第06讲 柱体与锥体（核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本高中数学讲义聚焦柱体与锥体核心知识，系统梳理棱柱与圆柱、棱锥与圆锥的定义及构成要素，衔接表面积与体积公式推导，构建从概念认知到计算应用的学习支架。 资料通过7个易错辨析（如直棱柱与正棱柱概念区分）和6类典例精讲（如圆柱侧面展开最短路径），培养学生数学眼光与思维，课中辅助教师针对性教学，课后助力学生查漏补缺，提升空间观念与解题能力。

第06讲 柱体与锥体 （核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】棱柱与圆柱 【题型四】棱锥与圆锥 【题型二】柱体的体积 【题型五】】锥体的体积 【题型三】柱体的表面积 【题型六】锥体的表面积 【知识点01】棱柱与圆柱 1. 棱柱（多面体柱体） 定义：有两个面互相平行且全等，其余各面均为平行四边形，且相邻侧面的公共侧棱互相平行的多面体。 核心构成要素：互相平行的两个全等底面、平行四边形侧面、平行侧棱、两底面垂直距离为柱体的高。 分类标准： ① 按侧棱与底面位置：侧棱垂直底面为直棱柱，侧棱倾斜底面为斜棱柱； ② 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等； ③ 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱，侧面为全等矩形。 2. 圆柱（旋转体柱体） 定义：矩形绕其中一条邻边（旋转轴）旋转一周所形成的封闭旋转体。 核心构成要素：旋转轴、两个全等圆形底面、曲面侧面、平行于轴的母线、两底面垂直距离为高（圆柱母线长=圆柱高）。 【知识点02】柱体的表面积与体积 1. 柱体表面积公式（直棱柱、圆柱） 通用关系：（柱体含上下两个底面） 直棱柱侧面积：底面周长乘以高 圆柱侧面积：侧面展开为矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱高 圆柱全面积： （式中为底面圆半径，为柱体高，为棱柱底面周长） 2. 柱体体积公式（祖暅原理推导） 祖暅原理：等高的两个几何体，若任意等高处的截面积恒相等，则两几何体体积相等。 柱体通用体积公式（棱柱、圆柱通用）： 圆柱专属体积公式： 【知识点03】棱锥与圆锥 1. 棱锥（多面体锥体） 定义：有一个面为多边形（底面），其余各面都是有公共顶点的三角形（侧面）的多面体。 核心构成要素：多边形底面、三角形侧面、公共顶点、顶点到底面的垂直距离为棱锥的高、侧面三角形的高为斜高。 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面中心，各侧面为全等等腰三角形。 2. 圆锥（旋转体锥体） 定义：直角三角形绕其中一条直角边（旋转轴）旋转一周形成的封闭旋转体。 核心构成要素：圆形底面、曲面侧面、顶点、高、母线（直角三角形斜边旋转轨迹，记为）。 核心等量关系（必考）：母线、底面半径、高满足勾股定理 【知识点04】锥体的表面积与体积 1. 锥体表面积公式 通用关系：（锥体仅含一个底面） 正棱锥侧面积：底面周长与斜高乘积的一半 （为正棱锥斜高） 圆锥侧面积：侧面展开为扇形，扇形弧长为底面圆周长，半径为圆锥母线 圆锥全面积： 2. 锥体体积公式（通用必考） 所有棱锥、圆锥体积统一公式，为同底等高柱体体积的： 圆锥专属体积公式： . 易错点1 棱柱概念认知偏差 错误认知：有两个面平行、其余面为平行四边形的几何体是棱柱。 正确结论：必须同时满足相邻侧面公共侧棱互相平行，否则存在反例几何体不满足棱柱定义。 易错点2 直棱柱与正棱柱概念混用 错误认知：直棱柱就是正棱柱。 正确结论：正棱柱=直棱柱+底面为正多边形；正棱柱一定是直棱柱，直棱柱不一定是正棱柱。 易错点3 表面积计算混淆侧面积与全面积 错误认知：柱体、锥体表面积直接等同于侧面积。 正确结论：侧面积仅计算侧面；全面积=侧面积+底面面积，柱体两底、锥体一底，考试需严格审题。 易错点4 锥体体积遗漏系数 错误认知：锥体体积公式与柱体一致，为。 正确结论：锥体体积必须乘，是立体几何最高频计算失分点。 易错点5 圆锥侧面积误用高代替母线 错误认知：直接用圆锥的高代入侧面积公式计算。 正确结论：圆锥侧面积公式仅适用母线，需通过勾股定理换算求解。 易错点6 斜棱柱侧面积公式乱用 错误认知：所有棱柱侧面积均为底面周长乘高。 正确结论：仅适用于直棱柱，斜棱柱侧面积需逐个侧面求和计算。 易错点7 祖暅原理条件缺失 错误认知：只要截面积相等，几何体体积就相等。 正确结论：必须同时满足几何体等高+任意等高处截面积恒相等两个条件。 【题型一】棱柱与圆柱 【典例1-1】一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【典例1-3】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【变式1-1】如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是________. 【变式1-2】如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是__________．    【变式1-3】已知长方体的三条棱长分别为3cm、2cm、1cm，求表面有一只蜘蛛从A爬行到的最短距离． 【题型二】柱体的体积 【典例2-1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【变式2-2】如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知正四棱柱的底面边长为2，． (1)求该四棱柱的体积； (2)若E为线段的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【题型三】柱体的表面积 【典例3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为__________. 【变式3-1】（2025高二上·上海松江·专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【题型四】棱锥与圆锥 【典例4-1】下面关于棱锥的结构特征的描述中，不正确的为（    ） A．三棱锥有四个面是三角形 B．有的棱锥有两个面互相平行 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点 【典例4-2】图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【典例4-3】若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【变式4-1】已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 【变式4-2】已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为______. 【变式4-3】已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形．求该圆锥的高． 【题型五】锥体的体积 【典例5-1】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为______． 【变式5-1】如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 【变式5-2】（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，    (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的大小 【变式5-3】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【题型六】锥体的表面积 【典例6-1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 【变式6-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，二面角的大小为60°，求三棱锥的表面积． 【变式6-3】（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积： (2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 1. 结构核心区分 柱体：棱柱（多面体）、圆柱（旋转体），上下底面平行全等、等粗；直棱柱侧面为矩形，斜棱柱侧面为平行四边形。 锥体：棱锥（多面体）、圆锥（旋转体），单底面、顶点汇聚，侧面为三角形/曲面。 2. 公式核心速记（微软公式） 柱体：， 锥体：， 圆柱专属： 圆锥专属： 3. 考场解题逻辑 几何体计算固定步骤：判几何体类型→找底面、高、母线核心量→区分侧面积/全面积、柱体/锥体公式→规范代入计算。 4. 终极避坑口诀 柱体无三分之一，锥体必带三分一； 圆柱侧面积用高，圆锥侧面积用母线； 柱体双底锥体单，直斜棱柱公式辨； 祖暅原理两条件，等高截面恒相等。 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·期中）某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是___________. 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知某圆柱的侧面展开图是边长为6和8的矩形，则该圆柱最大体积为__（答案保留）． 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为_________________. 三、解答题 7．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 8．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，三棱柱是所有棱长均为4的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．    (1)求三棱柱的体积与表面积； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 9．（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 10．（25-26高二上·上海·阶段检测）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 柱体与锥体 （核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】棱柱与圆柱 【题型四】棱锥与圆锥 【题型二】柱体的体积 【题型五】】锥体的体积 【题型三】柱体的表面积 【题型六】锥体的表面积 【知识点01】棱柱与圆柱 1. 棱柱（多面体柱体） 定义：有两个面互相平行且全等，其余各面均为平行四边形，且相邻侧面的公共侧棱互相平行的多面体。 核心构成要素：互相平行的两个全等底面、平行四边形侧面、平行侧棱、两底面垂直距离为柱体的高。 分类标准： ① 按侧棱与底面位置：侧棱垂直底面为直棱柱，侧棱倾斜底面为斜棱柱； ② 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等； ③ 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱，侧面为全等矩形。 2. 圆柱（旋转体柱体） 定义：矩形绕其中一条邻边（旋转轴）旋转一周所形成的封闭旋转体。 核心构成要素：旋转轴、两个全等圆形底面、曲面侧面、平行于轴的母线、两底面垂直距离为高（圆柱母线长=圆柱高）。 【知识点02】柱体的表面积与体积 1. 柱体表面积公式（直棱柱、圆柱） 通用关系：（柱体含上下两个底面） 直棱柱侧面积：底面周长乘以高 圆柱侧面积：侧面展开为矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱高 圆柱全面积： （式中为底面圆半径，为柱体高，为棱柱底面周长） 2. 柱体体积公式（祖暅原理推导） 祖暅原理：等高的两个几何体，若任意等高处的截面积恒相等，则两几何体体积相等。 柱体通用体积公式（棱柱、圆柱通用）： 圆柱专属体积公式： 【知识点03】棱锥与圆锥 1. 棱锥（多面体锥体） 定义：有一个面为多边形（底面），其余各面都是有公共顶点的三角形（侧面）的多面体。 核心构成要素：多边形底面、三角形侧面、公共顶点、顶点到底面的垂直距离为棱锥的高、侧面三角形的高为斜高。 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面中心，各侧面为全等等腰三角形。 2. 圆锥（旋转体锥体） 定义：直角三角形绕其中一条直角边（旋转轴）旋转一周形成的封闭旋转体。 核心构成要素：圆形底面、曲面侧面、顶点、高、母线（直角三角形斜边旋转轨迹，记为）。 核心等量关系（必考）：母线、底面半径、高满足勾股定理 【知识点04】锥体的表面积与体积 1. 锥体表面积公式 通用关系：（锥体仅含一个底面） 正棱锥侧面积：底面周长与斜高乘积的一半 （为正棱锥斜高） 圆锥侧面积：侧面展开为扇形，扇形弧长为底面圆周长，半径为圆锥母线 圆锥全面积： 2. 锥体体积公式（通用必考） 所有棱锥、圆锥体积统一公式，为同底等高柱体体积的： 圆锥专属体积公式： . 易错点1 棱柱概念认知偏差 错误认知：有两个面平行、其余面为平行四边形的几何体是棱柱。 正确结论：必须同时满足相邻侧面公共侧棱互相平行，否则存在反例几何体不满足棱柱定义。 易错点2 直棱柱与正棱柱概念混用 错误认知：直棱柱就是正棱柱。 正确结论：正棱柱=直棱柱+底面为正多边形；正棱柱一定是直棱柱，直棱柱不一定是正棱柱。 易错点3 表面积计算混淆侧面积与全面积 错误认知：柱体、锥体表面积直接等同于侧面积。 正确结论：侧面积仅计算侧面；全面积=侧面积+底面面积，柱体两底、锥体一底，考试需严格审题。 易错点4 锥体体积遗漏系数 错误认知：锥体体积公式与柱体一致，为。 正确结论：锥体体积必须乘，是立体几何最高频计算失分点。 易错点5 圆锥侧面积误用高代替母线 错误认知：直接用圆锥的高代入侧面积公式计算。 正确结论：圆锥侧面积公式仅适用母线，需通过勾股定理换算求解。 易错点6 斜棱柱侧面积公式乱用 错误认知：所有棱柱侧面积均为底面周长乘高。 正确结论：仅适用于直棱柱，斜棱柱侧面积需逐个侧面求和计算。 易错点7 祖暅原理条件缺失 错误认知：只要截面积相等，几何体体积就相等。 正确结论：必须同时满足几何体等高+任意等高处截面积恒相等两个条件。 【题型一】棱柱与圆柱 【典例1-1】一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的特征直接得到结果. 【详解】将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱. 故选：B. 【典例1-2】（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 【典例1-3】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 【变式1-1】如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是________. 【答案】 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 圆柱体的底面周长为，； 最短路程为：. 故答案为：. 【变式1-2】如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是__________．    【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【详解】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 【变式1-3】已知长方体的三条棱长分别为3cm、2cm、1cm，求表面有一只蜘蛛从A爬行到的最短距离． 【答案】 【分析】将长方体按照三个位置展开，由两点间线段最短，结合勾股定理即可求得三种情况下的距离，比较大小即可得最短距离. 【详解】根据题意，将长方体按照三种不同方式展开，如下图所示： 结合长方体的三种展开图，求得的长分别是， 所以最小值是. 【题型二】柱体的体积 【典例2-1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可. 【详解】解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°, 所以该三棱柱底面棱长为，高为， 所以该正三棱柱的体积为： 故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的侧面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】已知圆柱的半径，设圆柱的高为， 由圆柱的侧面积为，可得，解得， 圆柱体积为：. 故答案为：. 【变式2-2】如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据柱体体积公式即可求解， （2）证明三角形为直角三角形，求其面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱体积为：； （2）设点到平面的距离为， 在等腰中，由，则， 为直径，， 在中，， 则， 由底面，底面,所以， 又，平面，所以平面， 平面， 故， ， ， 由等体积法，得， 解得：． 即点到平面的距离为． 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）已知正四棱柱的底面边长为2，． (1)求该四棱柱的体积； (2)若E为线段的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据勾股定理，在中，求出高，再根据棱柱体积公式即可求解； （2）过E作EF⊥AD，垂足为点F，连接BF，证明∠EBF就是BE与平面ABCD所成的角 根据直角三角形即可求解. 【详解】（1）根据题意可得：在中，高 ∴； （2） 过E作EF⊥AD，垂足为点F，连接BF，则EF⊥平面ABCD， ∵平面ABCD，∴ ∴在中，∠EBF就是BE与平面ABCD所成的角 ∵，，∴， 又E是的中点，∴EF是的中位线， ∴ 在中 ∴ ∴ ∴BE与平面ABCD所成角为 【题型三】柱体的表面积 【典例3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为__________. 【答案】36 【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解. 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 【变式3-1】（2025高二上·上海松江·专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】圆柱的底面半径为，母线长为，所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    【答案】． 【分析】由题意知道健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 【详解】健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 则该健身哑铃的表面积为. 【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【答案】 【分析】如图，由已知条件可知，侧面是平行四边形，也是平行四边形，为矩形，计算可得. 【详解】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 【题型四】棱锥与圆锥 【典例4-1】下面关于棱锥的结构特征的描述中，不正确的为（    ） A．三棱锥有四个面是三角形 B．有的棱锥有两个面互相平行 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点 【答案】B 【分析】由棱锥的定义即可作出判断. 【详解】棱锥的定义是“有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.”故选项C、D正确，选项B不正确；三棱锥有四个面，每个面都是三角形，故选项A正确. 故选：B 【典例4-2】图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】B 【分析】根据图形中的形状和大小组成即可判断. 【详解】图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥； 图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥． 故选：B. 【典例4-3】若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【答案】 【分析】设出截面与棱锥底面的距离，利用比例关系列方程求解. 【详解】根据题意，设截面与棱锥底面的距离为，则有，解得， 故该截面和底面的距离是. 【变式4-1】已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 【变式4-2】已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为______. 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 【变式4-3】已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形．求该圆锥的高． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，根据题意求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】根据题意，设圆锥的母线长为， 由题可得，圆锥的底面半径，则，解得， 所以该圆锥的高．      【题型五】锥体的体积 【典例5-1】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【详解】由题意得圆锥的高为， 所以该圆锥体积为. 【变式5-1】如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 【答案】B 【分析】利用等体积法及三棱锥的体积公式即得． 【详解】根据题意，可以用等体积法，. ，. 故选：B． 【变式5-2】（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，    (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的大小 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知三角形为直角三角形，由此可根据三角形面积公式、棱锥体积公式求得三棱锥的体积； （2）可以通过平行线说明的大小即为异面直线与所成的角或其补角的大小，结合勾股定理以及余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为为半圆弧的中点，所以，则， 所以. （2）因为为劣弧的中点，所以，则， 所以的大小即为异面直线与所成角或其补角的大小， 易知，， 在中，由余弦定理可得：， 所以异面直线与所成角为. 【变式5-3】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，确定为四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式计算即可. （2）利用等体积法，结合的面积即可求解. 【详解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 【题型六】锥体的表面积 【典例6-1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【详解】 如图，母线长，所以圆锥的侧面积． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 【变式6-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，二面角的大小为60°，求三棱锥的表面积． 【答案】 【分析】作于D，连接，可得是二面角的平面角，则，可求得的长，从而可求出其表面积. 【详解】作于D，连接， 因为平面，平面，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角，即， 在正中，，所以， 在中，，则, 所以， 所以 . 【变式6-3】（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积： (2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理及圆锥的侧面积公式求解即可； （2）取中点，连接，得出直线与直线所成的角即为直线的夹角，再由余弦定理求解即可． 【详解】（1）由题意，圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积为． （2）取中点，连接，则，， 所以直线与直线所成的角即为直线的夹角， 因为平面，平面，所以 ， 在中，，同理可得， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成的角的余弦值为． 1. 结构核心区分 柱体：棱柱（多面体）、圆柱（旋转体），上下底面平行全等、等粗；直棱柱侧面为矩形，斜棱柱侧面为平行四边形。 锥体：棱锥（多面体）、圆锥（旋转体），单底面、顶点汇聚，侧面为三角形/曲面。 2. 公式核心速记（微软公式） 柱体：， 锥体：， 圆柱专属： 圆锥专属： 3. 考场解题逻辑 几何体计算固定步骤：判几何体类型→找底面、高、母线核心量→区分侧面积/全面积、柱体/锥体公式→规范代入计算。 4. 终极避坑口诀 柱体无三分之一，锥体必带三分一； 圆柱侧面积用高，圆锥侧面积用母线； 柱体双底锥体单，直斜棱柱公式辨； 祖暅原理两条件，等高截面恒相等。 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断两个几何体概念之间的充分性和必要性． 【详解】解：若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体，而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱，故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件． 故选：A． 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除以，即可得解. 【详解】在长方体中， 当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 3．（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】C 【分析】由题意分别得出以、两边为轴旋转形成的几何体，根据体积公式求解即可. 【详解】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 因为，所以， 所以. 故选：. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·期中）某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是___________. 【答案】 【分析】先假设圆锥的高为，半径为，母线长为，利用体积公式求出半径，再利用高为，半径为，母线长为三者间的关系求出母线长，最后利用侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的高为，半径为 ,母线长为 ，则，得到； 母线长为 则该圆锥的侧面积是 故答案为： 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知某圆柱的侧面展开图是边长为6和8的矩形，则该圆柱最大体积为__（答案保留）． 【答案】 【分析】根据圆柱侧面展开图与圆柱的关系，分别求出以边长和为底面周长时圆柱的体积，再比较大小得出最大体积. 【详解】当圆柱底面周长，高时， 根据圆的周长公式，可得底面半径. 再根据圆柱的体积公式，得此时圆柱体积. 当圆柱底面周长，高时， 同样根据圆的周长公式，可得底面半径. 再根据圆柱的体积公式，可得此时圆柱体积. 因为，所以，即该圆柱的最大体积为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为_________________. 【答案】 【分析】圆锥的几何性质与体积公式计算即可得. 【详解】作出该几何体的轴截面如图所示，为圆锥的高， 设内接圆柱的高为，而，， 因为内接圆柱的体积为，即，则， 由于，故，则， 故， 所以圆锥体积为. 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解； （2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 又铁的密度为， 故生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为 . 则5000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 8．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，三棱柱是所有棱长均为4的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．    (1)求三棱柱的体积与表面积； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)；三棱柱表面积为. (2) (3) 【分析】（1）由题目数据可得三棱柱体积与表面积； （2）由等体积法求解即可. （3）由题可得为二面角的平面角，然后由余弦定理可得答案. 【详解】（1）由题， ； 三棱柱表面积为：； （2）因D为中点，结合题意，可得， 又平面，平面，则. 因平面，，则平面. 因为， ，，， 所以，所以，所以， 设点E到平面的距离为， 所以，则， 所以，解得：. 所以点E到平面的距离为. （3）由（2）可得平面，因平面， 则 ，从而为二面角的平面角. 如图，连接，由题可得， ，由余弦定理，.    所以求二面角的余弦值为. 9．（25-26高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解； （2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可； （3）先分析得将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，当，，三点共线时，的最小值为，通过解三角形求即可. 【详解】（1）根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为. （2）略 （3）将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，，， 所以，，， 所以在中， 由余弦定理可得， 所以的最小值为. 10．（25-26高二上·上海·阶段检测）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是 【分析】（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案. （2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案. （3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $