第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦计数原理、概率与统计综合应用，通过实际情境整合知识网络，突出模型意识与数据观念 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|3（选择2、3、填空15）|排列组合综合应用，含分配、涂色问题|以分步分类思想为核心，构建“取元-排序-限制条件处理”逻辑链| |概率基础|6（选择1、5、8、填空10、11、13）|古典概型、互斥对立、独立事件，结合条件概率|从事件关系判断到概率计算，体现“定义-性质-应用”推导过程| |统计应用|2（选择6、解答17）|频率分布直方图、分层抽样、百分位数|通过数据收集与分析，培养从现实情境抽象数学问题的抽象能力| |随机变量|4（选择7、解答18-20）|分布列、期望、二项分布，结合实际决策|以概率为基础，构建“随机现象-变量刻画-模型求解”应用路径|

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．在件产品中有件一等品，件二等品，从中随机取出两件，则其中至少有一件一等品的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，随机取出两件的种数为， 且其中至少有一件一等品的种数为， 所以从中随机取出两件，则其中至少有一件一等品的概率为. 2．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取， 此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个， 当选出的两个偶数含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法， 构成的三位数有个， 所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 3．某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（     ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【详解】第一步，分6本完全相同的校庆纪念册，要求每一位校友至少有一本纪念册，采用“隔板法”，方案数为种； 第二步，分3枚完全相同的校庆纪念章，要求纪念章不能全给同一位校友，则每人分得1枚纪念章或3人分别获得0枚、1枚、2枚纪念章，方案数为种； 第三步，分4张不同校园风景的明信片，要求每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则剩余3张明信片分法为每人一张或除校友甲外一人1张、另一人2张，方案数为种； 三类物品分配独立，总方案数为种. 4．【新考法】下列命题正确的是（    ） ①若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数（，且）的图象恒过定点； ③已知，则的最小值为； ④已知，若，则或． A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】对于命题①：二项展开式中仅第6项二项式系数最大，说明展开式共11项，故， 令得各项系数和为，①错误。 对于命题②：对指数函数（），令，得，此时， 故图象恒过定点，②正确。 对于命题③：由对数运算性质，，得，且， 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故最小值为，③正确。 分析命题④：当时，，解得，符合定义域；当时，，解得，④错误. 5．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白球，3个黑球，从袋中任取2个球，则与事件“所取的2个球都是白球”互斥而不对立的事件是（    ） A．所取的2个球颜色相同 B．所取的2个球颜色不相同 C．所取的2个球至多有一个是红球 D．所取的2个球至少有一个是红球 【答案】B 【详解】选项A：“所取的2个球颜色相同”与“所取的2个球都是白球”存在交集“2个球都是白球”，两个事件可以同时发生，不满足互斥条件，故选项A错误； 选项B：“所取的2个球颜色不相同”只可能是1个白球，1个黑球，与事件“所取的2个球都是白球”不可能同时发生，两个事件为互斥事件， 取出两个球有三种可能性，分别为1个白球和1个黑球，2个白球，2个黑球，因此当取到2个黑球时，“所取的2个球颜色不相同”和“所取的2个球都是白球”这两个事件都不发生，不是对立事件，故选项B正确； 选项C：袋子中没有红球，“所取的2个球至多有一个是红球”为必然事件，与事件“所取的2个球都是白球”存在交集，不满足互斥条件，故选项C错误； 选项D：袋子中没有红球，所以“所取的2个球至少有一个是红球”为不可能事件，不符合提议，故选项D错误. 6．【新考法】下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（     ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4， 则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确； 对于命题②，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以命题②错误； 对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确； 对于命题④，将数据从小到大排序为， 因为，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误. 7．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件表示的情况包括： ①甲在第一、第二局取得连胜，赢得比赛，对应的概率为：； ②甲大比分输了比赛，且前2局的比分为，前局的比分为，第5局甲负， 对应的概率为. 所以. 8．甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙两人在一轮活动中至少一人猜对成语的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲、乙两人在一轮活动中都猜错的概率为， 所以甲、乙两人在一轮活动中至少一人猜对成语的概率为. 9．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“乙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“甲从箱中取出2道代数题”， 事件为“甲从箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“甲从箱中取出2道几何题”， 则，，. 当发生时，箱中有5道代数题和1道几何题，； 当发生时，箱中有4道代数题和2道几何题，； 当发生时，箱中有3道代数题和3道几何题，. 由全概率公式可得 . 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙主共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙主有且仅有一位的概率为_____． 【答案】 【详解】在包含哪吒且不包含敖丙的条件下的试验含有的基本事件数为， 其中四大龙主有且仅有一位的事件含有的基本事件数为， 所以所求概率为. 11．世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 【答案】 【详解】设事件A为甲能被录用，事件B为乙能被录用，事件C为丙能被录用； 则，，； 因为甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立， 故， 解得，故； ，解得； 故甲、乙、丙三人至少有两人能被录用包含事件甲乙录用丙不录用，甲丙录用乙不录用，乙丙录用甲不录用，甲乙丙都被录用四种情况， 即， 根据这四个事件两两互斥可得； 故． 12．某中学组织高二年级学生研学活动，需从上海、杭州、南京、哈尔滨、武汉、西安这个城市中随机选择个作为目的地.现从全年级抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个是杭州”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则__________． 【答案】 【详解】因为，， 则. 13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率是．若甲、乙同学都回答这个问题，则至少有1名同学回答正确的概率为__________． 【答案】 【详解】设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件， 由题意可知，事件与事件相互独立，且，． 记“甲、乙两名同学中至少有1名同学回答正确”为事件， 则事件的对立事件为“甲、乙两名同学都回答错误”， 即． 因为， ， 且事件与也相互独立， 所以． 故. 14．2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动．来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为．则至少有一人答对题目的概率为____________；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为____________． 【答案】 【详解】设至少一人答对为事件，恰有两人答对为事件， 甲答对为事件，乙答对为事件，丙答对为事件， 由题意得 ， 而 . 15．【新考法】如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 【答案】 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每一步的选择数如下： 涂区域A：共4种颜色可选，有种方案。 涂区域B：B与A相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域C：C与A、B都相邻，颜色都不同，有种方案。 涂区域D：D与B、C都相邻，颜色都不同，B、C异色，因此有种方案。 涂区域E：E仅与D相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域F：F与D、E都相邻，D、E异色，因此有种方案。 涂区域G：G仅与E、F都相邻，E、F异色，因此有种方案。 根据分步乘法计数原理，总方案数为： . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务． (1)如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答） (2)如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答） (3)如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 【答案】(1)91(2)120(3)720 【详解】（1）从9名医生中任选4人的总选法为， 男医生甲和女医生乙都不在内的选法为从剩余7名医生中选4人的， 因此符合条件的选法为. （2）从9名医生中任选4人的总选法为， 不符合“既有男医生又有女医生”的情况为4人全为男医生或全为女医生， 其中全为男医生选法，全为女医生选法， 因此符合条件的选法为. （3）选2名男医生的选法为，选2名女医生的选法为， 将2名男医生捆绑为1个整体，与2名女医生共3个元素全排列，排法为， 其中捆绑的2名男医生内部排列为， 总安排方法为. 17．（15分）DeepSeek可以被看作是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)为便于统计，学校规定：若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”．为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查． （i）求应从“青铜用户”和“铂金用户”中分别抽取的人数； （ii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； （iii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率． 【答案】(1)，平均值为； (2)（i）应从“青铜用户”中抽取人，从“铂金用户”中抽取人； （ii）（答案不唯一，符号表示恰当即可）； （iii）. 【详解】（1）由. 由频率分布直方图估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值为： . （2）（i）从“青铜用户”中抽取的人数为人， 从“铂金用户”中抽取的人数为人. （ii）设“青铜用户”的4个人记为，“铂金用户”的2个人记为， 从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，这个试验的样本空间为： .共包含15个样本点. （iii）因为样本空间中共包含15个样本点，且每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 设“抽出的2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则包含8个样本点， 所以这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率为. 18．（15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望 (3)该系统会得到推广，，符合推广要求. 【详解】（1）记事件为“智能客服的回答被采纳”，事件为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”. 由题意得：，所以. 又，. 由全概率公式得： . 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试个问题中被采纳的次数服从二项分布，即，的可能取值为. ， ， ， . 则的分布列为： 0 1 2 3 期望. （3）抽取10个问题，设被采纳的次数为，则，总得分. 由期望的性质得：. 因为，满足推广条件，所以该系统会得到推广. 19．（15分）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测合格的概率为，第二轮检测合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响，且各箱蔬菜的检测结果也相互之间没有影响． (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望； (3)已知对于二项分布~，其概率随着的增大先增后减（即存在某个，使得在时单调递增，在时单调递减）．现超市采购箱该蔬菜（），记能够顺利销售的箱数为随机变量，已知是所有可能取值中概率的唯一最大值，求正整数的值． 【答案】(1) (2)总收益的分布列为 数学期望为. (3) 【详解】（1）每箱这种蔬菜能在该超市销售，即事件“第一、二、三轮检测合格”， 其概率为， 所以每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为. （2）这4箱蔬菜在该超市销售的箱数可能为， 设这4箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为， 根据（1）中结果可知 ，， ，， ， 所以的分布列为 故数学期望为. （3）由题意知~，且是所有可能取值中概率的唯一最大值， 所以，即， 解得， 又，且为正整数，所以. 20．（16分）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【详解】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．在件产品中有件一等品，件二等品，从中随机取出两件，则其中至少有一件一等品的概率为（     ） A． B． C． D． 2．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 3．某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（     ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 4．【新考法】下列命题正确的是（    ） ①若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数（，且）的图象恒过定点； ③已知，则的最小值为； ④已知，若，则或． A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 5．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白球，3个黑球，从袋中任取2个球，则与事件“所取的2个球都是白球”互斥而不对立的事件是（    ） A．所取的2个球颜色相同 B．所取的2个球颜色不相同 C．所取的2个球至多有一个是红球 D．所取的2个球至少有一个是红球 6．【新考法】下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（     ） ①若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（     ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙两人在一轮活动中至少一人猜对成语的概率为（     ） A． B． C． D． 9．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙主共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙主有且仅有一位的概率为_____． 11．世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 12．某中学组织高二年级学生研学活动，需从上海、杭州、南京、哈尔滨、武汉、西安这个城市中随机选择个作为目的地.现从全年级抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个是杭州”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则__________． 13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率是．若甲、乙同学都回答这个问题，则至少有1名同学回答正确的概率为__________． 14．2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动．来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为．则至少有一人答对题目的概率为____________；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为____________． 15．【新考法】如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务． (1)如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答） (2)如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答） (3)如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 17．（15分）DeepSeek可以被看作是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)为便于统计，学校规定：若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”．为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查． （i）求应从“青铜用户”和“铂金用户”中分别抽取的人数； （ii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； （iii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率． 18．（15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 19．（15分）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测合格的概率为，第二轮检测合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响，且各箱蔬菜的检测结果也相互之间没有影响． (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望； (3)已知对于二项分布~，其概率随着的增大先增后减（即存在某个，使得在时单调递增，在时单调递减）．现超市采购箱该蔬菜（），记能够顺利销售的箱数为随机变量，已知是所有可能取值中概率的唯一最大值，求正整数的值． 20．（16分）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B B B B C B B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12. 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）从9名医生中任选4人的总选法为， 男医生甲和女医生乙都不在内的选法为从剩余7名医生中选4人的， 因此符合条件的选法为.（5分） （2）从9名医生中任选4人的总选法为， 不符合“既有男医生又有女医生”的情况为4人全为男医生或全为女医生， 其中全为男医生选法，全为女医生选法， 因此符合条件的选法为.（10分） （3）选2名男医生的选法为，选2名女医生的选法为， 将2名男医生捆绑为1个整体，与2名女医生共3个元素全排列，排法为， 其中捆绑的2名男医生内部排列为， 总安排方法为.（14分） 17．（15分） （1）由. 由频率分布直方图估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值为： .（5分） （2）（i）从“青铜用户”中抽取的人数为人， 从“铂金用户”中抽取的人数为人.（7分） （ii）设“青铜用户”的4个人记为，“铂金用户”的2个人记为， 从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，这个试验的样本空间为： .共包含15个样本点.（10分） （iii）因为样本空间中共包含15个样本点，且每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 设“抽出的2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则包含8个样本点， 所以这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率为.（15分） 18．（15分） （1）记事件为“智能客服的回答被采纳”，事件为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”. 由题意得：，所以. 又，. 由全概率公式得： . 所以智能客服的回答被采纳的概率为.（5分） （2）由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试个问题中被采纳的次数服从二项分布，即，的可能取值为. ， ， ， . 则的分布列为： 0 1 2 3 期望.（12分） （3）抽取10个问题，设被采纳的次数为，则，总得分. 由期望的性质得：. 因为，满足推广条件，所以该系统会得到推广.（15分） 19．（15分） 【详解】（1）每箱这种蔬菜能在该超市销售，即事件“第一、二、三轮检测合格”， 其概率为， 所以每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为.（4分） （2）这4箱蔬菜在该超市销售的箱数可能为， 设这4箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为， 根据（1）中结果可知 ，， ，， ， 所以的分布列为 故数学期望为.（10分） （3）由题意知~，且是所有可能取值中概率的唯一最大值， 所以，即， 解得， 又，且为正整数，所以.（15分） 20．（16分） （1）由题意， ．（4分） （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望．（10分） （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大．（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $