAE=90°， .∠CAF+∠EAN=∠CAF+∠ACF=90°， .∠EAN=∠ACF, 在△ACF与△EAN中， [∠CFA=∠ANE ∠ACE=∠EAN AC=EA 33/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ACF2aEAW(AAS), .AF =EN, 又：AF=DM, .EN =DM, :DM⊥AF,EN⊥AF. ∴.∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中， ∠DMG=∠ENG ∠MGD=∠NGE DM=EN .△DMG≌aENG(AAS), .'.DG=EG, 点G是DE的中点， 【详解】解：(1)①：∠BDA=∠AEC=90°， ∴∠DBA+∠BAD=90°， .∠BAC=90°， ∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠DBA=LCAE, 在△ABD和△CAE中， ∠DBA=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=CA .:△ABD≌aCAE(AAS). .BD=AE,AD=CE. DE AD+AE, ∴.DE=BD+CE 故答案为：DE=BD+CE: ②略 (2)略 34/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接AD,过点A作AE⊥AD, 且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长度为() D A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 【答案】A 【详解】解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, B 则∠AGE=∠EGB=90°， ∴.∠EAG+∠AEG=90°， ,AE⊥AD, ∴∠EAD=90°， ∴.∠EAG+∠DAB=90°， ∴.∠AEG=∠DAB 又：∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, ∴.△AEG≌aDAB(AAS), ∴EG=AB,AG=BD=3.3, ..AB=BC, ∴EG=BC, 又：∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB, :△EFG≌aCFB(AAS), 35/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .GF=BF=2.5, ∴AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3 故选：A 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接CD,过D作DE⊥DC交AB于点E,F为 DE上一点且DF=DC,连接BF,N为BF中点，延长DN至点M,交BC于点G,使得∠ABM=∠ACD, 连接AM,AF,BM,下列结论：①MN=ND;②DM=V2AM;③∠BAM>∠CGD;④ 2AF+BF=DM:⑤若BM=2,AB=V0,AF=V2,则S四边形Am=4.其中正确的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【详解】解：：△ABC为等腰直角三角形， 、AB=AC,∠ACB=∠ABC=45°， CD⊥DE, .∠BAC=∠EDC=90°」 :∠CDE+∠DEA+∠BAC+∠ACD=360°， .∠ACD+∠AED=I80°， :∠ACD+∠BED=180°， ∴LBED=∠ACD, ∠ABM=∠ACD, ∴.∠ABM=∠BED, ∴.BM∥DE, ∴.∠BMD=∠EDM, N为BF中点， ∴BN=NF, 又：∠BNM=∠DNF, :.△BMN≌aFDN(AAS) MN=DN,BM=DF,故①正确： 36/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，连接AD,交BC于H,连接AN,CF, B 图1 .CD=DF .DC=BM, 又：AC=AB,∠ABM=∠ACD. ·.△ABM≌△ACD(SAS), .AM=AD,∠BAM=∠CAD ∠CAD+∠BAD=∠BAM+∠BAD=∠MAD=90° ∴△MAD是等腰直角三角形， ∴.MD=V2AM,∠AMD=∠ADM=45°，故②正确： ∴.∠ACB=∠ADM=45°. 又，∠AHC=∠GHD. .∠CAD=∠CGD .∠BAM=∠CGD,故③错误： aMAD是等腰直角三角形，MN=ND, .MD =2AN, 在△ANF中，AN<AF+FN, ∴.2AN<2AF+2FN, ∴.MD<2AF+BF,故④错误： BM=2=DF=CD, ∴.CF=V2CD=2W2, :AF2+CF2=2+8=10,AB2=10, .AF2+CF2 AB2, .∠AFC=90°， :Sw形m-S.m+Sc-)×22×2+)×2x2=4,故⑤正确， 1 故选：B 37/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定 理，三角形的三边关系等关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键， 二、填空题 3.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，己知AC=5,AD=2,则AB的取值范围为 A D 【答案】1<AB<9 【详解】解：如图，延长AD到E,使AD=DE,连接BE,则AE=2AD」 A B 'D 是 的中线， E :AD△ABC :BD=CD, △ADC和△EDB中， BD=CD ∠ADC=∠BDE AD=DE ∴.△ADC≌△EDB(SAS). ..EB=AC=5. AD=2, ∴.AE=2AD=4, 在△ABE中，5-4<AB<5+4, .1<AB<9 三、解答题 4.我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等.已知△ABC,AD是BC边上中线. 38/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图① 图② (1)若AB=8,AC=6,AD=5,则∠BAC=」 (2)如图①，若AB=5,AC=3,AD=3,求BC的长度. (3)如图②，若AB=6,AC=3,AD=4,求BC的长度. 【答案】(1)90° (2)4V2 3)V26 【详解】(I)解：延长AD至E,使得DE=AD=5,连接EB,如图所示： B D E ∴AE=ED+AD=10. :AD是BC边上的中线， .'BD=CD 在△BDE和△CDA中， ED=AD ∠BDE=∠CDA BD=CD .ABDE≌aCDA(SAS) .EB=AC=6,∠EBD=∠C, 在△ABE中，AB=8,BE=6,AE=10. :BE2+AB2=62+82=100,AE2=102=100, .'BE2+AB2=AE2, ∴△ABE是直角三角形，即∠ABE=90°， .∠ABC+∠EBD=90°， ∠C=∠EBD 39/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠C=90° .∠BAC=180°-（∠ABC+∠C)=90°： (2)解：如图，延长AD至T,使TD=AD=3,连接TB,过点B作BF⊥AT于点F,如图： D 图① ∴.AT=TD+AD=6,△ABF、△TBF和△BFD都是直角三角形， 设TF=a, .'.AF=AT-TF=6-a,DF=TD-TF=3-a, 同(1)证明：△BDT≌aCAD(SAS), .TB=AC=3】 在Rt△ABF中，由勾股定理可得：BF2=AB2-AF2=52-(6-a}, 在RtATBF中，由勾股定理可得：BF2=TB2-TF2=32-ad2, .52-(6-a2=32-a2, 5 解得：a=3, DF=3-a=含，Br2=3-G-5. ∴.BD=VBF2+DF2=2N2, :AD是BC边上的中线， .BC=2BD=42, 即BC的长度为4W2: (3)解：延长AD到K,使得KD=AD=4,连接KB,过点B作BH⊥AK于点H,如图： B D H .AK=KD+AD=8,△ABH,△KBH和△BDH都是直角三角形， 40154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设KH=x, .AH=AK-KH=8-x,DH=KD-KH=4-x. 同(1)证明：△BDK≌aCAD(SAS), .'KB=AC=3. 在Rt△ABH中，由勾股定理可得：BHI=AB2-AH=6-(8-x)}', 在RtAKBH中，由勾股定理可得：BH2=BK2-K=32-x2, .6-(8-x2=32-x2, 37 解得：x=6, 0H=4-x=0.8H=-r-28器 256, 在Rt△BDH中，由勾股定理可得：BD=VBH'+DH=26 2 :AD是BC边上的中线， .BC=2BD=26, 即BC的长度为V√26 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形中线的性质，熟练掌 握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 5.【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=I0,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： B B 图① 图② (1)由已知和作图能得到△ADC2aEDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 41/54 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和所求证的结论集中到同一个三角形之中， 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF.若EF=6,EC=4,求线段 BF的长 【答案】(1)B (2)2<AD<8 (3)BF=10 【详解】(1)解：：AD是BC边上的中线， ∴CD=BD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE AD=DE .△ADC≌AEDB(SAS): (2)解：AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<10+6, ∴4<AE<16, AD=14E 21 .2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： B D M 图2 AE=EF,EF=6」 AC=AE+EC=6+4=10, :AD是△ABC的中线， ∴CD=BD」 在△ADC和△MDB中， 42154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM ·.△ADC≌MDB(SAS)】 .BM=AC,∠CAD=∠M, AE=EF, ,∠CAD=∠AFE, .∠AFE=∠BFD, ∴.LBFD=∠CAD=∠M, .BF =BM=AC, 即BF=10 6. △ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC,BE=BD,∠DBE=∠ABC=90°)的 三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE: 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由. B 图(1) 图(2) 【答案】(1)证明：在△ADB和aCEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE AB=CB △ADB≌aCEB(SAS). ∴AD=CE； 43154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，过点C作CH垂直于DA的延长线于点H,交BD于点O, D B ·∠ABC=∠DBE=90°， ·.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE, BD=BE .△ABD≌aCBE(SAS), 、AD=CE,∠ADB=∠CEB, :∠DOH=∠EOB ∴.∠DH0=∠EBD=90°. .AD⊥CE 【详解】(1)略 (2)略 7.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线l经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线， 垂足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并给予证明； (3)如图3，∠ACB=90°，CA=CB,点B的坐标为，3)，点C的坐标为(-l,0),直接写出点A的坐标 44/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：：∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90°， :BD⊥AD, ∴.∠DBA+∠BAD=90°， .∠CAE=∠DBA, CE⊥AE, .∠CEA=90°， :∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC,AB=CA, △ABD≌△CAE (2)DE=BD+CE.证明如下： ∠EAC+∠CEA+∠ACE=180°， ∴.∠ECA=180°-∠CAE-∠CEA, :∠CAB+∠CAE+∠BAD=180°， ∴.∠BAD=180°-∠CAB-∠CAE, :∠AEC=LCAB, ∴.∠ECA=∠BAD :∠CEA=∠DAB,∠ACE=∠BAD,AC=AB, ∴.△CEA≌△ADB :CE=AD,BD=AE, :ED=EA+AD, ∴.DE=BD+CE (3)(-4,2) 【详解】(1)略 (2)略 (3)过点A作ADLx轴点D,过点B作BE⊥x轴于点E, 45154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 E -4 -2C02x -2 由(1)可得：∠DAC=∠ECB, ∠ADC=LCEB,∠DAC=LECB,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEB, :AD=CE,DC=EB, B1,3),C(-1,0)」 BE=3,OE=1,OC=1, AD=2,OD=4. ∴.4(-4,2) 8如图1，在四边形ABCD中，AB=AD点E:点r分别在边BC,D上，已知∠B1FDAB, ∠ABC+∠ADC=180° D D E F B E C 图1 图2 (1)求证：EF=BE+DF: (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成 立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由 【答案】(1)证明：如图，延长EB至点H,使BH=DF, 46/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A H. E ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABH=180°， ∴.∠ADC=LABH, 在△ABH和△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADC BH=DF ∴.△ABH≌△ADF, ∴.AH=AF,∠BAH=∠DAF, ZEAF=DAB. .∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAH+∠BAE=∠EAH, 在△EAF和△EAH中， AF=AH ∠EAF=∠EAH」 AE=AE ∴.△EAF≌△EAH, .EF=EH, .EH=BE+BH, ∴EF=BE+BH=BE+DF: (2)不成立，EF=DF-BE, 理由：如图，在DF上截取DM=EB, 47154 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 在△ABE和△ADM中， AB=AD ∠ABE=∠ADC, BE=DM .△ABE≌△ADM, ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM, ∴.∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM,即∠EAM=∠DAB, ∠EAF=)2DAB :∠EAF=∠BAM, 2 ∴.∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中， AE=AM ∠EAF=∠MAF AF=AF ∴.△EAF≌AMAF, ∴.EF=MF, .DF=DM+MF, ∴DF=BE+EF,即：EF=DF-BE 【详解】(1)略 (2)略 9.【提出问题】 48154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学课上老师提出如下问题：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=3,AD=2,若AC 边的长为整数，求AC边的长.小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点 E,使DE=AD,连接BE,能得到△EDB≌△ADC,所以AC=BE,进而利用三角形的任意两边之和大 于第三边解决问题， A D B D E 图① 图② 图③ 图④ 【思考发现】 (1)如图①，△EDB≌aADC的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (2)根据小明的方法思考，可得AC的长可能为 ；(写出一个即可) 【类比迁移】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于点G,交AD于点F,AC=BF. 求证：AG=FG 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连结BE. 请完成上述证明过程， 【学以致用】 (4如图④，在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE,连结AD、BE,取 AD的中点F,连结CF,若CF=2,则BE= 【答案】(1)B (2)2(或3,4,5,6之一) (3)证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE: 49/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G F D E 图③ 同(1)，可证△EDB≌aADC(SAS), 、BE=AC,∠GAF=∠E, ..AC=BF, .BE=BF, ∴∠E=∠BFE, :∠BFE=∠AFG, .∠AFG=∠GAF: ∴AG=FG (4)4 【详解】(1)解：在△EDB和△ADC中， AD=DE ∠ADC=∠EDB CD=BD .△EDB≌aADC(SAS), 故选：B (2)解：△EDB≌△ADC, ∴.BE=CA, 在△ABE中，AB=3,AE=2AD=4,AE-AB<BE<AE+AB,, :4-3<BE<4+3,即1<BE<7, ,AC为整数，BE=CA, .AC的长可以为2,3,4,5,6中之一 (3)略 (4)解：如图，延长CF至点G,使FG=CF,连DG, 50/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D ⊙ 图3 .CG=2CF=4, 同(1)，可证aDFG≌aAFC(SAS). ·.DG=AC,∠GDF=∠CAF .CA=CB .DG=BC. ,∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACD+∠BCE=180° 在△ACD中，∠ACD+∠CAD+∠ADC=180° ∴、∠BCE=LCAD+∠ADC=∠GDF+∠ADC=LGDC, 又，DC=CE, .△BCE≌aGDC(SMS). ∴.BE=GC=4 10.数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠4CB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E 若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之 间的数量关系，然后进行求解. H B 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE; 51/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰RtABD和等腰RtAOBC, 连DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的数量关系，并说明理由： 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB,AC边向外 作等腰RtBAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=9O°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 【答案】 (1)证明：AD⊥DE于D,∠ACB=90°， ·.∠ADC=90°，∠DAC+∠DCA=90°，∠BCE+∠DCA=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, ,BE⊥DE ∴.∠BEC=∠ADC=90°， .AC=BC. ·△ADC≌aCEB(AAS), ..CD=BE,AD=CE, ∴.DE=CE+CD=AD+BE: (2)解：结论：OA=2BE.理由如下： 如图，过点D作DT⊥OB于点T, B ∠AOB=∠ABD=∠DTB=90°， ∴.∠TBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°， ∴.∠TBD=∠BAO BD =DA, 、△DTB≌aBOA(AAS), ..DT=OB,BT=OA, 52154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△BOC是等腰直角三角形， ∴OB=BC=DT, 又：∠BEC=∠TED,∠CBE=∠DTE=90°， ∴ABCE≌aTDE(AAS). ∴.BE=TE, ∴.BT-2BE, ..OA=2BE: (3)60 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： M D ----1H ☑E B G :AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90°， ,∠BAD=90° .∠BAG+∠DAM=90°， ∴.∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， '∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌aDAM(AAS), ∴.DM=AG」 同理可证明：△AGC≌△ENWA, .'.EN=AG, ∴.DM=EN=AG, 53/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SM=S4D+SE=)AH·DM+AH:EN=AH·AG=5x1I2三6 ∴.△ADE的面积等于60. 54154的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形的辅助线问题 内容概览 目常考题型精准突破 考点一全等三角形的辅助线问题 题型1连接两点构造全等三角形 题型2倍长中线模型（高频） 题型3旋转模型（高频） 题型4垂线模型 题型5证一条线段等于两条线段和差 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 。考点一全等三角形的辅助线问题。一 ◆题型1连接两点构造全等三角形 1.全等三角形的对应边相等 【详解】解：连接AB,CD，,如图， .D ,点O分别是AC、BD的中点， ∴.OA=OC,OB=OD 在△AOB和△COD中， OA=OC,∠AOB=∠COD(对顶角相等)，OB=OD, :.△AOB≌△COD(SAS). :CD=AB(全等三角形的对应边相等)· 故答案为：全等三角形的对应边相等. 1/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.13 【详解】如图，过点A作GC的平行线AF,并在AF上截取AH=AC,连接DH,BH H …F ◇ B @ E CM 则∠HAD=∠C AD=CE, 在 和 中， ∠HAD=∠C, △ADH△CEA AH=CA, .△ADH≌ACEA(SAS). .'DH=AE, .AE+BD=DH+BD, ∴.当B,D,H三点共线时，DH+BD的值最小，即AE+BD的值最小，为BH的长 ,AG⊥BG,AB=V41,AG=5, ∴在Rt△ABG中，由勾股定理，得 BG-VAB-AG(T)--4. 如图，过点H作HM⊥GC,交GC的延长线于点M,则四边形AGMH为长方形， .HIM=AG=5,GM=AH=AC=8, ∴在Rt BMH中，由勾股定理，得 BH=VBM2+HM2=V(4+8)2+52=13 ∴.AE+BD的最小值为13. 故答案为：13. 3.(1) 证明：：∠ACB=90°，∠ECD=90°， .∠ACB=∠ECD ∠ACB=∠ECD 在 和 中 ∠BAC=∠DEC, AACB△ECD BC=CD 2/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∴△ACB≌aECD(AAS), .AB=DE; (2) 证明：过点E作EG‖CB交AC于点G,如图所示， E B 图2 ∴.∠EGC=∠ACB :F是BE的中点， ∴EF=BF, I∠EGF=∠ACB 在 和 中∠EFG=∠BFC, △EGF△BCF EF=BE ∴△EGF≌△BCF(AA)」 :.EG=BC,GF=CF, ∴.GC=2CF, ..DC=BC, ∴.EG=CD, .EG∥CB, .∠GEC+∠BCE=180°， :∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°， ∠ECD=90°. ∴.∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=18O°， ∴.∠GEC=∠ACD .△ACB2△ECD. ..AC=EC, EG=CD 在 和 中∠GEC=∠ACD AGEC ADCA EC=AC 3/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴AGEC≌aDCA(SAS), ..GC=AD, .GC=2CF, :AD=2CF. 4.(1)2<AD<4; (2)18 【详解】(1)解：如下图所示，延长AD到点E使DE=AD, D :AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD, AD=ED 在 和 中∠ADC=∠EDC △ADC△EDB CD=BD ∴AADC≌AEDB」 在△ABE中，AC-AB<AE<AB+AC, .6-2<AE<6+2, ∴.4<AE<8, AD=ED, .AE 2AD, .4<2AD<8」 .2<AD<4: (2)解：如下图所示，延长AD交EC的延长线于点F, 4/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C D AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD :CE⊥DC, .∠ECD=∠FCD=90°， [∠B=∠FCD=90 在 和 中BD=CD △ABD△FCD ∠ADB=∠FDC ,∴.△ABD≌AFCD. ∴FC=AB=7,AD=FD, ∠ADE=90°， .∠FDE=90°， AD=FD 在 和 中 ∠ADE=∠FDE AADE△FDE DE=DE ∴.△ADE≌AFDE, :AE=FE, .FE=EC+FC=EC+AB=7+11=18, .AE=18 ◆题型2倍长中线模型 5.c 【详解】解：连接ED并延长，交AB于点F, 5/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 、、 E ·CEl AB .∠A=∠DCE」 ,点D为AC的中点， .AD=CD. 在△ADF和△CDE中， ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE ∴.△ADF≌aCDE(ASA), .AF=CE=3,DF=DE, 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， BD=GD ∠BDF=∠GDE DF=DE .△BDF≌aGDE(SAS). .BF=GE,∠FBD=∠G. ,BD平分∠ABE, ∴，∠FBD=∠EBD, .∠G=∠EBD. .BE=GE,BF=BE=8. .AB=AF+BF=3+8=11 6.1<AD<7 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE, 6138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点D是BC的中点， .BD=DC. 又：∠ADB=∠EDC, .△ABD≌aECD(SAS). .AB=CE=8. .CE-AC<AE<AC+CE. 即2<AE<14, .1<AD<7, 7.88 【详解】解：延长AD至点G,使得DG=AD,连接CG, D G ,AD是△ABC的中线， .'.CD=DB :AB=CF,∠ADB=∠GDC,, :.△ADB≌aGDC(SAS)J .AB=CG,∠G=∠FAE, .AB=CF ..CG=CF, .∠CFG=∠G. .∠CFG=∠G=∠AFE=∠FAE. .:∠ACE=16°，∠CAD=30°、 :.∠AFE=180°-∠AFC=180°-(180°-∠CAD-∠ACE)=46° .∠AEF=180°-∠FAE-∠AFE=180°-46°×2=88°. 8.(1)SAS,2: (2)证明：如图：延长BD到点F,使DF=BD,连接AF, 7/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是 的中线， 图2 BD△ABC .AD=CD 在△ADF和ACDB中， AD=CD ∠ADF=∠CDB DB=DF .△ADF≌ACDB(SAS) .AF=BC,∠DBC=∠F, .AE=BC, .AF=AE, .∠F=∠AEB, 又，∠DBC=∠F, .∠AEB=∠DBC (3)AC=2BD,△ABC的面积为12 【详解】解：(1)如图1：先延长BD至点E,使DE=BD,连接CE, ,BD是边AC上的中线， .AD=CD ,DE=BD,∠ADB=∠EDC, .△ADB≌△CDE(SAS), .CE=AB=4, 在△BCE中，CE-BC<BE<CE+BC, 2<BE<6,即2<2BD<6, 1<BD<3, ,线段BD的长度为整数， .'BD=2 故答案为：SAS,2. 8/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)如图3：延长BD到点E,使DE=BD=6,连接ME. E M 图3 ,点D是MN的中点， .MD ND 在△BDN和△EDM中， BD=DE ∠BDN=∠EDM. MD=ND .ABDN≌aEDM(SAS) .BN=EM,∠DME=∠DNB, ∴.BN∥EM ,△BCN是等腰直角三角形， .∠CBN=90°，BN=BC,∠BCN=45°， ∴.EM=BC .∠ABM=90° ∴.∠ABC+∠MBN=180° 又.BN∥EM, ∴.∠MBN+∠BME=180° .∠ABC=∠BME 在△ABC和△BME中， AB=BM ∠ABC=∠BME BC=EM .△ABC≌aBME(SAS) 9/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=BE,∠MBE=∠CAB, BE =2BD. .AC=2BD BD=6. .AC=2X6=12 .∠ABM=90°， .∠MBE+∠ABH=90° ∴.∠CAB+∠ABH=90°， .∠AHB=90° 1 ·AMBC的面积为24CB册=2×12×2=12. ◆题型3旋转模型 9.213 【详解】解：作AE⊥AC,AE=AC,连接EC,延长EB交CD于点F E B ·AE⊥AC,∠BAD=90°， ∴∠BAE=∠DAC AE=AC,AB=AD .△ABE≌AADC, ∴.BE=CD=6,∠AEB=∠ACD ,∠1=∠2， .∠CFB=∠CAE=90° 在RtAAEC中，EC=V√2AE=2N37, 在Rt△BCF中，RtAECF中，有(2V37-(6+BF}=(21O'-BF2, 10/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：BF=6,∴.CF=2,FD=4, ∴.在Rt△BDF中，BD=V36+16=213. 故答案为：23】 10.135°，理由如下： ,△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°， .AB=BC. 如图，将△BAO绕点B顺时针旋转得到△BCD,连接OD, B D 可得∠OBD=∠ABC=90°，B0=BD=4,CD=AO=3, :.△OBD为等腰直角三角形， ..OD=OB2+BD2=42, :A0=CD=3,O0C=V41, .CD2+0D2=0C2, ∴.△OCD为直角三角形，△LODC=90°， ∴.∠A0B=∠BDC=∠BD0+∠0DC=45°+90°=135° 【详解】解：略。 11.(1)①证明：∠ACB=90°，CD⊥CE, ∴.∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD+∠DCB=90°，∠BCE+∠DCB=90°， .∠ACD=∠BCE .AC=BC,CD=CE, ∴.△ACD≌ABCE ②30 (2)4 【详解】(1)①证明：略. 11/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②解：CD=CE,CE⊥CD」 ∴.∠CDE=∠CED=45°， .∠ADC=180°-45°=135°， 由①△ACD≌△BCE可得∠ADC=∠BEC=I35°，AD=BE=5, ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， △ABE为直角三角形， AD=5.DE=7, ∴.AE=AD+DE=5+7=12」 BE=5, 1 S4=24E-BE=2×12x5=30 (2)解：将△MCA绕点C逆时针旋转90°使AC和BC重合，得到△BCP,如图所示， M B P ∴.MC=CP∠MCP=∠ACB=90°∠CPB=45°MA=PB :∴△MCP为等腰直角三角形， ∴.∠CMP=∠MPC=45°， .∠CMA=45° ∴.∠CMP=∠CMA=45°， ∴.P在线段MA的延长线上， :∠CPB=45°， .∠MPB=∠MPC+∠CPB=45°+45°=90°， .BP⊥MP」 S.ABM =8,MA=PB, 4M:B即=4M2=8, .AM=4. 12.(1)7:(2)210:(3)2√26 12/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)，∠ACD=∠E=90°， .∠ACB=90°-∠DCE=∠D. 在△ABC和△CED中， [∠B=∠E ∠ACB=∠D AC=CD .△ABC≌aCED(AAS). .AB=CE=3,BC=ED=4, ∴.BE=BC+CE=7: 故答案为：7； (2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E,如图： D .DE⊥BC,CD⊥AC. .∠E=∠ACD=90° :∠ACB=90°-∠DCE=∠CDE,, 在△ABC和△CED中， I∠ABC=∠E ∠ACB=LCDE, AC=CD :.△ABC≌aCED(AAS), .'BC=ED=2,AB=CE=4, .BE=BC+CE=2+4=6. ,在Rt△BED中，BD=VBE2+DE2=V62+22=210: (3)过A作AE⊥CD于E,过B作BF⊥CD交DC延长线于F,如图： 13/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E C ,△ACD面积为12且CD的长为6， “2×6AE=12, 1 .AE=4, .∠ADC=45°，AE⊥CD, ∴.△ADE是等腰直角三角形， .'DE=AE=4, ..CE=CD-DE=2, .∠ABC=∠CAB=45° .∠ACB=90°，AC=BC ∴.∠ACE=90°-∠BCF=∠CBF, 在△ACE和△CBF中， [∠AEC=∠F ∠ACE=∠CBF AC=BC .△ACE≌aCBF(AAS)」 .BF=CE=2,CF=AE=4. .DF=CF+CD=4+6=10」 ∴在Rt△BFD中，BD=VBF2+DF2=V22+102=2W26 ◆题型4垂线模型 13.C 【详解】解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI⊥AB,EG⊥AB,交直线AB于点M,H,L,G, 14/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 Gh- 46 --0H :.∠M=∠AGE=∠FHB=∠I=90°， .∠DAE=∠CBF=90°， .∠1=∠2=90°-∠3，∠4=∠5=90°-∠6. AD=AE,BF =BC. :.△AGE≌aDMA(AAS),aFHB≌aBIC(AAS), .'AM=EG,FH=BI, 设AM=EG=xFH=BI=y, MI=AM+AB+BI=x+4+y, ·ABIICD,DM⊥AB,CI⊥AB, .CD=MI=4+x+y=10 .x+y=6」 ,四边形AFBE的面积=S△Mr+S△ME, 四选形BG的而积4BxH+号BxBG 1 =二AB(FH+EG) 2 4列 1 =-×4×6 2 =12, 故选：C 14.5 16或4/4或16 15/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， .∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC .△AFC≌aBGA(AAS). :BG=AF=7,CF=AG=2. GF=AF-AG=7-2=5, 故答案为：5： (2)当点D线段BC延长线上时， G :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC .△AFC≌aBGA(AAS) .AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4: 当点D线段BC上时， GD :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, 16/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFC=∠BGA=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, .AB=AC :.△AFC≌aBGA(AAS), ..AF=BG=6,AG=CF=FG+AF=10+6=16: 当点D线段CB延长线上时， B G :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， .∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC ∴.△AFC≌aBGA(AAS), .AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4, 过点A作BC平行线，再过点C作平行线的垂线，垂足为H, :AB=AC,∠BAC=90°，AH∥BC, .∠ACB=∠CAH=45°， .∠CAF>45°，∠ACF<45°， .CF>AF, 故点D线段CB延长线上不成立，舍， 综上：CF=16或CF=4, 故答案为：16或4. 15. (1)证明：，BD⊥直线1，CE⊥直线， .∠BDA=∠AEC=90°， 17138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAB+∠DBA=90° .∠BAC=90°， ∴.∠DAB+∠EAC=90° ∴.∠DBA=∠EAC 在△ABD和△CAE中， [∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC .ABDSACAE(AAS): (2)证明：∠EAB是△ABD的外角， .LEAB=LADB+∠DBA .LEAC+LBAC=∠ADB+∠DBA .∠ADB=∠BAC, ∴.∠EAC=∠DBA 在△EAC和△DBA中， 「∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB AC=AB .△EAC≌aDBA(AAS) ∴.CE=AD,EA=BD, .'ED=EA+AD=BD+CE (3)S,S2大小关系是：S=S,理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： M 4< B .AG⊥BC, .∠AGB=∠M=90° .∠ABG+∠BAG=90° 18/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠DAM=90°. ∴.∠ABG=∠DAM 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌aDAM(AAS) ∴.AG=DM. 同理可证明： △AGC≌AENA .AG=EN .DM=EN HDM S-AHEN, S=S2」 16.(1) 解：·∠ABC=90° .∠ABM+∠CBN=90°， ,AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， .∠ABM+∠BAM=90°， .∠BAM=∠CBN, .∠BAM=∠CBN,LAMB=∠CNB=90°，AB=BC, △ABM≌aBCN(AAS): .AM=BN,BM=CN AM=3,CN=8, .MN=MB+BN =CN+AM=11. (2) 解：结论：PE=PC-AE.理由如下： :∠ABC=90°， 19138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABE+∠CBE=90°， CP⊥BE, .∠CPB=90°， .∠BCP+∠CBP=90 .∠ABE=∠BCP, ∠AEB=90°， ∴.∠AEB=∠CPB=90°， AB=BC, .△ABE≌△BCP, .AE=BP,BE=CP BE =BP+PE, ∴PE=BE-BP=PC-AE: (3)24 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：延长FE,过点C作CP⊥FE于P,如图所示： D E .∠ABE+∠EBC=90°∠ABE+∠BAE=90° ∴.∠EBC=∠BAE, .∠AEB=∠CPB=90°，AB=BC, .△ABE≌aBCP(AAS). ∴PC=BE=2,PB=AE=8, .PE=PB-BE=8-2=6 延长AE,过点C作CF⊥AE于F,如图所示： 20138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B U AF⊥PE,CP⊥PE .AF∥CP」 AF⊥PE,CF⊥AF, .PE∥CF, 由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=6, S.-xExCF- 1 ×8×6=24 ◆题型5证一条线段等于两条线段和差 17.(1) 解：DE⊥CE,理由如下： :DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， .∠ADC=2∠EDC,∠BCD=2∠DCE, ADII BC ∴.∠ADC+∠BCD=180°， .2∠EDC+2∠DCE=180°. ∴，∠EDC+∠DCE=90°， .∠DEC=90°， .DE⊥CE: (2)5 【详解】(1)略 (2)解：如图，在DC上截取DF=AD=3,连接EF, D E 分别是 的角平分线， :DE、CE ∠ADC ∠BCD 21/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EDC=∠ADE,∠DCE=∠BCE 在△ADE和△FDE中， LAD=FD ∠ADE=∠FDE, DE=DE ∴△ADE≌AFDE(SAS) .∠A=∠DFE, ADI BC .∠A+∠B=180°， :∠DFE+∠CFE=180°， ∴.∠B=∠CFE, 在△BCE和△FCE中， ∠BCE=∠FCE ∠B=∠EFC CE=CE .aBCE≌AFCE(AAS), ·BC=CF=2, ∴.CD=CF+DF=2+3=5 18.①∠A=∠D,②DF+EF,③，∠B=∠C,④AAS,⑤内错角相等，两直线平行. 【详解】证明：，ABIICD, ∴.∠A=∠D AE=DF, ∴，AE+EF=DF+EF,即AF=DE. 在△ABF和△DCE中， [∠B=∠C {∠A=∠D AF=DE .△ABF≌△DCE(AAS): ∴.BF=CE,∠AFB=∠DEC ∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)· 故答案为：①∠A=∠D,②DF+EF,③∠B=∠C,④AAS,⑤内错角相等，两直线平行. 22/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(1)∠BAD=2∠EAF: (2)∠EAF= ∠BAD,理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G D 在 和 中， E △ABE△ADG AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG :AABE≌△ADG(SAS). .∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+DF,DG=BE, ∴EF=BE+DF=DG+DF=GF, AF=AF, .△AEF≌AAGF(SSS). ·∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF .∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF; (3)∠EAF=180°-)∠DAB,理由如下： 如图，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, C D E :∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=I80° ∴.∠ADC=∠ABE, 又AB=AD, 23/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ADGSABE(SAS). ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴△AEF≌aAGF(SSS), ∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°」 ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG=360° 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠EAF=180°-)∠DAB 【详解】解：(1)∠BAD=2∠EAF;理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E 在△ABE和△ADG中， [AB=AD ∠B=∠ADG=90°， BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS) ∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF BE+DF,DG=BE. ..EF=BE+DF=DG+DF=GF, AF=AF, .AAEF≌△AGF(SSS), ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. .∠BAE+∠FAD=∠EAF, 24/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF: (2)略 (3)略 20.(1)①DE=BD+CE: ②问题①中结论DE=BD+CE仍然成立，理由如下： :∠BDA=∠BAC=∠AEC=a, ∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-a, .∠DBA=∠EAC, 又：∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, ∴.△DBA≌△EAC(AAS). ∴BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD+AE=BD+CE: (2)G是DE的中点，理由如下： 如图，作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N, B BC⊥AF .∠BFA=∠AMD=90° .∠BAD=90°， .∠DAM+∠BAF=∠BAF+∠ABF=90° .∠ABF=∠DAM, 在△ABF与△DAM中， '∠BFA=∠AMD ∠ABF=∠DAM AB=DA .△ABF≌aDAM(AAS). ∴.AF=DM, 25/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BC⊥AF, .∠CFA=∠ANE=90°， .∠CAE=90°， ∴.∠CAF+∠EAN=∠CAF+∠ACF=90° .∠EAN=∠ACF, 在△ACF与△EAN中， [∠CFA=∠ANE ∠ACE=∠EAN AC=EA .△ACF≌aEAN(AAS) .AF EN, 又.AF=DM, .EN DM, .DM⊥AF,EN⊥AF. .∠GMD=∠GNE=90°， 在aDMG与△ENG中， '∠DMG=∠ENG ∠MGD=∠NGE DM=EN .△DMG2aENG(AAS) .'.DG=EG, ∴点G是DE的中点 【详解】解：(1)①·∠BDA=∠AEC=90° ∴.∠DBA+∠BAD=90° ,∠BAC=90° ∴.∠BAD+∠CAE=90°， ∴∠DBA=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， [∠DBA=∠CAE ∠BDA=∠AEC, AB=CA 26/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABD≌aCAE(AAS). ∴，BD=AE,AD=CE, DE AD+AE, .'DE=BD+CE. 故答案为：DE=BD+CE: ②略 (2)略 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.A 2.B 二、填空题 3.1<AB<9 三、解答题 【答案】(1)90° (2)4V2 3)V26 【详解】(1)解：延长AD至E,使得DE=AD=5,连接EB,如图所示： B ∴，AE=ED+AD=10, ,AD是BC边上的中线， .'BD=CD 在△BDE和ACDA中， 27/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ED=AD ∠BDE=∠CDA, BD=CD :△BDE≌aCDA(SAS)】 .EB=AC=6,∠EBD=∠C, 在△ABE中，AB=8,BE=6,AE=10」 .BE2+AB2=62+82=100,AE2=102=100, .BE2+AB2=AE2, ∴.△ABE是直角三角形，即∠ABE=90°， ∴.∠ABC+∠EBD=90°， ·∠C=∠EBD .∠ABC+∠C=90°， .∠BAC=180°-（∠ABC+∠C)=90°； (2)解：如图，延长AD至T,使TD=AD=3,连接TB,过点B作BF⊥AT于点F,如图： B D 图① ∴，AT=TD+AD=6,△ABF、△TBF和△BFD都是直角三角形， 设TfF=a, .'.AF=AT-TF=6-a,DF=TD-TF=3-a, 同(1)证明：△BDT2aCAD(SAS), .'TB=AC=3. 在RtAABF中，由勾股定理可得：BF2=AB-AF2=52-(6-a2, 在RtATBF中，由勾股定理可得：BF2=TB2-TF2=32-d2, 52-(6-a)}2=32-d2, 5 解得：a= 3 DF=3-a=有，Br2=32-= 28/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=VBF2+DF2=2√2， ,AD是BC边上的中线， .BC=2BD=42, 即BC的长度为4W2: (3)解：延长AD到K,使得KD=AD=4,连接KB,过点B作BH⊥AK于点H,如图： D H ∴.AK=KD+AD=8,△ABH,△KBH和△BDH都是直角三角形， 设KH=x, .AH=AK-KH=8-x,DH=KD-KH=4-x, 同(1)证明：△BDK≌aCAD(SAS), .'KB=AC=3. 在Rt△ABH中，由勾股定理可得：BH=AB2-AH=6-(8-x), 在RtoKBH中，由勾股定理可得：BH=BK2-KH=32-x2, .62-(8-x2=32-x2, 解得：=沼。 01=4器，8m=--2器 256, 在Rt△BDH中，由勾股定理可得：BD=VBH+DH=26 2 AD是BC边上的中线， ∴.BC=2BD=V26, 即BC的长度为V26 5. 【答案】(1)B (2)2<AD<8 (3)BF=10 29/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：AD是BC边上的中线， .CD=BD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE AD-DE .△ADC≌aEDB(SAS): (2)解：AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<I0+6, .4<AE<16 AD-TAE 2 .2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： F D M 图2 AE=EF,EF=6. .AC=AE+EC=6+4=10, ,AD是△ABC的中线， CD=BD」 ,在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM .△ADC≌MDB(SAS) .BM=AC,∠CAD=∠M, .AE=EF, ∴.∠CAD=∠AFE, .∠AFE=∠BFD 30/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BFD=∠CAD=∠M, .BF=BM=AC. 即BF=10 6. 【答案】(1)证明：在△ADB和△CEB中， BD=BE ∠ABD=∠CBE」 AB=CB .△ADB≌aCEB(SAS). .AD=CE; (2)解：AD=CE,AD⊥CE,理由如下： 如图，过点C作CH垂直于DA的延长线于点H,交BD于点O, D B .∠ABC=∠DBE=90°， ∴，∠ABD+∠DBC=LCBE+∠DBC, ∴.∠ABD=LCBE, 在△ABD和△CBE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE」 BD=BE :.△ABD≌aCBE(SMS) .AD=CE,∠ADB=∠CEB, :∠DOH=∠EOB .∠DHO=∠EBD=90° .AD⊥CE 7. 【答案】(1)证明：∠BAC=90° 31/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD+∠CAE=90°， BD⊥AD, .∠DBA+∠BAD=90°， ∴∠CAE=∠DBA, CE⊥AE, .∠CEA=90°， ∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC,AB=CA, △ABD≌△CAE (2)DE=BD+CE,证明如下： :∠EAC+∠CEA+∠ACE=180°， ∴.∠ECA=180°-∠CAE-∠CEA, ∠CAB+∠CAE+∠BAD=180°， ∴.∠BAD=180°-∠CAB-∠CAE, :∠AEC=∠CAB. ∠ECA=∠BAD, :∠CEA=∠DAB,∠ACE=∠BAD,AC=AB, ∴.△CEA≌△ADB :CE=AD,BD=AE, .ED=EA+AD, :DE BD+CE. (3)(4,2) 【详解】(1)略 (2)略 (3)过点A作AD⊥x轴点D,过点B作BE⊥x轴于点E, y外 4 A 2 E -4 -2℃62 2 由(1)可得：∠DAC=∠ECB 32/38 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=BC, .△ADC≌△CEB, .AD=CE,DC=EB, B1,3),C(-1,0) BE=3,OE=1,OC=1, AD=2,0D=4, ∴.A(-4,2) 8. 【答案】(1)证明：如图，延长EB至点H,使BH=DF, D A H F E .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABH=180°， ∴.∠ADC=∠ABH, 在△ABH和△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADC BH=DF .△ABH≌△ADF, ∴.AH=AF,∠BAH=∠DAF, DB. ∴.∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAH+∠BAE=∠EAH, 在△EAF和△EAH中， AF=AH ∠EAF=∠EAH AE=AE ∴.△EAF≌△EAH, ∴.EF=EH, 33/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH=BE+BH, ∴EF=BE+BH=BE+DF: (2)不成立，EF=DF-BE, 理由：如图，在DF上截取DM=EB, A D M B F ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 在△ABE和△ADM中， AB=AD ∠ABE=∠ADC, BE=DM ∴.△ABE≌AADM, ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM, ∴.∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM,即∠EAM=∠DAB, ZEAF三)∠DAB ·∠EAF=∠EAM, 2 .∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中， AE=AM ∠EAF=∠MAF, AF=AF ∴.△EAF≌aMAF, .EF =MF, DF=DM+MF, 34/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DF=BE+EF,即：EF=DF-BE 9. 【答案】(1B (2)2(或3,4,5,6之一) (3)证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. A G F D E 图③ 同(1)，可证△EDB≌aADC(SAS), .BE=AC,∠GAF=∠E, .AC=BF, .'BE=BF, ∴，∠E=∠BFE, .∠BFE=∠AFG」 .∠AFG=∠GAF: ∴.AG=FG (4)4 【详解】(1)解：在△EDB和△ADC中， AD=DE ∠ADC=∠EDB CD=BD :△EDB≌aADC(AS), 故选：B: (2)解：△EDB≌aADC, ∴.BE=CA, 在△ABE中，AB=3,AE=2AD=4,AE-AB<BE<AE+AB,, 35/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4-3<BE<4+3,即1<BE<7, :AC为整数，BE=CA, AC的长可以为2,3,4,5,6中之一 (3)略 (4)解：如图，延长CF至点G,使FG=CF,连DG, G F D B E 图3 .CG=2CF=4. 同(1)，可证aDFG2aAFC(SAS), :.DG=AC,∠GDF=∠CAF .CA=CB, ..DG=BC. ·∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠ACD+∠BCE=180° 在△ACD中，∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°， ∴.∠BCE=∠CAD+∠ADC=∠GDF+∠ADC=∠GDC, 又，DC=CE, .△BCE≌aGDC(SAS). .'BE=GC=4 10 【答案】 (1)证明：，AD⊥DE于D,∠ACB=90°， ∴.∠ADC=90°，∠DAC+∠DCA=90°，∠BCE+∠DCA=90°， .∠DAC=∠BCE, BE⊥DE, 36/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BEC=∠ADC=90°， AC=BC. .△ADC≌aCEB(AAS), .CD=BE,AD=CE, .DE=CE+CD=AD+BE (2)解：结论：OA=2BE.理由如下： 如图，过点D作DT⊥OB于点T, ∠AOB=∠ABD=∠DTB=90°， .∠TBD+∠AB0=90°，∠AB0+∠BA0=90°， ∴，∠TBD=∠BAO BD=DA, :.△DTB≌aBOA(AAS) .'.DT=OB,BT=OA. ,△BOC是等腰直角三角形， ..OB=BC=DT. 又，∠BEC=∠TED,∠CBE=∠DTE=90°， .△BCE≌aTDE(AAS), ∴.BE=TE, .BT=2BE, ..OA=2BE (3)60 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： 37/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E A B G .AG⊥BC ,∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90°， ∠BAD=90° .∠BAG+∠DAM=90°. .∠ABG=∠DAM 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌aDAM(AAS) 'DM=AG, 同理可证明：△AGC≌△ENA, ∴.EN=AG .DM=EN=AG, S.nw=S.o+5.mw-A.DM+H-EN=AH.4G-5x12=60 2 ∴，△ADE的面积等于60， 38138 专题03全等三角形的辅助线问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的辅助线问题 题型1连接两点构造全等三角形 题型2倍长中线模型（高频） 题型3旋转模型（高频） 题型4垂线模型 题型5证一条线段等于两条线段和差 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形的辅助线问题 ◆题型1连接两点构造全等三角形 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 2．已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______． 3．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 4．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． ◆题型2倍长中线模型 5．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 7．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 8．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． ◆题型3旋转模型 9．如图，在四边形中，，则________． 10．如图所示，O是等腰直角内一点，连接、、，当，，时，求的度数，并说明理由， 11．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 12．【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． ◆题型4垂线模型 13．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 14．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 15．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 16．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． ◆题型5证一条线段等于两条线段和差 17．如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 18．如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （___⑤_____） 19．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 20．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 2．如图，为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，N为中点，延长至点M，交于点G，使得，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤若， ， ，则．其中正确的个数为（　　）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 3．如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 三、解答题 4．我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 5．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 6． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 7．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 8．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 9．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 10．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $