专题02 三角形全等的判定（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 以三角形全等判定方法为核心，通过8类题型系统覆盖SAS、ASA/AAS、SSS、HL等判定方法，结合正方形网格、实际应用等情境，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SAS间接证明|4题|需通过等量代换构建两边夹角|从直接应用到间接转化| |ASA/AAS证明|4题|结合生活情境（如三角板掉落）|强调角边角关系的识别| |SSS证明|4题|包含作图原理（角平分仪）|体现三边对应相等的判定本质| |稳定性应用|4题|联系生活实例（窗钩、钢架桥）|从数学原理到实际应用| |HL证全等|4题|直角三角形特有的判定方法|与一般三角形判定方法对比| |网格角度计算|4题|利用全等转化角度关系|培养空间观念与转化思想| |添加条件|4题|开放型问题，考查判定条件完整性|深化对判定定理的理解| |方法选用|4题|辨析全等判定的适用条件|综合运用各类判定方法|

专题02三角形全等的判定 常考题型·精准突破 考点一 三角形全等的判定 题型1用SAS间接证明三角形全等（重） 题型2用ASA(AAS)证明三角形全等 （高频） 题型3用SSS证明三角形全等 题型4三角形的稳定性及应用 题型5用HL证全等 题型6利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型7添加条件使三角形全等（难） 题型8灵活选用判定方法证全等 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形全等的判定 ◆题型1用SAS间接证明三角形全等 1．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【详解】略 2．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【详解】（1）略． （2）略． 3．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， 即， 在和中， ； (2) 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． 4．如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) 与垂直． 理由如下： ∵， ∴， 而， ∴， ∴． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 ◆题型2用ASA(AAS)证明三角形全等 5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 6．如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【详解】证明：略； 7．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 8．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． ◆题型3用SSS证明三角形全等 9．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 10．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 11．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【详解】略 12．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵和都为等腰三角形，为顶角的顶点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ◆题型4三角形的稳定性及应用 13．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 14．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 15．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性， 斜钉两根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 16．如图，工人师傅在修建钢架桥时，在桥梁的钢架结构中加装了许多斜撑杆，使每个网格都呈现出三角形，这是利用了该图形的________性，从而增强桥梁的承重能力． 【答案】稳定 【详解】解：由题意得，这是利用了该图形的稳定性． ◆题型5用HL证全等 17．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 18．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 19．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【答案】当点运动到线段的中点位置时，能使与全等 【详解】解：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， ①当时，点与点重合，不符合题意， ②当时，在与中， ∵， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点， 综上所述，当点运动到线段的中点位置时，能使与全等． 20．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【详解】略． ◆题型6利用全等图形求正方形网格中角度之和 21．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 22．如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 24．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． ◆题型7添加条件使三角形全等 25．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 26．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 27．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵和， ∴当添加时，可用来判定． 28．如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 【答案】（或或，答案不唯一） 【详解】解：是的角平分线， ， 又， 当添加或或时，，分别属于、、的判定条件，答案不唯一，选择一种即可． ◆题型8灵活选用判定方法证全等 29．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 30．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 31．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、能判定和全等； B、不能判定和全等； C、能判定和全等； D、能判定和全等． 32．下列说法中，错误的是（    ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【详解】解：A．两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等，符合全等三角形的判定定理，可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； B．两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等时，高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，能得到不全等的两个三角形，因此不能判定两个三角形全等，该说法错误，符合题意； C．两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等，可通过延长中线构造全等，推导出第三边对应相等，根据可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； D．两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等，可通过证明包含该角平分线的小三角形符合AAS判定定理全等，进而推导出原三角形全等，该说法正确，不符合题意． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性． 2．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 3．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 4．如图所示，，，则图中全等三角形共有（     ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】C 【详解】解：在和中 在和中 即 在和中 ∴共有3对全等三角形 ． 5．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求； B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求； C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求； D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求． 二、填空题 7．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 【答案】 【详解】 和均为直角三角形 点是的中点 若利用“”证明 已知直角边对应相等根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等则需添加斜边． 8．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 三、解答题 9．如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， 又，， ∴． (2) 证明：由（）知， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 10．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 11．李叔叔家在原有楼房的基础上加盖了一层阁楼，乐乐和冬冬利用假期测量了该阁楼的高度．测量过程如下： ①通过询问李叔叔得知楼房原来的高度米，乐乐在地面上距点6米的点处（即米），测得的度数； ②冬冬在地面上的点处测得的度数，发现与互余，并用皮尺测得米； 已知点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，．请根据上述信息求出该阁楼的高度． 【答案】该阁楼的高度为2米 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为与互余， 所以， 所以， 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以该阁楼的高度为2米． 12．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：，，， 求证： 证明：， 在和中 由， ， ； 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：，，， 求证： 证明：在和中 由， ， ， ； 【详解】略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形全等的判定 常考题型·精准突破 考点一 三角形全等的判定 题型1用SAS间接证明三角形全等（重） 题型2用ASA(AAS)证明三角形全等 （高频） 题型3用SSS证明三角形全等 题型4三角形的稳定性及应用 题型5用HL证全等 题型6利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型7添加条件使三角形全等（难） 题型8灵活选用判定方法证全等 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形全等的判定 ◆题型1用SAS间接证明三角形全等 1．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 2．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 3．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． ◆题型2用ASA(AAS)证明三角形全等 5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 6．如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 7．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 8．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． ◆题型3用SSS证明三角形全等 9．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 10．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 11．已知，如图，，，， 求证：． 12．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． ◆题型4三角形的稳定性及应用 13．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 14．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 15．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 16．如图，工人师傅在修建钢架桥时，在桥梁的钢架结构中加装了许多斜撑杆，使每个网格都呈现出三角形，这是利用了该图形的________性，从而增强桥梁的承重能力． ◆题型5用HL证全等 17．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 18．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 19．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 20．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． ◆题型6利用全等图形求正方形网格中角度之和 21．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 22．如图，在的方格纸中_____． 23．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 24．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ ◆题型7添加条件使三角形全等 25．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 27．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 28．如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） ◆题型8灵活选用判定方法证全等 29．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 30．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 31．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 32．下列说法中，错误的是（    ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等的两个三角形全等 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，，，则图中全等三角形共有（     ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 5．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 二、填空题 7．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 8．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 三、解答题 9．如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 10．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 11．李叔叔家在原有楼房的基础上加盖了一层阁楼，乐乐和冬冬利用假期测量了该阁楼的高度．测量过程如下： ①通过询问李叔叔得知楼房原来的高度米，乐乐在地面上距点6米的点处（即米），测得的度数； ②冬冬在地面上的点处测得的度数，发现与互余，并用皮尺测得米； 已知点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，．请根据上述信息求出该阁楼的高度． 12．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形全等的判定 内容概览 目常考题型精准突破 考点一三角形全等的判定 题型1用SAS间接证明三角形全等（重） 题型2用ASA(AAS)证明三角形全等（高频） 题型3用SSS证明三角形全等 题型4三角形的稳定性及应用 题型5用HL证全等 题型6利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型7添加条件使三角形全等（难） 题型8灵活选用判定方法证全等 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ·考点一三角形全等的判定●一 ◆题型1用SAS间接证明三角形全等 1.证明：AD∥BE, ∠A=∠B, 在△ADC和△BCE中， AD=BC ∠A=∠B AC=BE .△ADC≌aBCE(SAS). 【详解】略 2.(1)证明：：AF=DC, .AF-CF=DC-CF, 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AC=DF 在△ABC和△DEF中： AC=DF ∠A=∠D AB=DE .△ABC≌aDEF(SAS) (2)BC=EF,且BC∥EF,证明如下： 由(1)得△ABC≌ADEF .BC=EF,∠ACB=∠DFE .∠BCF=∠EFC. ∴.BC∥EF. 综上，BC=EF,且BC∥EF 【详解】(1)略 (2)略。 3.(1) 证明：∠1=∠2， .∠I+∠CBE=∠2+∠CBE, 即∠ABE=∠CBD 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD △ABE≌aCBD(SAS): (2)ED=3 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ABE≌aCBD, ∴.CD=AE=8 又.CE=5, .ED=CD-CE=8-5=3 4.(1)3cm (2) 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE与AD垂直. 理由如下： .△ACD≌△BCE, ∴.∠1=∠2， 而∠3=∠4， .∠EBD=∠ECD=90°， .BE⊥AD D 【详解】(1)证明：，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， .CD=CE,CA=CB. .∠ACB=90°，∠DCE=90° ∴.∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB,即∠ECB=∠ACD, .△ACD≌aBCE(SAS): .'AD=BE, AD=3cm, .BE=3cm, 故答案为：3cm; (2)略 ◆题型2用ASA(AAS)证明三角形全等 5.49 【详解】解：由题意得，∠ACB=90°，AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°， .a=7cm, .AD=4a=28cm,BE=3a=21cm, :∠CAD+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE. 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°， '△ACD≌△CBE(AAS)」 .CE=AD=28cm,CD=BE=21cm, .DE=CD+CE=21+28=49cm. 6.证明：，AB∥DE, .∠D=∠CAB .'∠BAE=∠BAD+∠EAD,∠BAE=∠BAD+∠B, ∴.∠EAD=∠B, 在△ABC和△DAE中， [∠D=∠CAB ∠EAD=∠B AE=BC △ABC≌aDAE(AAS)」 【详解】证明：略： 7.(1)40° (2)证明：.∠EDC=∠C, .EC=ED 由(1)可知：∠AEB=∠1， 又，∠1=∠2， ∴.∠2=∠AEB, .∠2+∠AED=∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED, 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B ∠AEC=∠BED EC=ED .△AEC≌aBED(AAS) 【详解】(1)解：，∠A=∠B,∠BOE=∠AOD,点D在AC边上，AE和BD相交于点O, ∴.∠AEB=∠I, 又，∠1=∠2，∠2=40°， .∠AEB=∠1=∠2=40°： (2)略. 4116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(1)证明：∠CAB=90°，∠ADB=90°，CE⊥AD ∴.∠CAB=∠AEC=∠BDA=90° ∴.∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠ACE=∠BAD 在△ACE和△BAD中， [∠AEC=∠BDA=90° ∠ACE=∠BAD AB=AC AACESABAD(AAS): (2)11 【详解】(1)略 (2)解：△ACE≌aBAD」 ∴.AE=BD=9,AD=CE=20 ∴.DE=AD-AE=20-9=11. ◆题型3用SSS证明三角形全等 9.C 【详解】解：在△ABC和△ADC中， AB=AD BC=DC AC=AC .△ABC≌△ADC(SSS) 10.解：：BD=EC, .BD-CD=EC-CD. ·.BC=ED AB=FE,AC=FD, ∴.△ABC≌△FED(SSS), .∠B=∠E 【详解】略 11. 证明：BE=CF, 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BE+EC=CF+EC,BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE BC=EF AC=DF .△ABC≌aDEF(SSS) .∠A=∠D 【详解】略 12.∠CAE=30° 【详解】解：，△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点， .'AB=AD,AC=AE. 在△ABC和△ADE中， (AB=AD AC=AE BC=DE .△ABC≌△ADE(SSS). .∠BAC=∠DAE .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. ∠BAD=30°， ∴.∠CAE=30° ◆题型4三角形的稳定性及应用 13.D 【详解】解：用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性. 14.三角形的稳定性 【详解】解：，用木条EF固定长方形门框ABCD,可得到△DEF, ∴.这种做法的根据是三角形的稳定性. 15.三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性，斜钉两 根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 16.稳定 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意得，这是利用了该图形的稳定性. ◆题型5用HL证全等 17.B 【详解】解：，AC⊥BD于点O, ∴.∠AOB=∠DOC=90° ∴.△AOB和△DOC均为直角三角形， 在Rt△AOB和Rt△DOC中， AB=CD AO=DO ..RtAAOBRtADOC(HL) 则可判定△AOB≌aDOC,依据是HL. 18.HL 【详解】解：∠ACB=∠BDA=90°， ∴△ACB和△BDA为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AC=BD AB=BA' :△ACB≌△BDA(HL). 则全等的依据是HL· 19.当点P运动到线段AC的中点位置时，能使△ABC与△APQ全等 【详解】解：，∠C=90°，AM⊥AC, .∠C=∠PAg=90° .△ABC与△APQ都是直角三角形， ①当AP=AC=16时，点P与点C重合，不符合题意， ②当AP=BC=8时，在Rt△ABC与Rt△APO中， 「AB=PQ BC=AP' .RtAABC≌Rt△QPA(HL), .AC=16, :AP=4C,即点p是线段4C的中点， 2 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，当点P运动到线段AC的中点位置时，能使△ABC与△APO全等. 20.解：条件是EC=FB,证明如下： :EA⊥AC,FD⊥BD, .∠EAC=∠FDB=90°， :∴△AEC和△DFB是直角三角形， 在RtAAEC和Rt△DFB中， EC=FB AE=DF' ∴.RtAAEC≌RtADFB(HL) ◆题型6利用全等图形求正方形网格中角度之和 21.C 【详解】解：如图，EF=BC=1,DF=AC=2,∠DFE=∠ACB=90°， A D F B .△DFE≌aACB(SAS), ∴.∠DEF=∠I, .∠2在∠DEF的内部， .∠1>∠2. 故选：C. 22.90 【详解】解：如图， A B C 在△ABC和△DEA中， 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=DE ∠ABC=∠DEA BC=AE .△ABC≌aDEA(SAS). .∠2=∠BAC. .∠1+∠BAC=180°-∠ABC=90°. .∠1+∠2=90° 23.45° 【详解】解：如图所示， E D F 3 M B 由题意得，在△ABC和△EFC中， 「AB=EF ∠B=∠EFC BC=FC ∴.△ABC≌AEFC(SAS) .∠3=∠1， :∠2+∠3=45°， .∠1+∠2=∠3+∠2=45， 故答案为：45° 24.90°/90度 【详解】解：如图， ● 9/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB=OC 在 和 中 ∠0=∠0 △AOC △DOB OA=OD ∴△AOC≌ADOB(SAS) ∴.∠au=∠OCA, :∠OCA+∠B=90°」 ∴.∠a+∠B=90°、 故答案为：90°」 ◆题型7添加条件使三角形全等 25.D 【详解】解：已知∠A=∠D=90°，BC=CB, 对于A,若AB=CD 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AB=DC' :.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),条件正确，故本选项不符合题意； 对于B,若AC=BD 在Rt△ABC和RtADCB中， BC=CB AC=DB' :.Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),条件正确，故本选项不符合题意； 对于C,若∠ABC=∠DCB, 在△ABC和△DCB中， ∠A=∠D ∠ABC=∠DCB BC=CB :△ABC≌△DCB(AAS),条件正确，故本选项不符合题意； 对于D,设AC与BD交于点O, 10/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C:∠A=∠D=90°∠AOB=∠DOC .∠ABD=∠ACD,此结论由已知条件即可推出，无法判定△ABC≌△DCB,条件错误，故本选项符合 题意 26.∠B=∠E(或∠ACB=∠DFE或AB∥DE或AC∥DF) 【详解】解：BF=EC, .BF+CF=EC+CF 即BC=EF 又：∠A=∠D, 可添加的条件有： (1)添加∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中 「∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF ∴△ABC≌aDEF(AAS): (2)添加∠ACB=∠DFE,. 在△ABC和△DEF中 [∠A=∠D ∠ACB=∠DFE BC=EF :AABC≌ADEF(AAS) (3)添加AB∥DE, 则∠B=∠E, 由(1)可知△ABC≌aDEF: (4)添加AC∥DF, 则∠ACB=∠DFE, 由(2)可知△ABC2ADEF, 27.∠A=∠D(答案不唯一) 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，∠ABC=∠DCB和BC=CB ∴.当添加∠A=∠D时，可用AAS来判定△ABC≌△DCB 28.∠ADB=∠ADC(或AB=AC或∠B=∠C,答案不唯一) 【详解】解：：AD是∠BAC的角平分线， .∠BAD=∠CAD, 又：AD=AD .当添加∠ADB=∠ADC或AB=AC或∠B=∠C时，△ABD≌aACD,分别属于ASA、SAS、AAS的判定 条件，答案不唯一，选择一种即可， ◆题型8灵活选用判定方法证全等 29.A 【详解】解：对于结论①：“AB=A,B,BCG=B,C,且两个三角形周长相等，即 AB+BC+AC=4B2+B2C2+4C2. ..AC=AC2 ∴aAB,C≌△4，B,C2(SSS),故①正确： 对于结论②：已知条件为LB=∠B2,B,C=B,C2,AC=A,C2,属于两边及其中一边的对角对应相等( SSA)的情况，SSA不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误： 综上，①正确，②错误. 30.C 【详解】解：A选项，只给出∠C=90°和AC=6,缺少其他边或角的条件，不能画出唯一△ABC,不符合 题意； B选项，AB=2,BC=3,∠A=50°属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理， 不能画出唯一△ABC,不符合题意： C选项，∠A=50°，∠B=60°，AB=2,是两角及其夹边，符合全等三角形的ASA判定定理，能画出唯一 △ABC,符合题意： D选项，AB+BC=2+3=5<AC=6，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形， 不符合题意 31.B 【详解】解：A、SAS能判定△ABC和△A'B'C'全等； B、SSA不能判定△ABC和△AB'C'全等： 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C、AAS能判定△ABC和△A'B'C'全等； D、SSS能判定△ABC和△AB'C全等. 32.B 【详解】解：A.两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等，符合全等三角形的AAS判定定理，可判 定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； B.两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等时，高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，能得 到不全等的两个三角形，因此不能判定两个三角形全等，该说法错误，符合题意： C.两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等，可通过延长中线构造全等，推导出第三边对应相等， 根据SAS可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； D.两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等，可通过证明包含该角平分线的小三角形符合AAS判 定定理全等，进而推导出原三角形全等，该说法正确，不符合题意 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 二、填空题 7.AB=CD 8. 9-2 三、解答题 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 证明：·AF平分∠CAB, ∴∠CAF=∠DAF, 又AD=AC,AF=AF, ∴.△ACF≌aADF(SAS). (2) 证明：由(I)知△ACF≌△ADF, .∠ACF=∠ADF, ∠ACB=90°，CE⊥AB, .∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90° .∠ACF=∠B, ∴.∠ADF=∠B, .DF ll BC 10. 【答案】②∠A=∠B, 理由：AE∥BF, ∴∠AEC=∠BFD, ·DE=CF, .DF=CE, 在△ACE和△BDF中 ∠AEC=∠BFD CE=DF ∠A=∠B △ACE≌aBDF(AAS): ③AC∥BD」 理由：AC∥BD. ∴.∠C=∠D .AE∥BF, ∴∠AEC=∠BFD ·DE=CF .DF=CE, 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ACE和△BDF中 ∠AEC=∠BFD CE=DF ∠C=∠D .△ACE≌ABDF(ASA) 【详解】选①或②，理由略. 若选①AC=BD,满足的是边边角，不能判定两个三角形全等， 11. 【答案】该阁楼的高度AB为2米 【详解】解：因为AC⊥CE, 所以∠BCE=∠DCA=90°， 所以∠CBE+∠BEC=90°， 因为∠ADC与∠BEC互余， 所以∠ADC+∠BEC=90°， 所以∠CBE=∠ADC, 在△ECB和△ACD中， 因为∠CBE=∠CDA,CB=CD,∠BCE=∠DCA. 所以△ECB=△ACD(ASA), 所以AC=CE=CD+DE=6+2=8, 所以AB=AC-BC=8-6=2, 所以该阁楼的高度AB为2米。 12. 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：ED∥BF,AD=BF,DE=BD, 求证：AE=DF 证明：ED‖BF, ∴.∠ADE=∠DBF 在△ADE和△FBD中 AD=FB 由 ∠ADE=∠FBD」 DE=BD 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AADE≌AFBD(SAS), :AE=DF: 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：AE=DF,AD=BF,DE=BD, 求证：ED∥BF 证明：在△ADE和△FBD中 AD=FB 由AE=FD DE=BD ∴△ADE≌aFBD(SSS) ·.∠ADE=∠FBD .ED∥BF; 【详解】略 16/16