2.2.2 不等式的解集（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式（组）的解集、绝对值不等式解法及数轴上两点距离与中点坐标公式，通过复习一元一次不等式解的概念，以问题链（方程解集→不等式解集→不等式组→绝对值不等式）搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于运用数形结合与化归转化思想，通过互动探究（如绝对值几何意义数轴分析）和分层训练（典例与针对训练），结合知识与思想方法小结。培养学生用数学眼光观察（数轴直观）、数学思维推理（分类讨论）、数学语言表达（集合表示），帮助学生系统掌握，教师可提升教学效率。

第二章 等式与不等式 2.2.2 不等式的解集 2.2不等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解不等式解集的概念，会用集合表示不等式（组）的解集。掌握不等式组解集的求法。掌握绝对值不等式的解法。理解绝对值的几何意义，能借助数轴解决简单的绝对值不，掌握数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式。等式。 教学重点：不等式组解集的求法；绝对值不等式的解法；数轴上两点间距离公式和中点坐标公式。 教学难点：正确利用数轴理解绝对值不等式；求解较为复杂的绝对值不等式。 新课引入 问题1：什么是不等式的解？举例说明。 问题2：如何解一元一次不等式？解不等式的主要依据是什么？ 问题3：请同学们求解以下不等式： （1）2x-5>8； （2）-3x-3>8。 追问：求出的这些”解”如何完整地表示出来？一个不等式的所有解应该怎样表达？ 复习一元一次不等式解的概念 新课引入 复习一元一次不等式（组）解的概念 问题1：同学们已经学过方程的解集，例如方程 x-1=0 的解集为 {1}。那么不等式 x-1>0 的所有解组成的集合是什么？如何表示？ 问题2：如果有一个不等式组 ，它的解又该如何表示？ 问题3：请看不等式 |x|>3，它与我们熟悉的一元一次不等式有什么不同？如何求解？ 目标一：不等式（组）的解集 互动探究 定义 一般地,能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 知识讲解 辨析比较   区别 联系 不等式的解 满足这个不等式的未知数的一个值. 不等式的解是不等式的解集中的一个. 不等式的解集 满足这个不等式的未知数的所有值组成的集合.   不等式组 的解集 对点体验 解析 ▶ 由 ,得 . 由 ,得 . 即不等式组的解集为 . 答案 ▶ 求不等式组的解集． 对点体验 两边同时加上-1，得 这个不等式两边同时乘以，得， 因此①的解集为 类似地， 可得②的解集为. 又因为 所以原不等式组的解集为.  目标二：绝对值不等式 典例分析 绝对值 与绝对值不等式 我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|， 而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. 例如：|x|>3，|x-1|≤2都是绝对值不等式. 几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值,记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0. (2)绝对值不等式|x|>m (|x|<m) (m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于(小于)m的点. 12 绝对值不等式的解集 知识讲解 互动探究 新课引入 当 m>0 时,关于 x 的不等式 |x|>m 的解为 x>m 或 x<-m,因此解集为 (-∞,-m)∪(m,+∞); 关于 x 的不等式 |x|≤m 的解为 -m≤x≤m,因此解集为 [-m,m]. 13 你能给出|x|>3的解集吗？ 对点体验 法一：定义法： 根据绝对值的定义可知，等价于 即或， 因此 的解集为 法二：绝对值的几何意义： 因为是数轴上表示数的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离 大于3的点对应的所有数组成的集合就是 的解集，从而由下图可知 所求解集为． 绝对值不等式的解集 知识讲解 互动探究 新课引入 你能给出|a-1|≤2的解集吗？ 如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则 |a-1|≤2⇔|x|≤2, 因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集为 [-1, 3]. 代数角度 15 绝对值不等式的解集 知识讲解 互动探究 新课引入 你能给出|a-1|≤2的解集吗？ 任意给出几个a的值，求出对应的|a-1|的值，并借助数轴考虑|a-1|的几何意义. 几何角度 当a=-2时，|a-1|=|-2-1|=3，而且在数轴上，表示-2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a-1|=|3-1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2 . 因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A,B之间的距离为|a-1|，如下图所示 . 这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|≤2 的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为-1和3， 因此由上图可知|a-1|≤2 的解集为[-1, 3]． 16 绝对值不等式的解集 知识讲解 互动探究 新课引入 |ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0) 型不等式的解法 因为 c>0,则 |ax+b|≤c 等价于 -c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c 等价于ax+b≥c 或 ax+b≤-c,然后根据 a,b 的值求出解集即可. 17 不等式 |x-1|<1 的解集为_______. 对点体验 解析 ▶ 方法1 当 时,原不等式可化为 ,即 ,所以 ; 当 时,原不等式可化为 ,即 ,所以 . 综上可得,不等式的解集为 . 方法2 由绝对值的几何意义可知,数轴上与1的距离小于1的点对应的所有数组成的集合就是 的解集 目标三：数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 距离与中点坐标 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,如果实数 a,b 在数轴上对应的点分别为 A,B,即 A(a),B(b),则线段 AB 的长为 AB=|a-b|,这就是数轴上两点之间的距离公式. 如果线段 AB 的中点 M 对应的数为 x,则由 AM=MB 可知 |a-x|=|x-b|,因此: 当 a<b 时,有 a<x<b,从而 x-a=b-x,所以 x; 当 a≥b 时,类似可得上式仍成立. 这就是数轴上的中点坐标公式. 20 已知数轴上 两点A(-3),B(5),则线段AB的长 为______,线段AB的中点M的坐标 为______. 对点体验 解析 ▸AB=|-3-5|=8. 线段AB的中点M的坐标为(-3+5)/2=1. 答案 ▸8 1 设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围. 对点体验 因为AB的中点对应的数为，所以由题意可知 |≤5,即|3+x|≤10，因此-10≤3+x≤10，所以-13≤x≤7，因此x的取值范围是 [-13, 7]. 目标四：典型例题 题型1解单向的绝对值不等式 例1 求下列不等式的解集: |2x+5|<7；(2) |2x+5|>7+x. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1)原不等式等价为 . , 原不等式的解集为. (2)由不等式, 可得 或 , 或 . 原不等式的解集为. 题型2解双向的绝对值不等式 例2 求不等式 1<|2-x|≤7 的解集. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 方法1 原不等式可转化为 即 或 . 原不等式的解集为 . 题型2解双向的绝对值不等式 例2 求不等式 1<|2-x|≤7 的解集. 典例分析 牛刀小试 方法2 原不等式可转化为 或 , 或 , 原不等式的解集为 . 名师点评 形如 n<|ax+b|<m(m>n>0) 的不等式等价于 等价于 n<ax+b<m 或 -m<ax+b<-n. 题型3形如|x+m|±|x+n|<("或" >)a的不等式的求解 例3 求不等式|x+3|+|x-3|>8的解集. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 方法1 (分段讨论法) 令,得,令,得. 当时,原不等式可化为,即, 此时原不等式的解集为. 当时,原不等式可化为,此时不等式无解. 当时,原不等式可化为,即, 此时原不等式的解集为. 综上,原不等式的解集为. 题型3形如|x+m|±|x+n|<("或" >)a的不等式的求解 例3 求不等式|x+3|+|x-3|>8的解集. 典例分析 牛刀小试 法2 (数形结合法) 设 , 则 其图象如图所示. 结合图象可知,当函数值大于8时, 或 ,即原不等式的解集为 . 目标五：针对训练 举一反三 1.若不等式组的解集是，则的取值范围(B) A. B. C. D.无法确定   解析：因为不等式组的解集是， 所以，故.故选:B 举一反三  2.绝对值不等式的解集是(D ) A. B. C. D. 解析：由题意得 解得 或 ，故的解集是. 故选：D.   举一反三 3.若不等式成立的充分条件为，则实数的取值范围是() A. B. C. D. 解析： 不等式成立的充分条件是， 设不等式的解集为，则， 当时，，不满足要求； 当时，， 若，则，解得.故选：A.  举一反三 4.已知数轴上的点，，，若线段的中点到点的距离等于4，则实数的值为() A.5 B.-3 C.5 或-2 D.5 或-3 解析: 由题知线段 的中点 对应的实数为，又点 到点 的距离等于 4, 所以 , 解得或. 目标六：小结 学海拾贝 知识小结 1. 不等式的解集与不等式组的解集 不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集。 不等式组的解集是各个不等式解集的交集。 注意：解不等式（组）的结果要用集合（区间或集合形式）来表示。 学海拾贝 2.绝对值不等式 含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。 当 m>0 时： |x|>m 的解集为 (-∞,-m)∪(m,+∞)； |x|≤m 的解集为 [-m,m]。 学海拾贝 3.数轴上两点间距离公式与中点坐标公式 若数轴上两点 A(a)、B(b)，则 AB=|a-b|。 线段 AB 的中点 M 对应的数 x。 学海拾贝 思想方法小结 1. 数形结合思想：借助数轴求不等式组的解集，利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。 2. 化归与转化思想：将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式（分类讨论或换元）。 3. 分类讨论思想：根据绝对值内式子的正负分情况讨论去绝对值符号。 学海拾贝 注意事项提醒 1. 解一元一次不等式时，若两边同乘（或除以）一个负数，不等号方向要改变。 2. 求不等式组的解集时，可借助数轴求解，注意端点的开闭（“点”与”圈”）。 3. 解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用方法有几何意义法、分类讨论法。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $