专题03 全等三角形证明方法—一线三等角（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以一线三等角模型为核心，系统构建全等证明方法体系，通过条件变式与典例迁移培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型构建|5条件+2典例|一线三等角分类（内部/外部）、一线三垂直特殊化、AAS/ASA判定|从基本模型（条件-结论）到特殊情况（直角），形成概念生成链条| |综合应用|3典例+17题|动态旋转/动点问题转化、线段关系推导|从静态模型到动态情境，实现原理应用与拓展迁移|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形证明方法 线三等角 模型梳理 (I)条件：如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,B、F分别是直线CD上的两点， 且∠BEC=∠CFA=a,0<∠BCAK180°，∠BCA=180°-a, 结论：△BCE≌ACAF B D E A (2)条件：如图，直线CD经过∠BCA的外部，CA=CB,B、F分别是直线CD上的两点，且 ∠BEC=∠CFA=a,，∠BCA=a, 结论：①△BCE≌△CAF:②BE+AF=EF」 -D E (3)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,∠BDC=∠CEA=90°， 结论：①△BDC≌aCEA,②BD+AE=DE B 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,∠BDC=∠CEA=90°， 结论：①△BDC≌aCEA;②BD-AE=DE B E D A (5)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,BD⊥CE,CA⊥EA, 结论：△BDC≌△CEA, B E C D 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例精讲 【典例1】如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点 F,DE与直线AF交于点G.若BC=m,AF=n,则△ADG的面积为 D B G 【典例2】如图O,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在△ABC外作直线1，AM⊥I于点 M,BN⊥I于点N M( 图① 图② (1)试说明：MN=AM+BN, (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<Q<180°)，AC=BC,请问 (I)中的结论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3】(1)习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在△ACB中， ∠ACB=90°，AC=BC,直线经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.请直接写出DE、 AD、BE之间的数量关系. 图1 (2)问题解决：在(1)的条件下，当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE. M D B 图2 N (3)变式探究：如图3，∠BCA=60°，CA=CB,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，并且经过 ∠BCA的内部，点E、F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA=120°.请猜想EF、BE、AF之间的数量 关系，并说明理由. D 图3 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】根据图形解决以下问题 图1 E 图2 图3 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点 D,过点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB; (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直 线CD的垂线，垂足分别为点E,F; ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例5】(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,过点B,C分别向直 线I作垂线，垂足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE: (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,点A,D,E在直线I上，满足 ∠CEA=∠BAC=∠ADB,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，以△ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°， AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高，延长GA交DE于点H.若AH=4,AG=10,求 △DAE的面积. D B A G 图1 图2 图3 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，AD=DE,若∠ADE=∠B,CD=3BD, 则CE等于() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，AC=CE,∠ACE=90°，AB⊥BD,ED⊥BD,AB=6cm,DE=2cm,则BD等于 () D A.6cm B.8cm C.10cm D.4cm 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF,AC=AG.连接 FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论：①BG=CF;②BG⊥CF;③ EF=EG: ④BC=2AE,其中正确的有() B方 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 4.如图，在四边形ABEF中，AB=4,EF=6,点C是BE上一点，连接AC、CF,若AC=CF, ∠B=∠E=∠ACF,则BE的长为一 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.直线1经过点A,过点B作BE⊥I于点E,过点C 作CF⊥I于点F.若BE=2,CF=5,则EF= E B 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点A坐标为(-7,3)，点C的坐标为(-2,0)，则点B 坐标是 co 7.如图，己知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，则图中阴影部 分图形的面积S等于 E 8 D 3 4 C 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD上， ∠I=∠2=∠BAC,若△BDE的面积为2，△ABC的面积为21，则△CFD的面积为： 2 E 0 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上一点，以点P为顶点作∠MPN=∠B,PM交AB于 D,PN交AC于E,若BC=13,BP=CE=4,求BD的长. M 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E. (1)求证：CD=BE: (2)如果AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长. 11,(1)课本习题回放：“如图O,∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为 (2)探索证明：如图②，点B,C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC,点E,F在∠MAN内部的 射线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF. (3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E、 F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 (直接填写结果，不需要写解答过程)》 M B D F C D 图① 图② 图③ 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂 直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形 【模型呈现】 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点 D,BE⊥DE于点E,请直接写出AD、BE与DE之间的数量关系： 【模型应用】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CD,过点A作 AD⊥CD于点D,过点B作BE⊥CD于点E,AD=5,BE=I2.求DE的长. B B D 图1 图2 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： D B E E B D B D 图① 图② 图③ 【模型认知】如图①，点A在直线I上.∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥I于点C,过点D 作DE⊥I于点E.易得∠BAC=∠D,又∠BCA=∠AED=90°，可以推理得到 △ABC≌ADAE(AAS).进而得到结论：AC= 我们把这个数学模型称为“K字”模型或 “一线三直角”模型. 【模型运用】如图②，在△ABC中，点D是BC上一点，AC=AD,∠CAD=90°，DE⊥AB于点 E,且点E为AB中点，AB=8,请求出△ABC的面积. 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点C作CF⊥BA的延长线于点F, ,DE⊥AB,∠CAD=90°， .∠AED=∠AFC=∠CAD=90° 过程缺失 请你补全缺失的解题过程. 【拓展提升】如图④，点A在直线I上，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连结BC、 DE,且BC⊥I于点F,DE与直线I交于点G.若BC=17,AF=8,则S。ADG= 12/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图1，AB=10cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A、B,AC=7cm.点P在线段AB上 以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点O从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为(s)(当 点P运动结束时，点Q运动随之结束)， C P B A→P 图1 图2 (1)若点O的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时线段PC和 线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由： (2)如图2，若“AC⊥AB,BD L AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点O的运动速度为xCm/S,其 他条件不变，当△ACP与△BP卫全等时，求出相应的x与t的值. 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为射线BC上一点（不与点B,C重合），连接 AD并延长到点E,使得DE=AD,连接BE,过点B作BE的垂线交直线AC于点F 图1 图2 (I)如图1，点D在线段CB上，且DB<CD ①请补全图形： ②判断CD,DB,CF之间的数量关系，并证明 (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD,DB,CF之间的数量关系. 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(1)如图1，AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/S的速 度由点A向点B运动，同时，点O以相同的速度在射线BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为(S), 当点P到达点B时，点Q也停止运动.当t=1s时，猜想：线段CP与PQ之间的关系，并说明理由. C D Q 个 P B 图1 (2)【拓展】如图2，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线上，并且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC猜想：线段DE、BD、CE之间的关系，并说明理由. m D A E 图2 (3)【应用】如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE, ∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与BC的延长线交于点R,若BC=2CF,△ABC的面积是12，则 △ABD与△CEF的面积之和为 B -m E A D 图3 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满 足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型 D A A E N 图1 图2 图3 B M D 图4 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD L MN于点 D,过点C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得∠DBA= 又知道∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE,进而得到 AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE. (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE之间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满 足∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌△CAE是否成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由 15115可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形证明方法 线三等角 模型梳理 (I)条件：如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,B、F分别是直线CD上的两点， 且∠BEC=∠CFA=a,0<∠BCAK180°，∠BCA=180°-a, 结论：△BCE≌ACAF B D E A (2)条件：如图，直线CD经过∠BCA的外部，CA=CB,B、F分别是直线CD上的两点，且 ∠BEC=∠CFA=a,，∠BCA=a, 结论：①△BCE≌△CAF:②BE+AF=EF」 -D E (3)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,∠BDC=∠CEA=90°， 结论：①△BDC≌aCEA,②BD+AE=DE B 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,∠BDC=LCEA=90°， 结论：①△BDC≌aCEA;②BD-AE=DE B E D A (5)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,BDLCE,CA⊥EA, 结论：△BDC≌△CEA, B E D 典例精讲 1 【典例】4m” 【典例2】(1)证明见解析；(2)DE=AD+BE成立，理由见解析 【详解】(1)证明：∠ACB=90°， .∠ACM+∠BCN=90°， :AM⊥1，BN⊥1， .∠AMC=∠CNB=90°. ,∠ACM+∠CAM=90°， :.∠CAM=∠BCN, 在△AMC和△CNB中， ∠AMC=∠CNB ∠CAM=∠BC, AC=CB 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AMC≌aCNB(AAS), .AM=CN,CM=BN. .MN =CN+CM. .MN AM+BN (2)解：DE=AD+BE成立，理由如下， ∠ACB=a(90°<a<180), ∴.∠ACD+∠BCE=180°-a, :∠ADC=a(90°<a<180), .∠ACD+∠CAD=180°-a, .∠CAD=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， [∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE. AC=CB :.△ADC≌aCEB(AAS). :AD=CE,CD=BE, DE=CE+CD. .DE AD+BE 【典例3】(1)DE=AD+BE:(2)证明见解析：(3)EF=BE-AF,理由见解析 【详解】解：(I)证明：：AD⊥MN,BE⊥MN, .∠ADC=∠BEC=90°， :∠ACB=90°， :.∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， .∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中 [∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ADC≌aCEB(AAS), .AD=CE,CD=BE, .DC+CE=DE. :.DE=AD+BE」 (2)证明：：AD⊥MN,BE⊥MN, .∠ADC=∠CEB=90°， 又：∠ACB=90°， .∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°. .∠DAC=∠BCE, AC=BC, :.△ADC≌aCEB(AAS), .AD=CE,CD=BE, .DE=CE-CD=AD-BE. (3)解：EF=BE-AF,理由如下： .∠BEC=∠CFA=120°， :.∠BED=180°-120°=60° ,∠BCA=∠BCE+∠ACF=60°，∠BED=∠BCE+∠CBE=60°， .∠ACF=∠CBE, 在△BCE和△CAF中， I∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF BC=AC :.△BCE≌aCAF(AAS), .AF =CE,CF=BE, .EF =CF-CE=BE-AF, 【典例4】(1)证明见解析；(2)①△AEC≌△CFB,理由见解析；②4 【详解】(1)证明：：AD⊥1，BE⊥1， .∠ADC=∠BEC=90°， 又∠ACB=90°， 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE, 在△ADC和△CEB中， I∠ACD=∠CBE ∠ADC=∠BEC=90°， CA=CB ∴.△ADC≌aCEB(AAS) (2)解：①△AEC≌aCFB,理由如下： :AE⊥CD,BF⊥CD .∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， .∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 在△AEC和△CFB中， 「∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠BFC=90°， CA=CB .△AEC≌aCFB(AAS) ②：AE⊥CD,BF⊥CD, ∴.∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， :.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 在△AEC和△CFB中， 「∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠BFC=90°， CA=CB :.△AEC≌aCFB(AAS) .CE=BF =1,AE=CF=3. .EF=CF+CE=3+1=4」 【典例5】(1)证明见解析：(2)DE=BD+CE,理由见解析：(3)40 【详解】(1)证明：：BD⊥直线L,CE⊥直线l, 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BDA=∠AEC=90° .∠DAB+∠DBA=90°， :∠BAC=90° .∠DAB+∠EAC=90°. .∠DBA=∠EAC, 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠EAC AB=AC .△ABD≌aCAE(AAS): (2)解：DE=BD+CE,理由如下： :∠EAB是△ABD的外角， ∴.∠EAB=∠ADB+∠DBA, .∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA, ,∠ADB=∠BAC, .∠EAC=∠DBA, 在△EAC和△DBA中， ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB AC=AB .△EAC≌△DBA(AAS). .CE=AD,AE =BD, .DE=AE+AD=BD+CE (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AG⊥BC, .∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90° ,∠BAD=90°. .∠BAG+∠DAM=90°， ∴∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， [∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD :.△ABG≌aDAM(AAS), ∴.DM=AG,同理可证明：△AGC≌△ENA, .EN=AG. .DM=EN =AG, sSae=Sm+.m=号Ah-DM+号4H-EN=AHxAG=4x10=40 :.△ADE的面积等于40 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.C 2.B 3.D 4.10 5.7 6.(1,5) 7.72 8.9 9.9 【详解】解：AB=AC, ∠B=∠C, ,∠MPN=∠B,∠MPC=∠MPN+∠EPC=∠B+∠BDP, .∠EPC=∠PDB, BP=CE=4. ·.△EPC≌△PDB(AAS). .BD=CP=BC-BP=13-4-9 10.(1)证明见解析；(2)0.8 【详解】(I)证明：：∠ACB=90°，AD⊥CE,BE⊥CE, :.∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∠BEC=∠CDA=90°， .∠ACD=∠CBE, 在△ADC与△CEB中， [∠CDA=∠BEC ∠ACD=∠CBE, AC=CB .△ADC≌aCEB(AAS), .CD=BE (2)解：：AD=2.5cm,DE=1.7cm, 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可知CE=AD=2.5cm. .CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm, 又，△ADC≌ACEB .CD=BE =0.8cm 11.(1)0.8cm;(2)证明见解析；(3)5 【详解】(I)解：：BE⊥CE,AD⊥CE, .∠E=∠ADC=90°， ∠EBC+∠BCE=90° .'∠BCE+∠ACD=90°， ∴.∠EBC=∠DCA. 在△CEB和△ADC中， ∠E=∠ADC ∠EBC=∠DCA, BC=AC .△CEB≌△ADC(AAS), .BE DC,CE AD=2.5cm. DC=CE-DE,DE=1.7cm, .DC=2.5-1.7=0.8cm, .BE=0.8cm: (2)证明：：∠1=∠2， .∠BEA=∠AFC ,∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC,∠1=∠BAC, .∠BAC=∠ABE+∠3， ∠4=∠ABE. :∠AEB=∠AFC,∠ABE=∠4，AB=AC, :.△ABE≌aCAF(AAS), 9/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M ⊙ D 2 C N (3)解：：∠BED=∠CFD=∠BAC, :.∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF, .∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF, 又AB=AC, :.△ABE≌aCAF(ASA). :.S。ABE=S.CAF, .△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即为△ABD的面积， ·CD=2BD,△ABD与△ACD的高相同， 则S,m=34c=5, 故△ACF与△BDE的面积之和为5. 12.(1)AD+BE=DE,理由见解析：(2)7 【详解】解：(I)AD、BE与DE之间满足的数量关系为：AD+BE=DE; 理由如下： 由题意得：∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠CAD=90°， .∠BCE=∠CAD: :∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC, :,.△BCE≌△CAD(AAS), ∴.AD=CE,BE=CD, .CD+CE=DE. ∴，AD+BE=DE: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠1+∠2=90°， ,AD⊥CD于点D,BE⊥CD于点E, 10119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D=∠BEC=90°， .∠2+∠3=90°， .∠3=∠1， B 3 2 在△ACD和△CBE中， 「∠D=∠BEC=90° ∠1=∠3 AC=BC :.△ACD≌△CBE(AAS). :.CD=BE=12,CE=AD=5. .DE=CD-CE=12-5=7. 13. 【模型认知】DE;【模型运用】16；【拓展提升】34 【详解】【模型认知】进而得到结论：AC=DE. 【模型运用】解：过点C作CF⊥BA的延长线于点耳， E B D 图② :DE⊥AB,∠CAD=90°， :∠AED=∠AFC=∠CAD=90° :DE⊥AB于点E,且点E为AB中点， ∠AED=∠BFD=90,AE=BE=)B=4, :AC=AD」 :∠CAD=90°， .∠DAE+∠CAF=90°. 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DAE+∠ADE=90°， .∠CAF=∠ADE, 在△CAF和△ADE中， 「∠CFA=∠AED=90 ∠CAF=∠ADE AC=AD :.△CAF≌aADE(AAS), .CF=AE=4. 5ac74B-CF=×8x4=16, 2 【拓展提升】解：过点D作DP⊥I于点P,过点B作EQ⊥I于点O,如图所示： 同模型认知证明：△ABF≌aDAP(AAS),△ACF≌aEAQ(AAS), :.BF=AP,AF=DP,CF=AO,AF=EQ, :.BC=BF+CF=AP+AO=AP+AP-PO=2AP-PO,AF=DP=EO, :BC=17,AF=8. :.2AP-PQ=17,DP=EQ=8, :DP⊥1，EQ⊥1 .∠DPG=∠EQG=90°， 在△DPG和△EOG中， [∠DPG=∠EQG=90° ∠DGP=∠EGQ DP=EO :.△DPG≌aEQG(AAS), .PG=OG. 12119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PO=2PG .2AP-2PG=17, ÷4G=AP-PG= 2 六△4DG的面积为：2 AG-DP=x17x8=34 22 14.(1)当t=1时，△ACP与△BP0全等：PC⊥P0,理由见解析：(2)当t=1时，x=3cms: 当 21 3时，x= cm/s 5 【详解】(1)解：当t=1时，△ACP与△BPO全等：线段PC和线段PO的位置关系是：PC⊥PQ, 理由如下： ,点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3Cms,且运动的时间t=ls, .AP=3cm,BO=3cm. .'AP=BO=3cm .AB=10cm, .BP=AB-AP=7cm. 又：AC=7cm, .'AC=BP=7cm, ,AC⊥AB,BD⊥AB, .∠A=∠B=90°， 在△ACP与△BPQ中， 「AP=BQ ∠A=∠B=90°」 AC=BP :.△ACP≌△BPQ(SAS), .∠C=∠BPQ, 在Rt△APC中，∠C+∠APC=90°， ·.∠BPQ+∠APC=90° .∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°， 13119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PC⊥P0: (2)解：依题意得：AP=3tcm,BQ=xtcm, ..AB=10cm. .BP=AB-AP=10-3t(cm). 又AC=7cm,∠CAB=∠DBA, ①当AP=BQ,AC=BP时，△ACP≌△BPQ, 由AP=B0,得：3t=xt, 解得：x=3, 由AC=BP,得：7=10-3t, 解得：t=1, ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP, 由AP=BP,得：3t=10-3t, 解得：t=3 由AC=B0,得：7=xt, 3=7, 21 解得：x= 5 5 21 综上所述：当t=1时，x=3cms:当f=3时，x= cm/s 5 15.(1)①作图见解析：②CD=BD+CF,证明见解析：(2)作图见解析，CF=CD+BD 【详解】(1)解：①补全图形如图所示： ②CD=BD+CF,证明如下： 如图，作EG⊥CB交CB的延长线于G, 14119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， 「∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG AD=ED .△ACD≌△EGD(AAS) :.CD=DG,AC=EG, .AC=BC, .EG=BC. BF⊥BE, .∠EBF=90° .∠CBF+∠EBG=90°， ∠BEG+∠EBG=90°. ∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， 「∠FCB=∠BGE BC=EG ∠CBF=∠GEB :.△CBF≌aGEB(ASA), ..CF=BG, CD=DG=BD+BG=BD+CF. (2)解：画出如图所示，CF=CD+BD 15119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B E 作EG⊥BC交BC的延长线于G,则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， ∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG, AD=ED 、.△ACD≌aEGD(AAS), .CD=DG,AC=EG, AC=BC, .EG=BC, BF⊥BE, .∠EBF=90°， .∠CBF+∠EBG=90° ∠BEG+∠EBG=90°， .∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， 「∠FCB=∠BGE BC=EG ∠CBF=∠GEB :.△CBF≌aGEB(ASA), ..CF=BG. .CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD. l6.(1)CP=PO且PC⊥PO,证明见解析：(2)DE=BD+CE,理由见解析：(3)6 【详解】(1)解：CP=PO且PC⊥PO理由如下： 16119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当t=1时，AP=2×1=2cm,BQ=2×1=2cm, AB =7cm, :BP=AB-AP=7-2=5cm, 又AC=5cm, :AC=BP, :AC⊥AB,BD⊥AB, .∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPO中， 「AP=BQ ∠A=∠B AC=BP .△ACP≌△BPQ(SAS)」 .CP=Pg,∠C=∠BPg, :∠C+∠APC=90° .∠APC+∠BPQ=90° 又：∠APC+∠CPQ+∠BPQ=180°， .∠CP0=90°， .PC⊥Pg (2)解：DE=BD+CE,理由如下： :∠BDA=∠BAC,∠BDA+∠BAD+∠ABD=180°， .∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-∠BAD-∠BAC, 又：D,A,E三点在直线上， .∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°， .∠CAE=180°-∠BAD-∠BAC, .∠ABD=∠CAE, 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE. AB=AC 17119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ADB≌△CEA(AAS). ∴.AE=BD,AD=CE, :DE =DA+AE=CE+BD, 即DE=CE+BD (3)解：由(2)同理可证△ADB≌aCEA(AAS), .S.ABD=S.CEA. S.ABD+S.CEF =S.CEA+S.CEF=S.CFA: ,直线u与BC的延长线交于点F,且BC=2CF, “△CFA与△ABC有公共顶点A,且底边CF与BC在同一直线上， S.cPL=CF=1 S,8c BC 2' S.ABC =12, 1 8.c42x12=6, 即△ABD与△CEF的面积之和为6. 17.(1)∠CAE,BD:(2)证明见解析：(3)DE=CE-BD:(4)△ABD≌aCAE成立，理由 见解析 【详解】(1)证明：：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90°， .∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°. .∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA, AB=CA 、.△ADB≌aCEA(AAS), .AD=CE,AE=BD: (2)证明：：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， .∠BAC=∠BDA=∠CEA=90°， 18119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， .∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA, AB=CA ·.△ADB≌aCEA(AAS) .'AD=CE,AE=BD, ..DE=AE-AD=BD-CE: (3)解：DE=CE-BD. 同理(2)可得：△ADB≌aCEA(AAS), :AD=CE,AE=BD, .DE=AD-AE=CE-BD (4)解：△ABD≌aCAE成立，理由如下： .∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠CAE+∠CAB+∠BAD=180°， ∠ADB=∠CAB. :.∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA, AB=CA ·.△ADB≌△CEA(AAS) 19119可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形证明方法 线三等角 模型梳理 (I)条件：如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,B、F分别是直线CD上的两点， 且∠BEC=∠CFA=a,0<∠BCAK180°，∠BCA=180°-a, 结论：△BCE≌ACAF B D E A (2)条件：如图，直线CD经过∠BCA的外部，CA=CB,B、F分别是直线CD上的两点，且 ∠BEC=∠CFA=a,∠BCA=a, 结论：①△BCE≌△CAF:②BE+AF=EF」 -D E (3)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,∠BDC=∠CEA=90°， 结论：①△BDC≌aCEA,②BD+AE=DE B 1/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,∠BDC=LCEA=90°， 结论：①△BDC≌aCEA;②BD-AE=DE E D C A (5)条件：如图，∠BCA=90°，CA=CB,BD⊥CE,CA⊥EA, 结论：△BDC≌△CEA, B E D 典例精讲 【典例1】如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点 F,DE与直线AF交于点G.若BC=m,AF=n,则△ADG的面积为 D B 【答案】4mn 【详解】解：如图，过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于O, 2/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B GO :∠BAD=90°，BC⊥AF, .∠BAF+∠DAP=∠BAF+∠ABF=90°， .∠DAP=∠ABF, :AB=AD,∠BFA=∠APD=90°， :.△AFB≌△DPA(AAS), 同理可证△AFC≌△EQA(AAS) :.DP=AF=n,EO=AF=n,AP=BF,AO=CF, 在△DPG与△EQG中， 「∠DPG=∠EOG ∠DGP=∠EGQ, DP=EO :.△DPG≌aEQG(AAS), .PG=GO, .BC=m, ..AO+AP=m :AP+AP+PG+GQ=AP+AP+PG+PG=m, 1 :.AG=AP+PG=m, 2 ®S。Ac=xAGx DP=x m×n=-mn 2*2 4 【典例2】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在△ABC外作直线L,AM⊥I于点 M,BW⊥I于点N. 3/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)试说明：MN=AM+BW, (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<Q<180°)，AC=BC,请问 (I)中的结论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析：(2)DE=AD+BE成立，理由见解析 【详解】(1)证明：：∠4CB=90, :.∠ACM+∠BCN=90°， AM⊥1，BN⊥1， .∠AMC=∠CNB=90°， :.∠ACM+∠CAM=90°， ∴.∠CAM=∠BCN, 在△AMC和△CNB中， ∠AMC=∠CNB ∠CAM=∠BCN, AC=CB ·.△AMC≌aCNB(AAS), .AM=CN,CM=BN, ..MN CN+CM. .MN AM+BN: (2)解：DE=AD+BE成立，理由如下， ∠ACB=a(90°<a<180), :.∠ACD+∠BCE=180°-a, :∠ADC=a(90°<a<180). ,∠ACD+∠CAD=180°-a, .∠CAD=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， 4/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE. AC=CB :△ADC≌△CEB(AAS), .AD=CE,CD=BE, .DE CE+CD. .DE=AD+BE 【典例3】(1)习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在△ACB中， ∠ACB=9O°，AC=BC,直线经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.请直接写出DE、 AD、BE之间的数量关系 M-D 图1 (2)问题解决：在(1)的条件下，当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE. M 图2 (3)变式探究：如图3，∠BCA=60°，CA=CB,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，并且经过 ∠BCA的内部，点E、F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA=120°.请猜想EF、BE、AF之间的数量 关系，并说明理由. B 图3 【答案】(I)DE=AD+BE;(2)证明见解析：(3)EF=BE-AF,理由见解析 【详解】解：(I)证明：：AD⊥MN,BE⊥MN, .∠ADC=∠BEC=90°， 5/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACB=90° :.∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， .∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中 ∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB. AC=BC :.△ADC≌aCEB(AAS), .AD=CE.CD=BE, .DC+CE=DE, .DE =AD+BE (2)证明：：AD⊥MN,BE⊥MN, :∠ADC=∠CEB=90°， 又∠ACB=90°， ∴.∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， .LDAC=∠BCE, .AC=BC, ·.△ADC≌aCEB(AAS) .AD=CE,CD=BE, .DE=CE-CD=AD-BE (3)解：EF=BE-AF,理由如下： :∠BEC=∠CFA=120°， .∠BED=180°-120°=60°， ,∠BCA=∠BCE+∠ACF=60°，∠BED=∠BCE+∠CBE=60°， ∠ACF=∠CBE, 在△BCE和△CAF中， 「∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF, BC=AC 6/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△BCE≌aCAF(AAS), .AF=CE,CF=BE, .EF=CF-CE=BE-AF 【典例4】根据图形解决以下问题 B 图1 图2 图3 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线1经过点C,过点A作AD⊥1于点 D,过点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌aCEB; (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直 线CD的垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)①△AEC≌△CFB,理由见解析：②4 【详解】(1)证明：，AD⊥1，BE⊥1， .∠ADC=∠BEC=90°， 又∠ACB=90° .∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE, 在△ADC和△CEB中， [∠ACD=∠CBE ∠ADC=∠BEC=90°， CA=CB :.△ADC≌△CEB(AAS) (2)解：①△AEC≌aCFB,理由如下： :AE⊥CD,BF⊥CD, .∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， 7/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 在△AEC和△CFB中， I∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠BFC=90° CA=CB .△AEC≌△CFB(AAS) ②AE⊥CD,BF⊥CD, .∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 在△AEC和△CFB中， I∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠BFC=90° CA=CB ·.△AEC≌aCFB(AAS). .CE=BF=1,AE=CF=3. .EF=CF+CE=3+1=4. 8/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例5】(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,过点B,C分别向直 线I作垂线，垂足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE； (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,点A,D,E在直线I上，满足 ∠CEA=∠BAC=∠ADB,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，以△ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°， AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高，延长GA交DE于点H.若AH=4,AG=10,求 △DAE的面积. D B D G 图1 图2 图3 【答案】(1)证明见解析：(2)DE=BD+CE,理由见解析：(3)40 【详解】(1)证明：，BD⊥直线l,CE⊥直线l .∠BDA=∠AEC=90°， .∠DAB+∠DBA=90°， .∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90°. .∠DBA=∠EAC, 在△ABD和△CAE中， 「∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠EAC AB=AC ·△ABD≌aCAE(AAS)片 (2)解：DE=BD+CE,理由如下： :∠EAB是△ABD的外角， ∠EAB=∠ADB+∠DBA, .∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA. :∠ADB=∠BAC. .∠EAC=∠DBA, 9/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△EAC和△DBA中， ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB AC=AB △EAC≌△DBA(AAS). .CE=AD,AE =BD, .DE=AE+AD=BD+CE. (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： G ,AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90°， :∠BAD=90°， ∠BAG+∠DAM=90°. .∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌△DAM(AAS), :DM=AG,同理可证明：△AGC≌△ENA, .EN =AG. .DM=EN=AG. S.DAE =S.AUD+S.AME= 4-pM+号h-BN=4x4G=40=40, 2 ∴.△ADE的面积等于40. 10135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，AD=DE,若∠ADE=∠B,CD=3BD, 则CE等于() B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：：AB=AC=9, :.∠B=∠C, :∠ADE=∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB, ∴.∠BAD=∠CDE, AD =ED. ∴在△ABD与△DCE中， I∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AD=ED .△ABD≌aDCE(AAS), ..CD=AB=9,BD=CE. CD=3BD. .CE=BD=3 2.如图，AC=CE,∠ACE=90°，AB⊥BD,ED⊥BD,AB=6cm,DE=2cm,则BD等于 () A.6cm B.8cm C.10cm D.4cm 【答案】B 12135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，AB⊥BD,ED⊥BD, :.∠ABC=∠CDE=90°， .∠ACE=90° :.∠ACB+∠DCE=90°， :∠ACB+∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠DCE, 在△ABC和△CDE中， 「∠ABC=∠CDE ∠BAC=∠DCE, AC=CE .△ABC≌aCDE(AAS), .'AB=CD=6cm,BC=DE 2cm. .BD=BC+CD=2+6=8cm 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF,AC=AG.连接 FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论：①BG=CF:②BG⊥CF:③ EF=EG: ④BC=2AE,其中正确的有() G B D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAF+∠BAC=∠BAC+∠CAG, ∠CAF=∠GAB, 在△CAF与△GAB中， 「AF=AB ∠CAF=∠GAB. AC=AG 13135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△CAF≌aGAB(SAS). .BG=CF,故①正确， :△CAF≌AGAB」 :.∠FCA=∠BGA, 如图，记BG,AC交于点H,BG,CF的交点为K, E H B ,∠AHG=∠CHK, .∠HAG=∠CKH=90°， 、.BG⊥CF,故②正确， 过点F作FM⊥AE于点M,过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N, E -M H B D .∠FMA=∠FAB=∠ADB=90° :∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°， .∠BAD=∠AFM. 又，AF=AB, .△AFM≌△BAD(AAS), .'AM=BD,FM=AD, 同理△ANG≌aCDA(AAS), .NG=AD,AN=CD, 14135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FM =NG, ,FM⊥AE,NG⊥AE, .∠FME=∠ENG=90°， ,∠MEF=∠NEG. .△FME≌aGNE(AAS), .EF=EG,EM=EN, :BC=CD+BD=AN+AM=AE+EN+AE-EM=2AE, 故③正确，④正确. 4.如图，在四边形ABEF中，AB=4,EF=6,点C是BE上一点，连接AC、CF,若AC=CF, ∠B=∠E=∠ACF,则BE的长为 A B 【答案】10 【详解】解：：∠B+∠BAC=∠ACE=∠FCE+∠ACF, 又：∠B=∠ACF, ∴.∠BAC=∠FCE, :∠B=∠E,AC=CF, ∴.△ABC≌ACEF(AAS), .AB=CE,BC=EF, :AB=4,EF=6. .BE=BC+CE=6+4=10 5.如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.直线1经过点A,过点B作BE⊥1于点E,过点C 作CF⊥I于点F.若BE=2,CF=5,则EF= F B 15135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】7 【详解】解：：BE⊥I,CF⊥l, ∠AEB=∠CFA=90°. .∠EAB+∠EBA=90°. 又，∠BAC=90°， .∠EAB+∠CAF=90° ∴.∠EBA=∠CAF 在△AEB和△CFA中 :∠AEB=∠CFA,∠EBA=∠CAF,AB=AC, :.△AEB≌△CFA(AAS) .AE=CF,BE=AF. .AE+AF BE+CF. ∴EF=BE+CF. :BE=2,CF=5, .EF=2+5=7. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点A坐标为(-7,3)，点C的坐标为(-2,0)，则点B 坐标是 B co 【答案】(L,5) 【详解】解：作AD上x轴于点D,作BE⊥x轴于点E,如图所示， 则∠ADC=∠CEB=90°. 16135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD+∠CAD=90°， ,∠ACB=90° .∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， [∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB=90°， AC=CB :△ACD≌aCBE(AAS), .AD=CE,DC=EB :点A的坐标为(-7,3)，点C的坐标为(-2,0) .OD=7,AD=3,OC=2. .CE=3,BE=OD-OC=7-2=5, .OE=CE-OC=3-2=1. ∴点B的坐标为(L,5) 7.如图，己知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，则图中阴影部 分图形的面积S等于 E B 3 A G 【答案】72 【详解】解：AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH, .∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， ,∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°， .∠EAF=∠ABG, .AE=AB,∠EFA=∠AGB.∠EAF=∠ABG :.△EFA≌△AGB(AAS) 17/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=BG.AG=EF 同理可证△BGC≌△CHD(AAS), ..GC=DH,CH=BG. :.FH=FA+AG+GC+CH=3+8+4+3=18, :S=2×(8+4)x18-3x4-8x3=72. 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD上， ∠I=∠2=∠BAC,若△BDE的面积为2，△ABC的面积为21，则aCFD的面积为 【答案】9 【详解】解：：∠I=∠2=∠BAC,∠I=∠ABE+∠BAE,∠2=∠ACF+∠FAC, ∠BAC=∠FAC+∠BAE, .∠ABE=∠FAC,∠BAE=∠ACF, 又：AB=AC, .△ABE≌aCAF(ASA) ∴.SaBE=SaC4f. .CD=2BD. .SACD=2S。ABD, =2×21=14,m-=c=×21=7, 1 .S.ACD= 3 3 3 S.CAF =S.ABE=S.4BD-S.BDE=7-2=5. ..S.CFD =S.ACD-S.CAF=14-5=9. 9.如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上一点，以点P为顶点作∠MPN=∠B,PM交AB于 D,PN交AC于E,若BC=13,BP=CE=4,求BD的长. 18135 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】9 【详解】解：，AB=AC, ∠B=∠C, .∠MPN=∠B,∠MPC=∠MPN+∠EPC=∠B+∠BDP, .∠EPC=∠PDB, BP=CE=4, .△EPC≌aPDB(AAS), .BD=CP=BC-BP=13-4=9 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E. D A (1)求证：CD=BE: (2)如果AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长. 【答案】(1)证明见解析：(2)0.8 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，AD⊥CE,BE⊥CE ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∠BEC=∠CDA=90°， .∠ACD=∠CBE, 在△ADC与△CEB中， ∠CDA=∠BEC ∠ACD=∠CBE, AC=CB :.△ADC≌△CEB(AAS), 19135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=BE (2)解：AD=2.5cm,DE=1.7cm, 由(1)可知CE=AD=2.5cm, .CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm, 又，：AADC≌ACEB. ..CD=BE=0.8cm 1L.(1)课本习题回放：“如图O,∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为 (2)探索证明：如图②，点B,C在∠MAN的边AM、AW上，AB=AC,点E,F在∠MAN内部的 射线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC,求证：△ABE≌aCAF. (3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E、 F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 (直接填写结果，不需要写解答过程) M C D 图① 图② 图③ 【答案】(1)0.8cm:(2)证明见解析：(3)5 【详解】(I)解：：BE⊥CE,AD⊥CE. ∴.∠E=∠ADC=90°， .∠EBC+∠BCE=90° ,∠BCE+∠ACD=90°. :.∠EBC=∠DCA 在△CEB和△ADC中， 「∠E=∠ADC ∠EBC=∠DCA. BC=AC 20135 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△CEB≌△ADC(AAS), .BE DC.CE=AD=2.5cm. DC=CE-DE,DE=1.7cm. .DC=2.5-1.7=0.8cm, .BE=0.8cm: (2)证明：：∠1=∠2， :.∠BEA=∠AFC」 ∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC,∠1=∠BAC, :.∠BAC=∠ABE+∠3， ∴.∠4=∠ABE :∠AEB=∠AFC,∠ABE=∠4，AB=AC, .△ABE≌aCAF(AAS)」 M B D <2 44龙 (3)解：：∠BED=∠CFD=∠B4C, ·.∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF, .∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF, 又AB=AC, .△ABE≌△CAF(ASA), S.ABE=S.CAF ∴.△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即为△ABD的面积， :CD=2BD,△ABD与△ACD的高相同， 1 则S,4n3S4ac=5, 故△ACF与△BDE的面积之和为5 12,“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂 21135 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形 【模型呈现】 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点 D,BE⊥DE于点E,请直接写出AD、BE与DE之间的数量关系： 【模型应用】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CD,过点A作 AD⊥CD于点D,过点B作BE⊥CD于点E,AD=5,BE=I2.求DE的长. 图1 图2 【答案】(1)AD+BE=DE,理由见解析：(2)7 【详解】解：(I)AD、BE与DE之间满足的数量关系为：AD+BE=DE: 理由如下： 由题意得：∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠CAD=90°， ·.LBCE=∠CAD: :∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC, ·.△BCE≌aCAD(AAS) .AD=CE,BE=CD. .CD+CE=DE. .AD+BE =DE (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠1+∠2=90°， ,AD⊥CD于点D,BE⊥CD于点E, .∠D=∠BEC=90°， .∠2+∠3=90°， .∠3=∠1， 22135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 在△ACD和△CBE中， 「∠D=∠BEC=90° ∠1=∠3 AC=BC ·.△ACD≌aCBE(AAS), .CD=BE=12,CE=AD=5. :.DE=CD-CE=12-5=7 13.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： D F B E E ■ A E D D 图① 图② 图③ 【模型认知】如图O,点A在直线1上.∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥I于点C,过点D 作DE⊥I于点E.易得∠BAC=∠D,又∠BCA=∠AED=90°，可以推理得到 △ABC2aDAE(AAS).进而得到结论：AC= 我们把这个数学模型称为“K字”模型或 “一线三直角”模型. 【模型运用】如图②，在△ABC中，点D是BC上一点，AC=AD,∠CAD=90°，DE⊥AB于点 E,且点E为AB中点，AB=8,请求出△ABC的面积 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点C作CF⊥BA的延长线于点F, :DE⊥AB,∠CAD=90°， .∠AED=∠AFC=∠CAD=90° 23135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过程缺失 请你补全缺失的解题过程。 【拓展提升】如图④，点A在直线I上，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连结BC、 DE,且BC⊥I于点F,DE与直线I交于点G.若BC=17,AF=8,则S。ADG= B 【答案】【模型认知】DE；【模型运用】16；【拓展提升】34 【详解】【模型认知】进而得到结论：AC=DE, 【模型运用】解：过点C作CF⊥BA的延长线于点F, F D 图② :DE⊥AB,∠CAD=90°， :.∠AED=∠AFC=∠CAD=90° :DE⊥AB于点E,且点E为AB中点， ∠ABD=∠BED=90,AE=BE=)AB=4. 2 .AC=AD. :∠CAD=90° :.∠DAE+∠CAF=90°， :∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠CAF=∠ADE, 在△CAF和△ADE中， 「∠CFA=∠AED=90 ∠CAF=∠ADE AC=AD 24135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :aCAF≌aADE(AAS), .CF=AE=4. 1 :.SMBc=5AB.CF=5×8×4=16: 2 【拓展提升】解：过点D作DP⊥I于点卫，过点E作EO1I于点O,如图所示： B、 同模型认知证明：△ABF≌aDAP(AAS),△ACF≌aEAQ(AAS), :.BF=AP,AF DP,CF=AO,AF=EO, :BC=BF+CF=AP+AO=AP+AP-PO=2AP-PO,AF=DP=EQ, BC=17,AF=8. :.2AP-PO=17,DP=EO=8, :DP⊥I,EQ⊥1 .∠DPG=∠EQG=90° 在△DPG和△EQG中， 「∠DPG=∠EQG=90° ∠DGP=∠EGQ DP=EO .△DPG≌aEOG(AAS), ..PG=OG. :.PO=2PG .2AP-2PG=17, :.4G=AP-PG=17 , △1DG的面积为：)4G-DP=)x1 ×8=34 22 25135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图1，AB=10cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A、B,AC=7cm.点P在线段AB上 以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点O从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为(s)(当 点P运动结束时，点Q运动随之结束)， B A-P 图1 图2 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BP是否全等？此时线段PC和 线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由： (2)如图2，若“AC⊥AB,BD L AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点O的运动速度为xCm/S,其 他条件不变，当△ACP与△BP卫全等时，求出相应的x与t的值. 【答案】(1)当t=1时，△4CP与△BPO全等：PC⊥P0,理由见解析：(2)当t=1时， 5 21 x=3cms:当f=3时，x=5cms 【详解】(I)解：当t=1时，△ACP与△BPO全等：线段PC和线段PO的位置关系是：PC⊥PQ, 理由如下： ,点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3Cms,且运动的时间t=ls, .AP=3cm,BO=3cm, .'AP=BO=3cm. AB=10cm, ∴BP=AB-AP=7cm, 又.AC=7cm, .AC=BP=7cm, AC⊥AB,BD⊥AB, ∠A=∠B=90°， 在△ACP与△BPQ中， AP=BO ∠A=∠B=90°， AC=BP 27135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ACP≌△BPQ(SAS), ∴.∠C=BP0, 在RtAAPC中，∠C+∠APC=90°， :.∠BPQ+∠APC=90° .∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°. .PC⊥Pg: (2)解：依题意得：AP=3tcm,BQ=xtcm, .AB=10cm. .BP=AB-AP=10-3t(cm). 又：AC=7cm,∠CAB=∠DBA ①当AP=BO,AC=BP时，△ACP≌△BPQ, 由AP=B0,得：3t=xt, 解得：x=3 由AC=BP,得：7=10-3t, 解得：t=1, ②当AP=BP,AC=BO时，△ACP≌△BQP, 由AP=BP,得：3t=10-3t, 5 解得：t=。 3 由AC=BQ,得：7=xt, . 3=7. 解得：七2 5 21 综上所述：当=1时，x=3cms:当1=3时，x= cm/s 5 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为射线BC上一点（不与点B,C重合），连接 AD并延长到点E,使得DE=AD,连接BE,过点B作BE的垂线交直线AC于点F. 28135 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，点D在线段CB上，且DB<CD ①请补全图形： ②判断CD,DB,CF之间的数量关系，并证明 (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD,DB,CF之间的数量关系. 【答案】(1)①作图见解析：②CD=BD+CF,证明见解析：(2)作图见解析，CF=CD+BD 【详解】(1)解：①补全图形如图所示： ②CD=BD+CF,证明如下： 如图，作EG⊥CB交CB的延长线于G, D 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， ∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG AD=ED :.△ACD≌△EGD(AAS). 29/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=DG,AC=EG. AC=BC, ..EG=BC, BF⊥BE, .∠EBF=90°， .∠CBF+∠EBG=90° ∠BEG+∠EBG=90°， ∴.∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， 「∠FCB=∠BGE BC=EG ∠CBF=∠GEB :.△CBF≌aGEB(ASA), ..CF=BG, .CD=DG=BD+BG=BD+CF (2)解：画出如图所示，CF=CD+BD F B 口D E 作EG⊥BC交BC的延长线于G,则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， 「∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG AD=ED :.△ACD≌△EGD(AAS). ..CD=DG,AC=EG, 30135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:AC=BC, .EG=BC, :BF⊥BE, .∠EBF=90°， .∠CBF+∠EBG=90°， :∠BEG+∠EBG=90°， .∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， ∠FCB=∠BGE BC=EG ∠CBF=∠GEB .△CBF≌aGEB(ASA), ..CF =BG. ..CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD 16.(1)如图1，AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=5cm.点P在线段AB上以2cmS的速 度由点A向点B运动，同时，点O以相同的速度在射线BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为(S), 当点P到达点B时，点Q也停止运动.当t=ls时，猜想：线段CP与PQ之间的关系，并说明理由. C D 个 B 图1 (2)【拓展】如图2，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC猜想：线段DE、BD、CE之间的关系，并说明理由. m D 图2 (3)【应用】如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE, 31135 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是12，则 △ABD与△CEF的面积之和为 B -m 图3 【答案】(1)CP=PO且PC⊥PO,证明见解析：(2)DE=BD+CE,理由见解析：(3)6 【详解】()解：CP=PO且PC⊥PO理由如下： 当t=1时，AP=2×1=2cm,BQ=2×1=2cm. AB =7cm. .'BP=AB-AP=7-2=5cm. 又AC=5cm, .AC=BP, :AC⊥AB,BD⊥AB, .∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPQ中， 「AP=BQ ∠A=∠B AC=BP :.△ACP≌△BPQ(SAS). .CP=Pg,∠C=∠BPQ, :∠C+∠APC=90°， :.∠APC+∠BPQ=90° 又：∠APC+∠CPQ+∠BPQ=180°， .∠CPQ=90°， .PC⊥PQ (2)解：DE=BD+CE,理由如下： .'∠BDA=∠BAC,∠BDA+∠BAD+∠ABD=180°， 32135 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-∠BAD-∠BAC, 又，D,A,E三点在直线m上， ∴.∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°」 .∠CAE=180°-∠BAD-∠BAC, ∴∠ABD=∠CAE, 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE. AB=AC .△ADB≌△CEA(AAS) .AE=BD,AD=CE. .DE=DA+AE =CE+BD, 即DE=CE+BD (3)解：由(2)同理可证△ADB≌aCEA(AAS), .SABD=S.CEA S.ABD+S.CEF=S.CEA+S.CEF =S.CFA, :直线m与BC的延长线交于点F,且BC=2CF, ∴.△CFA与△ABC有公共顶点A,且底边CF与BC在同一直线上， S.cE-CF1 ·S.ABC BC2' S.ABC =12, ÷8.c42x12=6, 即△ABD与△CEF的面积之和为6. 17.一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满 足三个直角项点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. 33135 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B E E A M D 图1 图2 图3 M D E 图4 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点 D,过点C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得∠DBA= 又知道∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE,进而得到 AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE, (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE之间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满 足∠BDA=∠BAC=∠AEC=&,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌△CAE是否成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由 【答案】(1)∠CAE,BD:(2)证明见解析：(3)DE=CE-BD:(4)△ABD≌aCAE成立， 理由见解析 【详解】(1)证明：：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， .∠BAC=∠BDA=∠CEA=90° .∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， .∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， 34135 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA. AB=CA △ADB≌△CEA(AAS), 、AD=CE,AE=BD: (2)证明：：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， .∠BAC=∠BDA=∠CEA=90°， :.∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， .∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， [∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA, AB=CA :.△ADB≌aCEA(AAS) .AD=CE,AE=BD, .DE=AE-AD=BD-CE (3)解：DE=CE-BD 同理(2)可得：△ADB≌aCEA(AAS), .AD=CE,AE=BD, .DE=AD-AE CE-BD (4)解：△ABD≌aCAE成立，理由如下： ,∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠CAE+∠CAB+∠BAD=180°， ∠ADB=∠CAB. .∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA. AB=CA .△ADB≌△CEA(AAS) 35135