2.2.3 一元二次不等式的解法（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的概念及解法，通过刹车距离的生活情境导入，从实际问题抽象出不等式，引出概念后，以特例引路讲解因式分解法和配方法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过互动探究发展数学思维，如刹车距离问题引导学生抽象不等式，特例引路推导解法规律，小结系统梳理核心关系与思想方法。助力学生提升问题解决能力，教师可高效开展教学。

第二章 等式与不等式 2.2.3　一元二次不等式的解法 2.2不等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念 掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法 会解简单的分式不等式. 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 6 m，乙车的刹车距离略超过 10 m. 已知甲、乙两种车型的刹车距离s 与车速v 之间的关系分别为=，. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 生活情境 在上述情境中，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，你能列出不等式解决这个问题吗？列出的两个不等式有什么共同特点？ 甲：； 乙：。 即 它们的共同点:(1)含有一个未知数x； (2)未知数的最高次数为2. 解决问题 目标一：一元二次不等式的概念 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 我们先来认识下一元二次不等式，再考虑如何解。 一般地，形如a+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 6 给出下列关于x的不等式,其中一定是一元二次不等式的有（ ） A.2x+3<0 B.+mx+1>0 C.a+3x-7>0 D.-1<0 对点体验 解析 ▶ A 中,是一元一次不等式; B 中,是一元二次不等式; C 中,当时,是一元一次不等式,当时,是一元二次不等式; D 中,是一元二次不等式. 答案 ▶ BD  剖析 一元二次不等式的二次项系数 a 有 a>0 或 a<0 两种情况,注意 a≠0. 当 a<0 时,我们通常将不等式两边同乘以 -1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式. 一元二次不等式一定为整式不等式,例如,+<0 就不是一元二次不等式. (1) 一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数只有1个,但这并不意味着不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数. 目标二：因式分解法 特例引路 知识讲解 互动探究 新课引入 让我们从简单的一元二次不等式开始探讨. 首先来看一元二次不等式x(x-1)>0. ① 注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0 当且仅当 因此，不等式①可以转化为两个不等式组 解得 x>1 或 x<0，因此，不等式①的解集为 (-∞,0)∪(1,+∞). 10 特例引路 知识讲解 互动探究 新课引入 用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0②的解， 但此时的依据是： ab<0当且仅当或 因为不等式②可以转化为两个不等式组或 不难解得x∈⌀或，因此不等式②的解集为(-1,1) . 11 方法提炼 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 如果 , 则不等式 <0 的解集是 , 不等式 >0 的解集是. 因为不等式②可以转化为两个不等式组或 不难解得x∈⌀或，因此不等式②的解集为(-1,1) . 12 求下列不 等式的解集: (1)+2x-3>0; (2)--5x+6≥0. 对点体验 解析 ▶ (1) 原不等式可化为 (x-1)(x+3)>0, 即 或 解得 x>1 或 x<-3, 故原不等式的解集为 {x∣x<-3或x>1}. （2）原不等式可化为 +5x-6≤0, （注意二次项系数化为正数 时不等号的方向) 即 (x+6)(x-1)≤0, 解得 -6≤x≤1, 故原不等式的解集为 {x∣-6≤x≤1}. 知识剖析 (1)这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用,简记为”小于零取中间,大于零取两边”. (2)因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解. 依据是: ab>0 当且仅当 或; ab<0 当且仅当 或 回到情境与问题中的不等式可以化为(v+20)(v-30)>0, 因此甲车的车速v>30; 而可以化为(v+40)(v-50)>0, 因此乙车的车速v>50， 由此可见, 乙车肯定超速了. 对点体验 目标三：配方法 特例引路 知识讲解 互动探究 新课引入 上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解. 当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？ 通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法： （1）<-1； （2）>-2； （3）<9. 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与 发现中（1）的解集为，（2）的解集为. 对于 <9来说，两边同时开根号可得，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3,3). 17 求下列不等式的解集: +4x+1≥0; (2) -6x-1≤0; +2x-1<0;(4) 2+4x+5>0. 对点体验 解: (1) 因为+4x+1=+4x+4-4+1=-3, 所以原不等式可化为-3≥0 , 即≥3, 两边开平方得|x+2| , 从而可知x+2≤-或x+2, 因此x≤-2-或x≥-2+, 所以原不等式的解集为(-∞,-2-]∪[-2+,+∞). 求下列不等式的解集: +4x+1≥0; (2) -6x-1≤0; +2x-1<0;(4) 2+4x+5>0. 对点体验 因为-6x-1=-6x+9-9-1=-10. 所以原不等式可化为-10≤0，即≤10, 两边开平方得|x-3|，从而可知-, 因此, 所以原不等式的解集为 求下列不等式的解集: +4x+1≥0; (2) -6x-1≤0; +2x-1<0;(4) 2+4x+5>0. 对点体验 原不等式可化为-2x+1>0， 又因为-2x+1，所以上述不等式可化为. 注意到只要x≠1，上述不等式就成立， 所以原不等式的解集为(-∞,1)⋃(1,+∞). 求下列不等式的解集: +4x+1≥0; (2) -6x-1≤0; +2x-1<0;(4) 2+4x+5>0. 对点体验 用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 a+bx+c>0(a≠0) 通过配方总是可以变为 或 的形式,然后根据 k 的正负等知识,就可以得到原不等式的解集. 因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式,一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集. 目标四：含参一元二次不等式解法 典例引路 知识讲解 互动探究 新课引入 求关于x的不等式-(a+1)x+a≤0的解集. 解 原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0. (1)当a>1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}. (2)当a=1时，不等式可化为≤0， 即x=1，不等式的解集为{1}. (3)当a<1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}. 综上，当a>1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}. 当a=1时，不等式的解集为{x|x=1}. 当a<1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}. 24 典例引路 知识讲解 互动探究 新课引入 解关于x的不等式-(a+ )x+>0(a∈R). 将不等式-(a+ )x+>0变形为(x-a)(x- )>0. 当a<0时，有a<， 所以x<a或x>； 当a=0时，a==0，所以x≠0； 当0<a<1时，有a>， 所以x<或x>a； 当a=1时，a==1，所以x≠1； 当a>1时，有a<， 所以x<a或x>. 综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a, 或x>}； 当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<, 或x>a}； 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 25 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算。 流程节点 操作说明 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 目标五：简单的分式不等式的解法 一端是零的分式不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 0 与 (x-3)(x+2)>0 等价吗？≥0 与 (x-3)(x+2)≥0 等价吗？ 提示 >0 与 (x-3)(x+2)>0 等价； ≥0 与 (x-3)(x+2)≥0 不等价，前者的解集中没有-2,后者的解集中有-2. 28 一端不是零的分式不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 解下列不等式： (1≥2； (2) ≥2. 解 由题意知x+2≠0，因此， 原不等式两边同时乘以， 可得(1-x)⋅(x+2)≥，且x+2≠0， 即3(x+2)⋅(x+1)≤0，且x≠-2， 因此原不等式的解集为(-2, -1]. 由题意知x+2≠0，因此>0，原不等式两边同时乘以，可得1-x≥2且x+2≠0， 即(2x+7)(x+1)≤0且x≠-2，所以-≤x≤-1，且x≠-2.因此原不等式的解集为, -2)∪(-2, -1]. 29 分式不等式解法 分式不等式: 去分母(一般不等式两边同乘以分母的平方), 化为整式不等式 求解或移项, 通分化为>(≥或≤或<)0, 再化为整式不等式组求解. 目标六：针对训练 举一反三 1.不等式的解集是(A) A. B. C. D. 解析：不等式可化为，即， 解得.   举一反三 2.已知表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为() A. B. C. D. 解析: 因为，所以，所以. 故选 D.   举一反三 3.已知集合，则 A. B. C. D. 解析：由，可得，即，则。由，可得或，则，所以， 故。  举一反三 5.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是() A. B. C. D.  解析：因为对任意的，都有恒成立，所以对任意的恒成立.设，因为，所以，所以当，即时，，所以实数的取值范围是.故选D. 举一反三 6.若关于 的不等式 的解集中恰有 3 个整数，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D.  解析: ，当时，不等式的解集为，此时要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4,5,6，故；当时，原不等式的解集为，此时不符合题意；当时，原不等式的解集为，此时要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，故.综上，实数的取值范围为.   目标七：小结 学海拾贝 本节课我们重点完成了一元二次不等式解法的探究学习，核心内容可总结为三点： 1. 一个核心定义：只含一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式，标准形式为a+bx+c>0(a≠0) 、a+bx+c<0(a≠0) 等。 2. 一组核心关系：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者紧密关联。二次函数图像与x轴的交点对应一元二次方程的根，图像在x轴上方/下方的部分，对应一元二次不等式大于0/小于0的解集，这是数形结合解题的核心依据。 学海拾贝 3. 两种通用解法与解题规律 解法：因式分解法（适用于可因式分解的不等式）、配方法（通用解法，适配所有一元二次不等式）。 规律：当二次项系数大于0时，大于取两边，小于取中间；同时需掌握特殊情况：方程无实根时，不等式恒成立或无解。 学海拾贝 4. 思想方法总结： 全程运用数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想，解题核心流程为：化标准式→求方程根→画函数图像→写解集，解题时务必规范使用集合或区间表示结果。 后续我们将运用本节课知识，解决含参数一元二次不等式、分式不等式等进阶问题，本节课的通法和规律是后续学习的基础。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $