专题10 直击函数四大基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题（9大题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数四大性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的9类综合题型为核心，构建从单一性质到多性质融合的递进式方法体系，通过典例变式实现解题策略迁移，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01-09|每题型含1典例+3变式|如单调性与奇偶性综合：奇偶性转化区间+单调性比大小；多性质综合：周期压缩→奇偶消负→对称转区间→单调性解题|从单一性质综合到四性质融合，体现性质间推导关系（如对称→周期）及应用递进，形成完整逻辑链条|

专题10 直击函数四大基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题（9大题型） （题型突破·举一反三） ▌题型01 函数单调性与周期性的综合 【典例1-1】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【典例1-2】 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 【变式1-1】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 【变式1-2】 【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数， 所以，即，即得， 结合,解得，则， 因为， 所以，解得. 所以. （2）由（1）得，在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则 ， 因为，所以， 则，即， 所以在区间上的单调递增. （3）由（2）得在上的单调递增，且为偶函数， 因为， 所以，则，整理得， 解得，则实数的取值范围为. 【变式1-3】 【详解】(1)，证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. (2)，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. (3)由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. ▌题型02 函数单调性与对称性的综合 【典例2】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 【变式2-1】A 【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可. 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减. ，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，， ，故D错误. 故选：A. 【变式2-2】C 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 【变式2-3】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. ▌题型03 函数奇偶性与对称性的综合 【典例3】C 【分析】先根据函数图象中心对称的坐标性质推导与的解析式关系，结合的定义域求出的定义域，再根据抽象函数“同一对应法则作用对象范围一致”的规则，令落在的定义域范围内，解不等式得到的定义域，最终计算的值. 【详解】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 【变式3-1】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 【变式3-2】B 【分析】利用给定性质求出对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可 【详解】设，所以 ， 因为为奇函数，所以，则，所以函数的图象关于点成中心对称图形，所以， 所以， 每对和为，共对，所以总和为.故选：B. 【变式3-3】2 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. ▌题型04 函数奇偶性与周期性的综合 【典例4】/ 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 【变式4-1】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 【变式4-2】B 【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. 【变式4-3】ABD 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. ▌题型05 函数周期性与对称性的综合 【典例5】D 【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故. 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 【变式5-1】A 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. 【变式5-2】D 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以， 又，， 令，则，则，故函数是偶函数， 又，则，所以，故函数的周期为3， 所以，． 又，故． 【变式5-3】ACD 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图象关于点对称，令，当时，， 所以的图象关于对称，即的图象关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图象关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. ▌题型06 函数单调性、奇偶性与对称性的综合 【典例6】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式6-1】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 【变式6-2】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式6-3】A 【分析】根据可判断的单调性，由的对称性可判断为奇函数，进而由单调性以及奇偶性即可求解不等式. 【详解】由可得，故在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数， 故不等式满足或， 所以或， 故不等式的解为， 故选：A ▌题型07 函数单调性、奇偶性与周期性的综合 【典例7】BC 【解析】对A，由函数的奇偶性和周期性即可求出的值域；对B，由函数的单调性以及周期性即可求出；对C，利用奇偶性求出时的解析式，再利用周期性即可求出时的解析式；对D，由函数的周期性知在的单调性和 上的单调性一样，即可判断. 【详解】解：是定义在上的函数且， 是上的偶函数， 又， 是周期函数，且周期， 对A，时，， 易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期， ，， 的值域是，故A错误； 对B，， 在上单调递减， 在上单调递增， ，故B正确； 对C，当时， ， ， 又， ， 故当时，， 设，则， ， 又 ， ，故C正确； 对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样， 在 上单调递增， 在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性，奇偶性，周期性得出函数的性质. 【变式7-1】BCD 【详解】因为函数，所以的定义域为，值域为， 故选项B正确，选项A不正确； 若自变量是有理数，则也是有理数，，所以， 若自变量是无理数，则也是无理数，，所以， 所以是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确. 【变式7-2】ABD 【分析】根据条件得到，由于任意，都有，则（为常数），即，结合，则，因为 是定义在上的奇函数，且为单调函数，所以，再依次分析即可 【详解】对于A项，因为函数和都是定义在上的奇函数， 所以， 由于任意，都有（m为常数）， 令，得，即，则，故A正确； 对于B项，因为为单调函数，且对任意，都有（m为常数）， 所以（为常数），即， 因为，所以，则在上是增函数，故B正确； 对于C项，因为 ，且为单调函数 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，则，故C错误； 对于D项，是常数函数，根据周期函数的定义，任意非零实数均为周期，所以为周期函数，故D 正确. 【变式7-3】ABD 【分析】利用函数为单调函数，可得为定值，再利用为奇函数可求出，则可得，利用，结合解析式可得或；再利用函数为奇函数计算可得A；利用三次函数性质可得B；分类讨论可得C；利用常数函数是周期函数可得D. 【详解】由为单调函数，且对任意，都有， 则为定值，设，即， 由函数为奇函数，则， 即，即，即有， 由， 则，化简得， 则， 故或； 对A：由函数为奇函数，则，又，故，故A正确； 对B：由，则在R上是增函数，故B正确； 对C：由在上单调递增，则当时， 在上单调递增，此时； 当，在上单调递减，此时，故C错误； 对D：，常数函数是周期函数，故D正确. ▌题型08 函数奇偶性、周期性与对称性的综合 【典例8】ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 【变式8-1】BD 【分析】由已知可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以， 又，所以，即， 故函数的周期为4，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 【变式8-2】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 【变式8-3】 【详解】（1）由条件①，，则， 化简可得，解得或， 当时，由条件①，令，则， 解得，与条件③中不恒为零相矛盾，应舍去，故， 由条件①，令，则， 由条件②，令，则， 代入上式可得，解得， 当时，由条件①，令，则， 化简可得，解得， 与条件③中当时，相矛盾，应舍去，故. (2)由条件①，，则， 化简可得，可得， 所以函数为偶函数. (3)由条件①，令，则， 由条件②，可得，即， 因为，所以为函数的周期， 由条件①，令，则， 化简可得，解得， 由条件①，令，则， 由上式，令，则， 所以， 可得， 由条件①，令，则， 化简可得，分解因式可得， 由，则解得，可得， 由，则 . ▌题型09 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合 【典例9】ACD 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数对称性判断选项A；利用函数单调性和周期性，判断选项B；利用函数单调性和奇偶性，判断选项C；利用函数单调性及对称性，结合基本不等式判断选项D． 【详解】为偶函数，则，由函数对称性定义， 函数的图象关于直线对称，故A正确； 已知是上的奇函数，故，且， 由对称性知，代入奇函数性质得， 故，则函数周期为， ， 由对称性， 又在上为增函数，故， 故，故B错误； 当时，在上单调递增，； 在上单调递减，， 故在区间内； 当时，由奇函数性质，时， 故，故内，且，故， 综上，时，，故C正确； 由且，结合在递增，递减， 且关于对称，可得， 将代入目标式，则 ， 当且仅当，即时取等号， 结合得，满足，故D正确． 【变式9-1】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 【变式9-2】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 【变式9-3】BCD 【分析】分析函数的周期性、对称性、奇偶性，根据函数性质分析函数，即可求解. 【详解】函数满足， ， 即函数是周期为4的周期函数． A选项中，，故A错误； B选项中，，结合并令，可得， 又因为当时，，则， 所以，故B正确， C选项中，当时， ， 由是R上的奇函数且周期为4， 所以 ， 即在上递增 ， 故C正确， D选项中，由， 所以， ， 即， 所以是函数的对称中心 ， 又因为为奇函数，关于原点中心对称， 所以为奇函数的对称中心 ，故D正确， 故选:BCD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 直击函数四大基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题（9大题型） （题型突破·举一反三） 题型01 函数单调性与奇偶性的综合 1 题型02 函数单调性与对称性的综合 5 题型03 函数奇偶性与对称性的综合 8 题型04 函数奇偶性与周期性的综合 10 题型05 函数周期性与对称性的综合 12 题型06 函数单调性、奇偶性与对称性的综合 15 题型07 函数单调性、奇偶性与周期性的综合 18 题型08 函数奇偶性、周期性与对称性的综合 22 题型09 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合 27 ▌题型01 函数单调性与奇偶性的综合 奇偶性与单调性的综合问题及解题方法 【典例1-1】（2026高一·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【典例1-2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 【变式1-1】（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 【变式1-2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且． (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数， 所以，即，即得， 结合,解得，则， 因为， 所以，解得. 所以. （2）由（1）得，在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则 ， 因为，所以， 则，即， 所以在区间上的单调递增. （3）由（2）得在上的单调递增，且为偶函数， 因为， 所以，则，整理得， 解得，则实数的取值范围为. 【变式1-3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. (2)，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. (3)由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. ▌题型02 函数单调性与对称性的综合 函数的单调性与对称性综合问题的求解策略： 1．先确定函数的对称轴或对称中心，将待求区间转化到已知单调区间内，利用单调性比较大小或求值域； 2．由对称性建立函数值相等或相反的关系，辅助解不等式或方程； 3．若函数图象存在对称轴，则对称轴两侧单调性相反；若存在两条对称轴或两个对称中心，可推出周期性，再综合运用； 4.作图示意，注意定义域限制对单调区间的影响. 【典例2】（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 【变式2-1】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可. 【详解】由题可知，在上单调递增，又因为关于对称， 在上单调递减. ，关于对称，. 对于A、B、C：在上单调递减，， ，故A正确，B、C错误； 对于D：在上单调递增，， ，故D错误. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. ▌题型03 函数奇偶性与对称性的综合 1．由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 2.函数的奇偶性与对称性综合问题，核心是利用对称性简化分析,求解策略如下： (1)转化区间：先确定对称轴或对称中心，将待求区间映射到已知单调区间内，利用单调性比较大小或求值域. (2)建立等量关系：由对称性得出函数值相等或相反的关系，辅助解不等式或方程. (3)作图验证：画出示意图，注意定义域限制对单调区间的影响，避免遗漏或错判. 掌握这些策略，可高效解决奇偶性与对称性结合的问题. 【典例3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数图象中心对称的坐标性质推导与的解析式关系，结合的定义域求出的定义域，再根据抽象函数“同一对应法则作用对象范围一致”的规则，令落在的定义域范围内，解不等式得到的定义域，最终计算的值. 【详解】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 【变式3-1】（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 【变式3-2】（25-26高一上·陕西西安·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（     ） A．400 B．200 C．198 D．396 【答案】B 【分析】利用给定性质求出对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可 【详解】设，所以 ， 因为为奇函数，所以，则，所以函数的图象关于点成中心对称图形，所以， 所以， 每对和为，共对，所以总和为.故选：B. 【变式3-3】（2026高二·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. ▌题型04 函数奇偶性与周期性的综合 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 【典例4】（2026高二·重庆·期末）为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 【变式4-1】（26-27高三·全国·一轮复习）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 【变式4-2】（2026高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. 【变式4-3】(多选)（2026高一·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. ▌题型05 函数周期性与对称性的综合 1．双对称性和周期性的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 2．函数的对称性与周期性综合问题，核心是借助对称性推导周期，再简化分析，求解策略如下： (1)转化区间：先确定对称轴或对称中心，利用对称性将待求区间映射到已知区间，结合单调性比较函数值或求值域. (2)建立等量关系：由对称性得出函数值相等或相反的关系，用于解方程或不等式. (3)挖掘周期性：若函数有两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴与一个对称中心，则该函数为周期函数； (4)综合运用：将周期性与对称性结合，可把任意区间问题转化到基本区间，再结合奇偶性判断图像特征. (5)作图验证：画出示意图，注意定义域限制，避免遗漏关键点. 掌握这些策略，可高效解决对称性与周期性综合题. 【典例5】（2026高一·重庆·阶段检测）已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故. 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】通过题目所给的条件求得函数对称中心和对称轴，从而求出函数的周期，最后将求转化为求. 【详解】因为为偶函数，所以，说明关于直线对称. ，，说明关于中心对称. 因为，所以，， 又因为， 所以，，因此周期. 所以，，即. 【变式5-2】（2026高三·广西贵港·开学考试）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以， 又，， 令，则，则，故函数是偶函数， 又，则，所以，故函数的周期为3， 所以，． 又，故． 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为．若函数的图象关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D． 【答案】ACD 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图象关于点对称，令，当时，， 所以的图象关于对称，即的图象关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图象关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. ▌题型06 函数单调性、奇偶性与对称性的综合 函数单调性、奇偶性与对称性综合问题求解策略 1．解题思路 (1)转化思想：奇偶性实现 x 与- x 转换，对称性实现自变量等量代换，单调性比较函数值大小，三者互相转化. (2)溯源思想：先推导函数周期，奇偶与对称综合一般可证周期性，简化求值、画图. (3)数形结合：利用性质画出局部图像，直观判断区间增减、函数值. 2． 解题步骤： (1)标条件：整理奇偶、对称轴或中心对称等式. (2)推周期：联立奇偶与对称关系式，求出周期. (3)定区间：借助奇偶把未知区间自变量转化到已知单调区间. (4)比大小：用单调性脱去 f，解不等式或求值. (5)验结果：结合图象、定义域排除增根. 【典例6】（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式6-1】（2026高一·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 【变式6-2】（2026高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式6-3】（2026高一·江苏·期中）已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断的单调性，由的对称性可判断为奇函数，进而由单调性以及奇偶性即可求解不等式. 【详解】由可得，故在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数， 故不等式满足或， 所以或， 故不等式的解为， 故选：A ▌题型07 函数单调性、奇偶性与周期性的综合 函数单调性、奇偶性与周期性综合问题求解策略 1．解题思路 (1)等价转化：奇偶性实现正负自变量互化，周期性实现区间平移，单调性转化函数值不等式. (2)公式推导：联立奇偶、对称式推导周期，缩小研究区间. (3)数形辅助：绘制一个周期内简图，直观判断增减与函数值. 2．解题步骤 (1)梳理条件：列出奇偶、周期、单调区间已知条件. (2)求周期：结合奇偶关系式推导周期，统一自变量范围. (3)化区间：利用奇偶、周期将自变量归到已知单调区间. (4)脱函数：依据单调性去掉 f，转化普通不等式求解. (5)校验：结合定义域、周期范围筛除不合理解. 【典例7】（多选）（2026高一·湖北孝感·期中）已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（    ） A．函数的值域是 B． C．时， D．函数在上递减 【答案】BC 【解析】对A，由函数的奇偶性和周期性即可求出的值域；对B，由函数的单调性以及周期性即可求出；对C，利用奇偶性求出时的解析式，再利用周期性即可求出时的解析式；对D，由函数的周期性知在的单调性和 上的单调性一样，即可判断. 【详解】解：是定义在上的函数且， 是上的偶函数， 又， 是周期函数，且周期， 对A，时，， 易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期， ，， 的值域是，故A错误； 对B，， 在上单调递减， 在上单调递增， ，故B正确； 对C，当时， ， ， 又， ， 故当时，， 设，则， ， 又 ， ，故C正确； 对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样， 在 上单调递增， 在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性，奇偶性，周期性得出函数的性质. 【变式7-1】（多选）（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 【答案】BCD 【详解】因为函数，所以的定义域为，值域为， 故选项B正确，选项A不正确； 若自变量是有理数，则也是有理数，，所以， 若自变量是无理数，则也是无理数，，所以， 所以是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确. 【变式7-2】（多选）（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知函数和都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意，都有（m为常数），则（    ） A． B．在上是增函数 C． D．函数是周期函数 【答案】ABD 【分析】根据条件得到，由于任意，都有，则（为常数），即，结合，则，因为 是定义在上的奇函数，且为单调函数，所以，再依次分析即可 【详解】对于A项，因为函数和都是定义在上的奇函数， 所以， 由于任意，都有（m为常数）， 令，得，即，则，故A正确； 对于B项，因为为单调函数，且对任意，都有（m为常数）， 所以（为常数），即， 因为，所以，则在上是增函数，故B正确； 对于C项，因为 ，且为单调函数 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，则，故C错误； 对于D项，是常数函数，根据周期函数的定义，任意非零实数均为周期，所以为周期函数，故D 正确. 【变式7-3】（多选）（2026·广西北海·一模）已知函数，（）都是奇函数，且为单调函数，若对任意，都有（m为常数），.则（    ） A． B．在上是增函数 C． D．是周期函数 【答案】ABD 【分析】利用函数为单调函数，可得为定值，再利用为奇函数可求出，则可得，利用，结合解析式可得或；再利用函数为奇函数计算可得A；利用三次函数性质可得B；分类讨论可得C；利用常数函数是周期函数可得D. 【详解】由为单调函数，且对任意，都有， 则为定值，设，即， 由函数为奇函数，则， 即，即，即有， 由， 则，化简得， 则， 故或； 对A：由函数为奇函数，则，又，故，故A正确； 对B：由，则在R上是增函数，故B正确； 对C：由在上单调递增，则当时， 在上单调递增，此时； 当，在上单调递减，此时，故C错误； 对D：，常数函数是周期函数，故D正确. ▌题型08 函数奇偶性、周期性与对称性的综合 函数奇偶性、周期性与对称性的综合问题求解策略 1．解题思路 (1)等价转化：奇偶转换正负自变量，对称轴 / 对称中心得到等量关系，联立推导周期. (2)数形结合：画出一个周期内图像，直观分析点的函数值. (3)目标归一：把任意自变量通过周期、奇偶转化至核心已知区间. 2．解题步骤 (1)整理题干条件，写出奇偶、对称对应等式. (2)联立关系式推导函数周期. (3)借助周期、奇偶，将所求自变量转化到基础区间. (4)结合对称性质代换求值、解不等式. (5)结合定义域、周期范围检验答案，舍去无效解. 【典例8】（多选）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 【变式8-1】（多选）（25-26高二下·山东泰安·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 【答案】BD 【分析】由已知可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以， 又，所以，即， 故函数的周期为4，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 【变式8-2】（多选）（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）设函数满足:①对任意实数x，y都有；②对任意，都有；③不恒为0，且当时，. (1)求，的值; (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明； (3)定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个x，均有，则称为以T为周期的周期函数”.试证明：函数是以6为周期的周期函数，并求出的值. 【详解】（1）由条件①，，则， 化简可得，解得或， 当时，由条件①，令，则， 解得，与条件③中不恒为零相矛盾，应舍去，故， 由条件①，令，则， 由条件②，令，则， 代入上式可得，解得， 当时，由条件①，令，则， 化简可得，解得， 与条件③中当时，相矛盾，应舍去，故. (2)由条件①，，则， 化简可得，可得， 所以函数为偶函数. (3)由条件①，令，则， 由条件②，可得，即， 因为，所以为函数的周期， 由条件①，令，则， 化简可得，解得， 由条件①，令，则， 由上式，令，则， 所以， 可得， 由条件①，令，则， 化简可得，分解因式可得， 由，则解得，可得， 由，则 . ▌题型09 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合问题求解策略 1．解题思路 四大性质综合万能化简顺序：周期压缩自变量→奇偶消去负号→对称转到同一单调区间→单调性解题 2．解题步骤 (1)周期处理：，将任意自变量压缩到一个基础周期区间； (2)奇偶处理：负自变量转为正自变量； (3)对称处理：利用对称轴把自变量全部转移到对称轴一侧； (4)单调性：同一区间内比较自变量大小，推出函数值关系，解不等式； (5)结合定义域约束，取交集得到最终答案. 【典例9】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B． C．当时， D．若，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数对称性判断选项A；利用函数单调性和周期性，判断选项B；利用函数单调性和奇偶性，判断选项C；利用函数单调性及对称性，结合基本不等式判断选项D． 【详解】为偶函数，则，由函数对称性定义， 函数的图象关于直线对称，故A正确； 已知是上的奇函数，故，且， 由对称性知，代入奇函数性质得， 故，则函数周期为， ， 由对称性， 又在上为增函数，故， 故，故B错误； 当时，在上单调递增，； 在上单调递减，， 故在区间内； 当时，由奇函数性质，时， 故，故内，且，故， 综上，时，，故C正确； 由且，结合在递增，递减， 且关于对称，可得， 将代入目标式，则 ， 当且仅当，即时取等号， 结合得，满足，故D正确． 【变式9-1】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 【变式9-2】（多选）（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 【变式9-3】（多选）已知是R上的奇函数，满足，当时，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C．在上递增 D．为的对称中心 【答案】BCD 【分析】分析函数的周期性、对称性、奇偶性，根据函数性质分析函数，即可求解. 【详解】函数满足， ， 即函数是周期为4的周期函数． A选项中，，故A错误； B选项中，，结合并令，可得， 又因为当时，，则， 所以，故B正确， C选项中，当时， ， 由是R上的奇函数且周期为4， 所以 ， 即在上递增 ， 故C正确， D选项中，由， 所以， ， 即， 所以是函数的对称中心 ， 又因为为奇函数，关于原点中心对称， 所以为奇函数的对称中心 ，故D正确， 故选:BCD． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 直击函数四大基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的综合问题（9大题型） （题型突破·举一反三） 题型01 函数单调性与奇偶性的综合 1 题型02 函数单调性与对称性的综合 5 题型03 函数奇偶性与对称性的综合 8 题型04 函数奇偶性与周期性的综合 10 题型05 函数周期性与对称性的综合 12 题型06 函数单调性、奇偶性与对称性的综合 15 题型07 函数单调性、奇偶性与周期性的综合 18 题型08 函数奇偶性、周期性与对称性的综合 22 题型09 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合 27 ▌题型01 函数单调性与奇偶性的综合 奇偶性与单调性的综合问题及解题方法 【典例1-1】（2026高一·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 【典例1-2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 【变式1-1】（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且． (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围． 【变式1-3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． ▌题型02 函数单调性与对称性的综合 函数的单调性与对称性综合问题的求解策略： 1．先确定函数的对称轴或对称中心，将待求区间转化到已知单调区间内，利用单调性比较大小或求值域； 2．由对称性建立函数值相等或相反的关系，辅助解不等式或方程； 3．若函数图象存在对称轴，则对称轴两侧单调性相反；若存在两条对称轴或两个对称中心，可推出周期性，再综合运用； 4.作图示意，注意定义域限制对单调区间的影响. 【典例2】（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 【变式2-1】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，图象关于对称，且，对于任意的，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 函数奇偶性与对称性的综合 1．由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 2.函数的奇偶性与对称性综合问题，核心是利用对称性简化分析,求解策略如下： (1)转化区间：先确定对称轴或对称中心，将待求区间映射到已知单调区间内，利用单调性比较大小或求值域. (2)建立等量关系：由对称性得出函数值相等或相反的关系，辅助解不等式或方程. (3)作图验证：画出示意图，注意定义域限制对单调区间的影响，避免遗漏或错判. 掌握这些策略，可高效解决奇偶性与对称性结合的问题. 【典例3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域是，的图象与的图象关于点成中心对称，若的定义域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数图象中心对称的坐标性质推导与的解析式关系，结合的定义域求出的定义域，再根据抽象函数“同一对应法则作用对象范围一致”的规则，令落在的定义域范围内，解不等式得到的定义域，最终计算的值. 【详解】设函数图象上任意一点的坐标为. ∵ 的图象与的图象关于点成中心对称， ∴ 点关于点的对称点为，且该点在的图象上， ∴ ，即. ∵ 的定义域是，∴ ， 即 ，解得 ，故的定义域为. 对于函数，则需满足， 即 ，解得 ∴ 的定义域为，即，， ∴ .故选C. 【变式3-1】（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【变式3-2】（25-26高一上·陕西西安·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（     ） A．400 B．200 C．198 D．396 【变式3-3】（2026高二·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． ▌题型04 函数奇偶性与周期性的综合 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 【典例4】（2026高二·重庆·期末）为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 【变式4-1】（26-27高三·全国·一轮复习）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） 【变式4-2】（2026高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】(多选)（2026高一·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． ▌题型05 函数周期性与对称性的综合 1．双对称性和周期性的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 2．函数的对称性与周期性综合问题，核心是借助对称性推导周期，再简化分析，求解策略如下： (1)转化区间：先确定对称轴或对称中心，利用对称性将待求区间映射到已知区间，结合单调性比较函数值或求值域. (2)建立等量关系：由对称性得出函数值相等或相反的关系，用于解方程或不等式. (3)挖掘周期性：若函数有两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴与一个对称中心，则该函数为周期函数； (4)综合运用：将周期性与对称性结合，可把任意区间问题转化到基本区间，再结合奇偶性判断图像特征. (5)作图验证：画出示意图，注意定义域限制，避免遗漏关键点. 掌握这些策略，可高效解决对称性与周期性综合题. 【典例5】（2026高一·重庆·阶段检测）已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故. 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知定义域是R的函数满足：，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式5-2】（2026高三·广西贵港·开学考试）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为．若函数的图象关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D． ▌题型06 函数单调性、奇偶性与对称性的综合 函数单调性、奇偶性与对称性综合问题求解策略 1．解题思路 (1)转化思想：奇偶性实现 x 与- x 转换，对称性实现自变量等量代换，单调性比较函数值大小，三者互相转化. (2)溯源思想：先推导函数周期，奇偶与对称综合一般可证周期性，简化求值、画图. (3)数形结合：利用性质画出局部图像，直观判断区间增减、函数值. 2． 解题步骤： (1)标条件：整理奇偶、对称轴或中心对称等式. (2)推周期：联立奇偶与对称关系式，求出周期. (3)定区间：借助奇偶把未知区间自变量转化到已知单调区间. (4)比大小：用单调性脱去 f，解不等式或求值. (5)验结果：结合图象、定义域排除增根. 【典例6】（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式6-1】（2026高一·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026高一·江苏·期中）已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 函数单调性、奇偶性与周期性的综合 函数单调性、奇偶性与周期性综合问题求解策略 1．解题思路 (1)等价转化：奇偶性实现正负自变量互化，周期性实现区间平移，单调性转化函数值不等式. (2)公式推导：联立奇偶、对称式推导周期，缩小研究区间. (3)数形辅助：绘制一个周期内简图，直观判断增减与函数值. 2．解题步骤 (1)梳理条件：列出奇偶、周期、单调区间已知条件. (2)求周期：结合奇偶关系式推导周期，统一自变量范围. (3)化区间：利用奇偶、周期将自变量归到已知单调区间. (4)脱函数：依据单调性去掉 f，转化普通不等式求解. (5)校验：结合定义域、周期范围筛除不合理解. 【典例7】（多选）（2026高一·湖北孝感·期中）已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（    ） A．函数的值域是 B． C．时， D．函数在上递减 【答案】BC 【分析】对A，由函数的奇偶性和周期性即可求出的值域；对B，由函数的单调性以及周期性即可求出；对C，利用奇偶性求出时的解析式，再利用周期性即可求出时的解析式；对D，由函数的周期性知在的单调性和 上的单调性一样，即可判断. 【详解】是定义在上的函数且， 是上的偶函数， 又， 是周期函数，且周期， 对A，时，， 易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期， ，， 的值域是，故A错误； 对B，， 在上单调递减， 在上单调递增， ，故B正确； 对C，当时， ， ， 又， ， 故当时，， 设，则， ， 又 ， ，故C正确； 对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样， 在 上单调递增， 在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的单调性，奇偶性，周期性得出函数的性质. 【变式7-1】（多选）（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 【变式7-2】（多选）（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知函数和都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意，都有（m为常数），则（    ） A． B．在上是增函数 C． D．函数是周期函数 【变式7-3】（多选）（2026·广西北海·一模）已知函数，（）都是奇函数，且为单调函数，若对任意，都有（m为常数），.则（    ） A． B．在上是增函数 C． D．是周期函数 ▌题型08 函数奇偶性、周期性与对称性的综合 函数奇偶性、周期性与对称性的综合问题求解策略 1．解题思路 (1)等价转化：奇偶转换正负自变量，对称轴 / 对称中心得到等量关系，联立推导周期. (2)数形结合：画出一个周期内图像，直观分析点的函数值. (3)目标归一：把任意自变量通过周期、奇偶转化至核心已知区间. 2．解题步骤 (1)整理题干条件，写出奇偶、对称对应等式. (2)联立关系式推导函数周期. (3)借助周期、奇偶，将所求自变量转化到基础区间. (4)结合对称性质代换求值、解不等式. (5)结合定义域、周期范围检验答案，舍去无效解. 【典例8】（多选）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 【变式8-1】（多选）（25-26高二下·山东泰安·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 【变式8-2】（多选）（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【变式8-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）设函数满足:①对任意实数x，y都有；②对任意，都有；③不恒为0，且当时，. (1)求，的值; (2)判断函数的奇偶性，并给出你的证明； (3)定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个x，均有，则称为以T为周期的周期函数”.试证明：函数是以6为周期的周期函数，并求出的值. ▌题型09 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合问题求解策略 1．解题思路 四大性质综合万能化简顺序：周期压缩自变量→奇偶消去负号→对称转到同一单调区间→单调性解题 2．解题步骤 (1)周期处理：，将任意自变量压缩到一个基础周期区间； (2)奇偶处理：负自变量转为正自变量； (3)对称处理：利用对称轴把自变量全部转移到对称轴一侧； (4)单调性：同一区间内比较自变量大小，推出函数值关系，解不等式； (5)结合定义域约束，取交集得到最终答案. 【典例9】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B． C．当时， D．若，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数对称性判断选项A；利用函数单调性和周期性，判断选项B；利用函数单调性和奇偶性，判断选项C；利用函数单调性及对称性，结合基本不等式判断选项D． 【详解】为偶函数，则，由函数对称性定义， 函数的图象关于直线对称，故A正确； 已知是上的奇函数，故，且， 由对称性知，代入奇函数性质得， 故，则函数周期为， ， 由对称性， 又在上为增函数，故， 故，故B错误； 当时，在上单调递增，； 在上单调递减，， 故在区间内； 当时，由奇函数性质，时， 故，故内，且，故， 综上，时，，故C正确； 由且，结合在递增，递减， 且关于对称，可得， 将代入目标式，则 ， 当且仅当，即时取等号， 结合得，满足，故D正确． 【变式9-1】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【变式9-3】（多选）已知是R上的奇函数，满足，当时，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C．在上递增 D．为的对称中心 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $