13.2 与三角形有关的线段（第2课时 三角形的中线、角平分线、高） 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的中线、角平分线、高，通过复习垂线、线段中点、角平分线等旧知导入，逐步探究三线的定义、几何语言及性质，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过类比定义、操作画图（不同三角形三线）和表格总结，培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言）。例题结合周长差、面积计算，助学生深化理解，教师可高效开展教学。

13.2 三角形的有关线段 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 复习回顾 回顾：什么叫垂线？线段中点？角平分线？ 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点. 角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. A B O B A 在三角形中，连接一个 与它 的 线段， 叫做这个三角形的中线. 顶点 对边中点 如图，在△ABC 中，D是BC的中点则 是BC边上的中线， 此时：___________. B C A D AD BD=CD 如图，在△ABC 中，AD是BC边上的中线 则D是BC的 ，此时：___________. 中点 BD=CD 新知探究 问题1 如图，如果点C 是线段AB 的中点，你能得到线段间怎样的数量关系？ A C B 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线. A B C D 几何语言 每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线. 如图，画出三角形的中线. 3 3 这三条中线之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条中线是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条中线交于同一点. 锐角三角形的三条中线都在三角形的内部. 对于任意三角形，是否也满足“三条中线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，并观察三条中线是否相交于一点. 新知探究 三角形的三条中线 ，且 相交于一点 该交点位于三角形内部 三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 . 重心 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高． 试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 新知探究 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 三角形的中线能将三角形的面积平分. 通过以上问题你能发现什么规律？ 如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm， 求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）. 解：∵ AD为△ABC的中线 ∴ BD＝CD ∵ △ABD和△ADC的周长差是4cm ∴ AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD) ＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD ＝AB﹣AC＝4cm ∵ AB＝12cm ∴ AC＝AB﹣4cm＝8cm ∴ △ABC的边AC的长为8cm 例1 B C A D 你能把两个三角形的周长差用线段表示出来吗？ 如图13.2-4，在△ABC(AB>AC)中，AD，BE分别是△ABC，△ABD 的中线. (1)若△ ABD 与△ ADC 的周长 之差为3，AB=8，求AC 的长； (2)若S △ ABC=8，求S △ ABE. 解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 知3－练 练1 (1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长； 解：∵ AD 为BC 边上的中线，∴ BD=CD. ∴ △ ABD 与△ ADC 的周长之差为 (AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC. ∵△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8， ∴ 8 －AC=3，解得AC=5 . (2)若S△ ABC=8，求S△ ABE. 你能类比三角形的中线的定义，说明什么是三角形的角平分线吗？ 在三角形中，一个内角的 与它的 相交，这个角 的 与 之间的线段，叫做三角形的角平分线. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2 则 是∠A的角平分线 1 2 A B C D AD 如图，在△ABC 中，AD是∠A的角平分线 则___________ ∠1=∠2 新知探究 平分线 对边 顶点 交点 A B C D 相同点是： ∠ABD = ∠CBD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 新知探究 三角形的角平分线 画出∠A的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 2 1 D 几何语言 每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线. 如图，画出三角形的角平分线. 3 3 这三条角平分线之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条角平分线是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条角平分线交于同一点. 锐角三角形的三条角平分线都在三角形的内部. 新知探究 对于任意三角形，是否也满足“三条角平分线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，并观察三条角平分线是否相交于一点. 三角形的三条角平分线 ，且 ， 该点称为三角形的 .三角形的角平分线是一条 . 相交于一点 该交点位于三角形内部 线段 内心 例2.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. A B C E 解：∵ＡE是△ABC的角平分线， ∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°. ∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°， ∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°. ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC. 例3.如图13.2-6，D 是△ ABC 的边AC 上一点，DE ∥ BC 交AB 于点E，若∠ EDB= ∠ EBD，求证：BD 是△ ABC 的角平分线. 证明：∵DE∥BC， ∴∠EDB= ∠DBC. 又∵∠EDB= ∠EBD， ∴∠DBC= ∠EBD. ∴BD是△ABC的角平分线. 回顾：过一点画如何画已知直线的垂线? 放 靠 过 画 三角形的高 定义： 几何语言 每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条高. 如图，画出三角形的高. 3 3 这三条高之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 新知探究 对于任意三角形，是否也满足“三条高相交于一点”? 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，并观察三条高是否相交于一点. A C B A C B A C B 锐角三角形 O A B D E F ①BC边上的高为 AC边上的高为 AB边上的高为 AD BE CF ②锐角三角形的三条高（线段AD、BE、CF） ， 且 . 相交于一点 该点位于三角形的内部 直角三角形 ①AC边上的高为 直角边AB上的高为 直角边BC上的高为 BD CB AB ②直角三角形的三条高 . 相交于直角顶点 A B C D 钝角三角形 A B C D E F ①BC边上的高为 AB边上的高为 AC边上的高为 AD CE BF ②钝角三角形的三条高 . 不相交于一点 它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？ 钝角三角形的三条高所在直线交于一点， 并且这个点在三角形外部. A B D F O E 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形三条高所在直线的交点称为三角形的 . 垂心 小结——三角形的高 例4 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例5 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE， 并求AE的长. E 1. 填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB= 2＿＿, BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② DC ∠4 AC ∠ABC 课堂训练 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“等面积法”． 5.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长. A D B C 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， ∴C△DBC＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD＝25－BC. ∴C△ADC＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC ＝25-BC＋AC ＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm. 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 知识归纳 $