第2章 全等三角形 重点例题与习题 2025－2026学年青岛版数学八年级上册

回归教材系列 2025～2026学年青岛版八年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：青岛版八年级上册数学第2章 全等三角形 1.如图，点，，，在同一直线上，≌。请写出这两个三角形的对应边和对应角。 2.如图，点，，在同一直线上，≌，，。求的度数。 3.如图，点，，在同一直线上，且≌。 ，，之间有什么数量关系？请证明你的结论； 当时，求的度数。 4.如图，，点，分别是，的中点。求证：≌。 5.如图，，，。求证：。 6.如图，点，在线段上，，，。 求证：≌。 7.如图，点，，，在同一条直线上，，，垂足分别为点，，与相交于点，，。求证：。 8.如图，，，。求的大小。 9.如图，与相交于点，，，。点从点出发，沿方向以的速度运动。点从点出发，沿方向以的速度运动。，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动。设点的运动时间为，当为多少时，线段经过点？ 10.如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想测量，两点之间的距离。他设计了一个方案：先在平地上取一个能够直接到达点，的点，连接，在射线上取一点，使；连接，在射线上取一点，使。测量的长，则的长就是，两点之间的距离。他的方案是否正确？为什么？ 11.如图，在与中，。再添加一个什么条件，与全等？ 12.如图，，。 求证：平分； 连接，判断与的位置关系，并说明理由。 13.如图，线段，相交于点，，。求证：。 14.如图，点，在线段上，，，。 求证：≌。 15.如图，，。求证：≌。 16.如图，，，。求证：。 17.如图，点为的边的中点，，，垂足分别为点，，。求证： ； 。 18.如图，在中，，垂足为点，点在上，连接，，。求证：。 19.如图，点在内部。求作，使，且，。 20.如图，已知，点在边的延长线上。利用尺规作图，在边的延长线上作一点，使。 21.如图，在中，，点是边上的一点。 利用尺规在的上方确定点，使，且； 在中，利用尺规过点作直线，使，且交于点； 判断中的与是否全等，并说明理由。 22.如图，，，，垂足分别为点，，。求证：≌。 23.如图，是上一点，，，，与相交于点。求证：。 24.如图，是的边上一点，交于点，，。若，。求的长。 25.如图，直角三角形中，，，直角三角形中，，连接。在线段上取一点，使得线段，垂足为点。求证：。 26.如图，点，在上，，。求证：。 27.如图，中，，平分，。求证：。 28.如图所示，伞骨，支撑杆，，。当沿滑动时，雨伞张开或者收拢。然而不论张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所组成的。请解释其中的道理。 29.如图，将等腰直角三角板和的直角顶点重合。连接，，取的中点。 如图，当，，三点共线时，线段与有什么关系？ 如图，在三角板和转动的过程中除点外无重叠部分，判断中的结论是否仍然成立，并证明。 答案和解析 1.【答案】解：与，与，与分别是对应边； 与、与、与分别是对应角。 2.【答案】解：因为≌，所以。 在中，。 3.【答案】【小题】 解：。 证明：因为≌， 所以，， 所以。 【小题】 因为≌， 所以，。 因为，所以。 又因为， 所以。 又因为， 所以， 即。 4.【答案】证明：因为点，分别为，的中点， 所以，。 又因为，所以。 在与中， 所以≌。 5.【答案】证明：因为， 所以， 即。 在和中， 所以≌，所以。 6.【答案】证明：因为，所以，即。 因为，所以。 因为，所以。 在与中， 所以≌。 7.【答案】证明：因为，， 所以。 在和中， 所以≌，所以， 所以，即。 8.【答案】解：在和中， 所以≌， 所以，。 同理可证≌， 所以，。 又因为，所以，。 又因为，， 所以，即。 9.【答案】解：如图所示， 当时，； 当时，。 在和中， 所以≌，所以。 在和中， 所以≌，所以。 因为， 当时，，解得； 当时，， 解得。 综上所述，当线段经过点时，的值为或。 10.【答案】解：他的方案正确。理由如下： 在和中， 所以≌。 所以。 11.【答案】解：添加条件。理由如下： 在和中， 所以≌。 12.【答案】【小题】 证明：在和中， 所以≌。 所以，即平分。 【小题】 。理由如下： 如图，设与交于点。 在和中， 所以≌。 所以。 因为， 所以。 所以。  见答案 13.【答案】证明：在和中， 所以≌。 所以。 14.【答案】证明：在和中， 所以≌。 15.【答案】证明：因为，， 所以。 又因为，， 所以。 因为为与的公共边，所以≌。 或者根据得，利用“”证明≌ 16.【答案】证明：在和中， 所以≌， 所以， 所以， 即。 17.【答案】【小题】 证明：因为是的边的中点，，， 所以，，均为直角三角形。 在和中， 所以≌， 所以。 【小题】 连接图略，在和中， 所以≌，所以。 所以，即。 18.【答案】证明：因为， 所以。 在和中， 所以≌，所以。 19.【答案】作法：如图所示， 过点作直线，交于点； 作，直线交于点； 作，直线交于点，则即所求。 20.【答案】解：如图，点即所求。 21.【答案】【小题】 解：如图所示。 以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，。 分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接，作射线。 在射线上截取，此时，。则点即所求。 【小题】 如图所示。 作直线交于点，作，作直线交于点， 则直线即所求。 【小题】 全等。理由：因为， 所以。 因为， 所以。 在与中， 所以≌。 22.【答案】证明：因为，所以，即。 因为，， 所以。 所以和都是直角三角形。 在和中， 所以≌， 即≌。 23.【答案】证明：在和中， 所以≌。 所以。 因为， 所以， 所以，即。 24.【答案】解：因为， 所以，， 在和中， 所以≌，所以。 因为，所以。 25.【答案】证明：因为，所以， 所以， 所以， 即。 又， ， 所以。 在和中， 所以≌，所以。 26.【答案】证明：如图所示，过点作于点， 在和中， 所以≌， 所以。 同理≌，所以， 所以， 即。 27.【答案】证明：如图所示，延长交于点， 因为平分，所以。 在和中， 所以≌， 所以。 又，， 所以。 又，， 所以。 即。 28.【答案】解：因为，，，所以。 在和中， 所以≌，所以， 即伞柄始终平分。 29.【答案】【小题】 解：，且。 已知点，，共线且，所以。 由题意知，， 点是的中点， 所以。 因为 。 【小题】 成立。证明如下： 如图所示，延长至点使，连接，。 在和中， 所以≌， 所以，， 所以， 所以。 又因为， 所以， 所以。 又，， 所以。 在和中， 所以≌， 所以，所以， 即。 反向延长交于。 因为≌，所以。 又， 所以， 所以， 所以，即。 综上，，。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$