2.2.3　一元二次不等式的解法课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，通过交通车距与车速关系的情境导入，以实际问题为学习支架，衔接一元二次方程、因式分解及配方法等基础，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于情境导入渗透数学建模，典型例题分题型并总结“通性通法”，通过数学运算和数学抽象培养核心素养。如含参数不等式分类讨论提升逻辑思维，随堂检测强化应用。学生能提升解题能力，教师可高效开展教学。

2.2.3　 一元二次不等式的解法 新课程标准解读 核心素养 1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式 数学运算 2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系 数学抽象、数学 运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高 架道路以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连结也必须通 过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已 成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥 的某地段的运行汽车的车距 d 正比于速度 v 的平方与车身长（单位： m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为 l （单位： m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长. 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题】　在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量 最大？ 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点　一元二次不等式的解法 1. 一元二次不等式的概念 一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式， 其中 a ， b ， c 为常数，而且 a ≠0. 提醒　判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未 知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0. ax2＋ bx ＋ c ＞0　 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果 x1＜ x2，则不等式（ x － x1）（ x － x2）＜0的解集 是 ，不等式（ x － x1）（ x － x2）＞0的解集 是 ⁠. 3. 用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）通过配方总是可以变 为 或 的形式，然后根据 k 的 正负等知识，就可以得到原不等式的解集. （ x1， x2）　 （－∞， x1）∪（ x2，＋∞）　 （ x － h ）2＞ k 　 （ x － h ）2＜ k 　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 　 mx2－5 x ＋2＜0是一元二次不等式吗？ 提示：不一定.当 m ≠0时， mx2－5 x ＋2＜0是一元二次不等式. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 不等式 x2－4 x ＜0的解集是（　　） A. （0，4） B. （－4，0） C. （－∞，4） D. （－∞，0）∪（4，＋∞） 解析：　 x2－4 x ＜0⇒ x （ x －4）＜0，解得0＜ x ＜4，所以解集为 （0，4）.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知不等式－ x2－ x ＋6＞0，则该不等式的解集是（　　） A. { x ｜－2＜ x ＜3} B. { x ｜－3＜ x ＜2} C. { x ｜ x ＜－3或 x ＞2} D. { x ｜ x ＜－2或 x ＞3} 解析：　不等式－ x2－ x ＋6＞0等价于 x2＋ x －6＜0，也即（ x ＋ 3）（ x －2）＜0，故 x ∈（－3，2）. 故不等式解集为{ x ｜－3＜ x ＜2}.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 不等式 ＜0的解集为 ⁠. 解析：原不等式可化为解得0＜ x ＜2，所以不等 式 ＜0的解集为（0，2）. （0，2）　 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　（链接教科书第73页例1）解下列不等式： （1）2 x2＋7 x ＋3＞0； 解：法一　因为2 x2＋7 x ＋3＝2（ x2＋ x ＋ ）＝2 （ x ＋3）， 所以2 （ x ＋3）＞0，即 x ＞－ 或 x ＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪ . 目录 数学·必修第一册（B版） 法二　因为2 x2＋7 x ＋3＝2 ＋3 ＝ － ， 所以2 － ＞0，即 ＞ ， 所以 x ＋ ＞ 或 x ＋ ＜－ ， 即 x ＞－ 或 x ＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪ . 目录 数学·必修第一册（B版） 解：因为－4 x2＋18 x － ＝－4 ＝－4 ， 所以－4 ≥0，即 ≤0， x ＝ . 所以原不等式的解集为 . （2）－4 x2＋18 x － ≥0； 目录 数学·必修第一册（B版） 解：因为－2 x2＋5 x －2＝－2 ＝－2 ＝ －2 ＋ ， 所以－2 ＋ ＜0，即 ＞ . 所以 x － ＞ 或 x － ＜－ ， 解得 x ＞2或 x ＜ . 所以原不等式的解集为 ∪（2，＋∞）. （3）－2 x2＋5 x －2＜0； 目录 数学·必修第一册（B版） 解：因为－ x2＋3 x －5＞0， 所以 x2－6 x ＋10＜0， 又因为 x2－6 x ＋10＝（ x －3）2＋1＜0无解， 所以原不等式的解集为∅. （4）－ x2＋3 x －5＞0. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两 个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何 值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解 集的通法，即判别式法. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（　　） A. { x ｜ x ＜－1} 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　因为－2 x2＋ x ＋3＝－（2 x2－ x －3）＝－（ x ＋1）（2 x － 3）， 所以－（ x ＋1）（2 x －3）＜0，即（ x ＋1）（2 x －3）＞0， 所以 x ＞ 或 x ＜－1， 所以不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于 x 的不等式 ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0（ a ≠0）. 解：①当 a ＜0时，原不等式化为 （ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1. 目录 数学·必修第一册（B版） ②当 a ＞0时，原不等式化为 （ x －1）＜0. 若 a ＝1，即 ＝1时，不等式无解； 若 a ＞1，即 ＜1时，解得 ＜ x ＜1； 若0＜ a ＜1，即 ＞1时，解得1＜ x ＜ .综上可知，当 a ＜0时，不等式 的解集为 ； 当0＜ a ＜1时，不等式的解集为 ； 当 a ＝1时，不等式的解集为∅； 当 a ＞1时，不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 含参一元二次不等式的解法 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 若0＜ a ＜1，则不等式（ x － a ） ＜0的解集是（　　） 解析：　因为0＜ a ＜1，所以 a ＜ .故 选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 不等式 kx2－ kx －1＜0恒成立，则实数 k 的范围为 ⁠. 解析：当 k ＝0时，－1＜0恒成立，所以 k ＝0符合题意； 当 k ≠0时，由题得∴－4＜ k ＜0.综合得－4＜ k ≤0. （－4，0] 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 两个“二次”间的关系 【例3】　（链接教科书第81页习题B组7题）（1）若不等式 ax2＋ bx ＋2＞0的解集是 ，则 a ＋ b 的值为（　D　） A. 14 B. －10 C. 10 D. －14 解析：　由已知得， ax2＋ bx ＋2＝0的解为－ ，且 a ＜0.所以 所以 a ＋ b ＝－14. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）已知一元二次不等式 x2＋ px ＋ q ＜0的解集为 ， 求不等式 qx2＋ px ＋1＞0的解集. 解：因为 x2＋ px ＋ q ＜0的解集为{ x ｜－ ＜ x ＜ }，所以 x1＝ － 与 x2＝ 是方程 x2＋ px ＋ q ＝0的两个实数根， 由根与系数的关系得 所以不等式 qx2＋ px ＋1＞0即为－ x2＋ x ＋1＞0，整理得 x2－ x －6＜0，解得－2＜ x ＜3. 即不等式 qx2＋ px ＋1＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜3}. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根， 从而由根与系数的关系，找出系数 a ， b ， c 之间的关系，写出 不等式的解集； 目录 数学·必修第一册（B版） （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解 cx2＋ bx ＋ a ＜0，首先确定 c 的符号，最好能确定 a ， b ， c 的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关 于 a ， b ， c 的方程组，用 a 表示 b ， c ； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于 a ， b ， c 的方程组→用 a 表示 b ， c →代入所求不等式→求解. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知不等式 x2－7 x － a ＜0的解集是{ x ｜2＜ x ＜ b }，则实数 a 等于 （　　） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 解析：　由题设，有故选A. 目录 数学·必修第一册（B版）   解析：由题意可知方程 ax2－ x ＋ b ＝0的两根为－2，1， 所以则不等式 bx2＋ ax －1≤0即为2 x2－ x －1≤0， 其解集为 . ​ 目录 数学·必修第一册（B版） 题型四 分式不等式的解法 【例4】　（链接教科书第75页例3）解下列不等式： （1） ≥0； 解：原不等式可化为 解得 ∴原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） （2） ＞1. 解：法一　原不等式可化为 ​ 解得∴－3＜ x ＜－ ， ∴原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 法二　原不等式可化为 ＞0，化简得 ＞0，即 ＜0， ∴（2 x ＋1）（ x ＋3）＜0，解得－3＜ x ＜－ . ∴原不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 分式不等式的解法 （1）形如 ＞ a （ a ≠0）的分式不等式可同解变形为 ＞0，故可转化为解 g （ x ）[ f （ x ）－ ag （ x ）] ＞0； （2）解 ≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后， 应注意分子可取0，而分母不能取0.（ f （ x ）， g （ x ）为关于 x 的表达式） 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 不等式 ≤0的解集为（　　） A. （－∞，1）∪[3，＋∞） B. [1，3] C. （1，3] D. （1，3） 解析：　 ≤0的解集等价于 解得 x ∈（1，3].故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 不等式 ≥1的解集为 　​ 　. 解析：根据题意，由 ≥1，得 ≥0，即 ≤ x ＜2， 因此不等式 ≥1的解集为 . ​ 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 下列不等式：① x2＞0；②－ x2－ x ≤5；③ ax2＞2；④ x3＋5 x －6＞ 0；⑤ mx2－5 y ＜0；⑥ ax2＋ bx ＋ c ＞0.其中一定是一元二次不等式 的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 解析：　根据一元二次不等式的定义知①②一定是一元二次不 等式. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 设 m ＋ n ＞0，则关于 x 的不等式（ m － x ）（ n ＋ x ）＞0的解集是 （　　） A. （－∞，－ n ）∪（ m ，＋∞） B. （－ n ， m ） C. （－∞，－ m ）∪（ n ，＋∞） D. （－ m ， n ） 解析：　不等式等价于（ x － m ）（ x ＋ n ）＜0.∵ m ＋ n ＞0， ∴ m ＞－ n .故原不等式的解集是（－ n ， m ）.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 不等式 ＞0的解集是（　　） B. （4，＋∞） C. （－∞，－3）∪（4，＋∞） 解析：　 ＞0⇔（2 x －1）（ x ＋3）＞0⇒ x ＜－3或 x ＞ .故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0，对于此不等式的解 集有下列结论，其中正确的是（　　） A. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集不可能是{ x ｜ x ≠2} B. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是R C. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是∅ D. 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集可以是{ x ｜2＜ x ＜3} 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　对于A选项，不等式 x2－4 x ＋4＝（ x －2）2＞0的解 集为{ x ｜ x ≠2}，A错； 对于B选项，不等式 x2＋2 x ＋2＞0的解集为R，B对； 对于C选项，不等式－ x2－2 x －2＞0的解集为∅，C对； 对于D选项，不等式－ x2＋5 x －6＝－（ x －2）（ x －3）＞0的解集 为{ x ｜2＜ x ＜3}，D对.故选B、C、D. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 不等式 ax2＋5 x ＋ c ＞0的解集为 ，则 a ， c 的值分别 为 ⁠. 解析：由题意知，方程 ax2＋5 x ＋ c ＝0的两根为 x1＝ ， x2＝ ，由 根与系数的关系得 x1＋ x2＝ ＋ ＝－ ， x1 x2＝ × ＝ ，解得 a ＝ －6， c ＝－1. －6，－1 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $