3.2.1 配方法-第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程”，通过复习二次项系数为1的配方法导入，明确“先化系数为1再配方”的核心区别，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握完整解题步骤。 其亮点在于分层设计基础巩固题与综合应用题，结合易错点总结和实例解析，如例4规范步骤及“试一试”无实根情况分析，培养学生运算能力与推理意识。教师可直接使用系统资料，学生能高效掌握方法并避免常见错误。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月20日 3.2.1 配方法-第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 第3章 一元二次方程 湘教版九年级上册数学3.2.1配方法（第2课时）用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 练习题 一、核心知识点梳理 本节课在二次项系数为1的配方法基础上，拓展学习二次项系数不为1的一元二次方程配方解法，是配方法完整体系的重要部分，也是考试高频考点。此类方程标准形式为$$ax^2+bx+c=0(a eq1,a eq0)$$，核心解题思路是先将二次项系数化为1，再沿用基础配方法求解。完整解题步骤：第一，化系数为1，方程两边同时除以二次项系数$$a$$；第二，移项，将常数项移至等号右侧；第三，配方，方程两边同时加上化简后一次项系数一半的平方；第四，整理变形，左边化为完全平方式、右边合并常数；第五，开方求解，利用直接开平方法解出方程的两个实数根。需要重点掌握：二次项系数不为1时，必须先统一化系数为1再配方，不可直接对原式配方，这是和上一课时的核心区别。 二、基础巩固练习题 选择题（每题5分，共30分） 1. 用配方法解$$2x^2+4x-6=0$$，第一步需要做的操作是（） A. 直接配方 B. 两边除以2 C. 移项 D. 两边加2 2. 方程$$2x^2-8x+2=0$$化二次项系数为1后为（） A. $$x^2-4x+1=0$$ B. $$x^2-8x+2=0$$ C. $$2x^2-4x+1=0$$ D. $$x^2-4x+2=0$$ 3. 对$$3x^2+6x=9$$配方，化为系数1后配方需加的常数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 4. 用配方法解$$2x^2-2x-4=0$$，配方后正确的是（） A. $$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$$ B. $$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$$ C. $$(x-1)^2=3$$ D. $$(x-1)^2=5$$ 5. 解方程$$4x^2+8x-1=0$$，配方时常数项需调整为（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 下列方程需要先化二次项系数为1才能配方的是（） A. $$x^2-3x=2$$ B. $$2x^2-x=5$$ C. $$x^2+6x=0$$ D. $$x^2-4x=-3$$ 填空题（每题6分，共30分） 1. 解方程$$3x^2-6x=3$$，先两边除以3，化简方程为________。 2. 方程$$2x^2+4x-5=0$$化系数为1、移项后为$$x^2+2x=$$________。 3. 对$$2x^2-5x$$先化系数为1，再配方需加的常数是________。 4. 方程$$3x^2+6x-12=0$$配方后完全平方式为________。 5. 用配方法解$$2x^2-4x-1=0$$，得到的实数根为________。 解答题（共40分） 1.（12分）将下列方程化为二次项系数为1的形式： （1）$$2x^2-10x+4=0$$ （2）$$3x^2+3x-6=0$$ 2.（14分）用配方法解下列一元二次方程： （1）$$2x^2+4x-6=0$$ （2）$$2x^2-8x+4=0$$ 3.（14分）用配方法解含分数根的方程： （1）$$3x^2-6x-1=0$$ （2）$$2x^2+2x-1=0$$ 三、参考答案与详细解析 选择题解析 1. B 解析：二次项系数不为1，配方第一步必须两边同除二次项系数，将系数化为1。 2. A 解析：方程两边同时除以2，得$$x^2-4x+1=0$$。 3. A 解析：两边除以3得$$x^2+2x=3$$，一次项系数一半平方为1，需加1。 4. A 解析：化简得$$x^2-x-2=0$$，移项配方得$$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$$。 5. C 解析：化简移项得$$x^2+2x=\frac{1}{4}$$，配方加1，右侧为$$\frac{5}{4}$$，常数对应为5。 6. B 解析：只有B选项二次项系数为2，不为1，需先化系数再配方。 填空题答案 1. $$x^2-2x=1$$ 2. $$\frac{5}{2}$$ 3. $$\frac{25}{16}$$ 4. $$(x+1)^2=5$$ 5. $$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}，x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 解答题解析 1. 解析：（1）两边除以2得：$$x^2-5x+2=0$$；（2）两边除以3得：$$x^2+x-2=0$$。 2. 解析：（1）系数化1：$$x^2+2x-3=0$$，移项配方得$$(x+1)^2=4$$，解得$$x_1=1，x_2=-3$$；（2）系数化1：$$x^2-4x+2=0$$，配方得$$(x-2)^2=2$$，解得$$x_1=2+\sqrt{2}，x_2=2-\sqrt{2}$$。 3. 解析：（1）系数化1得$$x^2-2x-\frac{1}{3}=0$$，配方得$$(x-1)^2=\frac{4}{3}$$，解得$$x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}，x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$；（2）系数化1得$$x^2+x-\frac{1}{2}=0$$，配方得$$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$$，解得$$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}，x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$$。 四、易错点总结 1. 核心易错：忽略先化二次项系数为1，直接对原式配方，导致结果全部错误；2. 系数化1时漏除常数项，只除二次项和一次项，等式不成立；3. 配方时忘记两边同时加常数，或算错一次项系数一半的平方；4. 含分数系数的方程化简、配方计算失误，开方后根式化简不彻底；5. 混淆二次项系数为1和不为1的配方步骤，解题思路混乱。二次项系数不为1的配方法，核心口诀是先化系数、再移项、后配方，严格遵循步骤即可避免绝大多数错误，是后续学习二次函数配方变形的重要基础。 1、用配方法解方程： 情境导入 2、用适当的数填空： （1） （2） （3） 用配方法解一元二次方程的关键步骤是什么？ 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里。 知识点1 用配方法解方程 1. 用配方法解时，将它转化为 的形式，则 的值为( ) B A. B. C. D. 2. 设,是两个整数，若定义一种运算“ ”， ，则方程 的实数根是 ( ) C A. B. ， C. D. , 返回 中考考法 4 知识点2 配方法的应用 3. 若关于的一元二次方程 的左边可 以写成一个完全平方式，则常数 的值为( ) B A. 7 B. 7或 C. 6 D. 6或 4. 已知,则 的值为___. 1 返回 中考考法 5 动脑筋：如何用配方法解 呢？ [议一议]这个方程的二次项系数不等于1，配方比较麻烦，怎么克服这个困难？ 二次项系数化为1 方程左边配成完全平方 将方程转化为两个一元一次方程 解一元一次方程 [点评]对于二次项系数不是1，或者不是一般形式的方程，在配方前先把原方程化成一般形式，再把二次项系数化为1，然后加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。 [强调]解这类方程的关键是先将二次项系数化为1。 例4 用配方法解下列方程： 移 项 二次项系数化为1 配 方 [议一议]用配方法解下列方程： 由配方可以得到： 因为在实数范围内， 任何实数的平方都是非负数。因此，(x－1)2= －3 不成立， 即原方程无实数根。 1、用配方法把方程 化成 的形式，其中 2、用配方法解下列方程： （1） （2） （3） 1 5. 用配方法解下列方程： （1） ； 【解】因为，所以 . 配方，得，即 . 所以，解得, ． 中考考法 10 （2） . 因为 ， 所以.所以 . 配方，得，解得 . 返回 中考考法 11 6. 下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得 ，① 二次项系数化为1，得 ，② 配方，得，即 ，③ 由此可得 ，④ 解得， 中考考法 12 整个解答过程从第____步开始出现错误，错误的原因是 ____________________________，请给出正确的解题过程． ③ 配方时，等号右边没有加上1 【解】正确的解题过程：移项，得 ，二次项系 数化为1，得，配方，得 ，即 ，由此可得，解得 ， . 返回 中考考法 13 7. 设一元二次方程 的两实数根分 别为 , ,若 ,则 , 的取值范围为( ) B A. B. 且 C. D. 返回 中考考法 14 8. （多选题）已知实数, 满足 ，且 ，则下列结论正确 的是( ) AD A. B. C. D. 中考考法 15 9. 已知点，， 在数轴上的位置如图所 示，为原点，且为的中点，为的中点.若点 表示 的数为，点表示的数为，则 的值是_ ______. 返回 中考考法 16 10. [常德石门一中自主招生] 已知 ， 求 的值. 中考考法 17 【解】因为,所以 ， 整理得,则 ,所以 , 所以 ,所以 ,显然 ,所以 . 返回 中考考法 18 $