专题2.4基本不等式训练-2027届高考数学一轮总复习（天津市适用）

高考一轮总复习课时作业 04基本不等式 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4．若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 5．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 6．（25-26高三·全国·三轮复习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 9.已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 二、填空题 10．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 11．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 12．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 13．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 14．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_____________. 15．设，则的最小值为_________． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 04基本不等式 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式求积的最大值、判断命题的必要不充分条件 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 3．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】当时，，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 4．若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．9 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据有条件的基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当等号成立，将代入解得. 即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 5若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 6．（25-26高三·全国·三轮复习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数与函数单调性的关系得到不等式，结合参数分离及均值不等式求解参数范围． 【详解】函数的定义域为，. 由函数在上单调递增，得对任意恒成立． 即恒成立， 即恒成立． 由知，所以， 当且仅当，即等号成立. 因此的最小值为． 要使恒成立，则，即． 7函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以，则： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故选：B 8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由公式列出面积的表达式，然后由基本不等式求得最大值. 【详解】由题意. ，即， 当且仅当时等号成立. 所以此三角形面积的最大值为3. 故选：B. 9.已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 二、填空题 10．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 11．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 12．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 13．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 15．设，则的最小值为_________． 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $