第六章 数列（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦数列核心概念与综合应用，通过分层题型构建从基础量计算到创新定义的知识逻辑链，强化数学思维与语言表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3、9、12-13题|等差等比基本量计算、性质应用|从定义出发，推导通项与求和公式，建立量间关系| |综合提升|4-8、10、14-17题|递推转化、数列求和、实际应用（环权问题）|融合函数思想，通过递推关系构建通项，运用错位相减等方法求和| |创新拓展|11、18-19题|新定义（等积数列、二阶等差数列）、综合探究|拓展数列概念，培养抽象能力与模型意识，论证数学规律|

第六章 数列（培优综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 2．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西上饶·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2026·福建泉州·三模）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 5．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南株洲二模）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北邯郸·三模）已知等差数列的首项，且满足.若，令，数列的前项和为，则当时，的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（2026·辽宁沈阳·三模）正项数列的前项积为，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·四川自贡·模拟预测）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等差数列 D． 10．（2026·山东临沂·一模）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 11．（2026·湖北武汉·一模）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆·模拟预测）在数列中，，，若，则__________. 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列与等差数列，满足，，则_______． 14．（2026·江苏无锡·三模）已知是数列的前项和，若，，则当为奇数时，___________（用含的式子表示）；___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）（2026·四川广安·模拟）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 16．（本小题满分15分）（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 17．（本小题满分15分）（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 19．（本小题满分17分）（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（培优综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【解析】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 2．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 3．（2026·江西上饶·二模）已知正项数列为等比数列，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】正项数列为等比数列，，； . 4．（2026·福建泉州·三模）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【解析】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 5．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 6．（2026·湖南株洲二模）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，当时，， 当时，， 时，，， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 7．（2026·河北邯郸·三模）已知等差数列的首项，且满足.若，令，数列的前项和为，则当时，的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【解析】设数列的公差为，则， 所以，， 因为，所以， 解得，所以， 又因为，， 所以， 所以， 当，即，则， 当时，， 当时，， 数列是单调递增数列，数列是单调递减数列， 所以的最大值为9. 8．（2026·辽宁沈阳·三模）正项数列的前项积为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意当时，可得，即，解得或（舍）； 当时，，可得， 由可得， 所以， 整理可得，即， 又因为数列的各项为正，所以，可得， 因此， 由此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此， 所以，可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·四川自贡·模拟预测）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以，所以是以首项为，公差为1的等差数列， 所以 ，代入验证也符合. A选项，因为，所以，则是等比数列，所以A选项正确； B选项，，则，所以B选项正确; C选项，，则是等差数列，所以C选项正确； D选项， ，所以D选项错误. 10．（2026·山东临沂·一模）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【解析】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 11．（2026·湖北武汉·一模）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：由题可知，对任意的，， 则对任意的，， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 由选项A可知：，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆·模拟预测）在数列中，，，若，则__________. 【答案】19 【解析】由递推关系得（常数）， 因此是首项，公差的等差数列. 等差数列通项为，将代入得， 整理计算得，解得. 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列与等差数列，满足，，则_______． 【答案】/0.5 【解析】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得， 则，， 所以． 14．（2026·江苏无锡·三模）已知是数列的前项和，若，，则当为奇数时，___________（用含的式子表示）；___________. 【答案】 2 【解析】当为奇数时，， 所以 当时，满足上式. 所以当为奇数时,. 当为偶数时，， 所以， 又因为，所以. 即      解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）（2026·四川广安·模拟）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【解】（1）已知且． 当时，，， …………………………1分 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， …………………………3分 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. ………………………5分 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. …………………………6分 （2）由（1）可得，所以， …………………………8分 所以. ………………………13分 16．（本小题满分15分）（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， ……………………1分 则， …………………………2分 所以 ， …………………………5分 又满足上式，所以． …………………………7分 （2）由（1）得，， ………………………9分 当时，， ………………………10分 当时， ……………14分 综上，． …………………………15分 17．（本小题满分15分）（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， ………………………2分 令，则，且， …………………………4分 当时，由累加法得 ，所以 ， ………………6分 因此，经检验时满足上式，故. …………………………8分 （2）由（1）得， 其前项和， …………………………10分 则， …………………………11分 两式相减可得 ， 即. …………………………15分 18．（本小题满分17分）（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， …………………………1分 当时，有： ②， …………………………2分 ①-②得：， 整理得： ， …………………………4分 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. …………………………6分 （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， ……………………8分 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足…………11分 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， …………………………14分 去掉的5个的和：， 因此. …………………………17分 19．（本小题满分17分）（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【解】（1）是，理由如下：因为， 所以， …………………………2分 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. …………………………4分 （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， …………………………6分 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， …………………………8分 也满足，故对任意的，； …………………………9分 ②由题意可知，，即，可得， …………………10分 令，则， …………………………12分 当且时，，可得； …………………………13分 当时，； …………………………14分 当且时，，可得， …………………………15分 所以数列的最大项为，故， …………………………16分 所以实数的取值范围是. …………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（培优综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B C C C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．19 13． 14． 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）已知且． 当时，，， …………………………1分 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， …………………………3分 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. ………………………5分 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. …………………………6分 （2）由（1）可得，所以， …………………………8分 所以. ………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， ……………………1分 则， …………………………2分 所以 ， …………………………5分 又满足上式，所以． …………………………7分 （2）由（1）得，， ………………………9分 当时，， ………………………10分 当时， ……………14分 综上，． …………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， ………………………2分 令，则，且， …………………………4分 当时，由累加法得 ，所以 ， ………………6分 因此，经检验时满足上式，故. …………………………8分 （2）由（1）得， 其前项和， …………………………10分 则， …………………………11分 两式相减可得 ， 即. …………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， …………………………1分 当时，有： ②， …………………………2分 ①-②得：， 整理得： ， …………………………4分 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. …………………………6分 （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， ……………………8分 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足…………11分 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， …………………………14分 去掉的5个的和：， 因此. …………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）是，理由如下：因为， 所以， …………………………2分 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. …………………………4分 （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， …………………………6分 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， …………………………8分 也满足，故对任意的，； …………………………9分 ②由题意可知，，即，可得， …………………10分 令，则， …………………………12分 当且时，，可得； …………………………13分 当时，； …………………………14分 当且时，，可得， …………………………15分 所以数列的最大项为，故， …………………………16分 所以实数的取值范围是. …………………………17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $