1.1 探索勾股定理 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册“探索勾股定理”新授课同步练，以基础巩固为核心，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算、直接应用|如单选题1（直角三角形高计算）、填空题11（正方形面积关系），聚焦单一知识点| |中档|公式变形、证明方法、简单应用|如单选题7（弦图与完全平方公式）、填空题14（摆钟长度计算），融合推理与实际情境| |提升|综合探究、规律探索、复杂应用|如解答题19（多图形面积综合）、20（几何证明与计算），培养数学思维与创新意识|

1.1 探索勾股定理 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 3．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 4．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 5．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 6．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 8．如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬最短的路程（取3）是（　　）． A．7 B．13 C．11 D．9 10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①，②，③，④，其中正确的是（    ）    A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 12．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 13．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 14．如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 15．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    三、解答题 16．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 17．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 18．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？ 19．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 20．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C B A C B C 1．【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 2．【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 3．【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，用勾股定理的知识来求解是本题的关键．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于225， 即， 正方形的面积为289， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为64． 故选：． 4．【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出，再由等面积法计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、最短路径问题、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】 解：侧面展开图如图所示： 可以把和展开到一个平面内，则线段的长表示蚂蚁从点爬到点处吃食的最短路程． 根据圆柱的半个侧面是矩形： 矩形的长，矩形的宽， ∴在直角三角形中，． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，解答此类问题的关键应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况利用两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题． 10．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】利用大正方形面积和勾股定理可判断①，利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④． 【详解】解：如图，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得，故①正确； 由图可知，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即，故③正确； 由可得． ∵， ∴，整理得， ∴，故④错误． 正确的是①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长． 11．【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设，根据题意及题中图形，得到相关边的长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，，， 设， 则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， ， 则钟摆的长度为， 故答案为：． 15．【答案】21 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性． （1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， 17．【答案】(1)； (2) 证明：直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 【知识点】列代数式、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）略 18．【答案】当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过人的头顶点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝90°， 由题意可知，CD＝BE＝1.5m，AB＝4.5m， 在Rt△ACE中，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3，AC＝5， 由勾股定理，得， ∴CE＝4（m）． ∴当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 19．【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 20．【答案】(1) 证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）略 （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $