4.3.2&4.3.3&4.3.4全等三角形的判定（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.3.2&4.3.3&4.3.4全等三角形的判定 （8大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用SAS证明三角形全等 题型二 SAS与全等三角形的性质综合应用 题型三 利用ASA(AAS)证明三角形全等 题型四 ASA(AAS)与全等三角形的性质综合应用 题型五 利用SSS证明三角形全等 题型六 SSS与全等三角形的性质综合应用 题型七 三角形的稳定性 题型八 灵活运用判断方法证明三角形全等（三角形全等的综合问题） 能力提升题 题型一 多次证全等求解或证明结论 题型二 三角形全等中的错题复原问题 题型三 利用三角形全等探究线段或角度之间的关系 题型一 利用SAS证明三角形全等 1．如图，全等的两个三角形是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 2．如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，O为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定的理由是（      ） A． B． C． D． 5．如图，已知，求证：． 6．如图，点A、E、F、C在一直线上，．求证：． 7．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 8．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 题型二 SAS与全等三角形的性质综合应用 9．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正五边形中，，则的度数是（    ） A．50° B．54° C．60° D．72° 11．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 12．如图，，求证：． 13．如图，已知，，，求证：． 14．如图，已知，，垂足分别为，是线段上的点，且，，芳芳动手测量一下，发现，但她不懂如何说明其中道理，你能帮助芳芳说明这个道理吗？试试看！ 15．在中，，将绕点A顺时针旋转一定角度，得到，点B，C的对应点分别是D，E． (1)如图，当点E恰好在上时，求的度数； (2)如图，点F是边的中点，当时，请证明E，F，C三点共线． 16．如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 17．如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 题型三 利用ASA(AAS)证明三角形全等 18．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助全等三角形的相关知识，小育只要带1、4或3、4去，就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．此方案的依据是（    ） A． B． C． D． 19．如图，，，下列能判定的依据是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 21．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再定出的垂线，使A，C，E在一条直线上，可以证明，得到，因此测得的长就是的长，判定的理由是（   ） A．边角边公理 B．角边角公理 C．边边边公理 D．斜边直角边公理 22．已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 23．如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 24.如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 25．如图，经过点于点于点E．求证：． 26．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 题型四 ASA(AAS)与全等三角形的性质综合应用 27．下面是多媒体上展示的一道习题，请将解答过程补充完整． 如图，太阳光线与是平行的，，为垂直于地面的两根竹竿，测得同一时刻两根竹竿在太阳光照射下的影子（，在同一直线上），判断两根竹竿的长度关系（即线段与长度的大小关系） 解：∵，， ∴___________°， ∵， ∴（两直线平行，___________）， 在和中，， ∴（判定依据用字母表示___________）． ∴线段与长度的大小关系是___________． 28．如图，若，，，求证：． 29．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型五 利用SSS证明三角形全等 30．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 31．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，若和全等，且点E也在正方形网格的格点上，则符合条件的点E有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 33．如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 34．如图，，．求证：． 35．是的中点，，求证：． 36．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 37．如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到． (1)求证：、、三点在同一条直线上； (2)求证：． 题型六 SSS与全等三角形的性质综合应用 38．已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中，    ______（______）， ， 平分． 39．如图，已知，求证：． 40．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 41．如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 题型七 三角形的稳定性 42．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 43．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 44．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 45．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 46．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 47．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 48．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 题型八 灵活运用判断方法证明三角形全等（三角形全等的综合问题） 49．如图，在和中，点、、、在同一直线上，①，②，③，④．请将其中三个作为条件，填入下面的“已知”栏中，余下一个作为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知：如图，__________________ 求证：______（不能只写序号） 证明： 50．如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 51．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 52．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 53．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． ． 题型一 多次证全等求解或证明结论 54．如图，在中，，D是的中点，延长至点E，连接．求证：． 55．如图已知．试说明． 56．如图，，，和 相交于点O．   (1)求证： ； (2)判断 的形状，并说明理由． 57．如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 58．已知：，，试说明：． 59．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 题型二 三角形全等中的错题复原问题 60．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 61．某种产品的商标如图所示，O是线段的交点，并且，．求证：． 以下是小明的思考过程： 在和中 ． 你认为小明的思考过程正确吗？如果正确，请说明他用了哪些理由？如果不正确，请你写出正确的证明过程． 62．（1）阅读下题及证明过程 已知：如图，是的边上一点，是上一点，，． 求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以………………第一步 所以………………第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由． 63．如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 题型三 利用三角形全等探究线段或角度之间的关系 64．如图，，，E为上一点，，探究线段，与之间的数量关系． 65．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 66．（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 67．某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 68．某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 69．如图，，，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)若，求的度数． 70．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2&4.3.3&4.3.4全等三角形的判定 （8大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用SAS证明三角形全等 题型二 SAS与全等三角形的性质综合应用 题型三 利用ASA(AAS)证明三角形全等 题型四 ASA(AAS)与全等三角形的性质综合应用 题型五 利用SSS证明三角形全等 题型六 SSS与全等三角形的性质综合应用 题型七 三角形的稳定性 题型八 灵活运用判断方法证明三角形全等（三角形全等的综合问题） 能力提升题 题型一 多次证全等求解或证明结论 题型二 三角形全等中的错题复原问题 题型三 利用三角形全等探究线段或角度之间的关系 题型一 利用SAS证明三角形全等 1．如图，全等的两个三角形是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可解答． 【详解】解：选取三角形①②时，利用可证明两个三角形全等， 其余都不符合全等三角形的判定定理． 故选：B． 2．如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：在△ABO和△DCO中， ， 故选：B． 3．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 4．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，O为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定的理由是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用．根据证明即可． 【详解】解：是，的中点， ，， 又与是对顶角， ， 在和中， ， ， ， 只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准， 判定的理由是． 故选：A 5．如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，再由“”证明即可． 【详解】证明：因为，等式两边分别加上， 所以，即 在和中， 所以． 6．如图，点A、E、F、C在一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平行线的性质，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵，， ， ∴． 7．如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 8．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型二 SAS与全等三角形的性质综合应用 9．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 10．如图，正五边形中，，则的度数是（    ） A．50° B．54° C．60° D．72° 【答案】B 【分析】连接，，正五边形中，得到，，证得根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 五边形是正五边形， ，， 在和中 ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 12．如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 首先根据可证明，然后根据证明，即可证明． 【详解】证明， ，即． 在和中， ∴， ． 13．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质知识点． 判定：通过“边角边”定理，即两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，证明，(利用推导出，结合已知、) 性质：全等三角形的对应角相等，由此得出． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．如图，已知，，垂足分别为，是线段上的点，且，，芳芳动手测量一下，发现，但她不懂如何说明其中道理，你能帮助芳芳说明这个道理吗？试试看！ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）是解题的关键． 通过已知条件，证明三角形全等，进而得出对应边相等． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 在和中 ， ∴ ， ∴ 15．在中，，将绕点A顺时针旋转一定角度，得到，点B，C的对应点分别是D，E． (1)如图，当点E恰好在上时，求的度数； (2)如图，点F是边的中点，当时，请证明E，F，C三点共线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由旋转的性质得，，则，再由互余即可求解． （2）由旋转的性质可证明，得，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴． （2）证明：∵，点F是边的中点， ∴，即，； 由旋转知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴E、F、C三点共线． 16．如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 17．如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键； （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得，由外角的性质可得，可得； （3）由直角三角形的性质可证，可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ； （3）证明：， ， ， ． 题型三 利用ASA(AAS)证明三角形全等 18．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助全等三角形的相关知识，小育只要带1、4或3、4去，就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．此方案的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然1、4或3、4中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解：因为1、4或3、4中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可证三角形全等． 故选：B． 19．如图，，，下列能判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知两个三角形有两个角对应相等，且有一条边对应相等（不是两对应角的夹边），据此结合全等三角形的判定定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 20．如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行得到，再由，则由可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 21．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再定出的垂线，使A，C，E在一条直线上，可以证明，得到，因此测得的长就是的长，判定的理由是（   ） A．边角边公理 B．角边角公理 C．边边边公理 D．斜边直角边公理 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找到隐含条件是十分重要的． 由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定． 【详解】解：，， ， ，， 在和中， ， ， 故选：B． 22．已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 23．如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由即可得出． 【详解】证明：在和中， ． 24.如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ． 25．如图，经过点于点于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 26．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 题型四 ASA(AAS)与全等三角形的性质综合应用 27．下面是多媒体上展示的一道习题，请将解答过程补充完整． 如图，太阳光线与是平行的，，为垂直于地面的两根竹竿，测得同一时刻两根竹竿在太阳光照射下的影子（，在同一直线上），判断两根竹竿的长度关系（即线段与长度的大小关系） 解：∵，， ∴___________°， ∵， ∴（两直线平行，___________）， 在和中，， ∴（判定依据用字母表示___________）． ∴线段与长度的大小关系是___________． 【答案】90；同位角相等；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件结合全等三角形判定定理证明三角形全等． 由，，可得，因为，根据“两直线平行，同位角相等”，所以．然后，在和中，已知，，，所以与长度相等． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 在和中， ∴（判定依据用字母表示）． ∴线段与长度的大小关系是． 28．如图，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，灵活运用相关性质和判定方法是解题的关键． 根据， 得到， 根据，利用线段的和得到 ，结合已知，根据“”证明，从而得到， 最后根据“内错角相等，两直线平行”证得． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 29．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型五 利用SSS证明三角形全等 30．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， 故选：A． 31．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，若和全等，且点E也在正方形网格的格点上，则符合条件的点E有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用可证明和，即可得到答案． 【详解】解：如图，和，符合条件的点E有2个， 故选：B． 32．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 33．如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 34．如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 35．是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 36．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 37．如图，在五边形中，，，，将绕点顺时针旋转后得到． (1)求证：、、三点在同一条直线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由旋转的性质得，求得，即可得证； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：由旋转可得， ， ， ， 、、三点在一条直线上； （2）证明：由旋转可得， ，， ， ，即， 在和中， ， ． 题型六 SSS与全等三角形的性质综合应用 38．已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中，    ______（______）， ， 平分． 【答案】；公共边；； 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，得到，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ∵， ， ， 平分． 故答案为：；公共边；；． 39．如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据证明，根据全等三角形的性质可得，进而得出． 【详解】证明： ． 40．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)SSS (2)正确，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用全等三角形的性质得出线段相等． （1）已知，，且为公共边，根据全等三角形“边边边（）”的判定定理，可直接得出． （2）先由得到，再结合对顶角相等以及，根据“角角边（）”判定，进而得出． 【详解】（1）SSS （2）正确 理由：由题可知； ， 在和中，， （AAS）， ． 41．如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)与不一定平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记全等三角形的判定方法，即如果两个三角形满足三条边分别相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先得出，再利用“边边边”即可求证； （2）先得出，再利用“边边边”即可求证； （3）先由已知条件不能判定全等，得出不能得出内错角相等，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ． （2）解：成立， 理由：， ，即， 在和中， ， ． （3）与不一定平行， 理由：在和中，仅有不能判定它们全等，即不能得出， 故与不一定平行． 题型七 三角形的稳定性 42．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 43．如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 44．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：由“放一个三脚架来固定和支撑相机”可知，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 45．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 46．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：构成，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 47．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 48．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 题型八 灵活运用判断方法证明三角形全等（三角形全等的综合问题） 49．如图，在和中，点、、、在同一直线上，①，②，③，④．请将其中三个作为条件，填入下面的“已知”栏中，余下一个作为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知：如图，__________________ 求证：______（不能只写序号） 证明： 【答案】，，；；详见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质得到，再根据线段的和差得到，又由即可证明，得到． 【详解】已知：，， 求证：（答案不唯一，符合要求即可） 证明：， ， ， ，即， 又， ， 50．如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 51．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 【详解】情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 52．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 53．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． ． 题型一 多次证全等求解或证明结论 54．如图，在中，，D是的中点，延长至点E，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，从而得，即可证． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 55．如图已知．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．如图，，，和 相交于点O．   (1)求证： ； (2)判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟悉三角形全等的判定（SAS、AAS）是解题的关键． （1）根据题意通过证明即可证明； （2）先得到，再根据AAS证明即可判断是等腰三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， （2）是等腰三角形，理由如下， 由（1）知， ，， ， 在和中， ， ， ， 即是等腰三角形． 57．如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 58．已知：，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，再利用证明，则可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 59．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 题型二 三角形全等中的错题复原问题 60．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 61．某种产品的商标如图所示，O是线段的交点，并且，．求证：． 以下是小明的思考过程： 在和中 ． 你认为小明的思考过程正确吗？如果正确，请说明他用了哪些理由？如果不正确，请你写出正确的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．显然小明的思考不正确，因为不是这两个三角形的边．我们可以连接，先利用判定，从而得到，然后再根据来判定． 【详解】解：小明的思考不正确，因为不是这两个三角形的边； 正确的解答是：连接， 在△ABC和△DBC中， ， ∴； ∴， 在和中， ∵， ∴． 62．（1）阅读下题及证明过程 已知：如图，是的边上一点，是上一点，，． 求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以………………第一步 所以………………第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由． 【答案】（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等腰三角形的性质及判定，可逐步推得，再根据“边边边”判定三角形全等即可； （2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形和锐角三角形中，，，．求证：．”过点A作于点D，过点作于点，先根据“角角边”证明，得到，再根据“”定理证明，得到，最后由“ 角角边”即可证得结果． 【详解】（1）不正确；错在第一步． 证明：在△BEC中，∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ； （2）全等．理由如下： 已知：如图，在锐角三角形和锐角三角形中， ，，． 求证：． 证明：过点A作于点D，过点作于点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 63．如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 【详解】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 题型三 利用三角形全等探究线段或角度之间的关系 64．如图，，，E为上一点，，探究线段，与之间的数量关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，再证明，得出，，进而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ，且， ． 在和中， ， ，， ， ． 65．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． 66．（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），，理由见解析 （2）成立，见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等，即可证得； （2）当图2、3的情况时，证明方法和图1情况完全一样． 【详解】（1）， 理由如下： ∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； （2）成立， 图2中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 图3中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定与性质，根据全等三角形得出角相等是解题的关键． 67．某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离， 故答案为：； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得，这时只要测出的长即为，的距离， 故答案为：； （2）解：答案不唯一， 选择甲：∵，，， ∴， ∴； 选择乙：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴； 选择丙：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 68．某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 69．如图，，，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）可知且；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别作，易知平分，进而可知． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵ 在和中 ∴； （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴ ，， ∵，， ∴， ∴ ． （3）过A分别作 由（1）知， ∴两个三角形面积相等 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴， 70．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $