3.2.1配方法（第1课时直接开平方法）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，核心内容包括形如x²=a和(ax+b)²=c的方程求解及根的概念。课堂导入通过回顾七年级平方根定义及填空练习，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从平方根意义自然过渡到方程求解。 其亮点在于以“思考-问题-验证”探究过程培养推理意识，通过典例分析（如例1步骤总结）和错误分析（题11漏解情况）提升运算能力，结合古代数学问题（直田面积）渗透模型意识。课堂小结结构化梳理步骤与思路，帮助学生理解降次思想，教师可高效开展教学。

第3章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法 3.2.1 配方法 导入新课 我们七年级下学期学了平方根，什么叫作平方根？ 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根。 根据平方根的意义填空： (1).如果 x2=81,则x= . (2).如果 x2=5,则x= . (3).如果x2=a(a≥0) ,则x= . ±9 求一个数的平方根的运算叫作开平方 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的根（解）的概念（重点） 掌握用直接开平方法对形如x2=a，（ax+b）2=c形式的一元二次方程进行求解（重点） 理解开平方与平方互为逆运算，能根据平方根的定义求解方程（难点） 新知探究 3-7500=0 这个方程能不能继续化简整理？ 3=7500 =2500 移项 方程两边除以3 x叫作2500的平方根 求x就是求2500的平方根，开平方 或 或 思 考 上节课我们得到了这样的方程：3-7500=0，如何求出此方程中未知数x的值呢? 将这两个数分别代入3-7500=0的两边计算，你会有什么发现？ 方程两边相等 新知探究 一元二次方程的解（根）： 总结归纳 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 或是一元二次方程3-7500=0的根（解） 把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程 解一元二次方程： 注意：一元二次方程的根可以有一个、两个， 也可能没有实数根。 例1 解方程：4x2-25=0. 典例分析 解：原方程经过移项，左右两边同除以4，得， x2=. 根据平方根的意义，得 x=或 x=-, 即 x1= , x2= - . 观察方程有什么结构特点？ ax2-b=0(ab≥0, a≠0) x=± x2= 开平方 整理 直接开平方法 新知探究 说一说 如何解方程：(1+x)²=81？ 在数学上，括号起什么作用？ 整体 若把1+x看作一个整体，则由(1+x)²=81，得 1+ 或 1+ 即 1+x=9或1+x=﹣9. 解得 x₁=8，x₂=﹣10. 观察方程有什么结构特点？ (x+a)2=b(b≥0) x=±-a x+a=(b≥0) 开平方 整理 例2 解方程：( 2x +1 )2=2. 典例分析 解：根据平方根的意义，得 2x+1=或2x+1=-, 因此，原方程的根为 即 x1=, x2=- . 思考：解一元二次方程的思路是什么？ 开平方 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 注意各项的符号. (ax+b)2=c(c≥0, a≠0) ax+b=(c ≥0) 新知探究 解方程：4(1+x)2 -25 = 0. 解：把方程整理成 (x+1)2=, 根据平方根的意义，得 x+1=或 x+1=-, 即 x1+1=, x2+1=- 因此，原方程的根为 x1=, x2=- . 基础巩固题 新知应用 2. 已知关于x的方程x²+x+2a-4=0的一个根是-1，则a的值是( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 D 分析：将方程的一个根x=-1代入方程x²+x+2a-4=0，得关于a的方程2a-4=0，解得a=2，故选D. 1.下列是方程x2－x－6＝0的根的是(　　) A.x＝－4　 B.x＝－3 C.x＝3　 D.x＝2 C 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根 基础巩固题 新知应用 3.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解. 1） x2=2 ( ) 2） p2 - 49=0 ( ) 3） 6 x2=3 ( ) 4) （5x+9）2+16=0    ( ) 5) 121-(y+3) 2 =0 ( ) × √ √ √ √ 直接开平方法的特点： 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数 基础巩固题 新知应用 (1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x2 = 18 的根是 . (3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . x1＝0.5，x2＝−0.5 x1＝3，x2＝−3 x1＝2，x2＝−1 4. 填空： 5.解一元二次方程 时，可以将其转化为两个一元一次 方程，若其中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程 为( ) A A. B. C. D. 基础巩固题 新知应用 C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ， x2= D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1= 1，x2= −4 6. 下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D 基础巩固题 新知应用 7.解下列方程： 9x2-49=0； (2) 18-x2=0； (3) (x+3)2-36=0； (4) 9(1-2x)2-16=0. 解：(1)9x2 = 49 x2 = x =± x1= x2= - (2) x2 = 18 x = ± x1= 3，x2 = -3 基础巩固题 新知应用 7.解下列方程： 9x2-49=0； (2) 18-x2=0； (3) (x+3)2-36=0； (4) 9(1-2x)2-16=0. (3) (x+3)2 = 36 x+3 =±6 x+3 = 6 或 x+3 = -6 x1= 3，x2 = -9 (4) 9(1-2x)2 = 16 (1-2x)2 = 1-2x = 或1-2x = - x1= - ，x2 = 基础巩固题 新知应用 8.(古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短． 记得立契时，长阔争一半． 今问俊明公，此法如何算．-------程大位《算法统宗》 意思是：有一块面积为7亩半的矩形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步.(步，古代的一种长度单位，1步约等于1.67m.1亩一240平方步) 解：设长方形田地的宽为x步，那么长就应该是2x步， 7.5亩=1800步2， 由题意，得 2x·x=1800，即x2=900， 解得x=30或x=-30（不符合题意，舍去） 所以x=30，则2x=60(步). 能力提升题 新知应用 9.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0有一个根为 0，求 m 的值. 解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ -2. 综上所述m = 2. 二次项系数不为零不容忽视. 能力提升题 新知应用 10.已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得： 能力提升题 新知应用 11. 用直接开平方法解一元二次方程 . 解：移项,得 ，① 直接开平方,得 ，② 所以 .③ 上述解题过程中，第____步开始出错，原因是 _____________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _____ ，请写出正确的解答过程. 漏掉了 这种情况正确的解答过程如下：移项,得 ，直接开平方,得 ，即 或 ， . ② 课堂小结 用直接开平方法解一元二次方程 一元二次方程的解 步骤 基本思路 关键要把方程化成 x2=a(a ≥0)或(ax+b)2=c(n ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根 感谢聆听! $