专题08 轻松破解比较指、对数值大小的七大题型（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以七大题型为框架，系统整合估算法、单调性法等比较指对数值大小的方法，形成“题型-方法-变式”三阶训练体系，培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |估算法|1典例+3变式|近似值巧记+二分法找中间值|从基础数值估算到区间定位| |单调性法|1典例+3变式|指数/对数/幂函数单调性应用|函数性质与大小比较的关联| |中间量法|1典例+3变式|0/1/-1等中间值搭桥|通过媒介量实现间接比较| |数形结合法|1典例+3变式|构造函数+图象分析|代数关系与几何直观的转化| |糖水不等式法|1典例+3变式|不等式定理及倒数形式|生活经验到数学原理的抽象| |对数型糖水不等式法|1典例+3变式|对数形式不等式应用|不等式在对数情境下的迁移| |三元变量比较|1典例+3变式|中间量拆分+同构函数构造|复杂问题的分步转化策略|

专题08 轻松破解比较指、对数值大小的七大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 估算法比较大小 1 题型02 单调性法比较大小 2 题型03 中间量法比较大小 3 题型04 数形结合法比较大小 4 题型05 糖水不等式法比较大小 5 题型06 利用对数型糖水不等式比较大小 6 题型07 含指、对的三元变量比较大小问题 8 ▌题型01 估算法比较大小 1．常见的近似值： 根式：（巧记：要死要死），（巧记：一吃三个），（巧记：二二三得六）， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， ，， 2．可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 【典例1】设，，，则的大小关系为( ) （ ） A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b 【答案】A 【详解】我们通过区间判定 + 近似值校验的方法推导大小关系： 1．判定的区间：指数函数为单调递增函数，0<0.2<0.5，因此，即1<c<1.414， 2． ,所以b>c; 3．>>b, 所以c<b<a.故选A. 【变式1-1】设，，,则的大小关系为( ) A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a 【变式1-2】下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定二者大小 【变式1-3】已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a ▌题型02 单调性法比较大小 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： (1)底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； (2)指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 【典例1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·云南·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． ▌题型03 中间量法比较大小 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间量进行比较，常用的中间量为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 【典例3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b ▌题型04 数形结合法比较大小 核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧. 【典例4】(多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＝y B．1<x<y C．0<x<y<1 D．y<x<0 【答案】ACD 【详解】由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y， 设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x， 由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数， 画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1； 当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9. 故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)， 所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确； 当1<x<y时，f(x)<g(y)，故B不正确； 当0<x<y<1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确； 当y<x<0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确． 故选ACD. 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知正实数a，b，c满足a＝log2a，b＝log2b，c＝logc，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c　　　　　　 B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 【变式4-3】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． ▌题型05 糖水不等式法比较大小 1．糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2．糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 【典例5】(多选) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 【答案】BCD 【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 【变式5-1】设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【变式5-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 ▌题型06 利用对数型糖水不等式比较大小 对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 【典例6】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一（对数型糖水不等式） 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 解法二（普通型糖水不等式） 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 【变式6-1】下列大小关系排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式6-2】（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 含指、对的三元变量比较大小问题 含指、对的三元变量比较大小问题求解策略如下： 1．优先用“中间量”拆分比较（最基础、最高频）：当三个变量的数值范围可通过常见指数、对数性质快速判断时，优先引入0、1、-1等中间值，将三元比较拆分为“与中间值比”的两步，再整合结果。 2．构造“同构函数”或“单调函数”比较 (1)同构变形（核心：凑出相同函数形式） (2)利用常见单调函数 3．特殊值代入或“放缩法”辅助：若前两种方法不适用（如变量含抽象参数或复杂结构），通过放缩将变量转化为可比较的形式，或代入特殊值验证范围。 4．放缩法（核心：“放大”或“缩小”变量至可比较的区间） 5. 特殊值代入（适用于含参数的比较，验证范围） 【典例7】设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 【答案】A. 【详解】法一：作差法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 因为k>1，所以lg k>0，所以2x－3y＝－＝＝>0，故2x>3y， 又2x－5z＝－＝＝<0， 故2x<5z.所以3y<2x<5z. 法二：作商法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1， 则x＝，y＝，z＝. 因为＝×＝>1，所以2x>3y， 又＝×＝>1，所以5z>2x. 所以5z>2x>3y. 法三：中间值法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 所以3y＝，2x＝，5z＝. 因为＝>＝，＝>＝， 所以lg>lg>lg>0. 又k>1，所以lg k>0， 所以3y<2x<5z. 法四：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z,3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y. 综上可得，3y<2x<5z，故选A. 【变式7-1】（2026高二·全国·专题练习）已知正数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合对数的运算性质和换底公式，利用作商法比较大小. 【详解】令，则，，，. 因为，所以； 因为，故；从而. 故选：C 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选）（25-26高三上·广西·开学考试）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 轻松破解比较指、对数值大小的七大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 估算法比较大小 1 题型02 单调性法比较大小 3 题型03 中间量法比较大小 5 题型04 数形结合法比较大小 6 题型05 糖水不等式法比较大小 9 题型06 利用对数型糖水不等式比较大小 11 题型07 含指、对的三元变量比较大小问题 13 ▌题型01 估算法比较大小 1．常见的近似值： 根式：（巧记：要死要死），（巧记：一吃三个），（巧记：二二三得六）， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， ，， 2．可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 【典例1】设，，，则的大小关系为( ) （ ） A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b 【答案】A 【详解】我们通过区间判定 + 近似值校验的方法推导大小关系： 1．判定的区间：指数函数为单调递增函数，0<0.2<0.5，因此，即1<c<1.414， 2． ,所以b>c; 3．>>b, 所以c<b<a.故选A. 【变式1-1】设，，,则的大小关系为( ) A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a 【答案】A 【详解】我们通过统一对数形式 + 交叉相乘验证的方法推导大小关系： 1.统一表达式形式：利用换底公式将c转换为自然对数形式，. 2.比较a和b：即证明，两边同乘正数12得.计算左侧，右侧，显然4.4<4.9461$，因此a<b. 3.比较b和c：即证明，两边同乘正数得.计算左侧，显然2.275<4，因此b<c 综上可推导大小关系：a < b < c. 【变式1-2】下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定二者大小 【答案】A 【详解】利用对数换底公式，分别计算两个对数值： ， 显然1.585 > 1.465，因此，A选项正确. 【变式1-3】已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a 【答案】B 【详解】分别计算三者近似值： 利用换底公式，， ， 显然0.6931 > 0.631 > 0.447，即b > a > c，B选项正确. ▌题型02 单调性法比较大小 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： (1)底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； (2)指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 【典例1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 【变式2-2】（24-25高一下·云南·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数的运算法则，把分别转化为，再利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且在单调递增， 所以，即. 故选：D 【变式2-3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. ▌题型03 中间量法比较大小 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间量进行比较，常用的中间量为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 【典例3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 【变式3-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 【变式3-3】.(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】D 【详解】由题知c＝log0.70.8<1，b＝－0.8＝30.8， 易知函数y＝3x在R上单调递增， 所以b＝30.8>30.7＝a>30＝1， 所以c<a<b， 故选D. ▌题型04 数形结合法比较大小 核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧. 【典例4】(多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＝y B．1<x<y C．0<x<y<1 D．y<x<0 【答案】ACD 【详解】由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y， 设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x， 由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数， 画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1； 当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9. 故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)， 所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确； 当1<x<y时，f(x)<g(y)，故B不正确； 当0<x<y<1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确； 当y<x<0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确． 故选ACD. 【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 【变式4-2】已知正实数a，b，c满足a＝log2a，b＝log2b，c＝logc，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c　　　　　　 B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 【答案】B 【详解】因为c＝logc， 所以－c＝log2c.又a＝log2a，b＝log2b， 所以a，b，c分别为y＝x，y＝x，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图， 由图可知c<b<a， 故选B. 【变式4-3】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. ▌题型05 糖水不等式法比较大小 1．糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2．糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 【典例5】(多选) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 【答案】BCD 【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 【变式5-1】设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意可知,, , 利用糖水不等式可知; 又, 又因为, 同理根据糖水不等式,,即,故选：D. 【变式5-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一： 所以. 解法二：由糖水不等式可得，即a<b<c. 【变式5-3】（25-26高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 【答案】 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. ▌题型06 利用对数型糖水不等式比较大小 对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 【典例6】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一（对数型糖水不等式） 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 解法二（普通型糖水不等式） 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 【变式6-1】下列大小关系排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】利用换底公式将各对数转换为常用对数计算： 显然1.161 > 1.113 > 1.086，即，A选项正确. 方法二：直接用对数型糖水不等式秒出. 【变式6-2】（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数性质知， ， ， 所以，，； 由糖水不等式知：， 所以,所以. 【变式6-3】（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数糖水不等式得，即 ▌题型07 含指、对的三元变量比较大小问题 含指、对的三元变量比较大小问题求解策略如下： 1．优先用“中间量”拆分比较（最基础、最高频）：当三个变量的数值范围可通过常见指数、对数性质快速判断时，优先引入0、1、-1等中间值，将三元比较拆分为“与中间值比”的两步，再整合结果。 2．构造“同构函数”或“单调函数”比较 (1)同构变形（核心：凑出相同函数形式） (2)利用常见单调函数 3．特殊值代入或“放缩法”辅助：若前两种方法不适用（如变量含抽象参数或复杂结构），通过放缩将变量转化为可比较的形式，或代入特殊值验证范围。 4．放缩法（核心：“放大”或“缩小”变量至可比较的区间） 5. 特殊值代入（适用于含参数的比较，验证范围） 【典例7】设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 【答案】A. 【详解】法一：作差法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 因为k>1，所以lg k>0，所以2x－3y＝－＝＝>0，故2x>3y， 又2x－5z＝－＝＝<0， 故2x<5z.所以3y<2x<5z. 法二：作商法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1， 则x＝，y＝，z＝. 因为＝×＝>1，所以2x>3y， 又＝×＝>1，所以5z>2x. 所以5z>2x>3y. 法三：中间值法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 所以3y＝，2x＝，5z＝. 因为＝>＝，＝>＝， 所以lg>lg>lg>0. 又k>1，所以lg k>0， 所以3y<2x<5z. 法四：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z,3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y. 综上可得，3y<2x<5z，故选A. 【变式7-1】（2026高二·全国·专题练习）已知正数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合对数的运算性质和换底公式，利用作商法比较大小. 【详解】令，则，，，. 因为，所以； 因为，故；从而. 故选：C 【变式7-2】（25-26高三上·广西·开学考试）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先进行指对互化，将已知条件转化为三个不同的对数函数，作出图象，进行比较即可 【详解】设，则，，. 如图，作出函数，，的图象， a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标. 由图可知，随着的变化，可能出现，，.    故选：ABD 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形得，由，进而判断与的大小，又得，即，进而求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，所以， 即，所以； 又，结合， 可得，而， 所以，即， 两边同时取对数得，即， 则必有， 所以． 故选：A． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 轻松破解比较指、对数值大小的七大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 估算法比较大小 【典例1】A 【详解】我们通过区间判定 + 近似值校验的方法推导大小关系： 1．判定的区间：指数函数为单调递增函数，0<0.2<0.5，因此，即1<c<1.414， 2． ,所以b>c; 3．>>b, 所以c<b<a.故选A. 【变式1-1】A 【详解】我们通过统一对数形式 + 交叉相乘验证的方法推导大小关系： 1.统一表达式形式：利用换底公式将c转换为自然对数形式，. 2.比较a和b：即证明，两边同乘正数12得.计算左侧，右侧，显然4.4<4.9461$，因此a<b. 3.比较b和c：即证明，两边同乘正数得.计算左侧，显然2.275<4，因此b<c 综上可推导大小关系：a < b < c. 【变式1-2】A 【详解】利用对数换底公式，分别计算两个对数值： ， 显然1.585 > 1.465，因此，A选项正确. 【变式1-3】B 【详解】分别计算三者近似值： 利用换底公式，， ， 显然0.6931 > 0.631 > 0.447，即b > a > c，B选项正确. ▌题型02 单调性法比较大小 【典例1】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 【变式2-1】BD 【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断． 【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误； B：函数在上单调递增，故，选项B正确； C：函数在上单调递减，故，选项C错误； D：∵，∴，选项D正确． 故选：BD． 【变式2-2】D 【分析】先利用对数的运算法则，把分别转化为，再利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且在单调递增， 所以，即. 故选：D 【变式2-3】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. ▌题型03 中间量法比较大小 【典例3】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 【变式3-1】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 【变式3-2】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 【变式3-3】D 【详解】由题知c＝log0.70.8<1，b＝－0.8＝30.8， 易知函数y＝3x在R上单调递增， 所以b＝30.8>30.7＝a>30＝1， 所以c<a<b， 故选D. ▌题型04 数形结合法比较大小 【典例4】ACD 【详解】由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y， 设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x， 由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数， 画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1； 当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9. 故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)， 所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确； 当1<x<y时，f(x)<g(y)，故B不正确； 当0<x<y<1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确； 当y<x<0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确． 故选ACD. 【变式4-1】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 【变式4-2】B 【详解】因为c＝logc， 所以－c＝log2c.又a＝log2a，b＝log2b， 所以a，b，c分别为y＝x，y＝x，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图， 由图可知c<b<a， 故选B. 【变式4-3】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. ▌题型05 糖水不等式法比较大小 【典例5】BCD 【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 【变式5-1】D 【详解】由题意可知,, , 利用糖水不等式可知; 又, 又因为, 同理根据糖水不等式,,即,故选：D. 【变式5-2】C 【详解】解法一： 所以. 解法二：由糖水不等式可得，即a<b<c. 【变式5-3】 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. ▌题型06 利用对数型糖水不等式比较大小 【典例6】A 【详解】解法一（对数型糖水不等式） 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 解法二（普通型糖水不等式） 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 【变式6-1】A 【详解】利用换底公式将各对数转换为常用对数计算： 显然1.161 > 1.113 > 1.086，即，A选项正确. 方法二：直接用对数型糖水不等式秒出. 【变式6-2】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数性质知， ， ， 所以，，； 由糖水不等式知：， 所以,所以. 【变式6-3】D 【详解】由对数糖水不等式得，即 ▌题型07 含指、对的三元变量比较大小问题 【典例7】A. 【详解】法一：作差法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 因为k>1，所以lg k>0，所以2x－3y＝－＝＝>0，故2x>3y， 又2x－5z＝－＝＝<0， 故2x<5z.所以3y<2x<5z. 法二：作商法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1， 则x＝，y＝，z＝. 因为＝×＝>1，所以2x>3y， 又＝×＝>1，所以5z>2x. 所以5z>2x>3y. 法三：中间值法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝. 所以3y＝，2x＝，5z＝. 因为＝>＝，＝>＝， 所以lg>lg>lg>0. 又k>1，所以lg k>0， 所以3y<2x<5z. 法四：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z,3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y. 综上可得，3y<2x<5z，故选A. 【变式7-1】C 【分析】令，结合对数的运算性质和换底公式，利用作商法比较大小. 【详解】令，则，，，. 因为，所以； 因为，故；从而. 故选：C 【变式7-2】A 【分析】将变形得，由，进而判断与的大小，又得，即，进而求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，所以， 即，所以； 又，结合， 可得，而， 所以，即， 两边同时取对数得，即， 则必有， 所以． 故选：A． 【变式7-3】ABD 【分析】根据题意，先进行指对互化，将已知条件转化为三个不同的对数函数，作出图象，进行比较即可 【详解】设，则，，. 如图，作出函数，，的图象， a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标. 由图可知，随着的变化，可能出现，，.    故选：ABD 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $