1.2 一定是直角三角形吗 题型专练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以题型为框架，典例引领+举一反三分层，覆盖直角三角形判定、勾股数及应用，梯度从基础识别到综合探究，培养推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直角三角形判定、勾股数概念|直接应用定理，如三边关系判断、勾股数识别（题型1、4）| |提升层|综合判定、格点问题|结合几何直观，如格点中边长计算与角的判断（题型2、3）| |综合层|规律探究、实际应用|模型意识与创新，如勾股数规律、折叠及方向角应用（题型5、6）|

北师大版（2024）八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 题型专练 【题型1】由三边判定三角形形状 【典例】的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【举一反三1】如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为(　　) A.14 B.13 C.12 D.9 【举一反三2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(　　) A.2，3，4 B.10，8，4 C.9，12，15 D.7，15，12 【举一反三3】三角形的三边a，b，c满足(a-b)2=c2-2ab，则这个三角形是　　　　. 【举一反三4】(课本P10例题)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 【题型2】综合分析直角三角形 【典例】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【举一反三1】在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠B=50°，∠C=45° B.a∶b∶c=6∶8∶10 C.a=1，b=3，c=4 D.AB=1，BC=2，AC=3 【举一反三2】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【举一反三3】一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　　　cm. 【举一反三4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，其中c是△ABC的最长边，若∠C=90°，如图①，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x. 在Rt△ADC中，AD2=b2-x2， 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2， 所以a2+b2=c2+2ax. 因为a>0，x>0，所以2ax>0， 所以a2+b2>c2， 所以当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2. 所以小明的猜想是正确的. (1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)； (2)说明你猜想的结论是否正确. 【题型3】在格点中分析直角三角形 【典例】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ACB是(　　) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.余角 【举一反三1】如图所示，方格中有A，B，C，D，E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，则　      　．（点，，是网格线交点） 【举一反三3】如图，，，，四点都在正方形网格的格点上，则　　                      ． 【题型4】勾股数的识别与计算 【典例】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【举一反三1】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【举一反三2】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【举一反三3】请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　． 【题型5】与勾股数有关的规律问题分析 【典例】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【举一反三1】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　                           ． 【举一反三2】观察下列各组勾股数的组成特点， 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； 第7组：，，． （1）写出第7组勾股数，，各是多少． （2）写出第组勾股数，并证明． 【举一反三3】（1），，是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果，，是一组勾股数，那么，，是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【题型6】勾股定理与逆定理的应用 【典例】如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为(　　) A.1 B. C. D.2 【举一反三1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，，，，平分，则的面积为 　　． 【举一反三3】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，．则　　． 【举一反三4】如图，茫茫大海中有三个小岛A，B，C，测得AC=30 km，AB=50 km，B岛在C岛北偏西75°的方向上，距C岛40 km，请你根据上述条件确定A岛相对于C岛的位置. 【举一反三5】春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． （1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形        （“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； （3）在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且，c2＝2025，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出b的值，并说明理由． 北师大版（2024）八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 题型专练（参考答案） 【题型1】由三边判定三角形形状 【典例】的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【答案】C 【解析】解：、， ， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、设，则，， ， ，解得， ， 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【举一反三1】如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为(　　) A.14 B.13 C.12 D.9 【答案】A 【解析】因为AD=12，AC=13，CD=5， 所以AC2=169，AD2+CD2=144+25=169， 即AD2+CD2=AC2， 所以根据勾股定理逆定理得△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°， 所以∠ADB=90°， 因为AB=15，AD=12， 所以BD===9， 所以BC=BD+CD=9+5=14. 【举一反三2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(　　) A.2，3，4 B.10，8，4 C.9，12，15 D.7，15，12 【答案】C 【解析】A项，不能，因为22+32≠42； B项，不能，因为82+42≠102； C项，能，因为92+122=152； D项，不能，因为72+122≠152. 【举一反三3】三角形的三边a，b，c满足(a-b)2=c2-2ab，则这个三角形是　　　　. 【答案】直角三角形 【解析】因为(a-b)2=c2-2ab， 所以a2-2ab+b2=c2-2ab，所以a2+b2=c2. 所以根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形. 【举一反三4】(课本P10例题)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 【答案】解　在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 【题型2】综合分析直角三角形 【典例】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【答案】C 【解析】解：、， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， 不是直角三角形， 故符合题意； 、，，，， 是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【举一反三1】在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠B=50°，∠C=45° B.a∶b∶c=6∶8∶10 C.a=1，b=3，c=4 D.AB=1，BC=2，AC=3 【答案】B 【解析】因为∠B=50°，∠C=45°，∠B+∠C+∠A=180°， 所以∠A=85°， 因为∠B=50°，∠C=45°，∠A=85°，三个角都小于90°， 所以△ABC是锐角三角形， 故A不符合题意； 当a∶b∶c=6∶8∶10时，设a=6x，b=8x，c=10x， 则a2+b2=(6x)2+(8x)2=(10x)2=c2， 所以根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形， 故B符合题意； 因为a=1，b=3，c=4， 所以a+b=1+3=c=4， 所以无法组成三角形，不能是直角三角形， 故C不符合题意； 因为AB=1，BC=2，AC=3， 所以AB+BC=AC， 所以AB，BC，AC不能构成三角形，不能是直角三角形， 故D不符合题意. 【举一反三2】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【答案】A 【解析】解：．，，并且， ， 不是直角三角形，符合题意； ．，， ， ， 是直角三角形，不合题意； ．， ，即， 是直角三角形，不合题意； ．，， ， ， ， 是直角三角形，不合题意． 故选：． 【举一反三3】一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　　　cm. 【答案】12 【解析】如图，设AB=25是最长边，AC=15，BC=20，过C作CD⊥AB于D， 因为AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625， 所以AC2+BC2=AB2， 所以∠C=90°， 因为S△ACB=AC·BC=AB·CD， 所以AC·BC=AB·CD， 15×20=25CD， 所以CD=12 cm. 即这个三角形最长边上的高是12 cm. 【举一反三4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，其中c是△ABC的最长边，若∠C=90°，如图①，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x. 在Rt△ADC中，AD2=b2-x2， 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2， 所以a2+b2=c2+2ax. 因为a>0，x>0，所以2ax>0， 所以a2+b2>c2， 所以当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2. 所以小明的猜想是正确的. (1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)； (2)说明你猜想的结论是否正确. 【答案】解　(1)当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为a2+b2<c2. (2)如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D. 设CD=x. 在Rt△ADC中，AD2=b2-x2， 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a+x)2， 所以a2+b2=c2-2ax. 因为a>0，x>0，所以2ax>0， 所以a2+b2<c2， 所以当△ABC为钝角三角形时，a2+b2<c2. 【题型3】在格点中分析直角三角形 【典例】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ACB是(　　) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.余角 【答案】A 【解析】AC2=12+22=5， BC2=32+12=10， AB2=32+22=13， 因为AC2+BC2=15 所以AC2+BC2>AB2， 所以边AB所对的∠ACB是锐角. 【举一反三1】如图所示，方格中有A，B，C，D，E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图，一共可以画9个三角形，分别是△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCE，△BDE，△CDE， 因为∠ABC=∠ACD=90°， 所以△ACB和△ACD是直角三角形， 由题意得， DE2=12+22=5， AD2=12+32=10， AE2=12+22=5， 所以AE2+DE2=AD2， 所以△ADE是直角三角形， 所以以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有3个. 【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，则　      　．（点，，是网格线交点） 【答案】45． 【解析】解：如图，延长到，连接． 则，， ， ， ， 故答案为：45． 【举一反三3】如图，，，，四点都在正方形网格的格点上，则　　                      ． 【答案】45． 【解析】解：如图，找到点关于的对应点，连结，， 则， 则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即． 故答案为：45． 【题型4】勾股数的识别与计算 【典例】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【答案】C 【解析】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【举一反三1】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【答案】B 【解析】解：、，0.4，0.5不是整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； 、， 是勾股数，故本选项符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【举一反三2】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【答案】②④ 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c一定是勾股数，故④说法正确. 【举一反三3】请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　． 【答案】6和10． 【解析】解：因为， 所以6、8、10是一组勾股数． 故答案为：6和10． 【题型5】与勾股数有关的规律问题分析 【典例】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）、，能构成勾股数，故符合题意； （2）、，能构成勾股数，故符合题意； （3）、，不能构成勾股数，故不符合题意． （4）、均不是整数，所以不能构成勾股数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 【举一反三1】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　                           ． 【答案】11，60，61． 【解析】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为，第三个数为， 根据勾股定理的逆定理，得：， 解得． 则得第5组数是：11，60，61． 故答案为：11，60，61． 【举一反三2】观察下列各组勾股数的组成特点， 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； 第7组：，，． （1）写出第7组勾股数，，各是多少． （2）写出第组勾股数，并证明． 【答案】解：（1）第一组：，，， 第二组：，，， 第三组：，，， 第四组：，， 第七组勾股数是，，，即15，112，113； （2）由（1）的规律可知，第组勾股数是，，． 证明：， ， ， ． 第组勾股数是，，． 【举一反三3】（1），，是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果，，是一组勾股数，那么，，是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】证明：（1），，是正整数）是一组勾股数，理由如下： 是正整数， ，，都是正整数， ， ，，是正整数）是一组勾股数； （2），，是正整数）是一组勾股数，理由如下： ，，是一组勾股数，且是正整数， ，，是三个正整数， ， ， ，，是正整数）是一组勾股数． 【题型6】勾股定理与逆定理的应用 【典例】如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为(　　) A.1 B. C. D.2 【答案】C 【解析】由已知可得，△ADG≌△A'DG，BD=5， 所以A'G=AG，A'D=AD=3， A'B=5-3=2，BG=4-A'G， 在Rt△A'BG中，BG2=A'G2+A'B2， 可得A'G=. 则AG=. 【举一反三1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 这块菜地的面积为， 故选：． 【举一反三2】如图，在中，，，，，平分，则的面积为 　　． 【答案】40.8． 【解析】解：如图，作于． ，，， ， ，即， 平分，，， ，设， ， ，即， ， ， ． 故答案为：40.8． 【举一反三3】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，．则　　． 【答案】90． 【解析】解：以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， ， ，， ， ． 故答案为90． 【举一反三4】如图，茫茫大海中有三个小岛A，B，C，测得AC=30 km，AB=50 km，B岛在C岛北偏西75°的方向上，距C岛40 km，请你根据上述条件确定A岛相对于C岛的位置. 【答案】解　如图， 因为AC=30 km，AB=50 km，BC=40 km， 所以AC2+BC2=302+402=2 500，AB2=502=2 500， 所以AC2+BC2=AB2， 所以△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°， 因为∠BCD=75°， 所以∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°， 所以A岛在C岛北偏东15°的方向上，距C岛30 km. 【举一反三5】春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． （1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形        （“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； （3）在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且，c2＝2025，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出b的值，并说明理由． 【答案】解：（1）∵三角形为等腰直角三角形， ∴设直角边为a，则斜边为a， ∵a2+（a）2＝3×a2， ∴等腰直角三角是“巳巳如意三角形”， 故答案为：是； （2）该三角形是“巳巳如意三角形”，理由如下： ∵62+82＝3×（）2， ∴该三角形是“巳巳如意三角形”； （3）b的值为，理由如下： ∵Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2，c2＝2025， ∴b2＝c2﹣a2＝2025或b2＝c2+a2＝2025， ∵当b2时，2025＝3， ∴这个三角形是“巳巳如意三角形”， 此时，b（负值已舍去）； 当b2时，a2+b2≠3c2、b2+c2≠3a2、a2+c2≠3b2， ∴这个三角形不是“巳巳如意三角形”； 综上所述，b的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $